利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离的问题（解析版）

共面直线面α的夹角．接下来在Rt△ABBI中解三角形．即sin∠BABI=(其中h即点B到面α两个平面称为二面角的面．(二面角α-l-β或者是二面角A-CD-B)(3)二面角的求法求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可).③计算：∠ABO为二面角α-c-β的平面角，在Rt△ABO中解三角形.凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影M,N,E,F分别是DD1,BC,C1D1的中点，则异面直线MN与EF所成的角为()所以异面直线MN与EF所成的角的平面角为∠FEH，又AB=2，则EH=FH=，FE=所以∠FEH=，例2.(2022·四川内江·模拟预测(理))如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥面ACC1A1，CA=CC11而EC⊥CC1⊥面BCC1B1，在△BDE中cos∠BDE=A1GA.C.A.C.B.,/1459+5-6459+5-6451A.B.A.B.C.D.由题意知OC⊥AB，OC⊥PO，AB∩PO=O，AB，PO⊂平面POB，又平面POC∩平面POB=PO，DE⊂平面POB且DE⊥PO，所以DE⊥CE．又DE=OB=3，所以CD=DE2+CE2=4，3分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于(A.B.A.B.C.D.F，即上AMF为异面直线AM与CN所成的角，=在△AMF中，有余弦定理可知AF2=AM2+MF2-2AM.MF.cos上AMF，BC=CD，P为AC的中点，则直线BPA.B.C.D.A.B.A.B.C.D.C.4条D.无数条D11B=A1D=BD，即直线BA1和B1D1所成角∠A1BD=60∘,AIBD垂直的平面内转动时，I绕着点B从∠AIBD的邻补角的平分线开始在过该平分线2A=2A.θ∈(0,B.θ∈(0,,R21=1,R2=2，∥SD，∠ASD=θ,而tanθ=由圆的性质，1=R2-O2D≤AD≤O2D+R2=3，所以tanθ=所以I②同理，∠APE=π-θ,将∠APE的角平分线绕着P向上或向下旋转可得两条直线与a、b的夹角均为,则又∵0<θ≤,∴θ∈(.例11.(2022·江苏常州·模拟预测)在三棱锥A-BCD中，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=2，BC=CD=4，则AC与BD所成角的余弦值为.【解析】如图，取BC,AB,AD中点E,F,G，连接EF,FG,EG，BCD，所以HG⊥EH，又GH=AB=1，EH=CD=2，_________________A1BD于O所以∠AEO是AE与平面A1BD所成AOEOAOEO在四面体A-A1BD中，BD=A1D=A1B=AA1=A1B1=B1C1=1，AB=2，则AC与平面BCC1B1所成的角为,AC=22,AC，2+BD2=CD2，VD-ABC=VA-BCD，(1)证明：BC⊥PD；(2)若AC⊥PB，PA=3，求直线PA与平面PBC所成的角的正弦值.∵PB=PC，E为BC中点∴PE⊥BC∵底面ABC是直角三角形，AC=BC=2，∴AC⊥BC即DE⊥BC∵PE∩DE=E,PE,DE⊂平面PDE∴BC⊥平面PDE，∴BC⊥PD且PB∩BC=C,PB,BC⊂平面PBC∴AC⊥平面PBC，∴直线PA与平面PBC所成的角为∠APC在Rt△APC中，AC=2,PA=3∴直线PA与平面PBCF为AC上一点.(1)求证：平面ACE⊥平面BDF；ACD所成角的正弦值的最大值.则AE⊥BD,CE⊥BD，BD⊂平面BDF，所以平面ACE⊥平面BDF.(2)依题意不妨设BC=CD=2，∠BCD=90°,则BD=2、2,CE=、2，又∠BAD=60°,则AB=AD△AEC=AE⋅CEsin∠AEC=×6×2×=2.-ACD=S△AEC⋅BD=，因AD2+CD2=12=AC2，即∠ADC=90∘,则S△ACD=AD⋅CD=2√2. 、 设直线BF与平面ACD所成角为θ,所以sinθ==BF 、 =因为AB2+BC2=12=AC2，所以∠ABC=90∘,故当BF⊥AC时，BF最短，此时=例16.(2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习)如图，已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，且AB∥DC,4AB=DC,PM=PC.(1)求证：PA∥平面MDB；(2)当直线PC,PA与底面ABCD所成的角都为，且DC=4,DA⊥AB时，求出多面体MPABD的体积.因为AB∥CD，所以OA=AB因为PM=所以PM=1所以OM∥PA，又OM⊂平面MDB，PA⊄平面MDB所以PA∥平面MDB；(2)因为PD⊥平面ABCD，所以∠PAD即为直线PA与底面ABCD所成的角的平面角，∠PCD即为直线PC与底面ABCD所成的角的平面角，所以∠PAD=∠PCD=，所以PD=AD=CD=4，S梯形ABCD==10，S△BCD=×4×4=8，设点M到平面ABCD的距离为h，因为PM=PC，所以h=PD=，P-ABCD33，P-ABCD33，例17.(2022·全国·高三专题练习(文))已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，M是MB；(2)点P是直线AC1上的一点，当AC1与平面ABC所成时，求三棱锥P-A1MB的体积.，1MB.∵CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，则tan∠CAC1==2AC=4，∵AC11MBMC=S△ABC=×22=例18.(2022·四川省泸县第二中学模拟预测(文))如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，角的正弦值.所以AD⊥平面SEF.又AD⊂平面ABCD．所以平面SEF⊥平面ABCD.=4，SE==2．又EF=AB=2，点，P是BM的中点．将矩形AMND沿MN折起，形成多面体AMB-DNC.(2)若二面角A-MN-B大小为120°,求直线AP与平面ABCD所成角的正弦值.∵四边形AMND为矩形又∵P为BM的中点∵BD⊄平面ANP，OP⊂平面ANP，(2)∵AM⊥MN，BM⊥MN，∴∠AMB即为二面角A-MN-B的平面角，∠AMB=120∘,且MN⊥平面ABM，∴BC⊥平面ABM，∵BC⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ABM过P作PQ⊥AB于点Q，∴PQ⊥平面ABCD，∴∠PAB即为AP与平面ABCD所成角，AM=MB=2，AB=2，PB=1，∴PQ=，BQ=，∴AQ=轴截面，EF是圆柱上异于AD,BC的母线.(1)证明：BE⊥平面DEF；(2)若AB=BC=、6，当三棱锥B-DEF的体积最大时，求二面角B-DF-E的正弦值.BE．因为AD,EF是圆柱的母线，所以AD∥EF且AD=EF，所以四边形AEFD是平行四边形.ABE，又因为BE⊂平面ABE，所以EF⊥BE．又因为DF∩EF=F，DF、EF⊂平面DEF，所以BE⊥平面DEF.EF⊥AE,AE∥DF，所以EF⊥DF，即底面三角形DEF是直角三角形．设DF=AE=x,BE=y，则在Rt△ABE中有：x2+y2=6，锥B-DEF的体积最大，(另等积转化法-DEF=-BEF=-BCF=-CDF=S△CDF⋅BC下面求二面角B-DF-E的正弦值：又因为EF⊥DF,EF∩BE=E，所以DF⊥平面BEF.因为BF⊂平面BEF，所以BF⊥DF，所以∠BFE是二面角B-DF-故sin∠BFE=所以二面角B-DF-E的正弦值为.例21.(2023·全国·高三专题练习(理))如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC(1)证明：PO⊥平面ABC；角M-PA-C的平面角的余弦值.法一：∵AB=BC=2,AC=22，∴AB2+BC2=AC2，即△ABC是直角又O为AC的中点，∴OA=OB=OC又∵PA=PB=PC，∴ΔPOA≅ΔPOB≅ΔPOC∴∠POA=∠POB=∠POC=90∘.∴PO⊥AC,PO⊥OB,OB∩AC=O，OB、AC⊂平面ABC∴PO⊥平面ABC.法二：连接OB，∵PA=PC，O为AC的中因为AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=22∴AB⊥BC,BO=、2,PO=、6∴PO2+OB2=PB2，∴PO⊥OB∴PO⊥AC,PO⊥OB,OB∩AC=O，OB、AC⊂平面ABC.∴PO⊥平面ABC.(2)由(1)知，PO⊥面ABC∴OM为PM在面ABC上的射影，∴∠PMO为PM与面ABC所成角，∴tan∠PMO=，∴OM=1，作ME⊥AC于E，∴E为OC的中点，作EF⊥PA交PA于F，连MF∴MF⊥PA∴∠MFE即为所求二面角M-PA-C的平面角，ME=224=4=4244、ME×=EF2=4、ME×=EF2=上的点.(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(1)因为PA丄平面ABC，BCC平面ABC，所以PA丄BC，所以上DEC是二面角C--PB--A的平面角，、、所以二面角C--PB点，平面BEF丄平面ABB1A1，M是AB的中点.(2)若AC=AE=2，求平面BEF与平面ABC夹角的大小.过F在平面BEF内作FN丄BE，垂足为“平面BEF丄平面ABB1A1，平面BEF∩平面ABB1A1=BE，:FN丄平面ABB1A1，:CMⅡFN，“CM丈平面BEF，FNC平面BEF，:CMⅡ平面BEF.:CFⅡNM，:四边形CFNM是平行四边形，又MNⅡAE且MN=AE，所以CF=NM=AE=1，则平面BEF与平面ABC所成的角就是二面角E-BG-A，:上EBA是二面角E-BG-A的平面角，又AE=AB，AB丄AE，点F为线段AB上的动点.(2)当F为AB中点时，求二面角E-DF-C的正切值.因为EFⅡ平面ADD1A1,EFC平面EFAG，平面EGAF∩平面ADD1A1=GA，所以GE=AF.所以EH丄DF，又HM丄DF，所以DF丄EM.所以上EMH是二面角E-DF-C的平面角.在Rt△ADF中，DF=、AD2+AF2=a，则S△DHF=DF.MH=DH.AD→MH=a,:tan上EMH==、5.即二面角E-DF-C的正切值为、5.(2)求平面EBD与平面BDC夹角的正弦值；EFC平面ABE，所以上EOC是二面角E-BD-C的平面角，所以平面EBDBC.现将△ABD沿BD折起，使得点A到E的位置.(1)试在BC边上确定一点F，使得BD丄EF；(2)若平面EBD丄平面BCD，求二面角E-BC-D所成角的正切值.2BD，所以△BAD一△BDC，在四边形ABCD内过点A作AM丄BD于点M，有EM丄BD，MF丄BD，所以BD丄平面EFM，也为EFC平面EFM，所以BD丄EF，(2)过点M作MN丄BC交BC于点N.所以EM丄平面BCD.则有EN丄BC.所以上ENM即为二面角E-BC-D的平面角，所以二面角E-BC-D所成角的正切值为2.(2)若AC=4，求二面角E-BD-C的余弦值.(1)作DF丄AC于F，连接DF，BF，“平面PAC丄平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，DF丄AC，PEC面PAC:DF丄平面ABC.“DFⅡPE．:PE丄平面ABC，ACC平面ABC:DF丄AC，“AC丄BD，BD∩DF=D，BD，DFC平面BFD，:AC丄平面BFD，BFC平面BFD，:AC丄BF，:AF=3FC，“AB丄BC，AC丄BF，:AB2=AF.AC,BC2=FC.AC故BD⊥EG，BD⊥CG，则∠EGC为二面角E-BD-C的平面角.所以二面角E-BD-C的余弦值为.余弦值.所以cos∠DCE=(1)求直线BP与平面PACQ所成角的正弦值；(2)求平面BPQ与平面DPQ的夹角的大小；“四边形ABCD是菱形，:BD丄AC，BDC平面ABCD，:BD丄平面PACQ，:上BPO即为BP与平面ACQP所“四边形PACQ为矩形，:PA丄AC， :PA丄平面ABCD，:PA丄AB，:BP=AB2+PA2=4+1=5， 、、:BP=BQ，DP=DQ，:BM丄PQ，DM丄PQ，:上BMD即为二面角B-PQ-D的平面角，在△BDM中，BD=23，BM=DM=BP2-PM2=BP2AC(2=5-1=2，,:上BMD=,面QAD丄平面ABCD.(2)若点Q到平面ABCD的距离为2，记二面角B-QD-A的正切值(1)在四棱锥Q-ABCD中，ABCD是正方形，则AB丄AD，平面ABCD， AN，“”=,(1)连接AC与BD交于点N，连接MN，:△CND一△ANB，又因为2EM=AM，:CEⅡMN，:CEⅡ平面BDM.:AE丄BM，∴AB=BE，∴M是AE的中点，∵平面ABE⊥平面ABCD，∴点E到平面ABCD的距离为d=4sin∴S△BDM=5=、15，例32.(2022·全国·模拟预测(文))如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AC=BC，PA=PB，且点C在以点O为圆心AB为直径的半圆AB上.(1)求证：AB⊥PC；(2)若AC=2，且PC与平面ABC所成角为，求点B到平面PAC的距离.又PC⊂平面OPC，故AB⊥PC的半圆AB上，AC=BC，AC=2，故OC=OP=OA=OB=VP-ABC=VB-PAC，即××2×2×、2(1)证明：BC⊥PD；又PB=PC，所以PE⊥BC，因为PD⊂平面PDE，所以BC⊥PD.由，因为PE⊥BC，CE=BC=1，PC=PB=，所以PE=因为AC⊥BC，所以AE=又PA=3，所以PE2+AE2=PA2，即AE⊥PE，因为PE⊥BC，BC∩AE=E，BC，AE⊂平面ABC，所以PE⊥平面ABC，因为D是AB的中点，所以-ACD=-ABC=因为PE⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，所以PE⊥DE，所以S△PCD=设点A到平面PDC的距离为d，因为VP-ACD=VA-PCD，例34.(2022·全国·高三专题练习)如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，AB⎳DC,AB⊥BC，AB=3DC=3,BC=6，点P在面ADD1A1上，过点P和棱BB1的平面把直棱∵ABCD-A1B1C1D1为直棱柱，∴BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥BQ,BB1⊥BC∴∠QBC为截面与直棱柱的侧面BCC1B1所成角的平面角.过Q作QH⊥AB，垂足为H,∵AB⊥B1C1，∴QH⎳BC,∴∠QBC=∠BQH，由题意可得：∴SABCD=2S△ABQ=12，∴S△ABQ=×3×QH=6，∴QH=4.过Q作QM⊥BC，垂足为M，则∴SQBCD=S△MBQ+S△MCDQ=×4×QM+×(QM+1(×2=6，所以,AH=，∴tan∠PB1C1=tan∠QBM=∵BB1⊥平面ABCD,∴平面BB1PQ⊥平面ABCD，交线为BQ，过D作DT⊥BQ，垂足为T,∴DT⊥平面BB1PQ，则DT的长度为棱DD1到截面所在平面的距离.因为S△BCD=×6×1=3，SQBCD=SABCD=6，S△QBD=SQBCD-S△BCD=3，(1)求PB与平面BCDE所成角的正弦值；因为平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE=DE，所以OP⊥平面BCDE.因为BC=4，则DE=BC=2，所以OP=OF=所以sin∠OBP=所以OP⊥BC.又OF⊥BC，OP∩OF=O，所以BC⊥平面OPF.所以平面PBC⊥平面OPF.因为平面PBC∩平面OPF=PF，在Rt△OPF中，OP=OF=C1在平面AA1B1B上的射影恰是AB的中点H，M是C