5.4数系的扩充与复数的引入答案

5.4数系的扩充与复数的引入课标要求精细考点素养达成1.通过方程的解,认识复数;理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义2.掌握复数代数表示式的四则运算,了解复数加减运算的几何意义3.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示,了解复数的代数表示与三角表示之间的关系,了解复数乘除运算的三角表示及其几何意义复数的概念通过对复数概念的理解,培养学生数学抽象的核心素养复数的代数运算通过复数的几何意义,培养学生直观想象的核心素养复数的几何意义通过复数的代数运算,培养学生数学运算的核心素养1.(概念辨析)关于复数z,下列叙述正确的有().①若zi=1,则z=i;②任何两个复数都不能比较大小;③实数没有共轭复数;④复数32i的实部是3,虚部是2.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案A解析对于①,因为zi=1,所以z=1i=ii对于②,当两个复数为实数时,这两个复数可以比较大小,故②不正确;对于③,实数的共轭复数是它本身,故③不正确;对于④,复数32i的实部是3,虚部是2,故④不正确.所以正确的命题个数为1.2.(对接教材)计算-1+2iA.1232i B.12+32iC.3212i答案B3.(对接教材)在复平面内,一个正方形的3个顶点对应的复数分别是1+2i,2+i,0,则第4个顶点对应的复数为().A.1+2i B.1+3iC.3i D.12答案B解析复数1+2i,2+i,0所对应的点分别是A(1,2),B(2,1),O(0,0),由题意可知OA⊥OB,正方形以OA,OB为邻边.设另一点为D(x,y),则OA=(1,2),BD=(x+2,y1),OA=BD,所以x+2=1,y-1=2,解得4.(易错自纠)已知复数z=(2sinα1)+i(i为虚数单位),则“z为纯虚数”是“α=π6A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案B解析当α=π6时,z=2sin若z为纯虚数,则2sinα1=0,所以sinα=12,所以α=π6+2kπ或α=5π65.(真题演练)(2023·新课标Ⅰ卷)已知z=1−i2+2i,则zzA.i B.iC.0 D.1答案A解析因为z=1−i2+2i=(1-i)(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i复数的概念典例1(1)(多选)(2024·江苏扬州期初模拟)已知复数z=12i,则下列说法正确的是().A.复数z的实部是1,虚部是2B.复数z的模为5C.复数z·z=5iD.复数z是方程x22x+5=0的一个根(2)(多选)(2023·湖南长郡中学调研)设z1,z2是复数,则下列命题中为真命题是().A.若|z1z2|=0,则z1=z2 B.若z1=z2,则C.若|z1|=|z2|,则z1·z1=z2·z2 D.若|z1|=|z2|,则z答案(1)BD(2)ABC解析(1)因为复数z=12i,所以复数z的实部是1,虚部是2,A错误;|z|=12+(-2)z·z=(12i)·(1+2i)=1+4=5,C错误;因为(12i)22(12i)+5=14i42+4i+5=0,即复数z是方程x22x+5=0的一个根,D正确.(2)对于A,若|z1z2|=0,则z1z2=0,即z1=z2,所以z1=z对于B,若z1=z2,则z1和z2互为共轭复数,所以z1=z对于C,设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,a1,a2,b1,b2∈R,若|z1|=|z2|,则a12+b12=a22+b22,z1z1=a12+对于D,若z1=1,z2=i,则|z1|=|z2|为真,而z12=1,z22=1,所以解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.训练1(1)(多选)下列四个命题中正确的是().A.若x,y∈C,则“x+yi=1+i”的充要条件是“x=y=1”B.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数C.若z12+z22=0,则zD.当m=4时,复数lg(m22m7)+(m2+5m+6)i是纯虚数(2)(多选)(2023·江苏赣榆中学月考)下列命题中,真命题有().A.若复数z1=z2,则z1z2B.若复数z1,z2满足|z1|=|z2|,则z1=z2或z1=C.若复数z1=z2,则|z1|=|z2D.若复数z1,z2满足z1+z2∈R,则z1∈R且z2∈R答案(1)BD(2)AC解析(1)取x=i,y=i,则x+yi=1+i,但不满足x=y=1,故A错误;∀a∈R,a2+1>0恒成立,所以(a2+1)i是纯虚数,故B正确;取z1=i,z2=1,则z12+z22=0,但z1=z2=0不成立,故C错误;当m=4时,复数lg(m2(2)对于A,设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,所以z2=cdi,由于复数z1=z2,则a=c,b=d,所以z2=abi,则z1·z2=(a+bi)(abi)=a2+b对于B,若z1=z2或z1=z2,则满足|z1|=|z对于C,设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,复数z1=z2,则a=c,b=d,则|z1|=|z2对于D,设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,复数z1,z2满足z1+z2∈R,故b+d=0,所以z1∈R且z2∈R不一定成立,故D错误.复数的几何意义典例2(1)(2024·福建第一次质量检测)已知复数z满足(1+i)z2i=3,则z对应的点位于().A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)(2023·江苏通州中学质检)已知复数z满足|z+i|=|zi|,则|z+1+2i|的最小值为().A.1 B.2C.3 D.5答案(1)A(2)B解析(1)因为(1+i)z2i=3,则z=3+2i1+i=(3+2i)(1-i)(1+i)(1-i)因此,z对应的点位于第一象限.(2)设复数z在复平面内对应的点为Z,因为复数z满足|z+i|=|zi|,所以由复数的几何意义可知,点Z到点(0,1)和(0,1)的距离相等,所以在复平面内点Z的轨迹为x轴,又|z+1+2i|表示点Z到点(1,2)的距离,所以问题转化为x轴上的动点Z到定点(1,2)距离的最小值,所以|z+1+2i|的最小值为2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.训练2(1)已知向量OZ1对应的复数是54i,向量OZ2对应的复数是5+4i,则OZ1A.10+8i B.108iC.0 D.10+8i(2)已知复数z满足|z+i|+|zi|=2,那么|z3|的取值范围为.

答案(1)C(2)[3,10]解析(1)因为向量OZ1对应的复数是54i,向量OZ2对应的复数是5+4i,所以OZ1=(5,4),OZ2=(5,4),所以OZ1+OZ2=(5,(2)设z=x+yi(x,y∈R),由|z+i|+|zi|=2可得|x+(y+1)i|+|x+(y1)i|=2,即x2+(y又点(0,1),(0,1)之间的距离为2,所以|z+i|+|zi|=2表示z对应的点的轨迹是以(0,1),(0,1)为端点的线段.|z3|=(x-3)2+y2故|z3|的取值范围为[3,10].复数的代数运算典例3已知复数z1=(ia)2,z2=43i,其中a是实数.(1)若z1=iz2,求实数a的值;(2)若z1z2是纯虚数,a是正实数,求4z1z2解析(1)因为z1=(ia)2,z2=43i,z1=iz2,所以(ia)2=a212ai=3+4i,从而a2-1=3,-2(2)依题意得z1z2==(=4=(4a因为z1z2是纯虚数,所以4a又因为a是正实数,所以a=12当a=12时,z1=i-122=34因为i1=i,i2=1,i3=i,i4=1,…,i4n+1=i,i4n+2=1,i4n+3=i,i4n=1(n∈N),所以4z1z2+4=(i)+(i)2+(i)3+(i)4+…+(i)1003=(i1+i+1)+[(i)5+(i)6+(i)7+(i)8]+…+[(i)1001+(i)1002+(i)1003]=0+0+…+(i1+i)=1,所以4z1z2+4z1复数的乘法:复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算.复数的除法:除法的关键是分子和分母同乘以分母的共轭复数.训练3已知复数z=(1+i(1)求复数z的模|z|;(2)若z2+az+b=1+i(a,b∈R),求a+b的值.解析(1)z=(1+i)2+3(1−i(2)因为z2+az+b=1+i,所以(1i)2+a(1i)+b=1+i,所以(a+b1)(a+3)i=0,所以a+b=1.实系数方程在复数中的运用实系数一元二次方程在复数集C中解的情况:设一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R且a≠0).(1)当Δ=b24ac>0时,方程有两个不相等的实数根,x=-b(2)当Δ=b24ac=0时,方程有两个相等的实数根,x=-b(3)当Δ=b24ac<0时,方程有两个不相等的虚数根,x=-b注意:(1)实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在复数集中恒有解;(2)若实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在复数集中有虚根,则虚根成对出现(互为共轭虚数);(3)根与系数的关系依然适用,即不论Δ的正负,恒有x1+x2=ba,x1x2=c(4)对于任意二次三项式都有ax2+bx+c=a(xx1)(xx2)(a≠0),其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两个复数根;(5)两个虚数共轭的充要条件是两个虚数的和、积都是实数;(6)复系数一元二次方程根与系数的关系依然适用,但不能根据判别式判断解的情况,且虚根通常也不是成对出现(非共轭),通常利用复数相等的方法来求解.典例已知方程x2+x+p=0(p∈R)的两个根是x1,x2,若|x1|+|x2|=3,求p的值.解析当p≤14时,方程x2则x1+x2=1,又|x1|+|x2|=3,则两个实数根为异号根,则|x1x2|=3,x1x2=p,则(x即(-1)2-4当p>14时,方程x2令x1=-1+4p-1i2,x2=-1-又|x1|+|x2|=3,所以|x1|=32则-122+4p-1综上,p的值为94或求解复数集上的方程的方法(1)设z=x+yi(x,y∈R),化归为实数方程来解决(化归思想).(2)把z看成一个未知数(而不是实部和虚部两个未知数),用复数的性质来变形求解(整体思想).(3)对二次方程,直接用一元二次方程的求根公式(求解公式法).训练若1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则c=.

答案3解析因为实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个虚根为1+2i,所以其共轭复数12i也是方程的根.由根与系数的关系知,(1+所以b一、单选题1.若复数(a+i)(1ai)=2,a∈R,则a=().A.2 B.1C.1 D.2答案C解析因为(a+i)(1ai)=aa2i+i+a=2a+(1a2)i=2,所以2a2.在复平面内,(1+3i)(3i)对应的点位于().A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案A解析因为(1+3i)(3i)=3+8i3i2=6+8i,所以该复数在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限.3.(2024·江苏海安期初质量检测)设z=2−4iA.3i B.3+iC.13i D.1+3i答案A4.(2023·江苏淮安中学质检)下列命题正确的是().①若复数z满足z2∈R,则z∈R;②若复数z满足iz∈R,则z是纯虚数;③若复数z1,z2满足|z1|=|z2|,则z1=±z2;④若复数z1,z2满足z1z2=|z1|2且z1A.①③ B.②④C.①④ D.②③答案B解析对于①,令z=i,满足z2=1∈R,而z∉R,故①不正确;对于②,令复数iz=a,a∈R,则z=1对于③,令z1=2+i,z2=2i,满足|z1|=|z2|=5,显然z1≠z2且z1≠z2,故③不正确;对于④,令复数z1=c+di,c,d∈R,c2+d2≠0,由z1z2=|z1|2,得z2=|z1|2z1=c2+二、多选题5.(2023·山东德州一中质检)设i为虚数单位,复数z=(a+i)(1+2i),则下列命题正确的是().A.若z为纯虚数,则实数a的值为2B.若z在复平面内对应的点在第三象限,则实数a的取值范围是-C.实数a=12是z=z(zD.若z+|z|=x+5i(x∈R),则实数a的值为2答案ACD解析复数z=(a+i)(1+2i)=(a2)+(2a+1)i.对于A,当a=2时,z为纯虚数,故A正确;对于B,由z在复平面内对应的点在第三象限,可得a-2<0,2a对于C,共轭复数z=(a2)(2a+1)i,若z=z,需满足2a+1=2a1,可得a=12对于D,由z+|z|=x+5i,即2a+1=5,可得a=2,故D正确.6.(2024·江苏南通期初质量检测)任何一个复数z=a+bi(其中a,b∈R)都可以表示成:z=r(cosθ+isinθ)的形式.法国数学家棣莫弗发现:zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈N*),我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息,下列说法正确的是().A.|z2|=|z|2B.当r=1,θ=π3时,z3C.当r=1,θ=π3时,z=12D.当r=1,θ=π4,且n为偶数时,复数zn答案AC解析对于A,z2=(a+bi)2=a2b2+2abi,故|z2|=(a2-b2)2又因为|z|2=(a2+b2)2=a2对于B,当r=1,θ=π3时,由棣莫弗定理得,z3=cosπ所以选项B错误;对于C,当r=1,θ=π3时,由棣莫弗定理得,z=cosπ3+isinπ3=1所以z=123对于D,当r=1,θ=π4时,由棣莫弗定理得,zn=cosπ4+isinπ当n=4时,z4=cosπ+isinπ=1,此时不为纯虚数,所以当n为偶数时,复数zn不一定为纯虚数,所以选项D错误.三、填空题7.(2023·广东梅州检测)写出一个同时满足下列条件的复数:z=.①|z|=5;②复数z在复平面内对应的点在第四象限.

答案z=34i(答案不唯一)解析不妨令z=34i,则|z|=32+(-4)8.如果复数z满足|z+i|+|zi|=2,那么|z+4+2i|的最大值是.

答案5解析设z=x+yi,x,y∈R,则x2+(变形为x2+(y+1)2两边平方后得x=0,将x=0代入x2+(得|y+1|+|y1|=2,故1≤y≤1,则|z+4+2i|=(=16+(当y=1时,|z+4+2i|=16+(注:也可用几何法.四、解答题9.已知复数z1=1i,z2=4+6i,i为虚数单位.(1)求z1(2)若复数z=1+bi(b∈R)满足z+z1为实数,求|z|.解析(1)因为复数z1=1i,z2=4+6i,所以z1z2=1−i4+6i=(1-(2)因为复数z=1+bi(b∈R),z1=1i,所以z+z1=2+(b1)i(b∈R),因为z+z1为实数,所以b=1,所以z=1+i,则|z|=2.10.已知复数z1=a+i,z2=1ai(a∈R,i是虚数单位).(1)若z1z2在复平面内对应的点落在第一象限,求实数a的取值范围;(2)若z1是实系数一元二次方程x22x+2=0的根,求实数a的值.解析(1)因为z1z2=a1+(1+a)i,所以z1z2在复平面对应的点的坐标为(a1,1+a),又因为z1z2在复平面对应的点落在第一象限,所以a-1>0,(2)因为z1=a+i是方程x22x+2=0的根,所以(a+i)22(a+i)+2=0,即(a22a+1)+(2a2)i=0,所以a211.欧拉公式exi=cosx+isinx由瑞士著名数学家欧拉创立,该公式将指数函数