7.6二面角与面面垂直答案

7.6二面角与面面垂直课标要求精细考点素养达成1.理解二面角的概念和面面垂直的定义2.以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解平面与平面垂直的判定定理和性质定理3.能运用平面与平面垂直的判定定理、性质定理和已经获得的结论证明一些空间图形中的垂直关系的简单命题求二面角通过求二面角,培养学生的逻辑推理、直观想象、数学运算素养平面与平面垂直的判定与性质通过平面与平面垂直的判定与性质的应用,培养学生的逻辑推理、直观想象素养平行、垂直关系的综合运用通过平行与垂直关系的综合应用,培养学生的逻辑推理、直观想象素养1.(2024·江苏期初调研)设m,n,l是三条不同的直线,α,β,γ是三个不重合的平面,有下列命题中,真命题为().A.若m⊥n,n⊥l,则m⊥lB.若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γC.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥βD.若m∥n,m∥α,则n∥α答案C解析对于A,若m⊥n,n⊥l,则m∥l或m,l相交或m,l异面,A错误;对于B,若α⊥β,β⊥γ,则α∥γ或α,γ相交,B错误;对于C,若m⊥α,m∥n,则n⊥α,又n∥β,则α⊥β,C正确;对于D,若m∥n,m∥α,则n⊂α或n∥α,D错误.2.(对接教材)如图,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面有对.

答案3解析因为AB⊥平面BCD,AB⊂平面ABD,AB⊂平面ABC,所以平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD.又AB⊥CD,BC⊥CD,AB∩BC=B,AB,BC⊂平面ABC,所以CD⊥平面ABC.又CD⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面ABC.3.(对接教材)如图,在正方体ABCDA'B'C'D'中:(1)二面角D'ABD的大小为.

(2)二面角A'ABD的大小为.

答案(1)45°(2)90°解析(1)在正方体ABCDA'B'C'D'中,AB⊥平面ADD'A',所以AB⊥AD',AB⊥AD.因此∠D'AD为二面角D'ABD的平面角.在Rt△D'AD中,∠D'AD=45°,所以二面角D'ABD的大小为45°.同理∠A'AD为二面角A'ABD的平面角.因为∠A'AD=90°,所以二面角A'ABD的大小为90°4.(易错自纠)(多选)如图,已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则结论正确的是().A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PAEC.BC∥平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45°答案BD解析因为六边形ABCDEF是正六边形,所以∠DAB=60°.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AD.若PB⊥AD,又PA∩PB=P,则AD⊥平面PAB,故AD垂直于平面PAB内的任意一条直线,因此AD⊥AB,这与∠DAB=60°矛盾,故假设不成立,故A不正确.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,在正六边形ABCDEF中,AB⊥AE,PA∩AE=A,所以AB⊥平面PAE.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAE,故B正确.因为BC∥AD,AD∩平面PAE=A,所以BC与平面PAE不平行,故C不正确.在Rt△PAD中,PA=AD=2AB,所以∠PDA=45°,故D正确.5.(真题演练)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则().A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D答案A解析如图,对于A,因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,又AC⊥BD,AC⊥DD1,BD∩DD1=D,且BD,DD1⊂平面BDD1,所以AC⊥平面BDD1,则EF⊥平面BDD1,又EF⊂平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,选项A正确;对于B,由选项A可知,平面B1EF⊥平面BDD1B1,而平面BDD1B1∩平面A1BD=BD,且BD与平面B1EF不垂直,故平面B1EF不可能与平面A1BD垂直,选项B错误;对于C,在平面ABB1A1上,易知AA1与B1E必相交,故平面B1EF与平面A1AC不平行,选项C错误;对于D,易知平面AB1C∥平面A1C1D,而平面AB1C与平面B1EF有公共点B1,故平面B1EF与平面A1C1D不可能平行,选项D错误.求二面角典例1如图,在四棱锥PABCD中,已知PC⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2,AD=CD=1,BC=PC,E是PB的中点.(1)求证:PB⊥平面EAC.(2)求二面角PACE的大小.解析(1)由PC⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,得AC⊥PC.在Rt△ADC中,由AD=CD=1,得AC=2.设AB的中点为G,连接CG(图略),则四边形ADCG是边长为1的正方形,所以CG⊥AB,且BC=2,因为AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.又因为BC∩PC=C,BC,PC⊂平面PBC,所以AC⊥平面PBC.又PB⊂平面PBC,所以AC⊥PB.因为BC=PC,E是PB的中点,所以PB⊥EC.因为AC∩EC=C,又AC,EC⊂平面AEC,所以PB⊥平面AEC.(2)由(1)知AC⊥平面PBC,所以∠PCE是二面角PACE的平面角.因为△PBC是等腰直角三角形,且E是PB的中点,所以∠PCE=45°,所以二面角PACE的大小是45°.综合法求二面角的方法1.定义法:步骤是“一作、二证、三求”.(1)一作:作出二面角的平面角.(2)二证:证明所作的平面角满足定义,即为所求二面角的平面角.(3)三求:将作出的角放在三角形中,计算出平面角的大小.注:作二面角的平面角的点拨.①定义法:分别在两个半平面内向棱作垂线,垂足为同一点,求两线的夹角.②垂面法:作垂直于棱的一个垂面,这个平面与两个半平面分别有一条交线,求两条交线所成的角.③三垂线法:过一个半平面内的一点A作另一个半平面的一条垂线,过垂足B作棱的垂线,记垂足为C,连接AC,则∠ACB或其补角即为二面角的平面角.2.面积法:若二面角一个面上的几何图形的面积为S,其在另一个面上的投影的面积为S',则二面角的余弦值cosα=S'S(客观题训练1(2023·全国乙卷理)已知△ABC为等腰直角三角形,AB为斜边,△ABD为等边三角形,若二面角CABD为150°,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为().A.15 B.25 C.35 答案C解析如图,取AB的中点E,连接CE,DE,因为△ABC是等腰直角三角形,且AB为斜边,所以有CE⊥AB,又△ABD是等边三角形,则DE⊥AB,从而∠CED为二面角CABD的平面角,即∠CED=150°,显然CE∩DE=E,CE,DE⊂平面CDE,于是AB⊥平面CDE,又AB⊂平面ABC,因此,平面CDE⊥平面ABC,显然平面CDE∩平面ABC=CE,直线CD⊂平面CDE,则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE,从而∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角,令AB=2,则CE=1,DE=3,在△CDE中,由余弦定理得CD=CE2+DE2由正弦定理得DEsin∠DCE=CDsin∠CED,即sin∠DCE=3sin150°显然∠DCE是锐角,cos∠DCE=1−sin2∠DCE=1−所以直线CD与平面ABC所成的角的正切值为35平面与平面垂直的判定与性质典例2如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°(1)证明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;(2)设AB=A1B,AA1=2,求四棱锥A1BB1C1C的高.解析(1)证明:因为A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以A1C⊥BC,又因为∠ACB=90°,即AC⊥BC,又A1C,AC⊂平面ACC1A1,A1C∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1,又因为BC⊂平面BCC1B1,所以平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.(2)如图,过点A1作A1O⊥CC1,垂足为O.因为平面ACC1A1⊥平面BCC1B1,平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1,A1O⊂平面ACC1A1,所以A1O⊥平面BCC1B1,所以四棱锥A1BB1C1C的高为A1O.因为A1C⊥平面ABC,AC,BC⊂平面ABC,所以A1C⊥BC,A1C⊥AC.又因为A1B=AB,BC为公共边,所以△ABC与△A1BC全等,所以A1C=AC.设A1C=AC=x,则A1C1=x,所以O为CC1的中点,OC1=12AA1=1又因为A1C⊥AC,所以A1C2+AC2=AA1即x2+x2=22,解得x=2,所以A1O=A1C12-所以四棱锥A1BB1C1C的高为1.1.面面垂直判定的两种方法与一个转化(1)两种方法:①面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角,把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).(2)一个转化:在已知两个平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.首先在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.2.面面垂直性质的应用(1)证明线面垂直,运用时要注意“平面内的直线”.(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.训练2已知三棱锥PABC(如图1)的展开图如图2,其中四边形ABCD为边长等于2的正方形,△ABE和△BCF均为正三角形.求证:平面PAC⊥平面ABC.图1图2解析如图,取AC的中点O,连接BO,PO.由题意可知PA=PB=PC=2,PO=AO=BO=CO=1,又AB=BC,所以BO⊥AC.因为在△PAC中,PA=PC,O为AC的中点,所以PO⊥AC.所以∠POB为二面角PACB的平面角.因为在△POB中,PO=1,OB=1,PB=2,所以PO2+OB2=PB2,所以∠POB=90°,所以平面PAC⊥平面ABC.平行、垂直关系的综合运用典例3(2023·宿迁第二学期市统测)如图,在三棱台ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C⊥底面ABC,且BB1=B1C1=C1C=1,BC=2,底面△ABC为正三角形.(1)求三棱台ABCA1B1C1的体积.(2)过点B1作平面B1DE平行于平面AA1C1C,分别交BC,AB,A1B于点D,E,F.求证:B1E⊥平面A1BC.解析(1)在三棱台ABCA1B1C1中,因为底面△ABC为正三角形,所以△A1B1C1也为正三角形,因为BC=2,B1C1=1,所以S△ABC=3,S△A1因为BB1=B1C1=C1C=1,BC=2,所以四边形CBB1C1为等腰梯形,作C1H⊥CB交CB于点H,则CH=12所以梯形CBB1C1高为C1H=32由侧面BB1C1C⊥底面ABC,侧面BB1C1C∩底面ABC=CB,C1H⊥CB,C1H⊂平面CBB1C1,所以C1H⊥平面ABC,所以C1H为三棱台ABCA1B1C1的高.由三棱台体积公式得V=13C1H(S△ABC+S△ABC=13×323(2)证明:连接DF,A1E,因为平面B1DE∥平面AA1C1C,平面A1CB∩平面ACC1A1=CA1,平面A1CB∩平面DB1E=DF,所以CA1∥DF,同理,CC1∥DB1,又由CB∥C1B1,得四边形CDB1C1为平行四边形,由B1C1=C1C=1,BC=2,得DB=1,所以D为BC的中点,同理E为BA的中点,所以DE=12CA=1,DE=DB1=1因为A1B1∥EB,A1B1=EB=B1B=1,所以四边形A1B1BE为菱形,所以A1B⊥B1E,因为F为菱形A1B1BE对角线的交点,所以F为A1B的中点,又DE=DB1,所以DF⊥B1E,又DF∥CA1,则CA1⊥B1E,又A1B∩CA1=A1,A1B⊂平面A1BC,CA1⊂平面A1BC,所以B1E⊥平面A1BC.1.三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.2.垂直与平行的综合问题,求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.如果有平面垂直,那么一般要用性质定理,先在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.3.线面平行与垂直关系的相互转化:训练3如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.求证:(1)PE⊥BC;(2)平面PAB⊥平面PCD;(3)EF∥平面PCD.解析(1)因为PA=PD,E为AD的中点,所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形,所以BC∥AD,所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形,所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊂平面ABCD,所以AB⊥平面PAD.因为PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD,AB∩PA=A,AB,PA⊂平面PAB,所以PD⊥平面PAB.因为PD⊂平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如图,取PC的中点G,连接FG,DG.因为F,G分别为PB,PC的中点,所以FG∥BC,FG=12因为四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,所以DE∥BC,DE=12所以DE∥FG,DE=FG,所以四边形DEFG为平行四边形.所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD,DG⊂平面PCD,所以EF∥平面PCD.投影法求二面角典例如图,在四棱锥PABCD中,四边形ABCD是菱形,其中∠BAD=60°,平面PAD⊥平面ABCD,其中△PAD为等边三角形,AB=4,M为棱PD的中点.求异面直线PB与AM所成角的余弦值.解析如图,设AC∩BD=N,则点N为BD的中点,连接MN,则MN∥PB,所以∠AMN(或其补角)是异面直线PB与AM所成的角.设AD的中点为O,连接OB,OP,因为△PAD,△BAD均为等边三角形,所以OP⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,OP⊂平面PAD,所以OP⊥平面ABCD,所以△POB为直角三角形,又因为OP=OB=23,所以PB=26,MN=12PB=6在△MAN中,AM=AN=23,MN=6,由余弦定理可得cos∠AMN=24故异面直线PB与AM所成角的余弦值为24训练如图,在五面体ABCDFE中,四边形ABEF为正方形,平面ABEF⊥平面CDFE,CD∥EF,DF⊥EF,EF=2CD=2,DF=2.求二面角ACEF的正弦值.解析因为平面ABEF⊥平面CDFE,平面ABEF∩平面CDFE=EF,DF⊥EF,DF⊂平面CDFE,所以DF⊥平面ABEF.又AF⊂平面ABEF,所以DF⊥AF.又因为AF⊥EF,DF∩EF=F,DF⊂平面CDFE,EF⊂平面CDFE,所以AF⊥平面CDFE.在平面CEF内过点F作FG⊥CE于点G,连接AG,则AG⊥CE.所以∠AGF为二面角ACEF的平面角.在△CEF中,CE=CF=5,EF=2,由S△CEF=12EF·DF=12·CE·FG,得FG=在△AFG中,AG=AF2+F所以sin∠AGF=AFAG=5所以二面角ACEF的正弦值为53一、单选题1.已知平面α,β和直线m,l,则下列命题正确的是().A.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥βB.若α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l⊥βC.若α⊥β,l⊂α,则l⊥βD.若α⊥β,α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l⊥β答案D解析对于A,若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊂β或l∥β或l与β相交,故选项A不正确;对于B,若α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l与β相交但不一定垂直,故选项B不正确;对于C,若α⊥β,l⊂α,则l⊂β或l∥β或l与β相交,故选项C不正确;对于D,若α⊥β,α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l⊥β,由面面垂直的性质定理可知选项D正确.2.已知两个平面垂直,则下列结论正确的是().A.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C.一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面D.若过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面答案B解析如图,对于A,在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,A1D⊂平面ADD1A1,BD⊂平面ABCD,但A1D与BD不垂直,故A错误;对于B,在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,l是平面ADD1A1内任意一条直线,l与平面ABCD内和AB平行的所有直线都垂直,故B正确;对于C,在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,A1D⊂平面ADD1A1,但A1D与平面ABCD不垂直,故C错误;对于D,在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,且平面ADD1A1∩平面ABCD=AD,过交线AD上的任一点作交线的垂线l,则l可能与平面ABCD垂直,也可能与平面ABCD不垂直,故D错误.3.如图所示,在平行四边形ABCD中,AB⊥BD,沿BD将△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面中,互相垂直的平面的对数为().A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊥BD,AB⊂平面ABD,故AB⊥平面BCD,又AB⊂平面ABC,故平面ABC⊥平面BCD;又CD⊥BD,CD⊂平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,故CD⊥平面ABD,CD⊂平面ACD,故平面ACD⊥平面ABD.综上所述,平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD,平面ACD⊥平面ABD.4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,二面角AB1D1A1的正切值为().A.22 B.22 C.2 D答案D解析如图,设A1C1和B1D1相交于点O,连接AO.因为ABCDA1B1C1D1为正方体,所以A1C1⊥B1D1,AB1=AD1.因为O为B1D1的中点,所以AO⊥B1D1.则∠AOA1为二面角AB1D1A1的平面角.设正方体ABCDA1B1C1D1的边长为a,则AA1=a,OA1=22a所以tan∠AOA1=AA1OA1二、多选题5.如图,AC=2R为圆O的直径,∠PCA=45°,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆周上不与点A,C重合的点,AS⊥PC于点S,AN⊥PB于点N,则下列结论正确的是().A.平面ANS⊥平面PBCB.平面ANS⊥平面PABC.平面PAB⊥平面PBCD.平面ABC⊥平面PAC答案ACD解析因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.又AC为圆O的直径,所以AB⊥BC.又PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB.因为AN⊂平面PAB,所以BC⊥AN.又AN⊥PB,BC∩PB=B,BC,PB⊂平面PBC,所以AN⊥平面PBC.因为AN⊂平面ANS,所以平面ANS⊥平面PBC,所以A正确,C,D显然正确.6.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角PACO为45°,则().A.该圆锥的体积为π B.该圆锥的侧面积为43πC.AC=22 D.△PAC的面积为3答案AC解析依题意,∠APB=120°,PA=2,所以OP=1,OA=OB=3,A选项,圆锥的体积为13×π×(3)2×1=πB选项,圆锥的侧面积为π×3×2=23π,B选项错误;C选项,设D是AC的中点,连接OD,PD,则AC⊥OD,AC⊥PD,所以∠PDO是二面角PACO的平面角,则∠PDO=45°,所以OP=OD=1,故AD=CD=3−1=2,则AC=22,C选项正确;D选项,PD=12+12=2,所以S△PAC=12×22×2=三、填空题7.m,n表示直线,α,β,γ表示平面,给出下列结论:①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;②若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n;③若α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则n⊥β;④若α⊥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则n⊥m.其中正确的是.(填序号)

答案①②解析对于①,若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β,故①正确;对于②,若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n,故②正确;对于③,若α∩β=m,n⊂α,n⊥m,如正方体中,平面ABCD∩平面A1BCD1=BC,AB⊂平面ABCD,AB⊥BC,但AB与平面A1BCD1不垂直,故③错误;对于④,α⊥β,α∩γ=m,β∩γ=n,如正方体中,平面ABCD⊥平面ADD1A1,平面ABCD∩平面A1BCD1=BC,平面ADD1A1∩平面A1BCD1=A1D1,但BC∥A1D1,故④错误.8.如图,在四棱锥PABCD中,四边形ABCD是边长为2的正方形,侧面PAB是等边三角形,PC=PD=2,则平面PAB与平面ABCD的夹角为.

答案π解析分别取AB,CD的中点F,G,连接PF,PG,FG.因为侧面PAB是等边三角形,PC=PD=2,四边形ABCD是边长为2的正方形,所以PF⊥AB,PG⊥DC,AB⊥FG,PF=3,PG=1,FG=2,又PF⊥AB,AB⊥FG,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以∠PFG是平面PAB与平面ABCD的平面角,又PF=3,PG=1,FG=2,所以cos∠PFG=PF2+FG2-PG22PF×FG所以平面PAB与平面ABCD的夹角为π6四、解答题9.如图,在矩形ABCD中,AB=2AD=4,E是AB的中点,沿DE将△ADE折起,得到如图所示的四棱锥PBCDE.(1)若平面PDE⊥平面BCDE,求四棱锥PBCDE的体积;(2)若PB=PC,求证:平面PDE⊥平面BCDE.解析(1)如图所示,取DE的中点M,连接PM,由题意知,PD=PE,所以PM⊥DE,又平面PDE⊥平面BCDE,平面PDE∩平面BCDE=DE,PM⊂平面PDE,所以PM⊥平面BCDE,即PM为四棱锥PBCDE的高.在等腰直角三角形PDE中,PE=PD=AD=2,所以PM=12DE=2直角梯形BCDE的面积S=12(BE+CD)·BC=12×(2+4)×2=所以四棱锥PBCDE的体积V=13PM·S梯形BCDE=13×2×6(2)取BC的中点N,连接PN,MN,则BC⊥MN.因为PB=PC,所以BC⊥PN.因为MN∩PN=N,MN,PN⊂平面PMN,所以BC⊥平面PMN.因为PM⊂平面PMN,所以BC⊥PM.由(1)知,PM⊥DE,又BC,DE⊂平面BCDE,且BC与DE是相交直线,所以PM⊥平面BCDE.因为PM⊂平面PDE,所以平面PDE⊥平面BCDE.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=3,AD=CD=1,∠ADC=120°,M是AC与BD的交点,点N在线段PB上,且PN=14(1)求证:MN∥平面PDC.(2)在线段BC上是否存在一点Q,使得平面MNQ⊥平面PAD?若存在,求出点Q的位置;若不存在,请说明理由.解析(1)在四边形ABCD中,由AB=BC=3,AD=CD=1,可得△ABD≌△CBD,所以AC⊥BD,且M为AC的中点.由AD=CD=1,∠ADC=120°,可得DM=CDcos60°=12,AC=2CDsin60°=3,则BM=32×3=由DMBM=PNBN=13,可得MN而MN⊄平面PDC,PD⊂平面PDC,所以MN∥平面PDC.(2)存在,Q为B