9.2.4总体离散程度的估计课件高一下学期数学人教A版

9.2用样本估计总体9.2.4总体离散程度的估计引入

上一节，我们学习了平均数、中位数和众数，它们为我们提供了一组数据的“中心位置”的重要信息，从而可以描述这组数据的集中趋势.但是在很多时候，仅仅知道了数据的“中心位置”是不够的，它不足以让我们作出有效的决策.例如

问题1：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：

甲：78795491074

乙：9578768677

如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况做出评价？

如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？

思考(1)：首先我们来看看，这两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数各为多少？甲：44577789910乙：5667777889

思考(2)：难道这两人的成绩真的就没有差别了吗？作出频数分布条形图试试？环数频率0.40.30.20.145678910O（乙）频率0.40.30.20.14

5

6

7

8

9

10O（甲）环数从条形图可以看出：甲的成绩比较分散,成绩波动幅度较大乙的成绩相对集中,成绩比较也相对稳定.因此，他们的射击成绩是存在差异的.那么，如何度量成绩的这种差异呢这就是我们本节课要着手解决的问题？甲：44577789910乙：5667777889知识探究(一)

问题2:

回到以上问题:

“甲的成绩比较分散,成绩波动幅度较大，乙的成绩相对集中,成绩比较也相对稳定”,

如何度量成绩的这种差异呢?

你能想到哪一些方法来度量数据离散程度呢？利用极差.甲命中环数的极差=10-4=6，

极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息,对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少.思考(1):你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗乙命中环数的极差=9-5=4.可以发现，甲的成绩波动范围比乙的大.

如果射击成绩很稳定，则大多数的成绩离平均成绩不会太远；如果射击成绩波动幅度很大，则大多数的成绩离平均成绩会比较远.因此，我们可以用各次射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度.思考(2):那么如何定义这种“平均距离”呢思考(3):为什么不用“总距离”呢

因为“总距离”与样本容量的关系很大，对于同一个总体，我们若抽取多个容量不同的样本，则用总距离可能会相差很大，因此用它来反映数据的离散程度意义不大，而平均距离则避免了这种问题.思考(4):”平均距离“中含有绝对值，运算不太方便，你能想个什么力法解决方差

方差和标准差

1.概念：

为什么？返回2.作用：

方差和标准差的作用相同，都反映了数据的离散程度或波动幅度(相对平均数)．

值越大，数据的离散程度越大，越不稳定；

值越小，数据的离散程度越小，越稳定．

但在解决实际问题中，一般多采用标准差.

思考(5)：方差和标准差的取值范围是什么？它们为0时，这组数据有什么特点？

注意：s2≥0,s≥0,其中当s2=s=0时，该数据中的各个数据相等.返回3.总体、样本的方差和标准差：

例1.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：

甲：78795491074

乙：9578768677

如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况做出评价？

如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？例析

解：

综上，如果甲和乙的平均成绩排在所有参赛选手中的前面，就选成绩稳定的乙选手，否则，可以选甲选手.

思考：在实际问题中，我们如何利用平均数据和标准差(或方差）？

标准差(或方差）刻画了数据离平均数波动的幅度大小，平均数和标准差一起也能反映数据取值的信息和分布规律.

例如，根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，我们可以计算出返回练习

1.某同学近5次考试的数学附加题的得分分别为

30,26,32,27,35，求这组数据的方差.解：这组数据的平均数为∴

首先应在乙、丙中选送

2.甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数及其方差

s2如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是(

)A.甲

B．乙

C．丙

D．丁解：∴

这组数据的方差为∴

最佳人选应选乙解：

由于原始数据无法知道，因此可用每一个区间的中点值来代表该组数据.3.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．求这类企业产值增长率的标准差的估计值.∴这类企业产值增长率标准差的估计值为0.17.

例2.在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差做出估计吗？知识探究(二)

解：

思考(1)：由本题中的三个方差，你能说说为什么要用分层随机抽样吗？

由于总样本方差比男生组和女生组的方差都更大，这说说明男女生身高的均值相差较大大，所以，用分层随机抽样的均值估计总体均值的效果会更好一些。思考(2)：你能说说计算分层随机抽样方差的方法和步骤吗？比例分配分层随机抽样方差的计算

返回练习

甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为60kg，方差为200kg2，乙队体重的平均数为70kg，方差为300kg2，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和标准差分别是什么？

解：知识探究(三)平均数、方差的性质练习

若

k1,k2,…,k8的方差为3，平均数为2，则(1)k1+3,k2+3,…,k8+3的平均数为_____，方差为____；(2))4k1,4k2,…,k8

的平均数为_____，方差为____；

(3)2(k1－3),2(k2－3),…,2(k8－3)的平均数为____，方差为____.返回课堂小结

５.如何利用样本的方差和标准差来估计总体的方差和标准差？２.如何理解极差，方差和标准差对数据进行比较和评价？1.怎样理解极差，方差和标准差的概念？４.如何计算比例分配分层抽样的方差？３.如何利用平均数和方差来描述数据

的取值范围？6.你能说说平均数据和方差的性质吗？作业12.教材P214习题9.2第2题

1.已知某7个数的平均数为3，方差为S2，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为

，方差为

，求

3.某校高二年级现有男生600人，女生400人，现采用比例分配的分层随机抽取一个样本了解该年级学生的身高情况(单位：cm)，如果若男、女生样本的平均身高分别为173和163，方差分别为17和30，试对估计该样高二年级全体学生的身高方差？简析：

∵原7个数的平均数为3，现又加入一个新数据3，∴这8个数的平均数为

又∵这8个数的平均数为7/2,∴由方差公式得

3.某校高二年级现有男生600人，女生400人，现采用比例分配的分层随机抽取一个样本了解该年级学生的身高情况(单位：cm)