第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）（讲练）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（含答案解析）

第06讲利用导数研究函数的零点(方程的根)(讲

+练)-2023年高考数学一轮复习讲练测(新教材新

高考)

第06讲利用导数研究函数的零点(方程的根)(精讲+精练)

第一部分：知识点精准记忆

1、函数的零点

(1)函数零点的定义：对于函数y=/(x),把使f(x)=。的实数x叫做函数y=f(x)的

零点.

(2)三个等价关系

方程/(x)=O有实数根O函数y=/(x)的图象与X轴有交点的横坐标=函数y=/(x)

有零点.

2、函数零点的判定

如果函数y=f(x)在区间值,切上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

那么函数y=f(x)在区间(小切内有零点,即存在ce(a,加，使得/(c)=0,这个c也就

是〃x)=0的根.我们把这一结论称为函数零点存在性定理.

注意：单调性+存在零点=唯一零点

第二部分：课前自我评估测试

(2022•全国•高二)

1.已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表：

"X)的导函数y=r(x)的图象如图所示,

则下列关于函数"X)的命题:

①函数y=/（x）是周期函数；

②函数/（X）在［0,2］是减函数；

③如果当1,4时，/⑶的最大值是2,那么，的最大值为4；

④当1<”2时，函数y=/（x）-〃有4个零点.

其中真命题的个数是

A.4个B.3个C.2个D.1个

（2022•甘肃・金昌市教育科学研究所高三阶段练习（文））2.

2.已知函数/（司=/+祀'-l（aeR）有两个极值点，则实数a的取值范围为（）

A.（」,（）］B.（二,。1C.|］D.（--,+oo|

（2022.全国.高二）

3.若函数"x）=d-3x2-9x+“仅有一个零点，则实数，"的取值范围是（）

A.(-5,+00)(-00,-27)55,+℃>)

C.(—,27)(-oo,-5)527,«»)

（2022.甘肃武威.模拟预测（文））

4.函数/（x）=2d-6x+机有三个零点，则实数机的取值范围是（）

A.(-4,4)B.[-4,4]

C.(-oo,-4]U[4,+oo)D.(-00,-4)U(4,+oo)

（2022•江苏淮安・高二期末）

5.已知函数〃x）=e*与g（x）=x+l,则它们的图象交点个数为（）

D.不确定

第三部分：典型例题剖析

高频考点一：判断、证明或讨论函数零点（根）的个数

1.（2022♦全国•高二）设函数f（x）=；x—Inx,则函数y=f（x）（）

A.在区间（Ll）,（1,e）内均有零点

e

B.在区间（Ll）,（1,e）内均无零点

e

c.在区间d,l）内有零点，在区间（1,e）内无零点

e

试卷第2页，共31页

D.在区间(Ll)内无零点，在区间(1,e)内有零点

e

【答案】D

当xC(Le)时，函数图象连续不断，且「(X)=(一!=手<(),所以函数f(x)

e3x3x

在(Le)上单调递减.

e

又/d)=」+l>0,f(1)=^>0,f(e)=7e—1<0,所以函数f(x)有唯一的零

e3e33

点在区间(1,e)内.

故选：D

2.(2022・全国•高三专题练习(文))已知函数〃x)=(x-2)e,+g,其中e为自然对数

的底数，e=2.7182818……,则f(x)的零点个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

由题意得,尸")=(》—1)产，.•.当x<l时，/'(x)<0,当x>l时,/'(x)>0,

,“X)在(3,1)上单调递减，在上单调递增，

：・"%=/(1)-e4<0.Vf(一3)=—注>0,

.♦.存在唯一办«-3』).使得〃玉)=0,即“X)在(3,1)上存在唯一零点卬

；/(2)=，>0,

e

...存在唯一赴«1，2)，使得〃々)=0,即〃x)在(I,”)上存在唯一零点々.

综上，〃x)有且只有两个零点.

故选：C.

3.(2022•全国♦高三专题练习(理))函数=lnx(x>0)的零点个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

_f(x)=；T=0,得x=3,

当0<x<3时，r(x)<0,/(X)单调递减，当x>3时，f\x)>0,/(x)单调递增，

/(3)=l-ln3<0,7(1)=1>0/(/)=12=中>0,

所以函数“X)在(1,3)和(3,e2)各有1个零点，所以共2个零点.

故选：c

4.(2022•全国•高二课时练习)求函数/(x)=2/-3x+l零点的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

/(x)=6x2-3=0x=+~-，

f(x)在等)上单调递增，在-当，弓上单调递减，在［孝,+8)上上单调递增，

所以当x=-*时，/(X)取到极大值1+夜>0，

所以当X=YZ时，/(X)取到极小值1一应<0，

2

所以函数/(x)=2/-3x+l零点的个数为3

所以C选项是正确的

5.(2022.江苏淮安•高二期末)已知函数〃x)=e'与g(x)=x+l,则它们的图象交点个

数为()

A.0B.1C.2D.不确定

【答案】B

令/?(x)=e'-x—1,则”(x)=e'-l,由"(x)=e工-1=0,得x=0,

.•.当x<0时，”(x)<0,当x>0时，〃'(x)>0.

，当x=0时，/?(》)取得最小值40)=0,

.•"(x)=e-x-1只有一个零点，即“X)与g(x)的图象只有1个交点.

故选：B.

6.(2022•江苏苏州•模拟预测)方程1-6/+9x70=0的实根个数是.

【答案】1

解：设/(x)=d-6d+9x-10,则/(力=3X2-12》+9,

令尸(x)=0,得x=l或x=3,

.•/<1时/^)>0,即在(Y,1)上单调递增；

当l<x<3时/'(x)<0,即I(x)在(1,3)上单调递减;

当x>3时冏x)>0,即在(3,物)上单调递增，

试卷第4页，共31页

所以函数在x=l处取得极大值，在x=3处取得极小值，且/(X)极大值=/(l)=-6<0,

极小值=八3)=一1°<。

由上分析知y=/(x)的图象如图所示，函数与x轴只有一个公共点,

所以方程x3-6f+9x-10=0只有一个实根.

故答案为：1.

7.(2022•全国•高三专题练习)函数〃x)="-|x+l|的零点个数是.

【答案】2

/(x)=er-|x+l|=0,eA=|x+l|,

画出y=e，与y=|x+l|的图象如下图所示，

当x>-l时，y=|x+l|=x+l,

(")=",所以在曲线y="图象上点(0,1)的切线方程为y-l=e°(x-o),即产x+1.

由图可知y=/与y=|x+1］有两个公共点，即/(x)有两个零点.

故答案为：2

8.(2022・广东佛山・高二阶段练习)已知函数/(x)=x+?-(q-l)lnx-2,其中aeR.

(1)若存在唯一极值点，且极值为0,求。的值；

(2)若“<合，讨论〃*)在区间［l,e。上的零点个数.

【答案】(1)。=1或。=6；

(2)当Ivave时，在U,e?］上无零点，

当“41或”=e或—^<“<3时，/(x)在口，e」上有1个零点，

2e2-l

-4

Se<a<—；—时,Ax)在口，e?］上有2个零点.

2e2-l

【解析】

(1)f(x)=x+--(a-\)\nx-2,定义域是(0,+8),

X

小)=1_号_9=。+1)，-。%>0),

JCXX"

①若。40,则当xe(0,+»)时，f'(x)>0恒成立，

故/■&)在(0,内)单调递增，与/(X)存在极值点矛盾，

②若”>0时，则由/'(x)=O解得：x=a,

故xe(0,a)时,f\x)<0,当xe(a,+8)时，f\x)>0,

故f(x)在(0,〃)单调递减，在3”)单调递增，

故f(x)存在唯一极小值点x=a,

故/⑷=4+1_(a_l)lna-2=(a-1)(1一Ina)=0,

故4=1或4=6；

(2)①“40时，/3W0在［1,上恒成立，

故"X)在［1,上单调递增，

222(12e>

/(l)=a-l<0,/(e)=e+4-=e+°~">0,

ee-

由零点存在性定理，f(x)在U,上有1个零点；

②当0<a«l时,尸(x)±0在口,e。上恒成立，

故f(x)在［1,上单调递增，

/(l)=a-l<0,/(e2)=e2-2a+4>0,

e~

由零点存在性定理，f(x)在U,/］上有1个零点；

③当Ivave?时，当xe［l,a)时,f\x)<0,xe(a,e。时,f'(x)>0,

・••/(元)在［1,。)上单调递减,在5,e?］上单调递增，

/Wmin=f3)=3T)(l-Ina),

此时若a=e,=(«-D(l-ln«)=0,〃x)在口，e?］上有1个零点；

试卷第6页，共31页

若“<e,/Wmi„=(a-l)(l-lna)>0,/(x)在［1,四上无零点；

若6<«</,/Wmin=(«-1)(1-ln«)<0,/(I)=a-1>0

而/(，)=^+=-27,

e-

^/(e2)=e2+4-2a<0,即上―<“</，/(x)在口,上有1个零点：

e22e2-1

若/(e2)=e2+W-2aN0,即e<a4—J,/(x)在［1,e?］上有2个零点；

e22e2-l

综上：当leave时,当幻在口,上无零点，

当或a=e或——<a<e，时，/(x)在［1,e」上有1个零点，

2e2-1

P4

当e<a«——时，/(x)在［1,e)上有2个零点.

2e2-l

9.(2022•新疆・乌苏市第一中学高二阶段练习(文))给定函数/(x)=(x+l)e’.

(1)判断函数“力的单调性，并求出〃x)的极值；

(2)求出方程〃x)=a(aeR)的解的个数.

【答案】(1)函数”X)在(-2,-)单调递增，在(一0,一2)单调递减,/(x)的极小值为：

f(-2)=~,无极大值.

(2)当时，方程/(x)=a无解；当a=-J或时，方程/(x)=a有1个解；

当一!<。<0时，方程/(x)=a有2个解.

【解析】

(1)因为/(x)=(x+l)e*(xeR),所以尸(x)=e*+(x+l)e*=(x+2)e*,

令明x)>0,解得x>-2,令F(x)<0,解得xV-2,所以函数/(x)在(-2,+a))单调递

增，

函数/(x)在(—,-2)单调递减，所以x=-2为函数/(x)的极小值点，

所以/(x)的极小值为：〃-2)=-5，无极大值.

综上所述：函数〃尤)在(-2,内)单调递增，在(口,-2)单调递减，/")的极小值为：

/(-2)=-^,无极大值.

(2)易知当工<一1时，/(x)<0,当产一1时，/(x)=0,当工>一1时，/(x)>0,

再根据(1)中函数/(文)的单调性和极值可以大致作出函数/(X)图像如下所示：

由(1)知，“X)的极小值即为函数“X)最小值，方程f(x)=a(“wR)的解的个数

等价于函数y=/(x)的图像与直线y=4交点的个数，由下图可知：

当"T时，函数y=〃x)的图像与直线…没有交点，故方程〃x)=a无解；

当时，函数y=/(x)的图像与直线y有2个交点，

故方程=a有2个解；

当。=-5或”20时，函数y=〃x)的图像与直线V=a有1个交点，

故方程〃力=。有1个解；

综上所述：当〃<-上0寸，方程/(x)=a无解；当a=-2或“20时，方程〃x)=a有1

e~e-

高频考点二：证明唯一零点(根)问题

1.(2022•山西省长治市第二中学校高二阶段练习)已知函数=

(1)若。=1,求f(x)的单调区间及相应区间上的单调性；

(2)证明:/(幻只有一个零点.

【答案】(1)递增区间是(-8,1-V^),(1+J5,+8),递减区间是(1；

(2)证明见解析.

(1)若。=1时，函数八万)=；/一/一》_],求导得/，*)=X2-2X-1,

由/'(X)=。，解得％=1—0,%=1+V5,

试卷第8页，共31页

当x<l-0或X>1+夜时，f'(x)>0,当1一0cxe1+短时,f\x)<0,

所以/(x)的递增区间是(-8,1-0),(1+a,+8),递减区间是(1-应,1+夜).

1丫3

(2)因f+x+l>0,则/。)=:/-“(/+工+1)=()等价于^2^------3a=0,

3JT+X+1

3-(工2+3+1)—/(2工+1)饕常落。，当且

令83=丁£石一3"'则g'(x)=

(x2+x+l)2

仅当x=0时取"=",

于是得g(x)在R上单调递增,

而g(3o+1)=-----中+"--------[(3a+1)-1]=Ga+D'/a+iyT1

(3a+l)2+(3a+l)+l(3a+l)2+(3tz+l)+l

------------------->0

(3a+l>+(3a+l)+l

(3a-1)3-[(3"1)3-1]

g(3a-l)=---------------------[(3a-l)-l]-2=

(3«-l)2+(3a-l)+l(3a-l)2+(3a-l)+l

142

-------;-------------2-2<——2=，<0

2-iT

(3«-l)+(3a-l)+l[(3”1)+]+(33

则存在唯一的x°e(3a-l,3a+l),使得g(%)=0,即函数g(x)有唯一零点,

所以y(x)只有一个零点.

2.(2022•陕西渭南•高二期末(文))已知函数/(力=如詈，aeR.

(1)若a=0,求/(x)的最大值;

(2)若求证：/(x)有且只有一个零点.

【答案】(1)-

e

(2)证明见解析

⑴若。=0,则〃6=竽其定义域为(0,+e),.♦•/'(力=上詈,

由1(力=0,得矛=6,

.•.当0<x<e时，/^X)>0；当x>e时，r(x)<0,

/(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+o>)上单调递减，

•■•/(xLx=/(e)=-；

⑵证明：“、|}+a)klnx-奴mx,

/㈤一

由(I)知(X)在(o,e)上单调递增,在(e,+8)上单调递诚,

VO<6T<1,

.•.当x>e时，〃力=皿坟Inxc

=a+--->a>0,

Xx

故.“X)在(e,+8)上无零点;

w八2、Inx+ar\nx

当0<尤<e时，/(x)=-------=a+——,

XX

・・・/(力在(O,e)上有且只有一个零点.

综上，/(x)有且只有一个零点.

3.(2022•广西玉林•模拟预测(文))已知函数/(x)=xlnx-4x,g(x)=；/+21nx+g.

(1)求函数f(x)的最小值；

(2)证明：函数/x)=/(x)+g(x)仅有一个零点.

【答案】(1)-e3

(2)证明见解析

(1)函数f(x)=xlnx-4x的定义域为(0,+<»),

贝iJ/'(x)=lnx—3=0,得x=e3,

当0<x<e3时，/。)<0,则函数/(x)在(0,/)上单调递减；

当x>e?时，r(x)>0,则函数/(x)在(原的)上单调递增；

所以当x=/时，函数fM取最小值/(e3)=eW-4e5=-e3.

17

(2)h(x)=(x+2)ln/+一厂9—4x+一,

22

22

函数力(X)的定义域为(0,+oo),且〃'(x)=lnx+—+x-3.设F(x)=lnx+-+x-3,

XX

rimc'/\12x2+x-2(x+2)(x-l)

贝I「尸(x)=----r+1=----S----=------：----(x>0).

XXX"X

当0<x<l时，F'(x)<0；当x>l时，F(x)>0,

即函数尸(x)在(0,1)上单调递减，在(1,止)上单调递增，

所以当x>0时，F(x)>F(l)=0(当且仅当x=l时取等号).

即当x>0时，/?(x)>0(当且仅当x=l时取等号).

所以函数力(x)在(0,+8)上单调递增，至多有一个零点.

因为人(1)=0,x=l是函数版月唯一的零点.

所以函数〃(x)=/(X)+g(x)仅有一个零点.

试卷第10页，共31页

高频考点三：根据零点(根)情况求参数

①利用最值(极值)研究函数零点(根)问题

1.(2022・重庆市万州第二高级中学高二阶段练习)已知函数/0)=/+3办2+公+4在

x=-l时有极值0.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)记g(x)=f(x)-2A+l,若函数g(x)有三个零点，求实数上的取值范围.

【答案】(1)/(X)=X3+6X2+9X+4(2)

(1)解：f'(x)=3x2+6ax+h,

因为函数/(x)=x，+3以2+匕x+4在x=-l时有极值0,

r(-i)=o3-6。+6=0

所以即

/(-i)=o，3。一〃+3=0'

a=2

解得

b=9'

经检验符合题意,

所以/(X)=X3+6x2+9x+4；

(2)解：由⑴得g(x)=V+6x2+9x-2&+5,

则g'(x)=3d+12x+9=3(x+l)(x+3),

当x>-l或x<—3时，g'(x)>0,当时,g'(x)<0,

所以函数g(x)在(F,-3)和上递增，在(-3,-1)上递减,

所以函数g(x)的极大值为8(-3)=-2&+5,极小值为8(-1)=-2%+1,

因为函数g(x)有三个零点,

—2k+5>0]5

所以

-2)t+l<022

即实数女的取值范围为?!)■

2.(2022・山东师范大学附中高二阶段练习)已知函数

(1)求函数“X)的单调区间;

(2)若函数y="x)-a(a为常数)有3个不同的零点，求实数a的取值范围.

【答案】⑴单调递增区间为(-1,2),单调递减区间为(F-1)和(2,+oo)(2)0〈”搞

(1)小)二41,定义域R,

e

•m「2+x+2_(x_2)(x+l)

[ex~ex，

由7>0可得由/'(犬)<0可得工>2或犬<-1.

；•函数的单调递增区间为(-1,2),

单调递减区间为(3,-1)和(2,m).

(2)函数〃x)在(-1,2)单调递增，在(一»,-1)和(2,+8)单调递减.

且当广-1或x=2时，/,(x)=0.

二的极大值为/(2)=j,/(%)的极小值为〃-1)=—e,

当x=-2时，/(x)=e2>—当xf+8时，-

由题意可知，

3.(2022•宁夏六盘山高级中学高二阶段练习(理))已知函数/(x)=a/-9x+l,«>0.

(1)若”=3,求函数f(x)的极值；

(2)若函数〃x)恰有三个零点，求实数。的取值范围.

【答案】(1)“X)的极大值为/(-1)=7,/(x)的极小值为/(1)=-5(2)0<«<108

(1)因为4=3,所以/(X)=3X3-9X+1,r(x)=9d-9

所以,当x<—1或x>l时，用x)>0；当一K1时,r(x)<0；

所以/(x)在(—1)和(1,—)单调递增，在单调递减，

所以/(x)的极大值为f(T)=7,/(x)的极小值为〃1)=-5；

(2)//(x)=3ar2-9=3(ar2-3),

当。>0时,令r(x)=o,则x=±旦

色或x>旧时，r(x)<o；

所以，当工<一,制x)>0；当-

a

试卷第12页，共31页

3,+8单调递增，在

所以/(X)在单调递减,

所以.“X)的极大值为/=6./-+1,

“X)的极小值为了

+1>0

又/(X)恰有三个零点，所以，,解得0<a<108.

+1<0

综上，。的取值范围为0<a<108.

4.(2022.北京丰台♦一模)已知函数/(x)=x>/a-x.

(1)当。=1时，求曲线y=/(x)的斜率为1的切线方程;

(2)若函数g(x)=/a)T恰有两个不同的零点，求。的取值范围.

【答案】(1)y=x(2)(3,+8)

(1)当a=1时，/(x)=x-jl-x(xW1),

所以八X)书.

令/'(x)=l,解得x=0.

因为/(0)=0,所以切点坐标为(0,0).

故切线方程为y=*.

(2)因为g(x)=xja-x-年(xWa),

所以/(©=苧生•

2\la-x

令g'(x)=O,解得x专

当时，由xWa,得加一3xN-“N0,

所以g，(x)N0，则g(x)在定义域(-co,a］上是增函数.

故g(x)至多有一个零点，不合题意，舍去.

当。>0时，随x变化g'(x)和g(x)的变化情况如下表:

2a

Xa

HOT8;

g'34-0—

2\/3a\fa-6a2a

g(x)单调递增单调递减

9-T

故g(X)在区间(TO,手)上单调递增，在区间(彳⑷上单调递减，

当尤=与时，g(x)取得最大值g(争=2岛，-6a.

若0<aV3时，g(争=3色喑史Uo,此时g(x)至多有一个零点；

若a>3时，g(争>0,又g(O)=g(a)=-与<0,

由零点存在性定理可得g(x)在区间(0,日)和区间(等,。)上各有一个零点，

所以函数g(x)恰有两个不同的零点，符合题意.

综上所述，。的取值范围是(3,+8).

5.(2022•广西桂林•二模(理))已知函数〃x)=(x-l)e*-gax2(aeR)

(1)讨论的单调性；

(2)若“X)有两个零点，求实数a的取值范围.

【答案】(1)答案见解析(2)a<0

⑴解:f\x)=ev+(x-l)eA-ax=x(eJ-a),

若〃WO,则当XG(F,0)时，f\x)<0,当%£(0,+a>)时

所以f(x)在(-%。)上单调递减，在(0,y)上单调递增；

若。>0,由/'(力=0得工=0或％=1加,

①若a=l,则/'(x)=x(e,-1"0,所以f(x)在(f”)上单调递增；

②若则InavO,当xe(YO,lna)50,+°o)时，f^x)>0；当xe(lna,O)时，

小)<0,

所以fM在(f,Ina)和(0,田)上单调递增，在(In«,())上单调递减；

③若”>1,则lna>0,当x€(-8,0)51na,+oo)时，盟x)>0：当xe(0,lna)时，f'(x)<0,

所以/*)在(-%0)和(Ina,+8)上单调递增，在(0,lna)上单调递减；

综上，当时，/5)在(-8,0)上单调递减，在(0,+«?)上单调递增：

当0VaV1时，/3)在(TO,Ina)和(0,+8)上单调递增,在(Ina,0)上单调递减；

试卷第14页，共31页

当a=l时，/(x)在(YO,+(，。)上单调递增；

当时，/(X)在(F,0)和(Ina,+:»)上单调递增，在(0,Ina)上单调递减；

(2)解：当a<0时，由(1)知，/*)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

X/(0)=-l<0,/(l)=-1a>0,取b满足0<-3且6<ln(—a),则

/(/?)>-a(b-\)-^ab-=^a(b2+2b-2)>0,

所以/(x)有两个零点；

当a=0时，令/(x)=(x-l)e*=0,解得x=0,所以,⑶只有一个零点；

当a=l时，令/(x)=x(e*-l)=0,解得x=0,所以f(x)只有一个零点；

当0<“<1时，由(1)知，/(x)在(-oo,lna)和(0,+<»)上单调递增，在(Ina,0)上单调递

减，

又/(0)=-1,当b=lna时，/(x)有极大值f(b)=a(b-l)-gaZ?=-ga(〃-26+2)<0,

所以/5)不存在两个零点；

当时，由(1)知，Ax)在(-8,0)和(lna,M)上单调递增，在(0,Ina)上单调递减,

当x=0时，f(x)有极大值〃0)=-1<0,所以f(x)不存在两个零点；

综上，a的取值范围为a<0.

②利用数形结合法研究函数的零点(根)问题

1.(2022.宁夏・银川二中高二期末(理))已知函数/(*)=I也n工

(1)填写函数Ax)的相关性质;

fM定义域值域零点极值点单调性

性质

(2)通过(1)绘制出函数/(A的图像，并讨论lnx=ar方程解的个数.

【答案】(1)详见解析(2)详见解析

(1)函数/(x)=手的定义域是(。,+8),

广(同=审，

当0<x<e时，/^x)>0,函数单调递增,

当x>e时，_f(x)<0,函数单调递减,

所以当x=e时，函数取得极大值，同时也是函数的最大值，/(e)=g,

当XfO时，/(x)fYO,当Xf+8时，/(x)->0,

函数的值域是‘8、，

/(司=手=0,得x=l,所以函数的零点是x=l,

极值

f(x)定义域值域零点单调性

点

单调递增区间(°述)，单调递

性

(0,+8)x=\x=e

质FT减区间(…)

(2)函数/")的图象如图,

InYInx

\nx=cix,即a=方程解的个数，即卜=。与丫=3的交点个数，

XX

当时，无交点，即方程lnx=ox无实数根；

e

当或a«O时，有一个交点，即方程lnx=ox有一•个实数根；

e

当时，有两个交点，即方程lnx=ar有两个实数根.

2.(2022・四川・阚中中学高二阶段练习(文))设函数/(X)=X3-6X+5,X&R.

(1)求函数F(x)的单调区间；

(2)若关于x的方程/食)=“有三个不等实根，求实数〃的取值范围.

【答案】(1)单调递增区间为(-如-夜)，(0，+8)；单调递减区间为(-0,a)

(2)5-40<a<5+4应

(1)由己知可得：f'(x)=3x2-6,令/'(x)=0,即3/—6=0,

试卷第16页，共31页

解得Xf=,X]=5/2,

所以当x>夜或x<_立时，r(x)>o,当一血时，r(x)<o.

所以fM的单调递增区间为(-8,_&),(0,+00):

单调递减区间为(-应,虚).

(2)由(1)可知y=/(x)的图象的大致走势及走向，如图所示，

又/(-⑹=5-40,/(V2)=5+472,

所以当5-4应<a<5+4&时，直线>与函数y=/(x)的图象有三个不同的交点，

方程/(幻=。有三个不等实根.

3.(2022•全国・信阳高中高三阶段练习(理))已知函数”x)=2«e'-x(aeR,e为自

然对数的底数).

(1)若/(乂)=0有两个不相等的实数根，求“的取值范围；

1,

【答案】(1)(0,—)；(2)

2e2

(1)当〃x)=0时，2a=W，令人(》)=则=

当x<l时，〃(x)>0,当x>l时，〃(x)<0,

于是得刈力在(—,1)上单调递增，在(1,物)上单调递减，且

观察图象知，当0<2。<二，直线丫=方与函数y=〃(x)的图象有两个公共点，即方程

e

/(x)=0有两个不相等的实数根，

所以。的取值范围是(0,4)・

2e

4.(2022•四川雕安中学高二阶段练习(文))己知函数〃6=丁+以2+加-2在x=-2

时取得极值，且在点(T，/(-l))处的切线的斜率为-3.

(1)求“X)的解析式；

(2)若函数y=/(x)-2有三个零点，求实数2的取值范围.

【答案】(1)〃X)=V+3X2_2(2)(-2,2)

(1)解：El^j/(-v)=x,+cve+bx-2,则/'(x)=3*2+2m:+Z>,

[f'(-2]=n-4a+b=0[a=3/、，,

由题意可得。i。、八」,解得，八，所以，/(X)=X3+3X2-2.

f(-\)-5-2a+b--3[6=0

当。=3,b=0时，f'(x)=3x2+6x,经检验可知，函数〃x)在x=—2处取得极值.

因止匕，/(力=丁+3/—2.

(2)解：问题等价于"x)=4有三个不等的实数根，求2的范围.

由/'(司=3/+6》>。，得x<-2或x>0,

由:(x)=3d+6x<0,得-2<x<0,

所以/(x)在(—,-2)、(0,+")上单调递增，在(-2,0)上单调递减，

则函数/(》)的极大值为/(-2)=2,极小值为/(0)=-2,如下图所示：

由图可知，当时，直线y=/l与函数“X)的图象有3个交点,

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因此，实数4的取值范围是(-2,2).

5.(2022•全国•模拟预测(理))已知函数/(x)=e2'+而'(aeR)

(1)讨论的单调性；

(2)设g(x)=a(I)e*+x2,若方程g(x)=/(x)有三个不同的解，求a的取值范围.

【答案】(1)详见解析(2)«<--e

e

(1)/'(x)=2e2x+aex=e'(2ex+a),

当aNO时，r(x)>0,函数在(YO,+O。)单调递增,

当a<0时，_f(x)=0,得x=ln[-£]

当时，r(x)<0,函数单调递减，

当xepn[-]}+8卜T，/彳》)>0,函数单调递增，

综上可知，当a20时，函数在(9,”)单调递增，

当a>0时，函数的单调递增区间是

函数的单调递减区间是j

(2)由/(x)=g(x),化简为eZ'V-are*,

x2-e2xxex

a=------=------

xexe*x

设设£=三，则6(。=.；,

f'(x)=h，当X>1时，Z(x)<0,函数单调递减，

当x<l时，«x)>o,函数单调递增，函数f=S的最大值[1)=；，

画出函数〃(。=一；的图象，由图可知丫=。与)，的交点对应的乙名，一正一负,

当乙<0,0<r<-W,对应的X值有3个，

2e

/7(。=._1在(0,+8)单调递增，当0<f,<，时，

te/e

所以a」-e

e

6.(2022•四川绵阳•二模(文))已知函数/(x)=lnx+l—or2(awR)

(1)当a=2时，求函数〃x)的单调区间；

(2)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数。的取值范围.

【答案】(1)递增区间是(0,g),递减区间是g,田)；

(2)或。40.

(1)当a=2时，/(x)=lnx+l-2/的定义域为(0,+8),求导得r(x)=2-4x=l二，

XX

当o<x<；时，ra)>o,当x>g时，ra)<o,则/(X)在(0,；)上单调递增，在g,+8)

上单调递减，

所以函数/(X)的递增区间是(0,；),递减区间是§,«»).

(2)函数/(x)=lnx+l-ar2(awR)的定义域为(0,+oo),则/(x)=0=a=融*.,

试卷第20页，共31页

令g(x)="匚，x>0,求导得：8，(》)=一生之土1,由烈工)=。得x_e《，

当0<x</时，g'(x)>。，当x>e6时，g'3<0,因此，g(x)在(0屋)上单调递增，

在+00)上单调递减，

则当x时，g")皿=g(e不)=|，且Vxe(eW+8)，g(x)>°恒成立，函数y=g(x)

的图象如图，

必

y=g(i)

函数/(x)有一个零点，当且仅当直线，=。与函数y=g0)的图象只有一个公共点，

观察图象知，当。=|或时，直线y=a与函数y=g(x)的图象只有一个公共点，

所以实数。的取值范围是：或440.

③构造函数研究函数零点(根)问题

1.(2022・江苏宿迁•高二期末)已知函数/(X)=e、(e为自然对数的底数)，g(x)=asinx

nn

(xe),a&R.

L22j

(1)若直线/：)，=右与函数〃x),g(x)的图象都相切，求a的值；

(2)若方程/(x)=g(x)有两个不同的实数解，求a的取值范围.

【答案】⑴"e；(2)(&/,』]•

(1)设曲线y=e’的切点坐标为(X[,e*),

由〃x)=e'n/(x)=e',所以过该切点的切线的斜率为e'，，因此该切线方程为：

y-9=炉(x-占)ny=炉x-e'N+e',因为直线/:y=依■与函数的图象相切，

”,fe"=k|X|=1

所以vv八0,，

-e'Xj+e1=01%=e

因为直线/：y=j与函数g(x)的图象相切，且函数g(x)过原点,

所以曲线y=asinx的切点为(0,0),于是有y=acosx,

B|Je=tzcos0=>6z=e；

(2)由/(x)=g(x)可得：ex=asinx»

当x=0时，显然e*=〃sinx不成立，

当kw-时，由e*=asinxna=—^—

L2八2」sinx

设函数〃(无)=/一，xe一下°〕江。4，

sinxL27\2.

，/、eA(sinx-cosx)

h\x)=-----------，

sinx

当xc-],())时，h(x)<0,

h(x)<0,〃(x)单调递减,

yr

当X£(0,—)时，/?(x)>0,

4

/?(x)v0,〃(x)单调递减，

当时，/幻＞0,

/7(x)>0,7z(x)单调递增,

因此当1£(0卷时，函数有最小值,最小值为//(—)=V2e4,

4

rr3

而力(])=展,当xf。时，y—>+co,函数图象如下图所示:

方程/(x)=g(x)有两个不同的实数解，

转化为函数力(x)=£和函数y=a的图象，在当xe「-g,o]u(o,g]时，有两个不同的

sinxL2，I2_

交点，由图象可知：

试卷第22页，共31页

故a的取值范围为(&/,/].

2.(2022•重庆南开中学高二期末)已知函数/(x)=xlnx,g(x)=x2+or+>

(1)若与g(x)在x=l处有相同的切线，求实数的取值;

(2)若匕=2时，方程/(x)=g(x)在(L—)上有两个不同的根，求实数。的取值范围.

【答案】⑴:二⑵(-3,-3+ln2)

[Z7=0

(1)设公切线与g(x)的图像切于点(l,l+a+b),g'(x)=2x+a,

=1+Inx=f'⑴=1，：nf(x)在。,0)处的切线为y=x-l,

1+。+/?=0(a=-\

由题意得:

2x1+67=1b=0

(2)当。=2时，/(^)=^(x)<=>xln¥=x2+ar+2,①

2

•/XG(1,-HX>),「.①式可化为为a=lnx-x一—,

X

令〃(x)=lnx-x-2=//(x)=!-1+W="+J+2

XXXX

令7?,(X)>O=>XG(1,2),<0=>x£(2,+oo),

.•/(X)在(1,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减.

/i(2)=ln2-3,/z(l)=-3,当工->+<»时，/z(x)--oo

「•由题意知：a£(—3,—3+ln2)

x

3.(2022・四川•成都七中高三阶段练习(理))已知函数/(幻=。*-1),g(x)=e(bx-l)9

awR.

(1)当匕=2时，函数y=/(%)-g(%)有两个零点，求。的取值范围；

(2)当人=。时，不等式/(x)〉g(x)有且仅有两个整数解，求。的取值范围.

2

3e

【答案】⑴ae(0,l)54e3,+8)；⑵”必一，°-

(1)当。=2时，g(x)=e'(2x-l),

由y=/(x)-g(x)=0得：f(x)=g(x),即q=e(2A-1)(XXD,