2024-2025学年高中数学 第3章 三角恒等变形 3 第2课时 半角的正弦、余弦和正切（教师用书）教案 北师大版必修4

2024-2025学年高中数学第3章三角恒等变形3第2课时半角的正弦、余弦和正切（教师用书）教案北师大版必修4主备人备课成员课程基本信息1.课程名称：高中数学——三角恒等变形

2.教学年级和班级：高中一年级4班

3.授课时间：2024年10月17日

4.教学时数：1课时（45分钟）

二、教学目标

1.学生能够理解半角正弦、余弦和正切的定义和性质。

2.学生能够运用三角恒等变形公式进行计算。

3.学生能够运用所学的知识解决实际问题。

三、教学内容

1.半角正弦、余弦和正切的定义和性质。

2.三角恒等变形公式的运用。

四、教学过程

1.导入：通过复习全角正弦、余弦和正切的定义和性质，引导学生思考半角正弦、余弦和正角的定义和性质。

2.新课讲解：讲解半角正弦、余弦和正切的定义和性质，并通过示例进行演示。

3.课堂练习：布置练习题，让学生运用三角恒等变形公式进行计算。

4.练习讲解：讲解学生练习过程中出现的问题，巩固所学知识。

5.课堂小结：总结本节课所学内容，提醒学生注意相关公式的运用。

五、课后作业

1.巩固半角正弦、余弦和正切的定义和性质。

2.运用三角恒等变形公式解决实际问题。

六、教学评价

1.课后收集学生的练习成果，对学生的学习情况进行评价。

2.在下一节课开始时，进行课堂提问，了解学生对知识的掌握情况。核心素养目标1.逻辑推理：通过半角正弦、余弦和正切的定义和性质的学习，培养学生运用逻辑推理能力，理解并掌握三角恒等变形的基本原理。

2.数学建模：培养学生运用所学生三角函数知识，解决实际问题，提升数学建模的核心素养。

3.数据分析：通过课堂练习和课后作业，培养学生运用数据分析能力，对三角函数公式进行运用和处理。

4.数学运算：培养学生熟练运用三角恒等变形公式进行数学运算的能力，提高学生数学运算的核心素养。学情分析我校高中一年级4班的学生，在学习三角恒等变形这一章节之前，已经学习了三角函数的基本概念、图像和性质，对三角函数有了初步的了解。在学习态度上，大部分学生对数学学科有浓厚的兴趣，学习积极性较高。在学习方法上，学生们能够通过课堂学习和课后复习，逐步掌握所学知识。

然而，在学习层次上，学生之间的知识基础和接受能力存在一定的差异。部分学生对三角函数的理解不够深入，对一些基本概念和性质的掌握不够牢固。在能力方面，部分学生在数学运算和逻辑推理方面存在一定的困难。在素质方面，学生的数学素养和思维能力各有不同，对数学学科的兴趣和积极性也有所区别。

在行为习惯方面，大部分学生能够按时完成作业，积极参与课堂讨论。但也有部分学生存在拖延做作业、课堂注意力不集中等问题，这对课程学习产生了一定的影响。针对这种情况，我在教学中需要关注学生的个体差异，针对不同层次的学生制定合适的教学策略，引导他们积极参与课堂活动，提高学习效果。

针对学生的学情分析，我在教学过程中需要注重以下几点：

1.针对学生知识基础的差异，我会在课堂上进行复习提问，确保学生对基础知识的理解和掌握。

2.针对学生在能力和素质方面的差异，我会通过设置不同难度的题目，让学生在练习中提高自己的能力。

3.针对学生行为习惯的差异，我会加强课堂管理，提高课堂纪律，营造良好的学习氛围。

4.针对学生的兴趣和积极性，我会通过生动的讲解和实际的例子，激发学生对数学学科的兴趣。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段1.教学方法：

（1）讲授法：通过系统的讲解，使学生了解和掌握半角正弦、余弦和正切的定义和性质，以及三角恒等变形的基本方法。

（2）讨论法：组织学生进行小组讨论，分享学习心得和解决问题的方法，培养学生合作学习和思考问题的能力。

（3）实践法：让学生通过实际操作，运用三角恒等变形公式解决实际问题，提高学生的实际操作能力和解决问题的能力。

2.教学手段：

（1）多媒体设备：利用多媒体设备，展示三角函数的图像和性质，直观地演示三角恒等变形的过程，帮助学生更好地理解和掌握知识。

（2）教学软件：运用教学软件，进行互动式教学，激发学生的学习兴趣和主动性，提高教学效果。

（3）网络资源：利用网络资源，为学生提供丰富的学习材料和实践案例，拓宽学生的知识视野，提高学生的学习兴趣和自主学习能力。

（4）课后练习：布置课后练习题，让学生巩固所学知识，通过自主学习，提高自己的数学素养和能力。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。

-设计预习问题：围绕半角正弦、余弦和正切的定义和性质，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。

-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解半角正弦、余弦和正切的定义和性质。

-思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解半角正弦、余弦和正切的定义和性质，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过故事、案例或视频等方式，引出半角正弦、余弦和正切的定义和性质，激发学生的学习兴趣。

-讲解知识点：详细讲解半角正弦、余弦和正切的定义和性质，结合实例帮助学生理解。

-组织课堂活动：设计小组讨论、角色扮演、实验等活动，让学生在实践中掌握三角恒等变形技能。

-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：积极参与小组讨论、角色扮演、实验等活动，体验三角恒等变形的应用。

-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解半角正弦、余弦和正切的定义和性质。

-实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握三角恒等变形技能。

-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解半角正弦、余弦和正切的定义和性质，掌握三角恒等变形技能。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据半角正弦、余弦和正切的定义和性质，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

-提供拓展资源：提供与半角正弦、余弦和正切的定义和性质相关的拓展资源（如书籍、网站、视频等），供学生进一步学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的半角正弦、余弦和正切的定义和性质。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

为了帮助学生更深入地理解半角正弦、余弦和正切的定义和性质，以及三角恒等变形的相关知识，提供以下拓展阅读材料：

-《数学年鉴》：查阅数学年鉴中关于半角正弦、余弦和正切的定义和性质的条目，了解这些数学概念的起源和发展历程。

-《数学分析》：阅读数学分析相关书籍，深入了解三角函数的解析性质，进一步掌握三角恒等变形的方法和技巧。

-《数学教育学报》：查阅数学教育学报中关于三角形函数教学的文章，了解三角形函数教学的方法和策略，以及如何提高学生的学习效果。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究

为了让学生在课后能够自主学习和探究，可以布置一些与本节课内容相关的课后任务和项目。以下是一些建议：

-课后作业：布置一些与半角正弦、余弦和正切有关的课后作业，让学生通过自主学习巩固所学知识。

-研究项目：鼓励学生选择一个与三角恒等变形相关的课题进行研究，通过查阅文献、收集数据和分析结果，提高学生的研究能力和创新能力。

-数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如全国中学生数学奥林匹克竞赛等，通过竞赛提高学生的数学水平和解决问题的能力。

-数学社团：鼓励学生加入数学社团，参与数学沙龙和讲座等活动，拓宽知识视野，提高数学素养。重点题型整理1.题型一：半角正弦、余弦和正切的定义和性质

-例题1：已知sinA=3/5，求cosA和tanA的值。

-例题2：已知cosB=4/5，求sinB和tanB的值。

-例题3：已知tanC=2/3，求sinC和cosC的值。

-例题4：已知sinD=5/7，cosD=6/7，求tanD的值。

-例题5：已知cosE=7/9，sinE=8/9，求tanE的值。

2.题型二：三角恒等变形公式的运用

-例题1：已知sinA=3/5，cosA=4/5，求sin2A和cos2A的值。

-例题2：已知sinB=5/7，cosB=6/7，求sin2B和cos2B的值。

-例题3：已知tanC=2/3，求sin2C和cos2C的值。

-例题4：已知sinD=5/7，cosD=6/7，求sin2D和cos2D的值。

-例题5：已知sinE=8/9，cosE=7/9，求sin2E和cos2E的值。

3.题型三：解决实际问题

-例题1：一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米，求这个长方形的对角线长度。

-例题2：一个三角形的两边分别是6厘米和8厘米，求这个三角形的第三边的长度。

-例题3：一个直角三角形的斜边长是10厘米，求这个直角三角形的两条直角边的长度。

-例题4：一个圆的半径是5厘米，求这个圆的周长和面积。

-例题5：一个正方形的边长是10厘米，求这个正方形的对角线长度。

4.题型四：三角恒等式的证明

-例题1：证明：sin2A=2sinAcosA。

-例题2：证明：cos2A=cos^2A-sin^2A。

-例题3：证明：tan2A=2tanA/(1-tan^2A)。

-例题4：证明：sinA+cosA=2sin(A/2)cos(A/2)。

-例题5：证明：cos^2A+sin^2A=1。

5.题型五：三角函数图像的绘制

-例题1：绘制y=sinx的图像，并解释图像的特点。

-例题2：绘制y=cosx的图像，并解释图像的特点。

-例题3：绘制y=tanx的图像，并解释图像的特点。

-例题4：绘制y=cscx的图像，并解释图像的特点。

-例题5：绘制y=secx的图像，并解释图像的特点。作业布置与反馈八、作业布置与反馈

1.作业布置：

根据本节课的教学内容和目标，布置适量的作业，以便于学生巩固所学知识并提高能力。具体作业布置如下：

（1）完成课本上的练习题，包括半角正弦、余弦和正切的定义和性质的题目，以及三角恒等变形公式的运用题目。

（2）解决实际问题题目，如长方形、三角形、直角三角形和圆的周长、面积、对角线长度的计算。

（3）三角恒等式的证明题目，如sin2A=2sinAcosA，cos2A=cos^2A-sin^2A等。

（4）绘制三角函数图像的题目，如y=sinx，y=cosx，y=tanx等的图像，并解释图像的特点。

2.作业反馈：

及时对学生的作业进行批改和反馈，指出存在的问题并给出改进建议，以促进学生的学习进步。具体作业反馈如下：

（1）对于半角正弦、余弦和正切的定义和性质的题目，检查学生是否能够正确理解和运用这些定义和性质，指出学生在计算过程中的错误和不足之处，并给出正确的解题方法和步骤。

（2）对于解决实际问题的题目，检查学生是否能够运用所学的三角函数知识解决实际问题，指出学生在计算过程中的错误和不足之处，并给出正确的解题方法和步骤。

（3）对于三角恒等式的证明题目，检查学生是否能够正确理解和运用这些恒等式，指出学生在证明过程中的错误和不足之处，并给出正确的证明方法和步骤。

（4）对于绘制三角函数图像的题目，检查学生是否能够正确绘制这些图像，指出学生在绘制过程中的错误和不足之处，并给出正确的绘制方法和步骤。教学反思本节课是关于半角正弦、余弦和正切的定义和性质，以及三角恒等变形公式的运用。在教学过程中，我采用了讲授法、讨论法和实践法等教学方法，以激发学生的学习兴趣和主动性。同时，我充分利用了多媒体设备和教学软件等现代化教学手段，提高了教学效果和效率。

在课前自主探索环节，我通过在线平台和微信群发布了预习资料和预习问题，让学生提前了解本节课的内容。在课中强化技能环节，我通过讲解知识点、组织课堂活动和解答疑问等方