2025届高考数学一轮复习第9章平面解析几何第3讲椭圆作业试题2含解析新人教版VIP

第三讲椭圆1.[2024八省市新高考适应性考试]椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦点为F1,F2A.1 B.2 C.3 D.22.[2024广东深圳模拟]已知动点M在以F1,F2为焦点的椭圆x2+y24=1上,动点N在以M为圆心,|MF1|为半径的圆上,则|NF2|的最大值为A.2 B.4 C.8 D.163.[2024安徽省示范中学名校联考]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别为其左、右焦点,|F1F2|=22,B为短轴的一个端点,△BFA.4 B.8 C.1+3324.[2024福建省三明市模拟]已知P是椭圆x225+y29=1上一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,且∠F1PF2=60°,则△F1PFA.33 B.23 C.3 D.35.[多选题]已知P是椭圆E:x24+y2m=1(m>0)上随意一点,M,N是椭圆上关于坐标原点对称的两点,且直线PM,PN的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0),若|k1|+|kA.椭圆E的方程为x24+yB.椭圆E的离心率为1C.曲线y=log3x-12D.直线2x-y-2=0与E有两个公共点6.[2024全国卷Ⅲ,5分]设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F7.[2024洛阳市第一次联考]已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)与双曲线C2:x2a22-y2b22=1(a2>0,b2>0)有相同的焦点F1,F2,点P是曲线C1与C2的一个公共点,e1,e8.[2024惠州市二调]已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,左、右焦点分别是F1,F2,且△F1AB的面积为2-329.[2024贵阳市四校其次次联考]在平面直角坐标系中,椭圆C:x2a2+y(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆C左焦点F1的直线l(不与坐标轴垂直)与椭圆C交于A,B两点,若点H(-13,0)满意10.[2024陕西省百校第一次联考]已知椭圆x2a2+y2b(1)求椭圆的方程;(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点,若AC·DB+AD·CB=10,求k的值.11.[2024黑龙江大庆调研]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),过原点的直线交椭圆于A,B两点,以AB为直径的圆过右焦点F,若∠FAB=α,α∈[A.[22,3-1] B.[22,C.(0,22] D.[612.[2024四川遂宁模拟]已知椭圆T:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长半轴长为2,且过点M(0,1).若过点M引两条相互垂直的直线l1,l2,P为椭圆上随意一点,记点P到l1,l2的距离分别为d1,dA.2 B.433 C.513.[2024四川五校联考]设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为53,以F1A.13 B.12 C.314.[2024江西南昌模拟]已知F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A,若AF1⊥AFA.x26+y22=1 B.C.x28+y22=1 D.15.[2024广东七校联考]已知椭圆C的方程为x2a2+y2b16.[2024四省八校联考]设点P是椭圆C:x28+y217.[2024山东枣庄模拟][递进型]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线3x-y+43=0过点F1且与C在其次象限的交点为P,若∠POF1=60°(O为坐标原点),则F18.[2024河北六校第一次联考]已知P(2,3)是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,以点P及椭圆的左、右焦点F(1)求椭圆C的标准方程;(2)过F2作斜率存在且相互垂直的直线l1,l2,M是l1与C两交点的中点,N是l2与C两交点的中点,求△MNF2面积的最大19.[2024广西北海市高三一模][数学与物理综合]2024年3月9日,我国在西昌卫星放射中心用长征三号运载火箭,胜利放射北斗系统第54颗导航卫星,第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是115R,13R,则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是A.25 B.15 C.220.[多选题]历史上,很多人探讨过圆锥的截口曲线.如图9-3-1,在此圆锥中,圆锥的母线与轴的夹角为30°,现有一截面与圆锥的一条母线垂直,与轴的交点O到圆锥顶点M的距离为1,下列关于所得截口曲线的命题中说法正确的是()A.该曲线为椭圆B.点O为该曲线上随意两点之间的线段中最长的线段的三等分点C.该曲线上随意两点间的距离中最长的距离为1D.该曲线上随意两点间的距离中最短的距离为2图9-3-1答案第三讲椭圆图D9-3-31.C如图D9-3-3所示,由题意可得△AF1F2为等边三角形,所以∠AF2O=π3,|AF1|=|AF2|=m2+1,所以sin∠AF2O=sinπ3=|AO2.B由椭圆的方程可得焦点在y轴上,长半轴长a=2.由题意可得|NF2|≤|F2M|+|MN|=|F2M|+|MF1|,当N,M,F2三点共线且M在线段NF2上时,|NF2|取得最大值,而此时|NF2|=|F2M|+|MN|=|F2M|+|MF1|=2a=4,所以|NF2|的最大值为4,故选B.3.B由题意可知c=2,S△BF1O=12bc=224.A解法一由椭圆标准方程,得a=5,b=3,所以c=a2-b2=4.设|PF1|=t1,|PF2|=t2,由椭圆的定义可得t1+t2=10①.在△F1PF2中,∠F1PF2=60°,依据余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°=|F1F2|2=(2c)2=64,整理可得t12+t22-t1t2=64②.把①两边平方得t12+t22+2t1t2=100③.由③-②可得t1t2=12,所以S△解法二由椭圆焦点三角形的面积公式,得S△F1PF2=b2tan5.ACD设P(x0,y0),M(x1,y1),x0≠±x1,y0≠±y1,则N(-x1,-y1),x024+y02m=1,x124+y12m=1,所以y02=m-m4x02,y12=m-mx124,k1k2=y0-y1x0-x1·y6.(3,15)不妨令F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,依据题意可知a=6,c=36-20=4.因为△MF1F2为等腰三角形,所以易知|F1M|=2c=8,所以|F2M|=2a-8=4.设M(x,y),则x236+7.92设点P在双曲线的右支上,F2为两曲线的右焦点,由椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.设|F1F2|=2c,因为PF1⊥PF2,所以(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,整理得a12+a228.[1,4]由已知得2b=2,故b=1,∴a2-c2=b2=1①.∵△F1AB的面积为2-32,∴12(a-c)b=2-32,∴a-c=2-3②.由①②联立解得,a=2,c=3.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=4,∴1|PF1|+1|PF2|=|PF1|+|PF9.(1)由题意得2c=2,即c=1,所以a2=b2+c2=b2+1,将(1,22)代入x2b2+1+y即2b2+b2+1=2b2(b2+1),整理得(2b2+1)(b2-1)=0,解得b2=-12(舍去)或b2=1,则a2所以椭圆C的方程为x22+y(2)由题意得F1(-1,0),设直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立椭圆C与直线l的方程,可得x2+2k2(x+1)2=2,整理得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,则Δ=16k4-4(2k2+1)(2k2-2)=8(k2+1)>0,且x1+x2=-4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1.设AB的中点为M(x0,y因为点H(-13,0)满意所以kMH=-1k,即k2k则x1+x2=-4k22k2+1=-43所以|AB|=k2+1·(x1+x210.(1)由题意知,a+c=3+1,a-c=3-1.又a2=b2+c2,所以可得b=2,c=1,a=3,所以椭圆的方程为x23+(2)由(1)可知F(-1,0),则直线CD的方程为y=k(x+1),由y消去y得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.Δ=36k4-4(2+3k2)(3k2-6)=48k2+48>0.设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=-6k22+3k2,x1又A(-3,0),B(3,0),所以AC·DB+AD·CB=(x1+3,y1)·(3-x2,-y2)+(x2+3,y2)·(3-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+2=10,解得k=±105图D9-3-411.B设椭圆的另一个焦点为F',连接AF',BF,BF',如图D9-3-4所示,则四边形AFBF'是矩形,所以|AB|=|FF'|=2c,|FA|=2c·cosα,|FB|=2c·sinα,由椭圆的定义可知,|FA|+|AF'|=|FA|+|FB|=2a,即2c·cosα+2c·sinα=2a.所以离心率e=ca=1sinα+cosα=12sin(α+π4).因为α∈[π12,π3],所以π4+α∈[12.B由题意可得a=2,b=1,所以椭圆的方程为x24+y①若直线l1,l2中的一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率为0,不妨设直线l1的方程为x=0,则l2的方程为y=1.则d12+d22=x2+(1-y)2,因为P在椭圆上,所以x所以d12+d22=5-3y2-2y=5-3(y+13所以当y=-13时,d12+d22有最大值163,所以d12+则l2的方程为y=-1k则d1=|kx-y+1|所以d12+d=x2+y2-2y+1=4-4y2+y2-2y+1=5-3y2-2y,由①可得d12+13.B解法一由题意可知,|F1F2|=2c,又由e=ca=53得c=53a,所以|F1F2|=253a.因为点P是以F1F2为直径的圆与椭圆C在第一象限的交点,故PF1⊥PF2且|PF1|>|PF2|,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.又|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|·|PF2|=89a2,所以|PF1|=43a,|PF2|=23a,所以直线PF1的斜率kP解法二因为e=ca=53,故可设a=3,c=5,则b=2,S△PF1F2=b2tan∠F1PF22=b2tan45°=12|PF1|·|PF2|=4.因为点P在第一象限,所以|PF1|>|PF2|,又|PF1|+|PF2|=2a=6,故|PF114.A因为点A在椭圆上,所以|AF1|+|AF2|=2a,把该等式两边同时平方,得|AF1|2+|AF2|2+2|AF1||AF2|=4a2.又AF1⊥AF2,所以|AF1|2+|AF2|2=4c2,则2|AF1||AF2|=4a2-4c2=4b2,即|AF1||AF2|=2b2,所以S△AF1F2=12|AF1||AF2|=b2=2.因为△AF1F2是直角三角形,∠F1AF2=90°,且O为F1F2的中点,所以|OA|=12|F1F2|=c.不妨设点A在第一象限,则∠AOF2=30°,所以A(32c,12c),所以S△AF1F2=12|F1F2|·115.32设直线l与椭圆C在第一象限内的交点为A(x1,y1),则y1=24x1,由|AB|=2c,可知|OA|=x12+y12=c(O为坐标原点),即x12+(24x1)2=c,解得x1=223c,所以A的坐标为(223c,13图D9-3-516.[42-17,42+17]如图D9-3-5,设F'是椭圆的左焦点,连接AF',PF',则F'(-2,0),∴|AF'|=42+1∵|PF|+|PF'|=2a=42,∴|PA|+|PF|=|PA|+2a-|PF'|≤2a+|AF'|=42+17,|PA|+|PF|=|PA|+2a-|PF'|=2a-(|PF'|-|PA|)≥2a-|AF'|=42-17.∴|PA|+|PF|的取值范围是[42-17,42+17].17.(4,0)3-1因为直线3x-y+43=0过左焦点F1,所以F1的坐标为(-4,0),F2的坐标为(4,0).因为直线3x-y+43=0的斜率为3,所以∠OF1P=60°,又∠POF1=60°,所以△F1OP是等边三角形,过点P作PD⊥F1F2,垂足为D,则D为F1O的中点,所以|DP|=|F1D|tan60°=23,所以P点的坐标为(-2,23),所以2a=|PF1|+|PF2|=4+62+(23)2=4+4318.(1)由点P(2,3)在椭圆上,可得2a2+整理得2b2+3a2=a2b2①.由S△PF1F2=所以a2=b2+c2=b2+4,代入①式整理得b4-b2-12=0,解得b2=4,a2=8.所以椭圆C的标准方程为x28+(2)由(1)可得F2(2,0),所以设直线l