概率论与数理统计考试题库及答案大全（三）

概率论与数理统计考试题库及答案

一、填空（每小题2分，共10分）

1.若随机变量X的概率分布为P^X~k^~C，化=1，2,3）,则c=

2.设随机变量工服从川2，P）,且以“一"9,则「=。

3.设随机变量工服从叫7，。则以X+l<0}=。

4.设随机变量工服从e（2）,则的=o

5.若随机变量X的概率分布为

才

XQ一穴

_____________2_______

P0.20.50.3

则少（sm£）=。

二、单项选择（每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小

题2分，共20分）

1.设及卜）与玛卜）分别是两个随机变量的分布函数，为使

F（x）=a&（x）-bF2（x）是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取

（）,

3

=-

2-

a=—b---a=--,b=一

(0595(022

24cosx

。（力=,2

2.设随机变量X的概率密度为.其它则工=（

7T

(⑷2(5)1

（。汗⑦0

3.下列函数为随机变量分布密度的是（）。

其它

(⑷0,

sinx,0<x/、[sinx,0<x<2n

PW=在一，PW=在一，

10,其它[o,其它

9

4.下列函数为随机变量分布密度的是（）。

㈤"行"

i1-

"标2⑷"R4

9

5.设随机变量X的概率密度为0（力，

=-x,则y的概率密度为（）。

（4-P3）㈤1-尹（-力

3P（P）

6.设X服从二项分布B（4P）,则（

⑷与2工-1）=2壁⑵以2工-1）=4壁（1-切+1

（0%工+1）=4型+1⑵0（2万-1）=4胸》

7.设X服ALV（O>4）,则/［工（£-2）］

（）,

（42㈤4

（。0（a1

1--

9（x）=--=e4（-00<x<+OD）

8.设随机变量X的分布密度为2、/力',则£注=（）。

（⑷2⑶1

⑷1/2（功4

9.对随机变量X来说，如果.EX手口X,则可断定2r不服从（）o

（⑷二项分布（用指数分布

正态分布（。泊松分布

10.设X为服从正态分布"（T2）的随机变量，则£（2X-1）=（）。

（⑷9（86

（6416-3

三、计算与应用题（每小题8分，共64分）

1.盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，直到

取到新球为止。

求抽取次数X的概率分布。

2.车间中有6名工人在各自独立的工作，已知每个人在1小时内有12分钟需用小吊车。

求（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？

（2）若车间中仅有2台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？

3.某种电子元件的寿命X是随机变量，其概率密度为

C

x>100

P（x）=,宗

0x<100

求（1）常数C；

（2）若将3个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用150小时后仍能正常工

作的概率。

X~M（300,352）

4.某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量X,且

求（1）这样的电池寿命在250小时以上的概率;

（2）a,使电池寿命在（30°—O'300+a）内的概率不小于0.9。

5.设随机变量2］。

求Y=产概率密度。

6.若随机变量X服从泊松分布，即X~F（4）,且知皈=2。

求「｛XN4｝。

p（x）=l/M（-00<x<400）

7.设随机变量X的概率密度为2

求EX和DXo

8.一汽车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与

其他信号灯为红或绿相互独立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以X表示该汽车未

遇红灯而连续通过的路口数。

求（1）X的概率分布；

(1

E

(2)U+x

四、证明题（共6分）

设随机变量X服从参数为2的指数分布。

证明：9=1-0名在区间（°，1）上，服从均匀分布。

试卷二

参考答案

一、填空

1.6

i：p{x=k}=i

由概率分布的性质有A-1

123,

-+-+-=1

CCC,

得c=6O

1

2.3

X〜3(2,p).则产｛工=灯=球"（1一力”估=0,1,2）

P{^>1}=1-P{Z=O}=1-(1-P)2

51

=—=p=—

93

3.0.5

•••里〜N(-l,4)

尸(X+l<0}=尸{X<-1}

=①[-1；!)=①(0)=0.5

1

4.2

•••X~e(2)

EX=~,DX=-

24

则EX”=DXZEXY

11

=—l—

44

1

~2

5.0.25

由题设，可设y=smX

p{y=0}=p{SmZ=0}=P{Z=0}4-{sinZ=^]=0.2+0.3=0.5

7T

产{y=l}=产{sin星=1}=产jx=51=o.5

即

Y01

P0.50.5

则£(r)=o.p{r=o}+ip{K=i}=o.5

S(r2)=02-P\Y=0}+l<P[Y=1}=0.5

D(y)=£(y2)-(£(r))2=0.5-0.52=0.25

二、单项选择

1.(C)

由分布函数的性质，知—(+00)=/(田)=旧(利=1

则a-b=\,经验证只有C满足，;选C

2.⑶

由概率密度的性质，有D(x"x=lNR/COSME=工=1

3.(⑷

8—犯

[p(x)dx=1=I2sinxdx=-cosxL2=1

由概率密度的性质，有,Job

4.(B)

P(x)=p2^2x+1)^=p1e-PH-D]^(2x+1)=1

由密度函数的性质，有Rj*25

5.(C)

丁=一亦是单减函数，其反函数为x=g(y)=_y,求导数得g'(y)=_i

;由公式，y=-x的密度为外⑶=。他»旭⑺卜十力

6.(D)

由已知X服从二项分布,则少X=%P(1—

又由方差的性质知，D(2X-1)=4中(1-P)

7.(5)

乃服从N(。，4)

EX=。,DX=A

于是E[X[X-2)]=EX2-2EX=DX-2EX=4

1

p(x)="---e(-co<x<+co)

8.C4)由正态分布密度的定义，有‘

1

由今)=-j=e*(-co<x<+co)=»、

诟2，=4=>『=2

9.⑦

♦.•猪月蹑泊惭布，则EX=DX=A

如果以*DX时，只能选择泊松分布.

10.(功

X为服从正态分布“(T,2),EX=-X

：.EQX-1)=-3

三、计算与应用题

1.解：

设X为抽取的次数

只有3个旧球，所以X的可能取值为：1，2，3,4

由古典概型，有

93

:.P{^=1}=—=-

i1124

p[X=2}=—x—=—

iJ121144

D"213299

-3)——x—x——-----

iJ121110220

t▼八32191

iJ1211109220

则

X1234

3991

P

4石220220

2.解：

设X表示同一时刻需用小吊车的人数，则X是一随机变量，由题意有

6*

8=0,1,…，6)

,于是

^o=[5+l)p[=7*三=1P(X-k]

(1)X的最可能值为L5」，即才既率气aF达到最大

的无o

(2)尸｛耽误工作｝=网丫＞2｝=1-产｛星42｝

=1-£7{工=，}

2-0

=1-云

1-0然)

=0.0989

3.解:

r-Ko--KoC

p(x)dx=1=—^dx=\

2

(1)由J-coeX可得C=100

(2)串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作

是相互独立的，因此，若用工表示“线路正常工作”，则

尸⑷=[尸(星＞150)了

而尸｛公咧化三公=|

以=300,cr=35

P{X>250}=l-P{Z<250}=1-<I>f2,°-3001

⑴I35)

=1-①卜3(•••①(T)=l一①⑶)

>250}=1-(1-<1>(1.428))

=纵1.428)(查正态分布表)

=0.9236

(2)由题意

nr”Vi1不/300+a-3001f300-a-300

产(300—《<X<300+以}=①------------J―①1------------

=①信卜①卜？

二2①⑥7

=0.9

1+0.9…

①fe)=--------=0.95

即2查表得4=57.75。

5.解：

x=g(y)=；

/又对应的函数丁=€筋

y=单调增加，其反函数为,求导数得

式，)《,

1,l<x<2

Px(x)

其它

又由题设知0,

1

e2

&(y)=Px[g(y)]|g'(»)|=,2y

故由公式知：0,其它

6.解：

才

•••X服从泊松分布尸(㈤，则产］工"}=看/住=0,12…)

苗EX=DX=&

由题设知EX2=2

即功+(因2=4+健=2

可得4=1

31

产(XN4)=1—尸(月<4)=1一X!小

故卜。为！

31

£—0.981

查泊松分布表得,*-o上！

=1-0,981

=0.019

7.解:

由数学期望的定义知,取=匚中⑴办［匚/以=。

EX2=J：/p(x)dx=；J：/e-%x=J：7?e~^dx=2

而

故DX=EX2-{EX^=2

8.解：

(1)X的可能取值为°，1，2,3且由题意，可得

1

F{X=0}I=­

111

产]丫=1}=-X-=-

224

1111

P[X=2}=—X—X—=—

2228

尸{X=3}=

(2)由离散型随机变量函数的数学期望，有

xP{^=0}+—xP{^=l}+—xP{^=2}+—xP{^=3}

1+X

22438

67

96

四、证明题

证明：

由已知工服从才徽分布e(2)则

又由y=l-e-2Z得y=l-e-2”连续，单调，存在反函数

…京(1-田且九,

当x>0时，ln(l-y)〈o则0。<1

故p?(y)=^[g(y)]o|sV)l

=，0,其它

即y服从(0」粕均匀分布L/(a1)

试卷三

一、填空(请将正确答案直接填在横线上。每小题2分，共10分)

1.设二维随机变量(X’，)的联合分布律为，

Y

X

11

0—a

42

11

1b一

32

则a=b=

2.设随机变量x和y相互独立，其概率分布分别为,

X-11Y-11

1111

PP

2222

则尸｛工=门=

若随机变量x与y相互独立，且脚耐w（b9）,y服从N（z⑹,

3.

则x+y服从.分布.

4.已知x与y相互独立同分布，且

X01

P0.10.9

则/（k）=.

5.设随机变量X的数学期望为瓦忆=%、方差=则由切比雪夫不等式有

P［\X-u\>2a｝

二、单项选择（在每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每

小题2分，共20分）

A

P(x,y)

若二维随机变量（*'，）的联合概率密度为(1+巧(1+力

1.

'沙>°）,则系数工=（

(x>0).

24

（心7T/

2

917T

设两个相互独立的随机变量尤和y分别服从正态分布N（°’1）和凶0,1）,则下列结

2.

论正确的是（).

尸（£+丫=0）=（p{^+r<i}=l

㈤

产｛星TV。｝毛（a>0）

（功

1

。（冗丁）——e-2-

3.设随机向量（才，方的联合分布密度为2力"则（).

(⑷（/,Y）服从指数分布（5）¥与丫不独立

（0Xg7相互独立（功cov（/,与*0

设随机变量与Y相互独立且都服从区间［］上的均匀分布，则下列随机变量中服从均

4.X0,1

句分布的有（).

(心](5)X+Y

GGM⑦X-Y

P(X=-1)=P(Y=—1)=

5.设随机变量X与随机变量P相互独立且同分布，且

p(z=i)=p(y=i)=l

2,则下列各式中成立的是().

产(x=y)=4p(Y-Yy-\F(x+y=o)=：P{XY=X)=\

(42(。产(3-丫)一】(04(。)4

6.设随机变量x，y的期望与方差都存在，则下列各式中成立的是().

(4E(X+Y)=EX+EY⑷E[XY}=EX-EY

©D[X+Y)=DX+DY(aD{XY)=DXDY

7.若随机变量y是x的线性函数，¥="x+"(a>°)且随机变量X存在数学期望与方差,

则X与¥的相关系数%=().

(aa⑵a2(00(91

8.设(X,Y)是二维随机变量，则随机变量;？=x+y与，=x-y不相关的充票条件是

().

(心EX=EY

㈤EX2-{EXy"=EY2-{EY^

(©EX2+(EX)i=EY2+(EY^

(aEX2=EY2

9.设苞，匕，…，凡是正个相互独立同分布的随机变量，咯="，

0晶=4G=l,2「d)

_1»

x=~Xxip[\x-u\<3\

则对于ni-l，有U1J(

4

<A<-

9

(49%5

>-

>1-—-9

(09«

10.设…，X*，…，为独立同分布随机变量序列，且x(/=1,2,…)服从参数为人

<i>(x)=J*__g2di

的指数分布，正态分布〃(0,1)的密度函数为—J2",则().

4Nw-小

(A)hmPi”「——<x>=<3>(x)(B)hmP\'T厂—Sx\=<i>(x)

X

ZX-

(C)limP<------<x>=<i>(x)(D)limP<---------<x

»->8内一nA

三、计算与应用题（每小题8分，共64分）

1.将2个球随机地放入3个盒子，设x表示第一个盒子内放入的球数，y表示有球的盒子

个数.

求二维随机变量（*'y）的联合概率分布.

设二维随机变量（£，）的联合概率密度为

x>0,y>0

p(x，y)=\

u,其它

(1)确定幺的值：

(2)求产｛0VX41>0«%2).

设（“'，）的联合密度为

3.

<15x60cxey<1

P（x，y)=

o,其它

（1）求边缘密度Px（x）和Py（丁）；

（2）判断x与y是否相互独立.

设出，）的联合密度为

4.

1

x>1,y>l

p（x,y）=<表2

.0，其它

z=£

求Y的概率密度.

设万服从均匀分布皿Z4]y服从寸瞰分布e（2）,且X与y相互独立

5.>

求（1）（名丫）的联合概率密度；

⑵E（2X+4Y）；

⑶D（X-2Y）

设（区，）的联合概率密度为

P（x,y）=<京卜+力0<x<2,0<y<2

0,其它

求cov（X,Y）及Pxi.

7.对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4,标准差是1.5.

求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率.

8.抽样检查产品质量时，如果发现次品数多于10个，则认为这批产品不能接受.

问应检查多少个产品才能使次品率为10%的这批产品不被接受的概率达0.9.

四、证明题（共6分）

设随机变量X的数学期望存在，证明随机变量X与任一常数匕的协方差是零.

试卷三

参考解答

一、填空

1,1

a=一，D——

1.46

由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得

111

«——————

244

,111

b--------------

236

1

2.2

P[X=Y}=P{X=-1,y=—1}+尸]工=1,7=1}

N[3,25)

3.

方（吊+外，

,/相互独立的正态变量之和仍服从正态分布彳+引

且5(X+y)=£X+£Y=l+2=3

D[X+Y)=DX+DY=9+\6=25

..X+丫口曾(3,25)

4.0.81

...虱XY)=EXxEY=(嘀

=(0x01+1x0.9)2

=0.81

<2

5.4

^P[\X-u\>2cr]<^

2

-4

二、单项选择

1.（。

由匚［>（，，"诚=1n台『沙

“汗汗”"4

Ax—x—=1—/A=—z-

即227T

.•.选择⑻.

2.(B)

由题设可知，》+y1纵正态分布N(I>2)

故将X+P标准化得尸(X+FW1}

心)

二①⑼

-2

.，.选择(用.

3.(6)

1_

•由p(xj)==e2知，k0,则cov(X,Y)=0

27r

故x,y相互独立.

二选择(0.

4.(。

随机变量x与y相互独立且都服从区间［o,1］上的均匀分布，则

fl,0<x,^<l

P(XJ)=Px(外灯⑶)=<0其它

选择(0.

5.(4

■:产(X=r)=P{X=1)P(Y=1)+产(X=-l)P(K=-l)

11111

=—x—+—x—=—

22222

二选择（4.

6.（心

•.•由期望的性质知

E[X+Y）=EX+EY

选择（4.'

7.（0

EXY-EXUEY,小

P=

XI4DX^4DY（）

_EX[aX-^b）-EXnE（aX+b）

4DXU^D{aX-^b）

aUDX

\a\DX

=1

，选择(0.

8.㈤

E7=x+y与/=x_y不相关的充要条件是c°v(u,r)=o

即S[[X+Y)(X-Y)-]-E(X+Y)E(X-Y)=O

则EX2-{EX^=EY2-{EY^

：.选择㈤.

9.(。

DX=，

'：n

呻-小33一竽

=l-±

9n

选择(0.

10.(⑷

■:X；(/=1,2,…)服从参数为人的指数分布，则

名4=＜，。£'=仃=』0=12…㈤

AA

£x「nEX

lim"上——=—zL—4x：y(x)

i・crj福

选择(4.

三、计算与应用题

1.解

显然X的可能取值为°，L2；y的可能取值为1,2

注意到将2个球随机的放入3个盒子共有32种放法，则有

YT2

『

巴X=O-y=-

y9

Y2I2

日

网XO-

=-尹=9,F(星=1,Y=l)=0

得

G□第

X1

-1Y=-4

3~9

P[X=2,Y=l}=5=[,P[X=2,Y=2}=0

即(x,y)的联合分布律为

'12

Y

X

2.解

(D由概率密度的性质有

匚口回队力

=/17伞+%的

=可「产出『日的

=A-与厂产d(-3x)x(-4re"d(-4y)

A

"12

=1

可得工=12

⑵设入{(X，刃0&让1，。=”2},则

P{O<^r<l,0<Y<2}=P[(X,K)eD)

="P(x，yyxdy

D

=1%-3到：4产力

=卜"3寸：/〃”

"-邙J

3.解

⑴PY(X)=J=P(x，y^y(0<x<l)

=，15X为力=-^-x2(1一，)

7、—x2(l-x2),0<x<1

Px(x)=|2')

即.°，其它

一式刃=1_8小加x(Q<7<1)

y

=J；15/ydx==5/

0

/、J5yt0

即打(加10.其它

(2)当o<X<1，0<1时

2151y(x,y)

故随机变量x与y不相互独立.

4.解

z=£z=£

先求Y的分布函数F(z)显然,

随机变量y的取值不会为负，因此

当zMO时,f(z)=，{ZMz}=0

F(z)=P[Z<z}=

当z>0时，P"

=f[P(x,加xdy

iZ

y

L力I沙然z21

=<

jr°力『-J2dx,0<z<1

zxy

1---,z>1

=<2z

—,0<z<1

2

z=£

故Y的概率密度为

0,z<0

Pz(z)=,0<z<1

1

〔歹z>\

5.解

(1)x与y相互独立

(x,，)的联合密度为

二产，2<x<4,y>0

p(x，丁)=P*6)口外(切=\0,其它

⑵E{2X+4Y)=2EX+AEY

c2+4，1

=2x-----+4x-

22

=8

(3)D(X-2Y)=DX+4DY

44

—F-

124

_4

~3

6.解

r-•KKOr-K»2

EX

=JwJwyp^y

21,\

=北n切；*+。灿

2

=(【：功(gr+g/y)

0

128

=Jqr+21y)力

MM力

0

7

6

EX2=jJx,(x,y)dxdy

也M*x+型

=睁。/+//

2

=ifo^^x++5^

b

=S：(4+|力力

=：("+》)

86o

5

~3

c057

2、11

DX=EX-(EXY=-

于是336

EY=-

由对称性6