高考数学二轮复习 04 平面向量教学案 文

俞郃!亲iwSt

一.考场传真

1.【2013年全国高考新课标（I）】已知两个单位向量。，力的夹角为60，c=ta+（l-t）b,

若8・c=0,则/=.

【答案】2,

【解析】因为后E=£近+。一。施=0,故自+。一£）=0,故£=2.

2♦

2.【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】设。、E分别是AABC的边A8,8C上的点，

12

AD=-AB,BE=-BC.若。七=%AB+%AC（4,4为实数），则4+4的值是•

【答案】-

2

【解析】依题意，

小方+丽」乐+2交=1万+2（而一函=一」与+2而，

232363

1—«2―—―12121

・・・一一/8+_47=4/5+W（7,・,・4=——，%=-，故4+%=——+—=一.

6363632

AC._____________________________________

LDB

3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）】己知点A。,3）,3（4,—1）,则与AB

向量同方向的单位向量为（）

［答案】A

【解析】g=^i==2(3,-4)=(-,--),故选

\AB\巧X75、、55，

4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)】已知是单位向量，。2=0若

向量，满足卜则M的取值范围是()

A.[x/2-l„V2+l]B.[夜』，&+2]

C.[1„A/2+1]D.[1,,夜+2]

【答案】A

【解析】因为卜-白-4=1,1-(a+研=1,做出图形可知，当且仅当c与(4+否)方向相

反且「卜卜+闸=1时，卜|取到最大值；最大值为我+1；当且仅当c与(a+1)方向相同且

5+4-口=1时，口取到最小值；最小值为0—1.

5.【2013年高考新课标H数学卷】已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点，则AE-8D

【答案】2

【解析】以点3为原点，直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，则A(0,2),E(2,1),

D(2,2),

B(0,0),所以冠=(2,-1),而=(2,2),所以冠丽=2.

6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)】若非零向量满足

忖=3忖=1+2年则仍夹角的余弦值为.

【答案】--

3

【解析】等式平方得：gj=9同?=pf+4%+42.1则gj=同2+可同+4向阎cos氏

即0=41j+4.3时cos氏得cos8=-；.

[2013年全国高考统一考试天津数学卷】在平行四边形ABCD中，AD=1,ZBAZ>=60°,E

为切的中点.若ACBE=1,则48的长为

【答案】1

2

【解析】设A3的长为x,因为而=存+交，BE=BC+CE,所以而•丽=

(AB+BCy(BC+CE)=ABBC+ABCE+BC+BCCS=ix+x|cosl800-1-

x11

1-cosl20'=l,解得x=」，所以A3的长为上.

222

8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）】设《，02为单位向量，非零向量

兀IxI

b=xe+ye,x>y&R,若4，62的夹角为一，则」的最大值等于

}26\b\

【答案】2

【解析】此题考查了向量中最常用的一个结论，即=/,很多问题中要求向量的模都

是通过求向量的平方来求解的.此题中利用臼2=£求出|丁「，然后求出（曷）2的表达式,

最后利用函数最值的求法即可求出答案.由已知得到：

=|||2=(XA+V4)2引

72=x2+/+29x*=

|x|2

值为4,所以答案是二9.

[2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）】设a是已知的平面向量且aH0,关于

向量a的分解，有如下四个命题:

①给定向量方，总存在向量c,使。=6+，；

②给定向量b和c,总存在实数几和〃，使a=/lb+〃c；

③给定单位向量〃和正数〃，总存在单位向量c和实数2,使a=/^+〃c；

④给定正数4和〃，总存在单位向量b和单位向量c,使a=%b+〃c；

上述命题中的向量方，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定，易的②是对

的；以〃的终点作长度为〃的圆，这个圆必须和向量劝有交点，这个不一定能满足，③

是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须

|如|+必|=2+以之同，所以④是假命题综上，本题选3.

二.高考研究

1.考纲要求:掌握向量的加法和减法，掌握实数与向量的积，解两个向量共线的充要条

件，解平面向量基本定，解平面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向

量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处有关长度、角度和垂直问题，

掌握向量垂直的条件。

2.命题规律：平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的

线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常

与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中.

主干妗期艰

基础知识整合

1.平面向量的线性运算

法则

向量运算定义运算律

1或几何意义)

力卜

(1)交换律：

求两个向量和的运a

加法三角形法则㈡结合律：

算

(。+办)+。=。

平行四边形法则+iA+c

若Z>+x=a,则向量

x叫做a与。的差，个

a—。=〃+(一

遍法求两个向量差的运

i)

售，叫做向量的减三角形法则

法

(1)).a=/.a；

⑵当/>0时，勿的z.^a)=(/jz)a；

实数与向量a相方向与a的方向招(z+/z)a=/.a+

数乘乘，叫做向量的效同；当二<0时，々的:、Q;

乘方向与a的方向相/.(a+A)=/.a+

反；当.；.=0时，上a■b

=0

2.平面向量基本定和平面向量的坐标表示

(1)平面向量基本定

如果良,会是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且

只有一对实数小，小，使a=/I向+小金.

其中，不共线的向量a,会叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

(2)平面向量的坐标运算

向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a=(*i,必)，2>=(如㈤，则

a+b=(xi+x2»yi+y2),a-b—(X1—X2,,

儿a=(4xi,Ayj),+曲

(3)平面向量共线的坐标表示

设a=(x”yi),b=姓)，其中6#0.a〃从n小姓一生必=0.

3.平面向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a和6,它们的夹角为0,则数量labcos。叫做向量a和

6的数量积，记作

a,b=|a\Z)|cos0.

规定：零向量与任一向量的数量积为0.

(2)数量积的坐标表示：设向量a=(x”％),6=(x2,%),则热+力度，

高频考点突破

考点1平面向量的线性运算

【例1】【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试】如图，在A48C中，点。是6c边上靠

近3的三等分点，则AO=()

A.-AB--ACB.-AB+-AC

3333

C.-AB+-ACD.-AB--AC

3333

分析：利用向量加法和减法的三角形法则或平行四边形法则、数乘向量的定义对对向量进行

合并或分解.

解析：由平面向量的三角形法则，可得：AD=AB+BD,又因为点是8C边上靠近3的

___1____1____1___

三等分点，所以，AD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,所以选C.

3333

【规律方法】向量加法：“尾首相接，首尾相连”，向量减法：“共起点，连终点，指向被

减向量”.

【举一反三】【2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科】如图，在平行四边形

A8C。中，对角线4c与8。交于点O,AB+AD^AAO,则几=

【答案】2

【解析】如图，AB+AD=AC=2AO,所以;1=2,故埴二

考点2向量共线的充要条件

【例2】【南充市2014届高考适应性考试(零诊)试卷】已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),

OC=(2〃z,根+1),若AB//OC,则实数机的值为()

A.—B.一3C.—D.--

557

分析：先利用向量的线性运算通"3D,再利用向量平行的坐标表示列出关系式求出实数

m的值.

解析：由题意知益=方一5=|31),1=D溶,根+li,51AB/fOC,贝ij

3x(w+l)-lx2w=0.=-3.

【规律方法】向量二,3(晨8共线的充要条件是力=心，,用坐标表示就是

a=(xl,yi),b=(x2,y2)共线的充要条件是西%一%2)1=°-

【举一反三】【江苏省扬州中学2013—2014学年度第一学期月考高三数学】已知向量

a-(1-2x,2),

b=(2,-1),若7/3,则实数x=______.

【答案】-

2

【解析】

试题分析：因为向量a=。-2冗2),1=(2,-1),若则

(l-2x)x(-l)-2x2=0,2x=5,即x=2.

_______________2■

考点3平面向量的数量积

【例3】【无锡市市北高中2014届高三期初考试】已知。，仇c都是单位向量，且a+〃=c,

则a-c的值为.

分析：求两向量的数量积可以根据定义求解，也可建立平面直角坐标系，用坐标表示向量后，

用坐标求解.

解析：方法1：设方=2运=上则砺=3,如图所示，则三角形Q48是边长为1的正

三角形，所以a/=|a||c|cosNROB=lxlxcos60=；.

方法2：由a=。得。-c=T?,两边平方得a-2a.c+c=(-5)2,爻a,g,c都是单

位向量，所以有l-2a-c+l=1,所以a-c=L

2।

【规律方法】向量41b\c<osa,若a=(3,[x,则

11

a-h=tx1y—2.

【举一反三】【扬州中学2013—2014学年高三开学检测】己知正方形ABC。的边长为1,若

点E是AB边上的动点，则OE-DC的最大值为.

【答案】1

【解析】

试题分析：设|万耳=x,0VxVl,

DEDC=(DA+AE)DC=DADC+AEDC=0+xB:os0=x,所以比的

最大值为L业

点4求两向量的夹角

【例4】【广东省韶关市20914届高三摸底考试】若|口+BH之一3|=2|/|,则向量。+匕与

。的夹角为()

7t、兀八2%、54

A.—B.—C.——D.——

6336

分析：设向量£与£的夹角为夕则cos6=0+］尸=。由此可以看出解决

|以+8||以|2|a||a|

问题的关腱是求出ab,将|白+3|=|白-占|两边平方即得ab.

解析：|a+11=|a-K|»二・|a+否『二|以一I『，ab=0,\a-b\=2\a\>

/.|K|=V3|a|,

—AMA-A-2-*2

设向量a+8与a的夹角为氏cos&-0+?),="¥?=巴/,.o.0=60°

|以十例以|2⑷⑷2a2

n.A7o

【规律方法】cos<a/>=」*，a=|a|.

⑷网

【举一反三X江苏省南京市2014届高三9月学情调研】已知四边形ABC。是矩形，AB=2,

AO=3,£是线段BC上的动点，尸是CO的中点.若NAE广为钝角，则线段3E长度的

取值范围是.

【答案】(12).

【解析】法一：如下图所示，设B£=x,则0<x<3,由勾股定易得

AE=心炉+BE”=百+x?

=&+4,CE=3-x,CF=-CD=-x2=l,

22

EF=^CE2+CF2=J(3-x『+?=J/-6x+10,

AF=ylAD2+DF2=732+l2=府，由于ZAEF为钝角，则cosZAEF<0,则有

AE2+EF2-AF2

<0)BPIx2+4i+1x2—6x+101—10=2x^—6x+4<0>即x*-3x+2<0,解得

1<x<2；

法二：如下图所示，设8C=x,则0<x<3,以点8为坐标原点，BC、&4所在的直线

分别为x轴、y

轴建立平面直角坐标系工的，则如0,21,Eix,01,Fi3,11,

EA=i0,2i-lx,Oi=I-x,21,EF=

(3,l|-(x,0)=(3-x,l),乙4邸■是钝角,则旗丽<0,BP(-x：i(3-x：i+2xl<0,

整得

x2-3x4-2<0>解得l<x<2,且以、Es尸三点不共线，故有।3-xix2w(-xixl,

解得XH6.

考点5平面向量和三角函数的综合问题

【例5】【江苏省盐城市2014届高三年级第一学期期中考试】在AAfiC中，若

2tan>4

(CA+CB)AB^-\AB\1,则——=__________.

5tanB

7

【答案】-

3

【解析】

试题分析:

(CA+CBYAB=^\AB^CAAB+CB~AB=^\AB^

2

-6ccosJ4+^CCOS5=-c2=>5acosB-5bcosA=2c

5

=>5sinJ4COSB-5sinBcosA=2sinC5sinJ4COSB-5sinBcosA=2sin(j4+5)

5sinJ4COS5-5sin5cosA=2sincos54-2cos-i4sinB=

CAnrnAsinJ4cos57tan-47

3sinJ4COS5=7sinBcosA=---------=—=-----=—

sin5cosJ43tanB3

【规律方法】通过平面向量的坐标表示将向量问题转化为三角函数问题，或利用向量的夹角

和向量数量积的定义将向量问题转化为三角函数问题.

【举一反三】【江苏省扬州中学2013-2014期中考试模拟】设向量a=(cosa,sina),

h=(cos/3,sin(3),其中0<a<Q<"，若|&/?=|可一，则

/3-a-.

【答案】-

2

【解析】

试题分析：

|2a+否|=|a-两边平方化简得，3{a-K2)=-Aab,又a,后是单位向量，所以

ab=0即cosacos尸+sinasm尸=cos(尸一ar)=0.又Ova〈尸<不，所以

考点6平面向量和平面几何的综合问题

［例6］【江苏省兴化市2013~2014学年度第一学期期中考试高三】已知在AABC中，

AB=BC=3,AC=4，设。是AABC的内心，若AO=mAB+nAC,则

m:n=.

【答案】4:3

【解析】

试题分析：建立如图所示坐标系，3(2,下)，C(4,0),设。(2/),则懑.而=4+2岔，又

AB-AO=3x|AO|cosXBAO,所以3x|，0|cosN5AO=4+z/（1）»同，AC-^40=81

万.被=4x|万|cos/G4O,4x|初|cos/C4O=8（2）,根据（1）和（2）得£=孚,

2

2=2活+4%m=-

所以0(2,竽)，由40=M力3+附&7,得，?,所以^=1

24口-解得＜

3»3

~^~=75mn--

,10

【规律方法】平面向量本身就具有代数和几何的双重特征，与平面几何的综合问题是最自然

最常见的问题，在解题过程中要抓住图形的几何特征，充分利用几何元素的儿何性质解决问

题.

【举一反三】【河北衡水中学2013~2014学年度上学期二调高三数学试卷］在△［外所在平面

上有三点产、、，满足

P+A+,Q+A+,RA+RB+RC=CA,则APQ火的面积与

AA3C的面积之比为（）

A.1:2B.1:3C.1:4D.1:5

喀案】九

【解析】

A

由题意可得：PC=-2PA,QA=-2QB,RB=-2RC,如图，

111222

S.psc=-RCPCsmC=-x-BCx-ACsinC=-SkJiSC,同£皿=与皿

UTAJ22039IL/uqUJIJDJ

2

-§S^ABC

所以SA/C/S4Aget-⑸舞。+£必磔+$hQp)=^iMc_3x《S11Ase=-5kAsc'''•~~

¥3^hABC5

三.错混辨析

1.误把两向量数量积大于(小于)0当作两向量夹角为锐角(钝角)的充要条件

【例1】已知|。|=也,|切=3,。力的夹角为45°,当向量a+46与；1。+。的夹角为锐角时,

求实数X的取值范围.

【错解】23=区|国cos45°=3,因为向量2+必与£+1的夹角为锐角，所以

(a+.(a+3)>0>由(a+.(a+8)=2a+(Ji+1)<2-b+2>=12^+5>0>得

A>——,所以4的取值范围是(——,+©□)

1212

【正解】CJK=|<2||K|COS450=3,因为向量a+成与a+1的夹角为锐角，所以

(a+28)•(a+力)>0>由(a+45)•(a+力)=2a+(4+l)a,8+8=12^+5>0>得

A>-—,当向量a+需与a+1方向相同时，4=1,即当2=1时，虽然

12

@+花)而+易>0,但向量2+必与Z+1夹角为0°,所以；I的取值范围是

(-Aj)U(1,400).

2.忽视两向量夹角的概念导致错误

【例2】在413。中，AB=(1,G),BC=(3,0),则角8的大小为.

TD新317T

【错解】因为cos5=丝二—且3e(0,H),所以

-62x323

【正解】根据向壁的夹的定义，向壁右与灰的夹角应是角B补角，所以

COS（7F-3）=空"=3=L又不一8e（0,加，所以才一3=四，从而8=至

\AB\\BC\2x3233

2.忽视变量取值范围导致错误

[例3]如图在△｛直＞中，/物6M20。,力庐〃为BC边上一点，DC=ABD则

AO•BC的取值范围为.

【错解】ABAC=\AB\\AC\cosZBAC=-l,BC=AC-AB,

AD=AB+BD=AB+-L.BC=^-AB+-^-AC,

N+lN+lN+l

ADBC=-LAC2-^-AB2+^-1ABAC=^^=^—2,因为

4+14+1N+l4+1N+l

___77

DC=ABD,所以；le[O,l],当4=0时，—-一一2取最大值5,当；1=1时，———2取

2+1兄+1

最小值'3，所以—46—BC的取值范围为35]

t正解】存而=|与||而|cosN&4C=-l,BC=AC-AB,

AD=1B+BD=AB+—BC=—AB+—AC,

4+1N+l4+1

因为

N+14+1

_____7

DC=ABD,所以以e[0,xo）,当4=0时，干一2取最大值i,当；17地时,

73

指一2-—2取最小值所以AD-BC的取值范围为（一2,5]

原创预测

1.已知AA3C是边长为4的正三角形，O,P是AA3C内部两点，且满足AO=」(AB+4C),

4

AP=AD+-BC,则AAPD的面积为

8---------

【答案】.

4

【解析】

B0\c

以工为原点，以的垂直平分线为1y轴建立如图所示坐标系，由三角形边长为4得

5(-2,-273).C(2,-2&)，得通=」(与+而)=(0,-3),故D(0,-出),又由

4

AP=AD+IBC

8

=(0,-4)+1(4,0)=(1,—6),由图可知ZU产Z?的面积S=1x$x」=遂

82224

2.若G是A4BC的重心，ag,c分别是角A&c的对边，若aG4+8G8+日cGC=O,

则角A=()

A、90B、60C、45D、30

【答案】D

【解析】

由

aGA+bGB+—cGC=aGA+bGB+—c^-GA-GB\=(a-—c\GA+(b--c]GB=O>

33I3J[3)

,必与宓不共线，」.a-g=5一乌=0,.♦.。=3=旦,&48C中，由余弦定

333

可求得cos_i4=\叵，=

26

3.已知点。为锐角AABC的外心，AB=6,AC=1O,AO=xAB+yAC,且

lx+1Qv=f,则cosABAC=

【解析】

解法1：将AO=xAB+yAC两边同时与向量运作数量积得，

=xAB2+yABAC(V>

2

将N5=x通+1y前两边同时与向壁而作数量积得，=xABAC+yAC^

设说.而=z,并将|通|=6,|而|=10分别代入⑴，⑵得

18=36x+yz,50=zz+lOO^y,联立2x+10y=5,

解得x=1j=2_,z=20,即希•而=20,cosABAC=A-'A(\=-.

420|回口C|3

解法2：由而=xN^+1y/，^CO=xAB+(y-1)AC,两式两边分别平方得，

~AO=x2AS2+^~AC+2xyAB^AC(1)，

222

CO=X2AB+(y-l)2AC+2x(y-l)AF[MC(2),比较(1)与(2)得

(1-2y)AC-2x五缸记=0，再结合条件2x+10、=5及得AC=10,J3=6得

2Yr_I_l、_

^-xl00-2xxl0x6xcosZSi4C*=0»即x(l-3cosN氏4C)=0，因AASC是锐角三角形，

x#01所以cos/a4C=」

3

解法3：因山4BC是锐角三角形，所以而=x9+y而化为

—A0=^2x(^5A-B)+2y(-j1A--C-),

如图，设2次=冠，-AC=AF,则

22

|—^|=15,|—AF|=5,由条件知|2x+2^=l,

所以£,F,。三点共线，又由垂径定知

OFLAC,