等比数列的概念+教案高二年级下册数学人教A版（2019）选择性必修第二册

教学内容等比数列的概念

理解等比数列及等比中项的概念.

教学目标

掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题.

学

1数学抽象：等比数列的概念

核心素养

习

2逻辑推理：等比数列通项公式的推导

目

3数学运算：等比数列通项公式的运用

标

4数学建模：等比数列的函数特征

5数据分析：学习等比数列的概念，同时探究等比数列通项公式的推

导方法，提高学生数学判断的能力，以及参与数学活动的能力

学习重点等比数列、等比中项的概念、等比数列的通项公式

学习难点等比数列通项公式的推导和运用

课时安排一课时

教学方法类比学习

《等比数列》是人教A版数学选择性必修第二册第四章的内容。本节是数列这一章的一

教材分析个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，而且公式推导过程中蕴涵的类

比、化归、分类讨论、整体变换和方程思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数

学素养。

等比数列是另一个常见的简单数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比

数列的定义，导出通项公式，给出等比中项的概念，进而研究图象，最后是通项公式的

应用。

学习过程

教学环节教学设计学情设计意图

预设

课刖活动

通过与等差数

我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它

列进行类比，引

的前一项的差都等于同一个常数”。类比等差数列的研究思

导学生通过观

路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值

察、分析、归纳

得研究的？出等比数列的

1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：定义。发展学生

数学抽象、数学

2310

9,9,9,...,9;@运算、数学建模

100,ioo2,ioo3,...,ioo10；@的核心素养。

5,52,53,…，51°.③

2.《庄子・天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭

如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，

每天得到的“锤”的长度依次是

2'4'8'16'32'…匚7

3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min

创就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，

设各次分裂产生的后代个数依次是

情2,4,8,16,32,64,...⑤

境思考：请同学们仔细观察以上五个数列，类比等差数列的研

究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？

你发现了什么规律？

如果用表示数列①，那么有

也=9,也=9,…，3=9.

取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项比都等于9.

共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个

常数。

探究：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你

能抽象出等比数列的概念吗？

等差数列等比数列通过与等差

如果一个数列从第二项如果一个数列从第二数列中项性质

起，每一项与它的前一项的差项起，每一项与它的前的类比，获得等

都等于同一个常数，那么这个一项的比都等于同一个比数列中项的

数列就叫等差数列。常数，那么这个数列就性质。发展学生

常数叫做等差数列的公差。叫等比数列。逻辑推理、数学

公差通常用字母d表示。常数叫做等比数列的公比抽象和数学建

模的核心素养。

an-an_r=d(neN*_Sn>2)公比通常用字母q表示。

=q(nGN*且rt>2)

知41-1

识观察并判断下列数列是否是等比数列，是的话，指出公比，

不是的话请说明理由：

整

(1)1,2,4,8,...

(2)4,-8,16,-32,64,...

理

(3)5,5,5,5,5,...

(4)0,1,2,4,8,...

(5)2,0,2,0,2,...

思考：

(1)等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？

(2)常数项是等差数列吗？是等比数列吗？

常数列是等差数列，公差为0;

非零常数列是等比数列，公比为1

(3)是否存在既是等差数列又是等比数列？

非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0,

公比为1.

(4)q>0时，等比数列各项的符号有何特点？q<0时呢？

q>0时，等比数列各项符号和首项al保持一致；

q<0时，等比数列各项符号正负间隔，

奇数项和偶数项分别同号。

探究：类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？

等差数列等比数列

由三个数46组成最简单由三个数a,G,b组成等

的等差数列，这时，4叫做a比数列，那么G叫做a与b的

与。的等差中项.根据等差数等比小项.此时，G2=ab.

列定义可知，24=a+b.

注意：若a,b同号，则有两个等比中项；若a,b异号，

则无等比中项。

练习：

1、已知三个数4,X,16成等比数列，贝UX=(B)

A.±8B.8C.±4D.4

2、已知各项均为正数的等比数列｛a/满足

aia5=i6,a2=2则1,公比q=2

探究3：类比等差数列的通项公式，你能根据等比数

列的定义推导它的通项公式吗？设置练习

题将理论用

不完全归纳法于实际的解

等差数列等比数列题，进一■步巩

固......

因为即=+d因为=alQ

03=02+d=a1+2dci3=。2q=a1q2

3

%=%+d=%+3da4=a3q=arq

nr

所以a九=+(n—l)d所以an=arq~

等差数列(累加法)等比数列(累乘法)

02a1—d,=q

ai

0302=d，=q

a2

。4。3—d,

……2=q(n>2)

an-l

a九a?!_i=d(riN2)

将上述(n-1)个式子相加得

an—ar=(n—l)d(n>2),

所以an=+(ji—l)d(n>2)

设一个等比数列｛a九｝的公比为q根据等比数列的定

义，可得/+1=册(7

a九

=q

为1-1

所以%=q,—=q,—=q,=q

。2。31

左右两侧分别依次相乘化简得到a陞=>2)

n-1

an—a1g(n>2)

说明：

1.通项公式由内和公比q完全确定，一旦一个等比数列的首

项和公比确定，该等比数列就唯一确定了。

2.通项公式中涉及的、n、q、an四个量，已知其中三个

量，通过解方程，便可求出第四个量。

例1若等比数列的第4项和第6项分别为48和12,

求｛%｝的第5项.

解法1：

由a4=48,a6—12,得

典

3

(a1q=48,①

例1GtiQ5=12.②

讲

②的两边分别除以①的两边，得

解

Q2=7.解得q=：或—J.

4N2

把q=3代入①，得a1=384.此时=aiq"=384x

例题巩固

©4=24.

等比数列的任

把4=-称代入①，得知_=—384.此时a=aq4=

5r意一项都可以

4

-384x(-1)=-24.由该数列的某

因此，口"的第5项是24或-24.一项和公比表

解法2：示.

因为a5是与的等比中项，所以

2

a5—a4a6=48x12=576.

所以a5=±V576=±24.

因此，｛每｝的第5项是24或-24.

变式练习：若48和12分别是第4项和第8项，求第6项。

注意：等比中项还要关注项的关系，奇数项的符号相同，

偶数项的符号相同。

1.｛an｝为等比数列,a3a4a5a6a7=32,那么劭=学

2.已知等比数列｛a九｝,a>0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,则

n生

。3+=

课