《线性代数（第3版）》全套教学课件

第1章矩阵及其初等变换第2章行列式第3章可逆阵及n×n型线性方程组第4章向量组的线性相关性与矩阵的秩第5章线性方程组第6章向量空间及向量的正交性第7章方阵的特征值与相似对角化第8章2次型第9章线性空间及其线性变换全套可编辑PPT课件矩阵的概念及其运算向量与分块阵初等变换与初等阵1.11.21.3目录/第1章矩阵及其初等变换1.1矩阵的概念及其运算1.1.1矩阵的概念定义1-1

由m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列的矩形数表注意矩阵的两侧为圆括号或方括号.称为m×n型矩阵.通常用黑体大写英文字母表示矩阵,上面的矩阵可简记为A=(aij)m×n或Am×n.1.1.1矩阵的概念

数aij位于矩阵A

的第i行和第j列相交处,叫作A

的(i,j)元,i和j分别称为aij的行标和列标.若矩阵A

和B

的行数相同且列数也相同,则称矩阵A

和B

是同型矩阵,简称矩阵A和B同型.若矩阵A

和B

同型,并且其对应的元素aij和bij都相等,则称矩阵A和B相等,记作A=B元素都是实数的矩阵叫作实矩阵,元素是复数的矩阵叫作复矩阵.本书主要在实数范围内讨论问题,如果不做说明,所讨论的矩阵均指实矩阵.所有m×n型实矩阵的集合记作Rm×n.1.1.2几种特殊的矩阵只有一行的矩阵(a1a2…an)称为行矩阵.习惯上记作(a1,a2,…,an)只有一列的矩阵称为列矩阵.

n×n型矩阵A=(aij)n×n常称为n阶方阵或n阶矩阵.

n阶方阵A

中自左上角到右下角的直线叫作A

的主对角线,自左下角到右上角的直线叫作A

的副对角线,位于主对角线上的元素a11,a22,…,ann叫作A

的对角元.1.1.2几种特殊的矩阵元素都为零的矩阵称为零矩阵,记作O

或Om×n.形如的方阵分别称为上三角阵、下三角阵和对角阵.这三类矩阵统称为三角阵,其中,对角阵可记为diag(a11,a22,…,ann).对于三角阵,为了方便,对角线上(下)方全为零的部分也可省去不写.例如,上面的对角阵也可记作对角元都相同的对角阵diag(a,a,…,a)称为数量矩阵.对角元都为1的对角阵叫作单位阵,专用En表示n阶单位阵,简记为E.也可以用I表示单位阵.1.1.3矩阵的线性运算

定义1-2设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n,规定矩阵A

与B

的和为A+B=(aij+bij)m×n即两个矩阵的加法就是把它们对应的元素相加.令-B=(-bij)m×n,把-B叫作B的负矩阵,矩阵的减法规定为A-B=A+(-B)事实上,A减B

就是将A与B的对应元素相减.注意

只有两个同型矩阵才能进行加法和减法运算.1.1.3矩阵的线性运算定义1-3数k与矩阵A=(aij)m×n的乘积规定为kA=Ak=(kaij)m×n即数k与矩阵A相乘就是把数k与矩阵A的每个元素相乘.矩阵的加法和数与矩阵的乘法这两种运算统称为矩阵的线性运算.容易证明,矩阵的线性运算具有以下性质(矩阵A,B,C,O为同型矩阵;k,l为数):(1)A+B=B+A;(2)(A+B)+C=A+(B+C);(3)A+O=A;(4)A+(-A)=O;(5)1A=A;(6)k(lA)=(kl)A(7)(k+l)A=kA+lA;(8)k(A+B)=kA+kB.1.1.3矩阵的线性运算【例1-1】已知并且2(X-A)+B=3A,求X.解首先利用线性运算的性质化简矩阵方程,再代入已知条件进行计算.由2(X-A)+B=3A得2X-2A+B=3A2X=5A-B1.1.4矩阵的乘法定义1-4设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,规定矩阵A与B的乘积是一个m×n型矩阵C=(cij)m×n,其中,注意只有当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时,才能作乘法运算AB;乘积AB的行数等于A的行数,列数等于B的列数;乘积AB的(i,j)元等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和.1.1.4矩阵的乘法1.1.4矩阵的乘法1.1.4矩阵的乘法下面我们来研究矩阵乘法的运算法则.首先注意,矩阵乘法的运算法则与数的乘法的运算法则有如下区别.(1)矩阵乘法不满足交换律,即一般AB≠BA.在进行乘法运算时,应注意不要随意调换矩阵的前后位置,否则会出错.AB≠BA的原因有3个:①AB可乘时,BA不一定可乘;②AB和BA都可乘时,其结果的类型不一定相同(见例1-2);③即使AB和BA的类型相同,对应的元素还不一定相同(见例1-3).若矩阵A和B满足AB=BA,则称矩阵A和B可交换.由矩阵乘法的定义可知,若A和B可交换,则A和B为同阶方阵.(2)矩阵乘法不满足消去律,具体表现为①A≠O时,由AB=AC一般不能得到B=C(见例1-3);②由AB=O一般不能得到A=O或B=O(见例1-3).③A≠O且B≠O时,AB未必一定不为O.1.1.4矩阵的乘法矩阵的乘法虽然不满足交换律和消去律,但仍满足下列结合律和分配律(假设运算都可行):(1)(AB)C=A(BC);(2)k(AB)=(kA)B=A(kB),其中k为数;(3)A(B+C)=AB+AC;(4)(B+C)A=BA+CA.对于单位阵E,容易验证EmAm×n=Am×nEn=Am×n这和数1在数的乘法中的作用类似.1.1.4矩阵的乘法有了矩阵的乘法,我们可以定义矩阵的幂.设A为n阶方阵,k为正整数,把k个A的连乘积叫作A的k次幂,记作Ak,即由矩阵乘法的结合律可以证明:当k和l为正整数时,有AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl因为矩阵乘法不满足交换律,所以对于两个n阶方阵A和B,一般地(AB)k≠AkBk

.注意很多关于数的涉及乘法的运算公式,如果把数换成矩阵,只有矩阵可交换时才成立.例如,只有当A与B可交换时,(A+B)2=A2+2AB+B2,(A+B)(A-B)=A2-B2等公式才成立.由于单位阵E与同阶方阵相乘时都可交换,所以上面的公式中,如果有一个矩阵为单位阵,则等式成立.1.1.4矩阵的乘法注意当运算结果是1×1型矩阵时,圆括号可省去不写.1.1.4矩阵的乘法在定义1-4中,cij也可写成即AB的(i,j)元等于A的第i行乘以B的第j列.1.1.4矩阵的乘法【例1-5】设矩阵A=(aij)n×n和B=(bij)n×n都是上三角阵,C=AB,证明C也是上三角阵,并且C的对角元cii=aiibii(i=1,2,…,n).注意A=(aij)n×n为上三角阵⇔i>j时,aij=0证明由A,B都是上三角阵可知,当i>j时,aij=0,bij=0.于是当i≥j时,有1.1.4矩阵的乘法类似地,可以证明:(1)两个同阶下三角阵的乘积仍为同阶下三角阵;(2)两个同阶对角阵的乘积仍为同阶对角阵.两个同阶对角阵相乘时,只需将对角元对应相乘.根据上面结论可得:1.1.5线性方程组的矩阵形式含有m个一次方程、n个未知数的方程组称为m×n型线性方程组,简称m×n型方程组.m×n型方程组的一般形式为则方程组(1-1)可表示成矩阵形式Ax=b1.1.5线性方程组的矩阵形式其中,A和b分别称为方程组(1-1)的系数阵和常数向量.由A和b合起来所构成的矩阵叫作方程组(1-1)的增广阵.增广阵(A,b)与方程组(1-1)是一一对应的,可用增广阵(A,b)代替方程组来进行有关方程组的研究和运算.当b=0时,方程组(1-1)称为齐次线性方程组;当b≠0时,方程组(1-1)称为非齐次线性方程组.注意线性代数起源于线性方程组的研究,矩阵是由于研究线性方程组的需要而产生的,线性代数中的很多概念都是由于研究线性方程组的需要而产生的.1.1.6矩阵的转置定义1-5把m×n型矩阵A=(aij)m×n的行与列的位置互换所得到的n×m型矩阵叫作A的转置阵,记作AT或A'.AT

的(i,j)元为A的(j,i)元aji(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m).矩阵的转置具有下列运算性质(其中,k是数):(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(kA)T=kAT;(4)(AB)T=BTAT.1.1.6矩阵的转置前3个性质易证,我们仅给出性质(4)的证明.设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,则AB是m×n型矩阵,(AB)T

是n×m型矩阵;BT是n×s型矩阵,AT

是s×m型矩阵,BTAT

也是n×m型矩阵,故(AB)T

与BTAT同型.又由于

(AB)T的(i,j)元=AB的(j,i)元1.1.6矩阵的转置1.1.7对称阵与反对称阵

定义1-6设A为n阶方阵,若AT=A(aij=aji;i,j=1,2,…,n),则A叫作对称阵;若AT=-A(aij=-aji;i,j=1,2,…,n),则A叫作反对称阵.对称阵的特点是关于主对角线对称的元素相等;反对称阵的特点是对角元全为零,并且关于主对角线对称的元素互为相反数.【例1-6】设A和B是同阶对称阵,证明:AB也是对称阵的充要条件是AB=BA.证明由题意知AT=A,BT=B,于是(AB)T=BTAT=BA.AB是对称阵⇔(AB)T=AB⇔AB=BA.1.2向量与分块阵1.2.1向量

定义1-7

n个有次序的数a1,a2,…,an

所组成的数组称为n元向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i(i=1,2,…,n)个数ai

称为第i个分量.分量全为实数的向量称为实向量,分量为复数的向量称为复向量.本书主要讨论实向量,若不加说明,所讨论的向量均指实向量.分量全为零的向量称为零向量,记作0.需要指明,分量个数为n时,记作0n.

n元向量可以写成一行的形式(a1,a2,…,an)也可写成一列的形式1.2.1向量分别称为行向量和列向量,也就是行矩阵和列矩阵.在本书中,用黑体小写字母a,b,α,β等表示列向量,用aT,bT,αT,βT

等表示行向量,并规定行向量和列向量都按矩阵的运算规则进行运算.因此,n元列向量注意

(a1,a2,…,an)T是一个列向量,经常把列向量写成这种形式.1.2.1向量所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时,都当作列向量.所有n元实的列向量的集合记作Rn.在本书中,用ei∈Rn

表示第i个分量为1,其余分量都为0的n元列向量.例如,若设e3∈R4,则分量个数相同的一组行向量称为一个行向量组,分量个数相同的一组列向量称为一个列向量组.1.2.2分块阵

定义1-8把矩阵A用若干条纵贯整个矩阵的横线和竖线分成许多小块(子矩阵),以这些小块为元素的形式上的矩阵称为A的分块阵.例如,设1.2.2分块阵(1)把m×n型矩阵A整个作为一块,此时A是一个1×1型的分块阵.(2)把m×n型矩阵A按列分块为A=(a1,a2,…,an),其中,a1,a2,…,an为A的n个列向量.根据问题的需要,也可将A按其他方式进行分块.下面是几种常用的分块方法:1.2.2分块阵1.2.2分块阵注意①计算乘积AB时,对A的列和B的行要采用相同的分块方法.②Aik在Bkj的左侧,不能随意交换位置.1.2.2分块阵注意分块阵转置除了行要变成列以外，每一子块的行也要变成列．1.2.2分块阵1.2.2分块阵1.2.2分块阵1.3初等变换与初等阵1.3.1初等变换(1)交换两个方程的位置.(2)用一个非零数乘以某个方程的两边.(3)把一个方程的倍数加到另一个方程上去.对线性方程组作如下三种变换,方程组的解不变.这三种变换叫作线性方程组的初等变换.1.3.1初等变换定义1-9设A是m×n型矩阵,i≠j,下面三种变换称为矩阵的初等行变换.(1)交换A的第i行和第j行的位置,叫作对调行变换,记作ri↔rj.(2)用非零数k乘以A的第i行,叫作倍乘行变换,记作ri×k.(3)将A的第i行的k倍加到第j行,叫作倍加行变换,记作rj+kri.把上面的行换为列,即得矩阵的初等列变换的定义,记号分别为ci↔cj,ci×k和cj+kci.矩阵的初等行变换和初等列变换合起来称为矩阵的初等变换.注意行的英文单词为row,列的英文单词为column,前面讲到的转置的英文单词为transpose,我们习惯采用英文单词的第一个字母或缩写作为数学中的符号.1.3.1初等变换定义1-10如果矩阵A经过有限次初等变换变成B,则称矩阵A与B等价,记作A→B(或A~B).A与B等价也称为A与B相抵.注意当A经过初等变换变成B时,A与B一般是不相等的,所以不能写成A=B.1.3.1初等变换注意(1)初等行变换不改变增广阵所对应的方程组的解,但初等列变换会改变对应的方程组的解,因此,解方程组时,只允许作初等行变换,不允许作初等列变换.(2)用初等变换研究问题的基本思路是:首先证明初等变换保持矩阵所对应问题的某种性质不变(例如,初等行变换不改变增广阵所对应方程组的解),其次用初等变换对矩阵进行化简,最后通过化简以后的矩阵来探讨或解决原矩阵所对应的问题.1.3.2初等阵定义1-11由单位阵E经过一次初等变换所得到的矩阵叫作初等阵.与前面提到的三种初等变换相对应,有以下三种初等阵:(1)对调E的i和j两行(列)得到的方阵叫作对调阵,记作Ei,j.(2)将E的第i行(列)乘以非零数k得到的方阵叫作倍乘阵,记作Ei(k).(3)用数k乘E的第j行加到第i行上或用数k乘E的第i列加到第j列上得到的方阵叫作倍加阵,记作Ei,j(k).性质1-2设A=(aij)m×n,k≠0,A左边的初等阵的阶数为m,A右边的初等阵的阶数为n,初等变换与初等阵之间有如下密切联系:1.3.2初等阵证明（只对倍加列变换的情形给出证明)设A和E的按列分块阵分别为A=(a1,…,ai,…,aj,…,an)E=(e1,…,ei,…,ej,…,en)由于注意(1)“行变换”对应于“左乘初等阵”,“列变换”对应于“右乘初等阵”.(2)对矩阵A做有限次初等行(列)变换相当于用有限个相应的初等阵左乘(右乘)A.1.3.2初等阵性质1-3

Ei,jEi,j=E,Ei(k)Ei(k-1)=E,Ei,j(k)Ei,j(-k)=E,其中k≠0.证明(只证明第一个式子)设E=(e1,…,ei,…,ej,…,en).根据性质1-2,EEi,jEi,j的含义是对E接连做两次第i列和第j列的对调变换,显然,得到的矩阵还是E,所以结论正确.证法２可转化为证明EEi,jEi,j=E.1.3.2初等阵1.3.3矩阵的等价标准形1.3.3矩阵的等价标准形定理1-1对于任何方阵A,只用有限次倍加行(或列)变换都能将A化为上三角阵,即一定存在倍加阵Pi(i=1,2,…,k)[或Qj(j=1,2,…,l)],使得Pk…P2P1A(或AQ1Q2…Ql)1.3.3矩阵的等价标准形证明由A≠O可知,A中至少有一个元素不为零,设aij≠0.先将A的第1行和第i行对调,再将第1列和第j列对调,可将aij移到(1,1)处,然后将第1行除以aij,再做倍加行变换和倍加列变换,可将矩阵A化为下面的形式:1.3.3矩阵的等价标准形行列式的定义2.1行列式的性质2.2行列式的计算2.3目录/第2章行列式分块三角行列式及矩阵乘积的行列式2.42.1行列式的定义2.1行列式的定义定义2-1

设A=(aij)n×n,把叫作方阵A的行列式(也叫作n阶行列式),记作det(A)或|A|.规定它是按下述运算法则所得到的一个算式:当n=1时,A=(a11),det(A)=a11.2.1行列式的定义我们把aij的余子阵A(i,j)的行列式det(A(i,j))叫作aij的余子式.把(-1)i+j·det(A(i,j))叫作aij的代数余子式,记作Aij,即Aij=(-1)i+j·det(A(i,j))利用代数余子式的符号,有det(A)=a11A11+a21A21+…+an1An1上式称为det(A)按第1列的展开式.注意(1)只有方阵才有行列式,行列式的运算结果是一个数.(2)行列式的两侧是竖线,矩阵的两侧是圆括号.2.1行列式的定义【例2-1】设A=(aij)3×3,计算det(A).2.1行列式的定义注意三阶行列式中共有6项,3项为加,3项为减.加的3项是由主对角线带出的两个三角形构成的,两个三角形的底边与主对角线平行,如图2-1(a)所示;减的3项是由副对角线带出的两个三角形构成的,两个三角形的底边与副对角线平行,如图2-1(b)所示.2.1行列式的定义定义2-2

这里将行标排成标准排列,j1j2…jn是1,2,…,n的一个排列,τ(j1j2…jn)表示这个排列的逆序数,上面和式中每一项的列标对应于1,2,…,n的一个排列,共有n!项.注意n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个数乘积的代数和.2.2行列式的性质2.2行列式的性质性质2-1

|AT|=|A|.性质2-2

行列式|A|可按其任一列(行)展开,即|A|=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin由性质2-2可得:推论2-1若方阵A的某列(行)的元素全为零,则|A|=0.通过观察可得:引理2-1

若方阵A和B只有第j列不同,则A和B的第j列对应元素的代数余子式相同.2.2行列式的性质性质2-3

(行列式的线性性质)(1)|a1,…,kaj,…,an|=k|a1,…,aj,…,an|;(2)|a1,…,aj+b,…,an|=|a1,…,aj,…,an|+|a1,…,b,…,an|.证明性质2-3(1)和(2)出现的5个行列式只有第j列不同,所以它们的第j列对应元素的代数余子式相同.注意这里为按列分块形式,k为数,a1,aj,an,b为n元列向量.对于行的情况也有类似的结论.2.2行列式的性质(1)按第j列展开,得

|a1,…,kaj,…,an|=(ka1j)A1j+(ka2j)A2j+…+(kanj)Anj

=k(a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj)

=k|a1,…,aj,…,an|(2)设b=(b1,b2,…,bn)T.按第j列展开,得|a1,…,aj+b,…,an|=(a1j+b1)A1j+(a2j+b2)A2j+…+(anj+bn)Anj

=(a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj)+(b1A1j+b2A2j+…+bnAnj)

=|a1,…,aj,…,an|+|a1,…,b,…,an|注意行列式的线性性质不同于矩阵的线性运算.2.2行列式的性质推论2-2|kA|=kn|A|(注:k为数,n为方阵A的阶数)证明用数学归纳法证明.显然,n=2时结论成立.当n≥3时,假设结论对n-1阶行列式成立,并设A的i,j两列相同.将|A|按第k(k≠i,j)列展开,得|A|=a1kA1k+a2kA2k+…+ankAnk由于Aik(i=1,2,…,n)是n-1阶行列式,且其中都有两列相同,所以Aik=0(i=1,2,…,n),故|A|=0性质2-4若n阶方阵A中有两列(行)相同,则|A|=0.推论2-3若|A|有两列(行)成比例,则|A|=0.推论2-4若|A|中有一列(行)是另两列(行)之和,则|A|=0.2.2行列式的性质性质2-5若对方阵A进行一次倍加列(行)变换得到B,则|A|=|B|,即倍加列(行)变换不改变行列式的值.则根据性质2-3(2)和推论2-3可得|B|=|a1,…,ai,…,aj,…,an|+|a1,…,ai,…,kai,…,an|=|A|+0=|A|2.2行列式的性质性质2-6若对方阵A进行一次对调列(行)变换得到方阵B,则|A|=-|B|2.2行列式的性质性质2-7行列式|A|的某一列(行)的元素与另一列(行)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零,即a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(i≠j)ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(i≠j)证明设n阶方阵A的按列分块阵为A=(a1,…,ai…,aj,…,an)构造辅助矩阵B=(a1,…,ai,…,ai,…,an)由于A和B只有第j列不同,所以它们的第j列各元素的代数余子式相同.将|B|按第j列展开,得|B|=a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj又因为B的i,j两列相同,|B|=0,所以a1iA1j+a2iA=+…+aniAnj=02.2行列式的性质性质2-1及性质2-2的证明1.性质2-1的证明以四阶方阵A为例,来讲述性质2-1的证明思想.证明n=2时,结论显然成立.假设n=3时,结论成立.我们来证n=4时,结论也成立.2.2行列式的性质2.2行列式的性质2.2行列式的性质将上式中的后3个三阶行列式都按第1列展开,并分别把含a21,a31,a41的项进行合2.2行列式的性质2.性质2-2的证明证明

由行列式的定义知,只需证明下式即可:a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj=a11A11+a21A21+…+an1An1(j>1)2.3行列式的计算2.3.1按行(列)展开法【例2-2】设A=(aij)n×n是上三角阵,证明:det(A)=a11a22…ann证明用归纳法.当n=2时,结论显然成立.假设结论对n-1阶上三角阵成立,将|A|按第1列展开,得2.3.2三角化法【例2-4】计算行列式2.3.2三角化法2.3.3先化简再展开做法是:选取行列式的一行(或一列),利用倍加变换将该行(列)化为只剩下一个数不为零的情形,再按该行(列)展开.【例2-5】计算例2-4中的行列式.2.3.4范德蒙德行列式【例2-6】n阶方阵2.3.4范德蒙德行列式2.3.4范德蒙德行列式2.3.5各行(列)元素之和相等的行列式【例2-7】计算n阶行列式*2.3.6箭形行列式【例2-8】计算箭形行列式*2.3.6箭形行列式*2.3.7递推法及三对角行列式【例2-9】计算三对角行列式解按第1列展开,得*2.3.7递推法及三对角行列式即有递推关系式Dn=5Dn-1-6Dn-2进一步,可得Dn-3Dn-1=2(Dn-1-3Dn-2)=…=2n-2(D2-3D1)=2nDn=3Dn-1+2n=32Dn-2+3·2n-1+2n=…=3n+3n-1·2+…+3·2n-1+2n注意经常用Dn表示n阶行列式.2.4分块三角行列式及矩阵乘积的行列式2.4分块三角行列式及矩阵乘积的行列式定理2-1设A和B分别为m阶和n阶方阵,C为m×n型矩阵,则证明由定理1-1可知,只用倍加行变换可把任一方阵化为上三角阵,因而可设由于倍加变换不改变行列式的值,所以|A|=|S|=s11s22…smm|B|=|T|=t11t22…tnn其中,sii、tjj(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)分别为S、T的对角元.2.4分块三角行列式及矩阵乘积的行列式2.4分块三角行列式及矩阵乘积的行列式定理2-2设A和B都是n阶方阵,则|AB|=|A|·|B|证明由定理1-1可知,只用倍加行变换可把A化为上三角阵,只用倍加列变换也可把B化为上三角阵,因此存在倍加阵Pi(i=1,2,…,k)和Qj(j=1,2,…,l)以及上三角阵S=(sij)n×n和T=(tij)n×n,使得Pk…P2P1A=S,BQ1Q2…Ql=T2.4分块三角行列式及矩阵乘积的行列式其中,sii、tjj(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n)分别为S、T的对角元.由性质2-5及例1-5(上三角阵的乘积仍为上三角阵),得|AB|=|Pk…P2P1ABQ1Q2…Ql|=|ST|=s11t11s22t22…snntnn所以|AB|=|A|·|B|推论2-5设A为n阶方阵,k为正整数,则|Ak|=|A|k2.4分块三角行列式及矩阵乘积的行列式拉普拉斯定理简介定义2-3在一个n阶行列式D中任意选定k行k列(k≤n),位于这k行和k列相交处的k2个元素按照原来的相对位置所组成的k阶行列式N,称为D的一个k阶子式.在D中划去N所在的k行k列,余下的元素按原来的相对位置组成一个n-k阶行列式M,称为N的余子式.若N所在的行标和列标分别为i1,i2,…,ik和j1,j2,…,jk,则(-1)i1+i2+…+ik+j1+j2+…jkM称为N的代数余子式.定理2-3(拉普拉斯定理)在一个n阶行列式D中任意选定k行(列),由这k行(列)中的元素所组成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D.2.4分块三角行列式及矩阵乘积的行列式=4-32-4+12-24+52=8注意定理2-1可看成拉普拉斯定理的推论.可逆阵3.1n×n型线性方程组3.2分块阵的初等变换3.3目录/第3章可逆阵及n×n型线性方程组3.1可逆阵3.1.1可逆阵的定义定义3-1

对于方阵A,若存在方阵B,使得AB=BA=E则A叫作可逆阵(或称A可逆),B叫作A的逆阵.否则,称A不可逆.定理3-1若A可逆,则A的逆阵是唯一的.证明设B和C都是A的逆阵,则AB=BA=E,AC=CA=E由B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C可知A的逆阵是唯一的.证毕.3.1.1可逆阵的定义当A可逆时,A-1总满足AA-1=A-1A=E按理说,有了逆阵的定义以后就可以给出矩阵除法的定义,因为对于数a和b(b≠0),a÷b的本质就是a×b-1,但是我们现在不能这样做,原因是矩阵的乘法不满足交换律,一般AB-1≠B-1A.不过,有时我们可以按除法的方式来思考问题.例如,若AX=B,A可逆,则X=A-1B.在前面我们讲过A≠O时,矩阵的乘法不满足消去律.但是当A可逆时,消去律是成立的.例如,当A可逆时,由AX=AY可消去A,得到X=Y.消去的过程为在等式两端同时左乘A-1,即A-1

AX=A-1AY.当A可逆时,由AB=O可消去A,得到B=O.3.1.1可逆阵的定义由定义3-1可以验证,当k1,k2,…,kn都不为零时,3.1.2伴随阵及矩阵可逆的条件定义3-2

设n>1,A=(aij)n×n,把矩阵

叫作A的伴随阵.注意A*是A的伴随阵的专用记号,A*的第i列的元素是A中第i行相应各元素的代数余子式.A和A*之间具有下面的关系.3.1.2伴随阵及矩阵可逆的条件定理3-2设A是n阶方阵,n>1,则AA*=A*A=|A|E证明根据行列式的性质2-2和性质2-7,可得3.1.2伴随阵及矩阵可逆的条件证明

必要性由A可逆可知,A-1存在,且满足AA-1=E.故|AA-1|=|E||A|·|A-1|=1定理3-3方阵A可逆的充要条件是|A|≠0.并且当A可逆时,充分性由定理3-2知AA*=A*A=|A|E因|A|≠0,故有3.1.2伴随阵及矩阵可逆的条件定义3-3

对于方阵A,当|A|=0时,称A为奇异阵;当|A|≠0时,称A为非奇异阵.由定理3-3和定义3-3可知,可逆阵就是非奇异阵.推论3-1若方阵A和B满足AB=E,则A和B都可逆,且A-1=B,B-1=A证明由|A|·|B|=|AB|=|E|=1可知|A|≠0,|B|≠0所以A和B都可逆,并且A-1=A-1E=A-1(AB)=(A-1A)B=EB=BB-1=EB-1=(AB)B-1=A(BB-1)=AE=A3.1.2伴随阵及矩阵可逆的条件3.1.3求逆阵的初等变换法定理3-4方阵A可逆的充要条件是A能表示成有限个初等阵的乘积.证明充分性由初等阵都可逆以及有限个可逆阵的乘积仍可逆可知,A可逆.必要性由定理1-2可知,存在初等阵Pi(i=1,2,…,k)和Qj(j=1,2,…,l),使得Pk…P2P1AQ1Q2…Ql=F其中因为初等阵都可逆,A也可逆,所以它们的乘积F可逆.于是,s=n(n为A的阶数),即F=E.因此Pk…P2P1AQ1Q2…Ql=E由于初等阵的逆阵还是初等阵,所以A能表示成有限个初等阵的乘积.证毕.3.1.3求逆阵的初等变换法推论3-2由初等阵都可逆以及有限个可逆阵的乘积仍可逆可知,A可逆.上述证明显示,可逆阵的等价标准形是单位阵推论3-3在矩阵A的左(右)端乘以可逆阵⇔对A进行有限次初等行(列)变换.推论3-4矩阵A与B等价的充要条件是存在可逆阵P和Q,使得PAQ=B.3.1.3求逆阵的初等变换法【例3-6】用初等行变换求例3-2中方阵A的逆阵3.1.4矩阵方程

矩阵方程的标准形式为AX=C,YB=C和AZB=C,其中,A和B可逆.它们的解依次为X=A-1C,Y=CB-1和Z=A-1CB-1,求出A-1和B-1就可求得矩阵方程的解.

类似于用初等行交换求A1的讨论,对于AX=C和YB=C,也可用初等变换来求它们的解.做法是:注意解矩阵方程时,首先要对所给矩阵方程进行整理.若所给矩阵方程不能整理成上面所讲的三种形式之一,或者能,但A和B不可逆,则需转化为方程组的形式进行求解.3.1.4矩阵方程3.1.4矩阵方程3.2n×n型线性方程组3.2.1n×n型齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=0一定有解,因为x=0总是它的解,把这个解称为Ax=0的零解.若u≠0也是Ax=0的解,则称u是Ax=0的非零解.齐次线性方程组的解只有两种情况:(1)只有零解;(2)有非零解.下面我们针对n×n型齐次线性方程组给出其有何种解的判别方法.定理3-5n×n型齐次线性方程组Ax=0只有零解(有非零解)的充要条件是|A|≠0(|A|=0).注意

|A|≠0⇔A可逆,|A|=0⇔A不可逆.证明充分性

因为|A|≠0,所以A可逆.在Ax=0的两端同时左乘A-1得x=0,因此Ax=0只有零解.3.2.1n×n型齐次线性方程组必要性

用反证法证明.设|A|=0,由定理1-2和推论3-3可知,存在可P逆阵P和Q,使得由|A|=0可知,|PAQ|=0,s<n,PAQ的最后一列一定为零向量.于是,有(PAQ)en=0消去P,得A(Qen)=0.由Q可逆可知,Q的第n列Qen≠0.因此,Ax=0有非零解Qen,这与Ax=0只有零解矛盾,所以|A|≠0.3.2.1n×n型齐次线性方程组【例3-10】

k满足什么条件时,方程组(1)只有零解?(2)有非零解?解

设该方程组的系数阵为A.由定理3-5可得:(1)当k≠-2且k≠1时,|A|≠0,该方程组只有零解.(2)当k=-2或k=1时,|A|=0,该方程组有非零解.3.2.2n×n型非齐次线性方程组定理3-6

n×n型非齐次线性方程组Ax=b有唯一解的充要条件是|A|≠0(A可逆),其解为x=A-1b.证明充分性

因为|A|≠0,所以A-1存在.由A(A-1b)=(AA-1)b=b可知,x=A-1b是Ax=b的解.设u为Ax=b的任一解,则有Au=b,在Au=b的两端左乘A-1,得u=A-1b,故x=A-1b是Ax=b的唯一解.必要性

设Ax=b有唯一解u1,即Au1=b.下面用反证法证明|A|≠0.假设|A|=0,则由定理3-5可知,Ax=0有非零解.设u2≠0为Ax=0的非零解,即Au2=0,则有A(u1+u2)=Au1+Au2=b这说明u1+u2也是Ax=b的解,与题设矛盾.所以|A|≠0.注意当|A|=0时,非齐次方程组Ax=b有可能有无穷多个解,也可能没有解.3.2.2n×n型非齐次线性方程组定理3-7(Cramer法则)

当|A|≠0时,n×n型非齐次线性方程组Ax=b有唯一解其中,Bi是把A的第i列ai换为b所得的矩阵.证明

由定理3-6可知,当|A|≠0时,方程组Ax=b有唯一解x=A-1b.由A=(a1,…,ai,…,an),Bi=(a1,…,b,…,an)可知,A和Bi只有第i列可能不同,所以A和Bi的第i列的对应元素有相同的代数余子式,设b=(b1,b2,…,bn)T,则有3.2.2n×n型非齐次线性方程组【例3-11】

用Cramer法则解线性方程组解

因为3.3分块阵的初等变换3.3分块阵的初等变换定义3-4下面的三种变换统称为分块初等变换.(1)对调变换:对调分块阵的两行或两列.(2)倍乘变换:将分块阵的某一行左乘一个可逆阵,或将分块阵的某一列右乘一个可逆阵.(3)倍加变换:将分块阵的某一行左乘一个矩阵后加到另一行上去,或将分块阵的某一列右乘一个矩阵后加到另一列上去.定义3-5将单位阵的行和列作同样的分块所得到的分块阵称为分块单位阵.定义3-6对分块单位阵进行一次分块初等变换所得到的矩阵叫作分块初等阵.3.3分块阵的初等变换定理3-8对一个分块阵M进行一次分块初等行(列)变换相当于用一个对应的分块初等阵左乘(右乘)分块阵M.定理3-93.3分块阵的初等变换证明[只给出(2)的证明过程]根据定理3-8,可得注意对分块阵进行分块初等列变换,其行列式也有类似结论.3.3分块阵的初等变换定理3-10设A,D分别为m阶和n阶方阵,若【例3-12】试证行列式乘法公式:|AB|=|A|·|B|其中,A,B都是n阶方阵.向量组的线性相关性和秩4.1矩阵的秩4.2矩阵的秩在向量组中的应用4.3目录/第4章

向量组的线性相关性与矩阵的秩4.1向量组的线性相关性和秩4.1向量组的线性相关性和秩定义4-1

对于向量组a1,a2,…,an,b,若存在n个数k1,k2,…,kn,使得b=k1a1+k2a2+…+knan则称向量b是向量a1,a2,…,an的线性组合,或称向量b能由a1,a2,…,an线性表示.由定义4-1及上面的讨论可得下面的定理.定理4-1设Ax=b是m×n型线性方程组.(1)Ax=b有解⇔向量b能由A的列向量组a1,a2,…,an线性表示.(2)Ax=b有唯一解⇔向量b能由A的列向量组a1,a2,…,an线性表示且表达式唯一.由定理4-1可知,方程组Ax=b是否有解,就在于向量b能否由A的列向量a1,a2,…,an线性表示,因而我们需要对向量之间的线性关系进行深入的研究.4.1.1向量组的线性相关性定义4-2

对于向量组a1,a2,…,an,(1)若存在n个不全为零的数k1,k2,…,kn,使得k1a1+k2a2+…+knan=0则称该向量组线性相关.(2)若仅当x1,x2,…,xn全为零时,才使x1a1+x2a2+…+xnan=0则称该向量组线性无关.注意向量组a1,a2,…,an是线性相关还是线性无关,取决于线性表达式x1a1+x2a2+…+xnan=0成立时,其系数的取值情况:可以不全为零还是必须全为零.由上面的讨论及第3章定理3-5可得定理4-2.4.1.1向量组的线性相关性定理4-2设A=(a1,a2,…,an).(1)向量组a1,a2,…,an线性相关(无关)⇔齐次线性方程组Ax=0有非零解(只有零解).(2)当A为方阵时,向量组a1,a2,…,an线性相关(无关)⇔|A|=0(|A|≠0).(3)可逆阵的列向量组一定线性无关.【例4-1】证明:单个向量a线性相关(无关)⇔a=0(a≠0).证明(只对线性相关的情形给出证明)充分性由a=0知,存在不为零的数1,使得1a=0,所以a线性相关.必要性由a线性相关知,存在不为零的数k,使得ka=0,所以a=0.4.1.1向量组的线性相关性定理4-3向量组a1,a2,…,an(n≥2)线性相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量可由其余的n-1个向量线性表示.证明充分性不妨设an可由a1,a2,…,an-1线性表示,并设an=k1a1+k2a2+…+kn-1an-1则有k1a1+k2a2+…+kn-1an-1+(-1)an=0因为上式成立时系数不全为零,所以a1,a2,…,an线性相关.4.1.1向量组的线性相关性必要性因为a1,a2,…,an线性相关,所以存在不全为零的数l1,l2,…,ln,使得l1a1+l2a2+…+lnan=0不妨设l1≠0,则有即a1可由其余n-1个向量线性表示.证毕.用反证法可证明:向量组a1,a2,…,an线性无关的充要条件是该向量组中任何一个向量都不能由其余n-1个向量线性表示.定理4-3揭示了线性相关与线性表示之间的关系,从上面讨论中可以看到,线性相关的向量之间有线性表示关系,线性无关的向量之间没有线性表示关系,这正反映了线性相关的含义.由定理4-3可知,两个向量a1,a2线性相关⇔a1和a2成倍数关系.4.1.1向量组的线性相关性定理4-4若向量组a1,a2,…,am线性无关,而向量组a1,a2,…,am,b线性相关,则向量b可由a1,a2,…,am线性表示且表达式唯一.证明由向量组a1,a2,…,am,b线性相关可知,存在不全为零的数k1,k2,…,km,k,使得k1a1+k2a2+…+kmam+kb=0我们用反证法来证明k≠0.设k=0,则k1,k2,…,km不全为零,且k1a1+k2a2+…+kmam=0这与向量组a1,a2,…,am线性无关矛盾,故k≠0.于是即向量b可由a1,a2,…,am线性表示.4.1.1向量组的线性相关性下面证明表达式唯一.设b=l1a1+l2a2+…+lmamb=s1a1+s2a2+…+smam两式相减,得(l1-s1)a1+(l2-s2)a2+…+(lm-sm)am=0由于向量组a1,a2,…,am线性无关,因此li-si=0,即li=si(i=1,2,…,m)故向量b可由a1,a2,…,am唯一地线性表示.4.1.1向量组的线性相关性推论4-1若向量组a1,a2,…,am线性无关,而向量am+1不能由a1,a2,…,am线性表示,则向量组a1,a2,…,am,am+1线性无关.证明用反证法.设向量组a1,a2,…,am,am+1线性相关,由于向量组a1,a2,…,am线性无关,根据定理4-4可知,向量am+1可由a1,a2,…,am线性表示,这与已知条件矛盾.故向量组a1,a2,…,am,am+1线性无关.4.1.1向量组的线性相关性推论4-2设向量b可由向量a1,a2,…,am线性表示,则表达式唯一⇔向量组a1,a2,…,am线性无关.证明充分性已由定理4-4证明.必要性用反证法.设向量组a1,a2,…,am线性相关,则存在不全为零的数k1,k2,…,km,使得k1a1+k2a2+…+kmam=0①由于向量b可由向量a1,a2,…,am线性表示,所以可设b=l1a1+l2a2+…+lmam②将式①与式②相加,得b=(k1+l1)a1+(k2+l2)a2+…+(km+lm)am③由k1,k2,…,km不全为零可知,式②与式③不相同,这与表达式唯一矛盾,所以向量组a1,a2,…,am线性无关.证毕.4.1.1向量组的线性相关性定理4-5若向量组Ⅰ:a1,a2,…,at线性相关,则向量组Ⅱ:a1,a2,…,at,at+1,…,am也线性相关.证明由向量组Ⅰ线性相关可知,存在不全为零的数k1,k2,…,kt,使得k1a1+k2a2+…+ktat=0进一步,可得k1a1+k2a2+…+ktat+0at+1+…+0am=0由于上式中的系数仍然不全为零,所以向量组Ⅱ也线性相关.证毕.用反证法可证明:若向量组Ⅱ线性无关,则向量组Ⅰ也线性无关.向量组Ⅰ可看成向量组Ⅱ的一部分,因此上面的结论也可概述为“部分相关整体也相关,整体无关部分也无关”.4.1.1向量组的线性相关性定理4-6设r元向量组Ⅰ为a1,a2,…,am;s元向量组Ⅱ为b1,b2,…,bm;(r+s)元向量组Ⅲ为c1,c2,…,cm,其中(1)若向量组Ⅰ和Ⅱ中有一个线性无关,则向量组Ⅲ也线性无关.(2)若向量组Ⅲ线性相关,则向量组Ⅰ和Ⅱ都线性相关.证明[(2)是(1)的逆否命题,故只需证(1)]不妨设向量组Ⅰ线性无关.另设x1c1+x2c2+…+xmcm=0即由上式可得x1a1+x2a2+…+xmam=0r由于向量组Ⅰ线性无关,所以x1,x2,…,xm必须全为零,由线性无关的定义可知,向量组Ⅲ线性无关.证毕.4.1.2向量组的秩和极大无关组定义4-3在向量组V中,若有含r个向量的子向量组线性无关,并且V中任何含r+1个向量的子向量组(当V中的向量多于r个时)都线性相关,则把r叫作向量组V的秩.若向量组V的秩为r,则V中含r个向量的线性无关的子向量组叫作V的极大(线性)无关组(或称最大无关组).注意向量组V的秩反映的是向量组V中所含线性无关向量的最大个数.定理4-7向量组V中的每个向量都可由其极大无关组唯一地线性表示.4.1.2向量组的秩和极大无关组【例4-4】分别求列向量组Ⅰ:a1=(1,1,0)T,a2=(0,1,2)T,a3=(1,2,2)T,a4=(1,3,4)T和行向量组的秩和一个极大无关组.解向量组a1,a2线性无关.由a3=a1+a2,a4=a1+2a2,a4=2a3-a1,a4=a2+a3及定理4-3可知向量组Ⅰ中任何含3个向量的子向量组都线性相关,所以它的秩为2;a1,a2为它的一个极大无关组.另外,因为向量组Ⅰ中任何两个向量都线性无关,所以任何两个向量都可作为向量组Ⅰ的一个极大无关组.4.2矩阵的秩4.2.1矩阵的秩的概念定义4-4

矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩分别叫作矩阵A的行秩和列秩.定义4-5

设A为m×n型矩阵,1≤k≤min{m,n},由矩阵A的k个行和k个列相交处的k2个元素按照原来的相对位置所构成的方阵叫作矩阵A的k阶子阵,其行列式叫作矩阵A的k阶子式.4.2.1矩阵的秩的概念定义4-6

矩阵A中非奇异子阵的最高阶数(非零子式的最高阶数)称为矩阵A的秩,记作r(A).当A为零矩阵时,规定r(A)=0.设A为m×n型矩阵,由矩阵的秩的定义可知:(1)r(A)≤m且r(A)≤n.(2)r(A)=m⇔A有m阶子式不为零;r(A)=n⇔A有n阶子式不为零;r(A)=r(r<m且r<n)⇔A有r阶子式不为零且A的所有r+1阶子式都为零.(3)A的增广阵的秩不小于A的秩.例如,r((A,B))≥r(A).(4)当k≠0时,r(kA)=r(A).4.2.2矩阵的秩的性质性质4-1r(AT)=r(A)证明因为矩阵A的子阵转置后就是矩阵AT的子阵,而转置运算不改变行列式的值,所以A的非奇异子阵转置后成为AT的非奇异子阵,A的奇异子阵转置后成为AT的奇异子阵.A与AT的非奇异子阵互相对应,非奇异子阵的最高阶数相同,因而r(AT)=r(A).性质4-2r(A)=A的行秩=A的列秩.定理4-8设A为m×n型矩阵,P为m阶可逆阵,B=PA,则A中任意r个列向量ai1,ai2,…,air和B中相应的列向量bi1,bi2,…,bir满足相同的线性表达式,从而具有相同的线性相关性.证明将A和B按列分块,B=PA可写成(b1,b2,…,bn)=P(a1,a2,…,an)4.2.2矩阵的秩的性质即(b1,b2,…,bn)=(Pa1,Pa2,…,Pan)bj=Paj(j=1,2,…,n)若k1ai1+k2ai2+…+krair=0成立,则k1(Pai1)+k2(Pai2)+…+kr(Pair)=0也成立,即k1bi1+k2bi2+…+krbir=0成立.4.2.2矩阵的秩的性质反过来,若l1bi1+l2bi2+…+lrbir=0成立,则l1(Pai1)+l2(Pai2)+…+lr(Pair)=0成立.因为P可逆,所以上式中的P可消去.于是,可知l1ai1+l2ai2+…+lrair=0也成立.综合上面的讨论可知,定理4-8的结论成立.推论4-3在定理4-8的条件下,下列结论正确.(1)A和B的列向量组的极大无关组一一对应,r(B)=r(A);(2)aj=k1ai1+k2ai2+…+krair⇔bj=k1bi1+k2bi2+…+krbir.4.2.2矩阵的秩的性质证明由推论4-3(1)可知,r(PA)=r(A).由性质4-1及推论4-3(1)知r(AQ)=r((AQ)T)=r(QTAT)=r(AT)=r(A)r(PAQ)=r(P(AQ))=r(AQ)=r(A)由于在矩阵A的左(右)侧乘可逆阵相当于对A进行初等行(列)变换,因而有下面的推论.性质4-3设A为m×n型矩阵,P和Q分别为m阶和n阶可逆阵,则r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)=r(A)推论4-4初等变换不改变矩阵的秩.4.2.2矩阵的秩的性质解对A进行初等行变换,得【例4-5】求矩阵的秩,并判断A的行向量组和列向量组的线性相关性.4.2.2矩阵的秩的性质由于B中每个非零行的第一个非零元素所在的那些行和列相交处的元素所构成的子阵是非奇异子阵,而B中任何4阶子阵都是奇异阵,所以r(B)=3.

由推论4-4可知,r(A)=r(B)=3.

由性质4-2可知,A的行秩=A的列秩=3所以A的行向量组和列向量组都是线性相关的.类似于B的矩阵称为行阶梯阵,其特点是:(1)它的非零行向量都位于矩阵的前几行;(2)每个非零行向量的第一个非零元素的列标随着行标的增大而严格增大.4.2.2矩阵的秩的性质用初等行变换求矩阵的秩的方法为:用初等行变换把该矩阵化为行阶梯阵,这个行阶梯阵的非零行向量的个数就是该矩阵的秩.下面对例4-5中的矩阵B继续作初等行变换,观察能将B化为何种更简单的形式.矩阵C叫作A的行最简形,它是非零行的第一个非零元素全为1且这些1所在列的其他元素全为零的行阶梯阵.行最简形主要用于求解线性方程组.4.2.2矩阵的秩的性质性质4-4A=(aij)m×n的秩为r⇔A与等价,即存在可逆阵P和Q,使得PAQ=F.证明由推论4-4可知,充分性正确.必要性由定理1-2可知,用初等变换能把A化为的形式.由推论4-4可得r(A)=r(F)根据性质4-4可知,矩阵A的等价标准形F由A的秩唯一确定,即A的等价标准形是唯一的4.2.2矩阵的秩的性质性质4-5设A、B、C分别为m×n型、s×t型、m×t型矩阵,则4.2.2矩阵的秩的性质4.2.2矩阵的秩的性质性质4-6设A为m×k型矩阵,B为k×n型矩阵,则r(A)+r(B)-k≤r(AB)≤min{r(A),r(B)}证明先证右端的不等式.由及性质4-3,得r(A)=r((A,O))=r((A,AB))≥r(AB)由性质4-1及上式又可得r(AB)=r((AB)T)=r(BTAT)≤r(BT)=r(B)故r(AB)≤min{r(A),r(B)}4.2.2矩阵的秩的性质再证左端的不等式.可以验证下面的等式成立:4.2.2矩阵的秩的性质性质4-7设A和B分别为m×n型和m×k型矩阵,则r((A,B))≤r(A)+r(B)证法1设r(A)=r,r(B)=s,则A和B的列向量组中分别最多能找到r个和s个线性无关的向量.于是,(A,B)的列向量组中最多能找到r+s个线性无关的向量,所以r((A,B))≤r+s≤r(A)+r(B)4.2.2矩阵的秩的性质性质4-8设A和B都是m×n型矩阵,则r(A+B)≤r(A)+r(B)r(A+B)≤r((A,B))≤r(A)+r(B)利用性质4-8,进一步可得r(A-B)=r(A+(-B))≤r(A)+r(-B)=r(A)+r(B)4.2.3满秩阵定义4-7设A为n阶方阵.当r(A)=n时,A叫作满秩阵;当r(A)<n时,A叫作降秩阵.定理4-9设A为n阶方阵,x和b为n元列向量,则下列命题互相等价.(1)A为满秩阵;(2)A为非奇异阵;(3)A为可逆阵;(4)Ax=0只有零解;(5)Ax=b有唯一解;(6)A的行向量组和列向量组都是线性无关的.证明由矩阵的秩的定义、非奇异阵的定义、定理3-3、定理3-5、定理3-6及定理4-2可知,这六个命题都等价于|A|≠0,所以它们互相等价.注意满秩阵、非奇异阵和可逆阵是同一种矩阵的不同说法.4.2.3满秩阵引理4-1设A=(aij)m×n,则r(A)=n⇔A的列向量组a1,a2,…,an线性无关.证明必要性由r(A)=n可知,A中有n阶的非奇异子阵,并且m≥n.不失一般性,设A的上方n阶子阵A1非奇异,即|A1|≠0,则A1的列向量组线性无关.设A的形式为,其中,A2表示A中后m-n行所构成的子阵.由定理4-6可知,将A1的列向量组添加分量以后所得到的A的列向量组也是线性无关的.充分性用反证法.设r(A)=r<n,则A中有r阶的非奇异子阵.不失一般性,设A的左上角r阶子阵A1非奇异(可逆).当r=m时,由A1可逆可知,A1x=an有唯一解.由定理4-1可知,an能由A1的列向量组线性表示,所以A的列向量组线性相关,这与题设矛盾.4.2.3满秩阵

当r<m时,记b=(a1n,a2n,…,arn)T,由A1可逆可知,A1x=b有唯一解.由定理4-1可知,b能由A1的列向量组唯一地线性表示,即存在唯一的一组数k1,k2,…,kr,使得对于任意i(r+1≤i≤m),令4.2.3满秩阵A1为B的左上角r阶子阵,由A1可逆可知,A1的列向量组线性无关.由定理4-6可知,添加分量以后所得到的B的前r个列向量也线性无关.由r(A)=r知,A的任何r+1阶子阵都是奇异的,所以B是奇异的,B的列向量组线性相关.由定理4-4可知,B的最后一列可由其前r列唯一地线性表示,于是,存在唯一的一组数l1,l2,…,lr,使得由于式②包含了式①,而两个式子中的系数都是唯一的,所以式②中的系数与式①中的系数相同.这样,对于任意i(r+1≤i≤m),均有k1ai1+k2ai2+…+krair=ain结合式①可得k1a1+k2a2+…+krar=an根据定理4-3可知,A的列向量组线性相关,这与题设矛盾.综合上面的讨论可知,充分性正确.4.2.3满秩阵性质4-2的证明.证明

先证r(A)=A的列秩,设A=(aij)m×n.若r(A)=n,则由引理4-1可知,A的列向量组线性无关,A的列秩=n=r(A),结论正确.若r(A)=r<n,则A中有r阶非奇异子阵.不妨设A的左上角r阶子阵A1非奇异,则A1的列向量组线性无关.由定理4-6可知,A的前r列线性无关,所以A的列秩≥r(A).现在设A的列秩为s,并不妨设a1,a2,…,as为A的列向量组的极大无关组.令A2=(a1,a2,…,as),则A为A2的增广阵,r(A)≥r(A2)=s=A的列秩.综合上面的讨论可知,r(A)=A的列秩.再由A的行秩=AT的列秩=r(AT)=r(A)知,性质4-2成立.4.3矩阵的秩在向量组中的应用4.3.1判断向量组的线性相关性【例4-6】证明:m>n时,n元向量组a1,a2,…,am一定线性相关.证明令A=(a1,a2,…,am),则A为n×m型矩阵.由r(A)≤n<m可知,A的列秩<m,所以A的列向量组a1,a2,…,am线性相关.【例4-8】设向量组a1,a2线性无关,证明向量组a1,a1+a2也线性无关.证明因为a1,a2线性无关,r((a1,a2))=2.所以a1,a1+a2也线性无关.注意很多关于线性相关性的证明题可利用秩来完成.以所给向量组为行或列构造矩阵A,根据性质4-2,求出A的秩即可知该向量组的秩,从而可判断该向量组的线性相关性.用初等行变换将矩阵A化为B⇔存在可逆阵P,使得B=PA.根据推论4-3可知,A和B的列向量组的极大无关组是一一对应的,并且它们的对应列向量满足相同的线性表达式.因此,我们以用初等行变换将矩阵A化为行阶梯阵B,通过B的列向量组的极大无关组来找到A的列向量组的极大无关组,通过B中的列向量所满足的表达式来求出A中的列向量所满足的表达式.4.3.2求向量组的极大线性无关组【例4-9】求向量组a1=(1,0,1,-1)T,a2=(1,-2,1,1)T,a3=(0,2,0,-2)T,a4=(0,2,1,3)T,a5=(2,-6,0,-6)T的秩和一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示.4.3.2求向量组的极大线性无关组解以所给向量组为列构造矩阵A,并用初等行变换将A化为行阶梯阵B.A=(a1,a2,a3,a4,a5)所以所给向量组的秩为3.4.3.2求向量组的极大线性无关组B中每个非零行的第一个非零元素所在的列构成的子阵为它也是行阶梯阵,秩为3,所以这三个列向量线性无关.由r(B)=3可知,这三个列向量构成B的列向量组的一个极大无关组,于是,由推论4-3(1)可知,a1,a2,a4为所给向量组的一个极大无关组.为了将a3和a5用该极大无关组线性表示,需进一步用初等行变换将B化为行最简形.4.3.2求向量组的极大线性无关组由于c3=c1-c2,c5=c1+c2-2c4,所以根据推论4-3(2)可得a3=a1-a2,a5=a1+a2-2a4注意(1)极大无关组一般不唯一,在例4-9中还可求出其他形式的极大无关组.(2)按例4-9的做法,求一个矩阵的列向量组的极大无关组并将其他向量用极大无关组线性表示时,不要做列变换.4.3.3两个向量组之间的线性表示注意(1)向量组等价与矩阵等价的含义不同.(2)一个向量组与其极大无关组是等价的(根据定理4-7及定义4-8).(3)一个向量组的两个极大无关组是等价的(根据定理4-7及定义4-8).定义4-8若向量组Ⅰ:b1,b2,…,bn中的每个向量都能由向量组Ⅱ:a1,a2,…,am线性表示,则称向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示.若向量组Ⅰ与向量组Ⅱ能够互相线性表示,则称这两个向量组等价.设向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示,并设表达式为4.3.3两个向量组之间的线性表示令B=(b1,b2,…,bn),A=(a1,a2,…,am),P=(pij)m×n,则