甘肃省靖远县2024届中考四模数学试题含解析

甘肃省靖远县2024年中考四模数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.已知抛物线）=d+3向左平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是（）

A.y=（x+2）2+3B.y=（x-2）2+3C.j=x2+lD.J=X2+5

2.在同一直角坐标系中，二次函数y=x2与反比例函数y=（（x>0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的

点A（xi，m）,B（xz，m）,C（X3,m）,其中m为常数，令a）=xi+x2+x3，则co的值为（）

3.将一副直角三角尺如图放置，若NAOD=20。，则NBOC的大小为（）

C.170°D.150°

4.如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EFLAC分别交DC于F,交AB于点E,点G是AE中点

且NAOG=30。，则下列结论正确的个数为（）DC=3OG；（2）OG=-BC；（3）△OGE是等边三角形；（4）

2

FR

A.1B.2C.3D.4

5.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG,动点P从点A出发，沿A—D—E-F—G—B

的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B）,则4ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致

是（）

6.如图,在R3ABC中,ZC=90°,NCAB的平分线交BC于D,DE是AB的垂直平分线，垂足为E,若BC=3,

则DE的长为（）

D.4

7.计算-2+3的结果是（）

A.1B.-1C.-5D.

8.如图，在RSABC中,ZACB=90°,CD±AB,垂足为D,AB=c,NA=a,则CD长为（）

C

C.c*sina*tanaD.c*sina*cosa

9.-2的相反数是（)

1

A.-2B.2c.一D.

22

10.如图，在△ABC中，EFZ/BC,AB=3AE,若S四边形BCFE=16,则S“BC=()

E,

B

A.16B.18C.20D.24

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如果一个直角三角形的两条直角边的长分别为5、12,则斜边上的高的长度为.

12.计算：------.

a2a

13.如图，在等腰AABC中，AB=AC,BC边上的高AD=6cm,腰AB上的高CE=8cm,贝！|BC=cm

14.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，贝！JsinA的值为

15.如图，已知抛物线y=-犬—2x+3与坐标轴分别交于A,B,C三点，在抛物线上找到一点D,使得NDCB=NACO,

则D点坐标为.

16.一个扇形的弧长是»力,它的面积是屿万，这个扇形的圆心角度数是.

33

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元，计

划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件.

（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500,则甲种服装最多购进多少件？

（2）在（1）条件下，该服装店在5月1日当天对甲种服装以每件优惠a（0<a<20）元的价格进行优惠促销活动，乙

种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？

18.（8分）重百江津商场销售AB两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A商

品和5件B种商品所得利润为1100元.求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元？由于需求量

大A、B两种商品很快售完，重百商场决定再次购进A、B两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利

润不低于4000元，那么重百商场至少购进多少件A种商品？

19.（8分）某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售

量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+L设这种产品每天的销售利润为W元.

（1）该农户想要每天获得150元得销售利润，销售价应定为每千克多少元？

（2）如果物价部门规定这种农产品的销售价不高于每千克28元，销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？

最大利润是多少元？

20.（8分）某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动.“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校

的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如

下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题：求被调查的学生人数；补全条形统计图；已知该校有1200

名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？

°文学艺体科普其他类别

21.（8分）如图，在AABC中，ZACB=90°,ZABC=10°,△CDE是等边三角形，点D在边AB上.

EB；如图2,当点E在AABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；如图1,当点E在△ABC外部时，

EHLAB于点H,过点E作GE〃AB,交线段AC的延长线于点G,AG=5CG,BH=1.求CG的长.

22.（10分）如图，某校数学兴趣小组要测量大楼AB的高度，他们在点C处测得楼顶B的仰角为32。，再往大楼AB

方向前进至点D处测得楼顶B的仰角为48。，CD=96m,其中点A、D、C在同一直线上.求AD的长和大楼AB的

高度（结果精确到2m）参考数据：sin48°=；2.74,cos48°=2.67,tan48°«2.22,73-2.73

23.（12分）如图，抛物线股-与x轴交于A,B两点（A在5的左侧），与y轴交于点C.

（1）求点A,点3的坐标；

（2）P为第二象限抛物线上的一个动点，求AACP面积的最大值.

24.知识改变世界，科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用

C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆

应沿北偏东60。方向行驶至B地，再沿北偏西37。方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离.（参考数据:

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、A

【解题分析】

结合向左平移的法则，即可得到答案.

【题目详解】

解：将抛物线》=必+3向左平移2个单位可得j=(x+2)2+3,

故选A.

【题目点拨】

此类题目主要考查二次函数图象的平移规律，解题的关键是要搞清已知函数解析式确定平移后的函数解析式，还是已

知平移后的解析式求原函数解析式，然后根据图象平移规律“左加右减、上加下减“进行解答.

2、D

【解题分析】

本题主要考察二次函数与反比例函数的图像和性质.

【题目详解】

令二次函数中y=m.即x2=m,解得x=标或x=-标令反比例函数中y=m,即gm,解得x=(,将x的三个值相加得到8=际+

(-标)+:=£所以本题选择D.

【题目点拨】

巧妙借助三点纵坐标相同的条件建立起两个函数之间的联系，从而解答.

3、B

【解题分析】

试题分析：根据NAOD=20。可得：ZAOC=70°,根据题意可得：ZBOC=ZAOB+ZAOC=90°+70°=160°.

考点：角度的计算

4、C

【解题分析】

VEF1AC,点G是AE中点，

1

.•.OG=AG=GE=-AE,

2

,."ZAOG=30°,

•,.ZOAG=ZAOG=30°,

ZGOE=90o-ZAOG=90°-30o=60°,

.•.△OGE是等边三角形，故(3)正确；

设AE=2a,贝!!OE=OG=a,

由勾股定理得，AO=7AE2-0E-=7（2a）2-«2=^a，

；O为AC中点,

-,.BC=-AC=V3a

2

在RtAABC中，由勾股定理得，AB==3a,

•••四边形ABCD是矩形,

，CD=AB=3a,

/.DC=3OG,故（1）正确;

VOG=a,-BC=^«,

22

/.OG#-BC,故（2）错误;

2

SAAOE=—a*yj3a=指"

22

SABCD=3a・J3a=36a2,

SAAOE=—SABCD>故(4)正确;

6

综上所述，结论正确是(1)(3)(4)共3个,

故选C.

【题目点拨】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定、勾股定理的应用等，正确地识图，结合已知找到有用的条

件是解答本题的关键.

5、B

【解题分析】

解：当点尸在上时，AABP的底A8不变，高增大，所以AA3P的面积S随着时间f的增大而增大;

当点尸在。E上时,△的底AB不变,高不变,所以△ABP的面积S不变;

当点P在E尸上时,△ABP的底AB不变,高减小,所以△ABP的面积S随着时间t的减小而减小

当点尸在FG上时,AABP的底AB不变,高不变,所以AARP的面积S不变;

当点P在G3上时,△的底AB不变,高减小,所以△ABP的面积S随着时间t的减小而减小;

故选B.

6、A

【解题分析】

试题分析：由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得NB=NCAD=NDAB=30。，；DE垂直平分AB,

/.DA=DB,/.ZB=ZDAB,；AD平分NCAB,/.ZCAD=ZDAB,VZC=90°,.*.3ZCAD=90°,

/.ZCAD=30°,TAD平分NCAB,DE1AB,CD±AC,/.CD=DE=^BD,VBC=3,，CD=DE=1

考点：线段垂直平分线的性质

7、A

【解题分析】

根据异号两数相加的法则进行计算即可.

【题目详解】

解：因为-2,3异号，且闺<|3|,所以-2+3=1.

故选A.

【题目点拨】

本题主要考查了异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.

8、D

【解题分析】

根据锐角三角函数的定义可得结论.

【题目详解】

Be

在ABC中，NAC5=90。，AB=c,ZA=a,根据锐角三角函数的定义可得si"a=——，

AB

BC=c*sina,

'：ZA+ZB=90°,Z£)CB+ZB=90°,

ZDCB=ZA=a

在及△OC3中，NCZ>B=90°,

,CD

".cosZ.DCB=----,

BC

CD=BC*cosa=c*sina*cosa,

故选D.

9、B

【解题分析】

根据相反数的性质可得结果.

【题目详解】

因为-2+2=0,所以-2的相反数是2,

故选B.

【题目点拨】

本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键.

10、B

【解题分析】

【分析】由EF〃BC,可证明△AEFSAABC,利用相似三角形的性质即可求出SAABC的值.

【题目详解】VEF#BC,

AAAEF^AABC,

VAB=3AE,

AAE：AB=1：3,

**•SAAEF:SAABC=1:9,

设SAAEF=X,

*«*S四边形BCFE=16，

.X_1

**16+x~9'

解得：x=2,

••SAABC=18,

故选B.

【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

60

11,—

13

【解题分析】

利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求出斜边上的高即可.

【题目详解】

解：•.•直角三角形的两条直角边的长分别为5,12,

二斜边为序］淳=13,

•.•三角形的面积=Jx5xl2=Lxl3h（h为斜边上的高），

22

.60

・・h=—.

13

故答案为：——.

13

【题目点拨】

考查了勾股定理，以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

1

12、—・

2a

【解题分析】

根据异分母分式加减法法则计算即可.

【题目详解】

…211

原式=7----丁=丁

2a2a2a

故答案为：•

2a

【题目点拨】

本题考查了分式的加减，关键是掌握分式加减的计算法则.

13、yV5

【解题分析】

AR3=BC,根据勾股定理列式计算即可.

根据三角形的面积公式求出——=:，根据等腰三角形的性质得到BD=DC

BC42

【题目详解】

；AD是BC边上的高，CE是AB边上的高,

11

.,.-AB«CE=-BC«AD,

22

；AD=6,CE=8,

AB3

»••_9

BC4

.AB2_9_

"BC7-16

VAB=AC,AD_LBC,

1

/.BD=DC=-BC,

2

VAB2-BD2=AD2,

191

.*.AB2=-BC2+36,即一BC2=—BC2+36,

4164

AR,口24q

解得：BC=­V5.

24r-

故答案为：—Vs.

【题目点拨】

本题考查的是等腰三角形的性质、勾股定理的应用和三角形面积公式的应用,根据三角形的面积公式求出腰与底的比

是解题的关

14、6.

5

【解题分析】

解：连接CE,

•.•根据图形可知DC=1,AD=3,AC=后+干=屈，BE=CE=a+]2=短，ZEBC=ZECB=45°,

•\CE_LAB,

、在0=普=也

ACW5

故答案为好.

5

考点：勾股定理；三角形的面积；锐角三角函数的定义.

57

15、(---，—),(-4,-5)

24

【解题分析】

求出点A、B、C的坐标，当D在x轴下方时，设直线CD与x轴交于点E,由于NDCB=NACO.所以

tanZDCB=tanZACO,从而可求出E的坐标，再求出CE的直线解析式，联立抛物线即可求出D的坐标，再由对称

性即可求出D在x轴上方时的坐标.

【题目详解】

令y=0代入y=-x2-2x+3,

x=-3或x=l,

/.OA=1,OB=3,

令x=0代入y=-x2-2x+3,

；.y=3,

.\OC=3,

当点D在x轴下方时，

二设直线CD与x轴交于点E,过点E作EGLCB于点G,

；OB=OC,

；.NCBO=45°,

*.BG=EG,OB=OC=3,

二由勾股定理可知：BC=30,

设EG=x,

.,.CG=30-x,

VZDCB=ZACO.

,,OA1

..tanZDCB=tanZACO=-----=—,

OC3

EG1

"CG3J

.372

••x=------,

4

L3

/.BE=yJ2x=—,

.3

AOE=OB-BE=-,

2

3

・・・E0),

2

设CE的解析式为y=mx+n,交抛物线于点Di,

3

把C(0,3)和E(-—,0)代入y=mx+n,

3=n

m=2

，解得：＜

0=----m+n〃=3

2

・•・直线CE的解析式为：y=2x+3,

y=2x+3

联立

—f—2x+3

解得：x=・4或x=0,

・・・D2的坐标为(-4,-5)

设点E关于BC的对称点为F,

连接FB,

.,.ZFBC=45°,

/.FB±OB,

.3

..FB=BE=—，

2

3

AF(-3,-)

2

设CF的解析式为y=ax+b,

3

把C(0,3)和(-3,-)代入y=ax+b

3=b

<3

-=-3a+b

12

一1

ci---

解得：\2,

b=3

直线CF的解析式为：y=；x+3,

■1c

y----x+3

联立，2

y=-—2x+3

解得：x=0或x=・7

2

一57

.♦.Di的坐标为(--，一)

24

57

故答案为7)或(-4,-5)

24

【题目点拨】

本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是根据对称性求出相关点的坐标，利用直线解析式以及抛物线的解析式即

可求出点D的坐标.

16、120°

【解题分析】

设扇形的半径为r,圆心角为废.利用扇形面积公式求出r,再利用弧长公式求出圆心角即可.

【题目详解】

设扇形的半径为〃圆心角为"。.

…以1816

由题意：---mr=—乃，

233

.\r=4,

.〃乃4?16

••--------=——7C

3603

An=120,

故答案为120°

【题目点拨】

本题考查扇形的面积的计算，弧长公式等知识，解题的关键是掌握基本知识.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)甲种服装最多购进75件，(2)见解析.

【解题分析】

(1)设甲种服装购进x件，则乙种服装购进(100-x)件，然后根据购进这100件服装的费用不得超过7500元，列出

不等式解答即可；

(2)首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案.

【题目详解】

(1)设购进甲种服装x件，由题意可知:80x+60(100-x)<7500,解得烂75

答：甲种服装最多购进75件，

(2)设总利润为W元，

W=(120-80-a)x+(90-60)(100-x)

即w=(10-a)x+1.

①当OVaVlO时，10-a>0,W随x增大而增大，

.•.当x=75时，W有最大值，即此时购进甲种服装75件，乙种服装25件；

②当a=10时，所以按哪种方案进货都可以；

③当10Va<20时，10-a<0,W随x增大而减小.

当x=65时，W有最大值，即此时购进甲种服装65件，乙种服装35件.

【题目点拨】

本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，以及一次函数的性质，正确利用x表示出利润是关键.

18、(1)200元和100元(2)至少6件

【解题分析】

(1)设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元.由售出1件A种商品和4件B种商品所

得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以;

(2)设购进A种商品a件，则购进B种商品(34-a)件.根据获得的利润不低于4000元，建立不等式求出其解即

可.

【题目详解】

解：(1)设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元.由题意,

fx+4y=600%=200

得《解得:

[3x+5y=n00y=100

答：A种商品售出后所得利润为200元，B种商品售出后所得利润为100元.

(2)设购进A种商品a件，则购进B种商品(34-a)件.由题意，得

200a+100(34-a)>4000,

解得：a>6

答：威丽商场至少需购进6件A种商品.

19、(1)该农户想要每天获得150元得销售利润，销售价应定为每千克25元或35元；(2)192元.

【解题分析】

(1)直接利用每件利润x销量=总利润进而得出等式求出答案；

(2)直接利用每件利润x销量=总利润进而得出函数关系式，利用二次函数增减性求出答案.

【题目详解】

(1)根据题意得:(x-20)(-2x+l)=150,

解得：xi=25,X2=35,

答：该农户想要每天获得150元得销售利润，销售价应定为每千克25元或35元；

(2)由题意得：W=(x-20)(-2x+l)=-2(x-30)2+200,

Va=-2,

二抛物线开口向下，当x<30时，y随x的增大而增大,

又由于这种农产品的销售价不高于每千克28元

.•.当x=28时，w最大二-2x(28-30)2+200=192(元).

•••销售价定为每千克28元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元.

【题目点拨】

此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，正确应用二次函数增减性是解题关键.

20、(4)60；(4)作图见试题解析；(4)4.

【解题分析】

试题分析：(4)利用科普类的人数以及所占百分比，即可求出被调查的学生人数；

(4)利用(4)中所求得出喜欢艺体类的学生数进而画出图形即可；

(4)首先求出样本中喜爱文学类图书所占百分比，进而估计全校最喜爱文学类图书的学生数.

60

考点：4.条形统计图；4.用样本估计总体；4.扇形统计图.

21、(1)证明见解析；(2)ED=EB,证明见解析；(1)CG=2.

【解题分析】

⑴、根据等边三角形的性质得出NCED=60。，从而得出NEDB=10。，从而得出DE=BE；

(2)、取AB的中点O,连接CO、EO,根据△ACO和△CDE为等边三角形，从而得出△ACD和△OCE全等，然后

得出△COE和△BOE全等，从而得出答案；

(1)、取AB的中点O,连接CO、EO、EB,根据题意得出△COE和△BOE全等，然后得出△CEG和△DCO全等，

设CG=a,则AG=5a,OD=a,根据题意列出一元一次方程求出a的值得出答案.

【题目详解】

(l)VACDE是等边三角形，

/.ZCED=60°,

...NEDB=60°-ZB=10°,

AZEDB=ZB,

/.DE=EB；

(2)ED=EB,理由如下：

取AB的中点O,连接CO、EO,

VZACB=90°,ZABC=10°,

ZA=60°,OC=OA,

•••△ACO为等边三角形，

.\CA=CO,

VACDE是等边三角形，

.\ZACD=ZOCE,

AAACD^AOCE,

AZCOE=ZA=60°,

AZBOE=60°,

AACOE^ABOE,

AEC=EB,

.*.ED=EB；

(1)、取AB的中点O,连接CO、EO、EB,由(2)ACD^AOCE,

AZCOE=ZA=60°,

AZBOE=60o,△COE^ABOE,

AEC=EB,

/.ED=EB,

VEH±AB,

/.DH=BH=1,

VGE/7AB,

/.ZG=180°-ZA=120°,

/.ACEG^ADCO,

ACG=OD,

设CG=a,贝!|AG=5a,OD=a,

AAC=OC=4a,

VOC=OB,

；・4a=a+l+l,

解得，a=2,

即CG=2.

3*——

D甘

22、AD的长约为225m,大楼AB的高约为226m

【解题分析】

首先设大楼AB的高度为xm,在RtAABC中利用正切函数的定义可求得AC二次AB=£X，然后根据NADB的正切

表示出AD的长，又由CD=96m,可得方程瓜—二=96,解此方程即可求得答案.

【题目详解】

解：设大楼AB的高度为xm,

在R3ABC中，VZC=32°,ZBAC=92°,

AC=———=百AB=A/3X,

tan30

AB

在RtAABD中，tanZADB=tan48°=一

AD

x

：.AD=

tan48°1.11

VCD=AC-AD,CD=96m,

•.心=96,

解得：xx226,

V

/.AD=------«x105

1.111.11

答：大楼AB的高度约为226m,AD的长约为225m.

【题目点拨】

本题考查解直角三角形的应用.要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意数形结合思想与方程思想

的应用.

23、(1)4(-4,0),B(2,0)；(2)AAC尸最大面积是4.

【解题分析】

(1)令尸0,得到关