重庆市南开中学2025届高三数学下学期3月月考试题文含解析

PAGE22-重庆市南开中学2025届高三数学下学期3月月考试题文（含解析）留意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在答题卡上.1.复数的虚部为A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】利用复数的商的运算进行化简，然后由虚部的概念可得答案.【详解】,则复数z的虚部为-3，故选B【点睛】本题考查复数的商的运算及有关概念，须要留意a+bi的虚部为b，不要误写为bi.2.“a=1”是“函数在区间[1,+∞)上为增函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】函数f(x)的单调增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]，所以当a＝1时，增区间为[1，＋∞)，所以在[2，＋∞)上也递增．当f(x)在区间[2，＋∞)上为增函数，则有a≤2，所以a＝1不肯定成立．“a=1”是“函数在区间[1,+∞)上为增函数”的充分不必要条件，故选A.3.埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为闻名的是胡夫金字塔．令人惊讶的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长假如除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（）A.128.5米 B.132.5米 C.136.5米 D.110.5米【答案】C【解析】【分析】设出胡夫金字塔原高，依据题意列出等式，解出等式即可依据题意选出答案．【详解】胡夫金字塔原高为，则，即米，则胡夫金字塔现高大约为136.4米．故选C．【点睛】本题属于数学应用题，一般设出未知数，再依据题意列出含未知数的等式，解出未知数，即可得到答案．属于常规题型．4.已知，则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式化简得，再利用余弦的倍角公式，即可求解．【详解】由题意，可得，故选C．【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中娴熟应用三角函数的诱导公式和余弦倍角公式，精确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题．5.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，，.则面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据正弦定理得到，再依据余弦定理得到，再计算面积得到答案.【详解】，故，，所以，所以，.故选：.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的综合应用实力.6.若，满意约束条件，则最大值为，最小值为，则（）A.0 B. C.-3 D.3【答案】D【解析】【分析】做出可行域，依据图象求出目标函数的最大值和最小值，即可求解.【详解】做出可行域如图所示，目标函数过点时取得最大值，由，解得，即，所以的最大值当过时，取得最小值为，所以.故选:D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.42 B.45 C.46 D.48【答案】C【解析】【分析】先通过三视图找到几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由三视图可知原几何体为如图所示的多面体ABEHM-CDGF,所以该几何体的体积为.故选C【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和分析推理实力.8.已知向量，，，是线段上两点，且，，则向量与的关系是（）A. B.C. D.与成夹角【答案】A【解析】【分析】先求出，，所以，即得解.【详解】，，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查基底法和向量的坐标运算，考查共线向量，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和分析推理实力.9.已知函数，依据下列框图，输出S的值为A.670 B. C.671 D.672【答案】C【解析】【分析】依据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，推断终止运行的n值，再依据余弦函数的周期性计算即可.【详解】由程序框图知：第一次运行，；其次次运行，，，第三次运行，，，第四次运行，，，第五次运行，，，第六次运行，，，直到时，程序运行终止，函数是以6为周期的周期函数，，又，若程序运行2024次时，输出，程序运行2015次时，输出．故选C．【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，依据框图的流程推断算法的功能是解答本题的关键．10.奇函数f（x）在R上存在导数，当x＜0时，f（x），则使得（x2﹣1）f（x）＜0成立的x的取值范围为（）A.（﹣1，0）∪（0，1） B.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C.（﹣1，0）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【答案】C【解析】【分析】依据当x＜0时，f（x）的结构特征，构造函数，求导得，由当x＜0时，f（x），得在上是减函数，再依据f（x）奇函数，则也是奇函数，在上也是减函数，又因为函数f（x）在R上存在导数，所以函数f（x）是连续的，所以函数h（x）在R上是减函数，并且与同号，将（x2﹣1）f（x）＜0转化为求解.【详解】设，所以，因为当x＜0时，f（x），即，所以，所以在上是减函数.又因为f（x）奇函数，所以也是奇函数，所以在上也是减函数，又因为函数f（x）在R上存在导数，所以函数f（x）是连续的，所以函数h（x）在R上是减函数，并且与同号，所以（x2﹣1）f（x）＜0或解得或故选：C【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的实力，属于难题.11.在中，，，是的中点.若，且，则实数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得，以为基底，将用基底表示，再由，建立方程，即可求解.【详解】，是的中点，，，，，，整理得.故选:A.【点睛】本题考查正弦定理、共线向量、向量基本定理、垂直向量的应用，考查计算求解实力，属于中档题.12.如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥中，为侧棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先通过作平行的协助线确定异面直线与所成角的平面角，在中利用余弦定理求出进而求出CE，再在中利用余弦定理即可得解.【详解】如图，取的中点，的中点，的中点，连接，，，，则，，从而四边形是平行四边形，则，且.因为是的中点，是的中点，所以为的中位线，所以，则是异面直线与所成的角.由题意可得，.在中，由余弦定理可得，则，即.在中，由余弦定理可得.故选：D【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必需填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13.已知集合，，则______.【答案】【解析】【分析】化简集合，按并集定义即可求解.【详解】，，.故答案为:【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.14.已知数列的前项和为，若，则______.【答案】【解析】【分析】利用和的关系计算得到答案.【详解】当时，满意通项公式故答案为【点睛】本题考查了和的关系，忽视的状况是简洁发生的错误.15.已知椭圆的左、右焦点为、，点关于直线的对称点仍在椭圆上，则的周长为__________．【答案】【解析】【分析】由题意首先求得点P的坐标，然后结合椭圆的定义求解焦点三角形的周长即可.【详解】设，F1关于直线的对称点P坐标为（0，c），点P在椭圆上，则：，则c=b=1,，则，故的周长为：.【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．16.把函数的图象沿轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数的图象，对于函数有以下四个推断：①该函数的解析式为；；②该函数图象关于点对称；③该函数在，上是增函数；④函数在上的最小值为，则．其中，正确推断的序号是______．【答案】②④【解析】【分析】先把函数的图象沿轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，再依据三角函数的图象与性质逐项判定，即可求解．【详解】把函数的图象沿轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后，得到函数的图象，由于，故①不正确；令，求得，故函数的图象关于点对称，故函数的图象关于点对称，故②正确；令，可得，故函数的增区间为，故函数上不是增函数，故③不正确；当时，，故当时，取得最小值为，函数取得最小值为，故，故④正确，故答案为②④．【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理精确判定是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于中档试题．三、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.某工厂有两种日工资方案供员工选择，方案一规定每日底薪50元，计件工资每件3元；方案二规定每日底薪100元，若生产的产品数不超过44则没有计件工资，若超过则从第45件起先，计件工资每件5元.该工厂随机抽取100天的工人生产量的数据.将样本数据分为，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该工厂的人均生产量不少于65件的概率；（2）若甲、乙选择了日工资方案一，丙、丁选择了日工资方案二.现从上述4名工人中随机选取2人.求至少有1名工人选择方案一的概率；（3）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学学问为新聘工人做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）【答案】（1）（2）（3）新聘工人应选择方案一，详见解析【解析】分析】（1）依据频率分布直方图求出，，的频率，即可求出结论；（2）列出4人中随机选取的全部状况，确定满意条件基本领件的个数，按古典概型的概率求法，即可求解；（3）求出该工厂的人均产量的平均数，分别求出两种日新方案的平均值，选择选择高的方案即可.【详解】（1）设事务为”随机选取一天，这一天该工厂的人均生产量不少于65件”，依题意，该工厂的人均生产量不少于65件的频率分别为：0.2，0.15，0.05，∴.（2）设事务为“从4名工人中随机选取2人，至少有1名工人选择方案一”，从4名工人中随机选取2人，全部状况有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），共有6种状况，其中至少有1名工人选择方案一的状况有5种状况，∴.（3）由频率分布直方图可知：该工厂的人均产量的平均数为：.∴方案一平均工资约为：，方案二平均日工资约为：.可知方案二平均工资低于方案一平均日工资.故新聘工人应选择方案一.【点睛】本题考查由频率分布直方图求频率和平均数、古典概型，属于基础题.18.如图，在正三棱柱中，，，，分别是线段，的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点为，连接，，证明四边形是平行四边形，可得，即可证明结论；（2）利用等体积法结合是线段中点，可得，即可求解.【详解】（1）取中点为，连接，，∴，，，，∴四边形是平行四边形，∴，平面，平面，∴平面.（2）是线段中点，则..【点睛】本题考查线面平行的证明以及求椎体的体积，合理应用等体积法是解题的关键，属于中档题.19.已知首项为2的数列满意.（1）证明：数列是等差数列．（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由原式可得,等式两端同时除以,可得到,即可证明结论;（2）由（1）可求得的表达式,进而可求得的表达式,然后求出的前项和即可.【详解】（1）证明:因为,所以,所以,从而,因为,所以,故数列是首项为1,公差为1的等差数列.（2）由（1）可知,则,因为,所以,则.【点睛】本题考查了等差数列的证明,考查了等差数列及等比数列的前项和公式的应用,考查了学生的计算求解实力,属于中档题.20.已知抛物线：，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，且当直线倾斜角为时，与抛物线相交所得弦的长度为8.（1）求抛物线的方程；（2）若分别过点，两点作抛物线的切线，，两条切线相交于点，点关于直线的对称点，推断四边形是否存在外接圆，假如存在，求出外接圆面积的最小值；假如不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在；最小面积为【解析】【分析】（1）依据题意求出直线倾斜角为时方程，与抛物线方程联立，利用根与系数关系和焦半径公式，求出弦长，即可求出；（2）点关于直线的对称点为，可得，从而有，推断四边形是否存在外接圆，只需推断是否有，即是否垂直，依据切线的几何意义，求出的斜率，即可得出结论，假如存在外接圆，外接圆的直径为，要使外接圆面积最小，即求最小，利用根与系数关系和相交弦长公式，即可求解.【详解】（1）由题意知，设点，，当直线倾斜角为时，直线的方程为，由得：，所以.又由，所以，所以抛物线的方程为.（2）四边形存在外接圆.设直线方程为，代入中，得，则，且，，所以，因为：，即，所以.因此，切线的斜率为，切线的斜率为，由于，所以，即是直角三角形，所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是圆的直径，所以点肯定在的外接圆上，即四边形存在外接圆.又因，所以当时，线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦点弦长、切线的几何意义的应用，要娴熟驾驭焦点弦长求法，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算实力，属于较难题.21.已知函数，.（1）求函数的单调区间和极值；（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.【答案】（1）调递减区间是，单调递增区间是，的微小值为，无极大值（2）【解析】【分析】（1）求出，求解不等式，得出单调区间，进而求出极值；（2）设，有三个零点，至少有三个单调区间，求出，对分类探讨，求出至少有三个单调区间的范围，再结合零点存在性定理，确定区间存在零点的不等量关系，即可求解.【详解】（1），令，解得，当时，；当，.所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，所以的微小值为，无极大值.（2）设，即，.①若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，至多有两个零点.②若，则，，（仅），单调递增，至多有一个零点.③若，则，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，要使有三个零点，必需有成立，由，得，这与冲突，所以不行能有三个零点.④若，则，当或时，，单调递增：当时，，单调递减，要使有三个零点，必需有成立，由，得，由及，得，∴.且当时，，，，.综上，的取值范围为.【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值、零点问题，以及零点存在性定理的应用，考查分类探讨思想，意在考查直观想象、逻辑推理和计算求解实力，属于较难题.（二）选考题：共10分.请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡相应题号处填涂，假如多做，则按所做的第一题计分.