高二数学寒假作业（六）

清华中学高二寒假作业(六)

一、单选题(本大题共8小题，共40.()分)

1.点4(2,-1,3)关于“Oy平面的对称点为()

A.(2,-1,-3)B.(2,1,3)C.(-2,1,3)D.(-2,-1,3)

2.经过两点4(—3,2),B(0,-3)的直线的方程为()

A.y=-3B.y=-^x-3C.y=|x-3D.y=-|x-3

3.已知椭圆1=l(a>b>0)的一个焦点是圆/+y2_6x+8=0的圆心，且短

轴长为8,则椭圆的左顶点为()

A.(—3,0)B.(—4,0)C.(—10,0)D.(—5,0)

4.已知圆G：(x-a)?+(y-a)2=8(a>0)与圆C2：/+y2-_2y=0没有公

共点，则实数a的取值范围为()

A.(0,2)B.(4,+00)

C.(0,2)U(4,+00)D.(0,1)U(1,2)U(4,+oo)

22

5.已知椭圆Cl：a+y2=l(m>1)与双曲线C2：a-y2=l(n>0)的焦点重合，e「

e2分别为Ci，G的离心率，则()

A.m>n且6送2>1B.m>n且6送2<1

C.m<n且6送2>1D.m<n且<1

6.在等比数列｛即｝中，。5・。7=6,CZ2+«10=5,则蜉等于()

7.如图，三棱柱ABC-&B1G满足棱长都相等且4公，

平面ABC,D是棱eq的中点，E是棱上的动点.设

AE=x,随着%增大，平面与底面2BC所成锐二

面角的平面角是（）

A.先增大再减小

B.减小

C.增大

D.先减小再增大

8.已知数列Sn｝是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，若对任意的都有

Sn>S3,则黄的值不可能为（）

A.2B.|C1D，

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.下列说法中，正确的有（）.

A.点斜式y-乃=fc（x-%）可以表示任何直线

B.直线y=4x-2在y轴上的截距为一2

C.直线2x-y=0关于x+y=0对称的直线方程是％-2y=0

D.点P（2,3）到直线的ax+（a—l）y+3=0的最大距离为5

10.已知数列｛an｝为等差数列，其前n项和为%，且2%+4a3=57,则以下结论正确的

有（）

A.a14—0B.Su最小C.Su-Si6D.S27-0

11.正方体ABC。-418由。1中（如图），E、F、G、H分别为C/、BC、CD、8名的中

点，则下列结论正确的是（）

A.B]G1BCB.平面4EFn平面44也。=ADr

C.〃面AEFD.二面角E-AF-C的大小为:

12.我们把离心率为e=上也的双曲线三一3=l（a>

2azb2

0,b>0）称为黄金双曲线.如图所示，&、%是双曲线的

实轴顶点，B]、B2是虚轴顶点，B、尸2是焦点，过右焦点

尸2且垂直于X轴的直线交双曲线于M、N两点，则下列命

题正确的是（）

A.双曲线/一一j=1是黄金双曲线

>/5+1

B.若b2=ac,则该双曲线是黄金双曲线

C.若乙&8遇2=90°,则该双曲线是黄金双曲线

D.若ZMON=90。，则该双曲线是黄金双曲线

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三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.空间向量W=(2,3,-2),石=(2,-犯-1),如果五J.E，则同=.

14.已知A/IBC的三个顶点分别是.4(-5.()),8(3,-3),C(0,2),则BC边上的高所在直

线的斜截式方程为

15.如图所示，已知抛物线C：y2=8x的焦点为尸，准线

，与x轴的交点为K,点4在抛物线C上，且在％轴的上

方，过点4作力B1Z于B,\AK\=V2\AF\,则AAFK

的面积为.

16.佛II斋志异少中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无

所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：

则按照以上规

律，若(n+1)居=J(n+1)詈具有“穿墙术”，Tn为数列｛2｝的前n项和，则

79的值为

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知双曲线。的焦点在y轴上，渐近线方程为y=土鱼x，且过点P(返,2遮).

(1)求双曲线。的标准方程；

(2)求直线/:丫=2x+1与双曲线。相交所得的弦长.

2

18.在①an+2—an=4,S2=6,@a3+a5=16,S3+Ss=42,③2Sn=an+2n

三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.问题：设等差数列｛&J的

前n项和为％，，求数列｛三｝的前n项和.

已知数列｛时｝的前项和%=数列是首项为由,公差为夕的

19.n2/1-2,｛bn｝d(d0)

等差数列，且瓦，坛，瓦］成等比数列.

求数列与的通项公式；

(1)｛an｝｛g｝

(2)设7=),求数列｛%｝的前n项和

20.已知方程/+V-4x-2y+m=0,

(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；

(2)若Tn的值为(1)中能取到的最大正整数，从而得到以C为圆心的圆C,已知动点P为

直线3x—4y=12上的动点，由P作圆C的切线，切点为力，试求△P2C的面积的最

小值.

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21.如图，在棱长均为4的四棱柱力BCD-AiBiGDi中，DDr1平面4BCD,/BAD=60°,

E为线段AD的中点.

(1)求平面B/D与平面BD】E夹角的余弦值；

(2)在线段81c上是否存在点儿使得OF〃平面BD]E?若存在，请确定点尸的位置;

若不存在，请说明理由.

22.在平面直角坐标系xOy中，已知点P到两点M(2,0),N(-2,0)的距离之和等于2连,

设点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程.

(2)动圆M以白为半径，圆心在曲线C上，过原点0作动圆M的两条切线，分别交曲

线C于A,B两点,若直线04,0B的斜率存在，记为心，心・①求证：七七为定值；

②试问是否存在M使得|。川2+|OB『=7?若存在，求出该“点坐标；若不存在,

请说明理由.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了空间直角坐标系中点的对称问题，属于基础题.

根据点4(a,b,0关于%。丫平面的对称点为4(1b,-c),写出即可.

【解答】

解：点4(2,—1,3)关于xOy平面的对称点为4(2,—1,一3).

故选A.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

由条件根据两点式求得直线的方程，再化为斜截式，进而求解结论.

本题主要考查用两点式求直线方程，属于基础题.

【解答】

解：经过点/(—3,2)、8(0,—3)的直线的方程为尝=千'

即y=—|x-3.

故选：D.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查椭圆方程的应用，属于基础题.

根据椭圆和圆的几何性质求解即可.

【解答】

解：•.・圆的标准方程为(x-3)2+y2=i,

圆心坐标是(3,0),

•••c=3.

又b=4,

:.a=V/?2+c2=5•

,••椭圆的焦点在x轴上，椭圆的左顶点为(-5,0).

故选D.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，求出两个圆的圆心和半径，可得其圆心距，由圆与圆的位置关系可得IGC2I<

2近一或或|(7修2|>2/+也,即|a-l|<1或|a-l|>3,解可得a的取值范围，即

可得答案.

本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的标准方程.

【解答】

解：根据题意，圆G：(x-a)2+(y-a)2=8(a>0),其圆心为(a,a),半径r=2/，

圆。2：x2+y2-2x-2y=0,即(x—I)2+(y-I)2=2,其圆心为(1,1),半径r=V2>

圆心距IGQI=J(a-+(a-1尸=V2|a-1|,

若两圆没有公共点，则IGC2I<2我一夜或IGC2I>2V2+V2,

即|a-1|<1或|a-1|>3,

解可得：0<a<2或a>4或a<-2,

又由。>0,则0<。<2或£1>4,即a的取值范围为(0,2)U(4,+8).

故选：C.

5.【答案】A

【解析】

【分析】

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本题主要考查圆锥曲线离心率的大小关系的判断，根据条件结合双曲线和椭圆离心率以

及不等式的性质进行转化是解决本题的关键.

根据椭圆和双曲线有相同的焦点，得到‘2=Hl?-1=n2+],即一=2>0,进

行判断，能得小>71,求出两个离心率，进行求解即可.

【解答】

解：•••椭圆Cl：，+y2=1(7n>1)与双曲线C2：\-y2=i(n>0)的焦点重合，

设椭圆半焦距长为c,

・•・=7n2—1=n2+1,

即？n?—n2=2>0,

Am2>n2,则m>ri,排除C,D；

则=血2—1<m2,=九2+1>九2,

则c<m,c>n,

则&•62)2=(丁(产

_c2c2_(m2-l)(n2+1)

m2n2m2n2

m2n2+(m2-n2)-1

m2n2

m2-n2-l

=1d------------------

m2n2

2—1I

=14--m--25n-T2=14-m--2-nz2-j>1,

:.ere2>1.

故选人

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了等比数列的性质，属于基础题.

利用等比中项的性质得♦。7=a2•a10=6,再利用任意两项的数量关系得粉=黄,

最后计算得结论.

【解答】

解：因为｛a"是等比数列，

所以05•。7=。2，a10=6.

又因为02+。10=5,

所以和。10为方程％2—5%+6=0的两个根,

解得。2=2,a10=3或取=3,a10=2.

若等比数列｛Qn｝的公比为q,

则⑦=也Y=为，

。10a2，cl8a2

所以詈=1或

a10N3

故选A.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查利用空间向量法解决二面角问题，属于中档题.

先建立空间直角坐标系，分别求出平面BOE与面4BC的法向量，cos。=黯，再进行

判断即可.

【解答】

解：以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，A&为z轴，建立空间

直角坐标系，

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设正三棱柱ABC-&B1G中所在棱长都是2,

则B(8,1,0),D(0,2,l),E(0,0,x),0<x<2,

BD=(-V3,l,l)>BE=(-V3,-l,x)>

设平面BDE的法向量元=(a,b,c),

则(元•BD——V3a+b+c=0

(n-BE——73a—b+xc=O'

取a=L得记=(1,6一辿,辿)，

'x+1x+r

平面48c的法向量完=(0,0,1).

设平面BOE与底面48c所成锐二面角的平面角为

V3

V(X+1)2-3(X+1)+6

cos。随着%增大而先增大后减小,

。随着X增大而先减小后增大.

故选D

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查等差数列的求和，以及不等式的求解.

、o3x2

%>3al+,—dJ,

S]>S3,

利用题意列不等式组,52>S3卸<2%+dZ3%+号d,

S42S3,，14X3...3X2,

4alH——dNo3的H——d,

得到—3d<ai<-2d(d>0),然后逐项讨论，即可得.

【解答】

解：设等差数列｛七｝的公差为d（d羊0）.

,••数列是公差不为0的等差数列，前n项和为立，对任意的neN*,都有无2S3,

3X2

>3+匕

1-2

>s

51-

>s

52

叉>S

一

二当母=逐=2时，%=-3d成立;

宝=焉=弛%=-|d成立；

脸=器5=蚪%=-2d成立；

当胃=嚼=2时，的=_d不成立.

二荒的值不可能为a

故选D

9.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本题考查直线的点斜式、斜截式方程、直线的对称直线方程，属于中档题.

用直线方程知识依次分析各个选项即可.

【解答】

解：4：点斜式y—yi=卜0一/）不能表示斜率不存在的直线，故A错误；

B：直线y=4x—2在y轴上的截距为—2,正确；

C：在直线2x-y=0上任取一点P（m,n）,它关于x+y=0的对称点Q（—皿-凡）在直线

x—2y=0上，所以直线2x—y=0关于x+y=0对称的直线方程是x—2y=0,C正

确；

D：因为直线的ax+（a-l）y+3=0即a（x+y）-y+3=0过定点”（一3,3）,所以点

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「(2,3)到直线的拉+((1-1)丫+3=0的最大距离为|MP|=5,O正确.

故选：BCD.

10.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查了等差数列的前71项和，等差数列的通项，等差数列的性质，属于中档题.

根据题意，由2al+4a3=S7=%4=0,可判断选项ACD,由等差数列前n项和的最值

可判断B.

【解答】

解：因为数列｛an｝为等差数列，设其公差为d,

由于2%+4a3=S7,即6%+8d=7的+21d,即a1+13d=a”=。，故4正确；

当d<0时，S.没有最小值，故8错误；

因为S16—Su=+a13+a14+a15+a16=5a14=。'

所以Su=S]6,故C正确；

S27==27(%+13d)=27al4=0，故。正确.

故选：ACD.

11.【答案】BC

【解析】

【分析】

本题考查空间几何体中线线、线面、面面的位置关系的判定，考查二面角的求解问题，

属于中档题.

以。为原点，DA.DC、CD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.根据西.

反:=—4。0可知A错误；只要证明EF〃ADi，即可确定B的正误；

证明初与平面4EF的法向量垂直，即可确定C的正误；

利用空间向量中的夹角公式即可判断。的正误.

【解答】

解：以。为原点，DA.DC、DO1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.

不妨设正方体的棱长为2.

则G(O,1,O),Fi(2,2,2),B(2,2,0),C(0,2,0),所以函=(2,1,2),前=(一2,0,0).

由南•方=一4彳0，可知G&J.BC不成立，故A错误；

连接4>1，因为E,尸分别为CCi、8C的中点，所以有EF〃8Ci〃4Di，

因此4£)iu平面4EF,故平面4EFC平面441。1。=力。1，故B正确；

由4(2,0,0),F(l,2,0),E(0,2,l)得：AF=(-1,2,0),FE=(-1,0,1)-

设平面4EF的法向量为元=(%,y,z),

由E1迎得:伫更=r+2y=。

取y=l,得:x=z=2,所以记=(2,1,2).

由4(2,0,2),H(2,2,l)得：初=(0,2,-1).

因为砧•五=0，所以硒元，且力面AEF,于是有为"〃面AEF,故C正确;

取平面4FC的法向量为记=(0,0,1),设二面角E-4F-C的平面角为0,则。为锐角，

则cos。=鲁鲁=|,故。错误.

故选BC.

12.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本题考查的是双曲线的基本性质，a,b,c的关系，离心率的求法，考查计算能力.

利用双曲线的简单性质分别求出离心率，再利用黄金双曲线的定义求解.

【解答】

2

解：双曲线/一二一=1中，

V5+1

心=应等=质直丰安，

2

•••双曲线/一声=1不是黄金双曲线，故A不正确；

V5+1

b2=ac,则e=-=""'I。—Ji+?,/.e2—e—1=0,

aa

解得e=退=或e=*±1(舍)，

该双曲线是黄金双曲线，故B正确；

a,尸2为左右焦点，41，4为实轴左右顶点，

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Bi(O,b),B2(0,-6),且"止血=90°,

+B］掰=4宿即Z>2+2c?=(a+c)2,整理,得从=ac,

由B知该双曲线是黄金双曲线，故C正确；

MN经过右焦点尸2且MN1&F2，Z.MON=90°,•••NF2=OF2,

令双曲线1中％=以解得y=±Q,

azb2a

=.-.b2=ac,由8知该双曲线是黄金双曲线，故。正确.

故选BCD.

13.【答案】3

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的垂直的判断，向量的数量积的坐标运算，向量的模，属基础题.

根据五%=0先求出加的值，再代入即可计算|旬.

【解答】

解：,.,向量V=(2,3,-2),b=(2,—m,—1)且“JLb，

Aa-b=0，

・•・2x2—3m+2=0,解得m=2,

b—(2,-2,-1)f

|K|=02+(-2)2+(-1)2=3.

故答案为3.

14.【答案】y=|x+3

【解析】

【分析】

本题考查直线的斜截式方程和直线的垂直关系，属于中档题.

由题意和垂直关系可得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为斜截式即可.

【解答】

解：设BC边上的高为4D,则BCJ.AD,

•*,fcfiC,^AD=—1，

・•・萨|•kAD=-1,解得心。=I，

•••BC边上的高所在直线的点斜式方程是y-0=|(x+5),

整理得斜截式方程为y=|x+3.

故答案为y—|x+3.

15.【答案】8

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的定义，抛物线中的面积问题，属于中档题.

根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得K的坐标，设4(xo,为)，则

8(-2,%),根据14Kl=y/2\AF\R\AF\=\AB\=x0+2,进而可求得4点坐标,进而求

得△力尸K的面积.

【解答】

解：・.・抛物线C：y2=心的焦点为F(2,0),准线为x=-2,

K(—2,0),

设4(&,yo),

AB1］于B,：.B(-2,y0),

•••\AK\=V2\AF\,

二由抛物线定义可得，\AF\==x0—(-2)-x0+2,

.♦.由BK2=A/<2-AB2,得羽=(X()+2)2,

即8xo=(x0+2)2,解得x()=2,

又4在x轴上方，

•••4(2,4),

11

・•.△2FK的面积为:|KF|〃()=^x4x4=8.

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故答案为8.

16.【答案】||

【解析】

【分析】

本题考查归纳推理，同时也考查了裂项求和法,考查计算能力与推理能力，属于中等题.

归纳出数列Mn｝的通项公式，利用裂项求和法可求得为的值.

【解答】

2

解：2口=2(2X4-=辰3g=3尾=/32X4-=屏,

5/35/22-l722-l勺38\32-l、32-lyj8

4叵=40=/42X^_=/7±,5叵=5巨=/52X_L_=后

yj15^42-l'42-lJ415424y]52-l(52-l\24

以此类推，由(几+l)Jf=](九+I)?xm=J(n+1)手

可知0n=(九+I/-1,

事实上(n+D居=S+D扃三=居恶

l(n4-I)3-(n+1)+(n+1)

=J(n+l)2-l

=JT+I+^ZT=JO+I)2X詈.

1_1_1_1,11.

2

an-(n+l)-l-n(n+2)-2n+2

i

因止匕，7'9=-(l--+---+--+••­+--—)

”2、32435911，

21210ll755

故答案为：||.

17.【答案】解(1)由题意知，设双曲线方程为7一一=九且过点P(遮,2遮),

.(2巡)2

-(V3)2=A..1-A=3,

2

22

即双曲线。的标准方程为卜卜1.

(2)设直线，：y=2x+1与双曲线。交于点4(X],yj,B(x2>y2)>

y=2%4-1

联立，y2X2_得2%2+4%—5=0.

--------=1

-63

.5

・•・+%2=-2o,・••%1%2——-

5,—

2Xx22

•••MSI=7(1+2)[(1+2)-4%!%2]=5x[(-2)-4x(--)]=V70.

【解析】此题考查双曲线的标准方程、双曲线的性质和直线与双曲线的位置关系，属于

中档题.

(1)根据双曲线的标准方程和双曲线的性质进行求解即可；

(2)利用弦长公式进行求解即可.

18.【答案】解：选①

由即+2—即=4,可知数列｛即｝的公差为2，

又$2=6,可得%+%+2=6,得%=2,

2

所以a”=2n,Sn=n+n,

fJ11111

pT知—=---=-----=-------

2

J八Snn+nn(n+l)nn+1

数歹！J｛j的前几项和为1—2+；—：+…----^7=1----

3n223nn+1n+1n+1

选②

设数列｛&J的公差为d,

则由。3+。5=16，S3+S$=42，得ta：+13d=42，

解得｛建

所以an=2n,Sn=层+n,

可知或=不=而后=7一有，

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数列｛m｝的前n项和为1+…+工—77=1—三=--77

Sn223nn+1n+1n+1

选③

当？I=1时，Qi=2,

当九=2时，2s2=g+8，解得d=2,

2

所以。九=2n,Sn=n4-n,

,i1ili

iiI矢口—..._-----————

2

J八Snn+nn(n+l)nn+1

数列｛=｝的前几项和为i_?+；_：+…+!—9=1—9=Ty

3n223nn+1n+1n+1

【解析】本题考查等差数列的递推关系式求解数列的通项公式以及数列的和，裂项消项

法求和方法的应用，是中档题.

选①，推出数列｛aj的公差为2,求出的=2,得到通项公式，通过裂项消项法求解数

列的和即可.

选②，设数列｛an｝的公差为d,求出首项与公差，然后求解通项公式以及数列的和，然

后利用裂项消项法求解数列的和.

选③，求出首项与公差，然后求解通项公式以及数列的和，然后利用裂项消项法求解

数列的和.

19.【答案】解：(1)当nN2时，an=Sn-Sn_i=2n+i-2n=2%

又即=Si=21+1-2=2=2】，也满足上式，

所以数列｛an｝的通项公式为an=2%n€N*,

由瓦，b3,瓦i成等比数列，瓦=%=2,

得(2+2dy=2(2+10d),

解得d=o(舍去)或d=3,

所以数列｛%｝的通项公式为%=2+3(n-l)=3n-l,nEN\

(2)由(1)可得c=*=限，

nan4

_258,3n-l

Tln=天+齐+/+…+

则2〃=2+套+/+…+

两式相减得"=2■+段+…+凝一摩士

即〃=2+1^一*5-誓n€N*.

2

【解析】本题考查等差数列的通项公式，等比数列的性质，数列的递推公式，考查利用

错位相减法进行数列求和，属于中档题.

(1)根据nN2时，a"=Sn—Sn_】求出数列｛an｝的通项公式，再根据等比数列的性质求

出数列｛为｝的公差，即可求解；

(2)利用错位相减法数列求和即可.

20.【答案】解：(1)方程/+y2-4x-2y+m=0,

可化为(x—2)2+(y—l)2=5—m,

当方程表示圆时，有5-m>0,即m<5,

所以加的取值范围是(一叫5)；

(2)由题意，可得m=4,

方程%2+y2-4x-2y+m=0,

即为%?+y2—4x—2y+4=0,

得(x-2)2+(y-1)2=1,

此圆的圆心为C(2,l),

可知：点C(2,l)到直线3x-4y=12的距离为d=皿=2,

当动点P到C点的距离为直角APAC的斜边的时候，APAC的面积有最小值，|PC|mm=d,

222

|P川min=Jl^C|min-\CA\=V2-1=V3>

所以△P4C的面积的最小值为］X\CA\X|P川min=1xlxV3=y.

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【解析】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、与圆有关的

最值问题，属于中档题.

(1)化为圆的标准方程，有5-瓶>0,即可得解；

(2)由(1)得到m=4,求得圆心C到直线的距离d,当动点P到C点的距离为直角^PAC的

斜边的时候，APAC的面积有最小值，即可得解.

21.【答案】解：连结2C,与BD交于点0,连结&G，

Be，交于点。「连结。。1，

因为叫1平面4BCD,所以。J■平面4BCD,

又。4,OBu平面4BC0,故。。110A,00r10B,

由题意可得四边形ABCD为菱形，故。41OB,

所以OA,0B,。。1两两垂直，

以。为坐标原点，。40B,。。1所在直线分别为x轴,

y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示,

(1)由题意可得8(0,2,0),Di(0,-2,4),£(73,-1,0).

所以丽=(一百,3,0),西=(-V3,-l,4)>

设平面BAE的法向量为五=(x,y,z),

则归饕=。,则「年+3y=。,

(n-ED1-0(-V3x—y+4z=0

令x=V5,则y=l,z=1,

所以元=(g,1,1)，

因为。4_L平面BDi。,

所以平面BDiD的一个法向量为沆=(1,0,0),

设平面B/D与平面BDiE的夹角为。，

则cos。=cos<n,7n>==",

|n||?n|V5X15

所以平面BAD与平面BD]E夹角的余弦值为雷；

(2)假设在线段81c上存在点尸，使得D