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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数的虚部为()A.—1 B.—3 C.1 D.22.设是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点,使(为坐标原点),且,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.3.已知双曲线满足以下条件:①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合;②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q,且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点.则双曲线的离心率是()A. B. C. D.4.函数的部分图象如图所示,则()A.6 B.5 C.4 D.35.已知函数,不等式对恒成立,则的取值范围为()A. B. C. D.6.己知抛物线的焦点为,准线为,点分别在抛物线上,且,直线交于点,,垂足为,若的面积为,则到的距离为()A. B. C.8 D.67.某三棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为,则该三棱锥外接球的表面积为()A. B. C. D.8.若,则实数的大小关系为()A. B. C. D.9.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,且,则该双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.410.设命题函数在上递增,命题在中,,下列为真命题的是()A. B. C. D.11.已知抛物线:,点为上一点,过点作轴于点,又知点,则的最小值为()A. B. C.3 D.512.如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE.,异面直线SC与OE所成角的正切值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若,则的最小值是______.14.在正奇数非减数列中,每个正奇数出现次.已知存在整数、、,对所有的整数满足,其中表示不超过的最大整数.则等于______.15.若满足,则目标函数的最大值为______.16.函数f(x)=x2﹣xlnx的图象在x=1处的切线方程为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)若,,求函数的单调区间;(2)时,若对一切恒成立,求a的取值范围.18.(12分)已知函数(1)求函数的单调递增区间(2)记函数的图象为曲线,设点是曲线上不同两点,如果在曲线上存在点,使得①;②曲线在点M处的切线平行于直线AB,则称函数存在“中值和谐切线”,当时,函数是否存在“中值和谐切线”请说明理由19.(12分)已知满足,且,求的值及的面积.(从①,②,③这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.)20.(12分)某百货商店今年春节期间举行促销活动,规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动,随着抽奖活动的有效开展,参与抽奖活动的人数越来越多,该商店经理对春节前天参加抽奖活动的人数进行统计,表示第天参加抽奖活动的人数,得到统计表格如下:123456758810141517(1)经过进一步统计分析,发现与具有线性相关关系.请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;(2)该商店规定:若抽中“一等奖”,可领取600元购物券;抽中“二等奖”可领取300元购物券;抽中“谢谢惠顾”,则没有购物券.已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为,获得“二等奖”的概率为.现有张、王两位先生参与了本次活动,且他们是否中奖相互独立,求此二人所获购物券总金额的分布列及数学期望.参考公式:,,,.21.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)设直线与曲线相交于两点,的顶点也在曲线上运动,求面积的最大值.22.(10分)如图,在四棱锥中,是边长为的正方形的中心,平面,为的中点.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
对复数进行化简计算,得到答案.【详解】所以的虚部为故选B项.【点睛】本题考查复数的计算,虚部的概念,属于简单题.2.D【解析】
利用向量运算可得,即,由为的中位线,得到,所以,再根据双曲线定义即可求得离心率.【详解】取的中点,则由得,即;在中,为的中位线,所以,所以;由双曲线定义知,且,所以,解得,故选:D【点睛】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质,难度一般.3.B【解析】
由已知可求出焦点坐标为,可求得幂函数为,设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率.【详解】依题意可得,抛物线的焦点为,F关于原点的对称点;,,所以,,设,则,解得,∴,可得,又,,可解得,故双曲线的离心率是.故选B.【点睛】本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般.4.A【解析】
根据正切函数的图象求出A、B两点的坐标,再求出向量的坐标,根据向量数量积的坐标运算求出结果.【详解】由图象得,令=0,即=kπ,k=0时解得x=2,令=1,即,解得x=3,∴A(2,0),B(3,1),∴,∴.故选:A.【点睛】本题考查正切函数的图象,平面向量数量积的运算,属于综合题,但是难度不大,解题关键是利用图象与正切函数图象求出坐标,再根据向量数量积的坐标运算可得结果,属于简单题.5.C【解析】
确定函数为奇函数,且单调递减,不等式转化为,利用双勾函数单调性求最值得到答案.【详解】是奇函数,,易知均为减函数,故且在上单调递减,不等式,即,结合函数的单调性可得,即,设,,故单调递减,故,当,即时取最大值,所以.故选:.【点睛】本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式,参数分离求最值是解题的关键.6.D【解析】
作,垂足为,过点N作,垂足为G,设,则,结合图形可得,,从而可求出,进而可求得,,由的面积即可求出,再结合为线段的中点,即可求出到的距离.【详解】如图所示,作,垂足为,设,由,得,则,.过点N作,垂足为G,则,,所以在中,,,所以,所以,在中,,所以,所以,,所以.解得,因为,所以为线段的中点,所以F到l的距离为.故选:D【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识,属于中档题.7.C【解析】
作出三棱锥的实物图,然后补成直四棱锥,且底面为矩形,可得知三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球,然后计算出矩形的外接圆直径,利用公式可计算出外接球的直径,再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.【详解】三棱锥的实物图如下图所示:将其补成直四棱锥,底面,可知四边形为矩形,且,.矩形的外接圆直径,且.所以,三棱锥外接球的直径为,因此,该三棱锥的外接球的表面积为.故选:C.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积,解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图,并分析三棱锥的结构,选择合适的模型进行计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.8.A【解析】
将化成以为底的对数,即可判断的大小关系;由对数函数、指数函数的性质,可判断出与1的大小关系,从而可判断三者的大小关系.【详解】依题意,由对数函数的性质可得.又因为,故.故选:A.【点睛】本题考查了指数函数的性质,考查了对数函数的性质,考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时,底数相同,则构造对数函数,结合对数的单调性可判断大小;若真数相同,则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小;若真数和底数都不相同,则可与中间值如1,0比较大小.9.A【解析】
由倾斜角的余弦值,求出正切值,即的关系,求出双曲线的离心率.【详解】解:设双曲线的半个焦距为,由题意又,则,,,所以离心率,故选:A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,属于基础题10.C【解析】
命题:函数在上单调递减,即可判断出真假.命题:在中,利用余弦函数单调性判断出真假.【详解】解:命题:函数,所以,当时,,即函数在上单调递减,因此是假命题.命题:在中,在上单调递减,所以,是真命题.则下列命题为真命题的是.故选:C.【点睛】本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.11.C【解析】
由,再运用三点共线时和最小,即可求解.【详解】.故选:C【点睛】本题考查抛物线的定义,合理转化是本题的关键,注意抛物线的性质的灵活运用,属于中档题.12.D【解析】
可过点S作SF∥OE,交AB于点F,并连接CF,从而可得出∠CSF(或补角)为异面直线SC与OE所成的角,根据条件即可求出,这样即可得出tan∠CSF的值.【详解】如图,过点S作SF∥OE,交AB于点F,连接CF,则∠CSF(或补角)即为异面直线SC与OE所成的角,∵,∴,又OB=3,∴,SO⊥OC,SO=OC=3,∴;SO⊥OF,SO=3,OF=1,∴;OC⊥OF,OC=3,OF=1,∴,∴等腰△SCF中,.故选:D.【点睛】本题考查了异面直线所成角的定义及求法,直角三角形的边角的关系,平行线分线段成比例的定理,考查了计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.8【解析】
根据,利用基本不等式可求得函数最值.【详解】,,当且仅当且,即时,等号成立.时,取得最小值.故答案为:【点睛】本题考查基本不等式,构造基本不等式的形式是解题关键.14.2【解析】
将已知数列分组为(1),,共个组.设在第组,,则有,即.注意到,解得.所以,.因此,.故.15.-1【解析】
由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.【详解】由约束条件作出可行域如图,化目标函数为,由图可得,当直线过点时,直线在轴上的截距最大,由得即,则有最大值,故答案为.【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.16.x﹣y=0.【解析】
先将x=1代入函数式求出切点纵坐标,然后对函数求导数,进一步求出切线斜率,最后利用点斜式写出切线方程.【详解】由题意得.故切线方程为y﹣1=x﹣1,即x﹣y=0.故答案为:x﹣y=0.【点睛】本题考查利用导数求切线方程的基本方法,利用切点满足的条件列方程(组)是关键.同时也考查了学生的运算能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)单调递减区间为,单调递增区间为;(2)【解析】
(1)求导,根据导数与函数单调性关系即可求出.(2)解法一:分类讨论:当时,观察式子可得恒成立;当时,利用导数判断函数为单调递增,可知;当时,令,由,,根据零点存在性定理可得,进而可得在上,单调递减,即不满足题意;解法二:通过分离参数可知条件等价于恒成立,进而记,问题转化为求在上的最小值问题,通过二次求导,结合洛比达法则计算可得结论.【详解】(1)当,,,,令,解得,当时,,当时,,在上单调递减,在上单调递增.(2)解法一:当时,函数,若时,此时对任意都有,所以恒成立;若时,对任意都有,,所以,所以在上为增函数,所以,即时满足题意;若时,令,则,所以在上单调递增,,,可知,一定存在使得,且当时,,所以在上,单调递减,从而有时,,不满足题意;综上可知,实数a的取值范围为.解法二:当时,函数,又当时,,对一切恒成立等价于恒成立,记,其中,则,令,则,在上单调递增,,恒成立,从而在上单调递增,,由洛比达法则可知,,,解得.实数a的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题,考查了分类与整合的解题思想,涉及分离参数法等技巧、涉及到洛比达法则等知识,注意解题方法的积累,属于难题.18.(1)见解析(2)不存在,见解析【解析】
(1)求出函数的导数,通过讨论的范围求出函数的单调区间即可;(2)求出函数的导数,结合导数的几何意义,再令,转化为方程有解问题,即可说明.【详解】(1)函数的定义域为,所以当时,;,所以函数在上单调递增当时,①当时,函数在上递增②,显然无增区间;③当时,,函数在上递增,综上当函数在上单调递增.当时函数在上单调递增;当时函数无单调递增区间当时函数在上单调递增(2)假设函数存在“中值相依切线”设是曲线上不同的两个点,且则曲线在点处的切线的斜率为,.令,则,单调递增,,故无解,假设不成立综上,假设不成立,所以不存在“中值相依切线”【点睛】本题考查了函数的单调性,导数的几何意义,考查导数的应用以及分类讨论和转化思想,属于中档题.19.见解析【解析】
选择①时:,,计算,根据正弦定理得到,计算面积得到答案;选择②时,,,故,为钝角,故无解;选择③时,,根据正弦定理解得,,根据正弦定理得到,计算面积得到答案.【详解】选择①时:,,故.根据正弦定理:,故,故.选择②时,,,故,为钝角,故无解.选择③时,,根据正弦定理:,故,解得,.根据正弦定理:,故,故.【点睛】本题考查了三角恒等变换,正弦定理,面积公式,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20.(1);(2)见解析【解析】试题分析:(I)由题意可得,,则,,关于的线性回归方程为.(II)由题意可知二人所获购物券总金额的可能取值有、、、、元,它们所对应的概率分别为:,,,.据此可得分布列,计算相应的数学期望为元.试题解析:(I)依题意:,,,,,,则关于的线性回归方程为.(II)二人
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