已用-1.2正弦余弦定理应用举例

复习2、正弦定理1、三角形的一些基本性质：1）在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°;2）大边对大角，即a>b∠A>∠B.正弦定理应用的两种类型：1）已知两角和任一边，求其它元素；2）已知两边和其中一边的对角，求其他元素.3、余弦定理利用余弦定理可解决一下两类解三角形问题（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求其他元素.

“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离.创设情境:解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解.应用举例高度角度距离正弦定理余弦定理

解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解.

在这个过程中，贯穿了数学建模的思想.这种思想即是从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解.解斜三角形应用举例解应用题中的几个相关概念:1、仰角、俯角：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角.3、方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方向角.它是方位角的另一种表示形式.2、方位角：指北的方向线顺时针旋转到目标方向线所成的水平角.4、坡角：坡面与水平面的夹角.

坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比，即5、基线：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线.注：1)基线越长，测量的精确度越高；2)测量一定要选取基线，因为无论是应用正弦定理还是余弦定理解三角形时，至少应已知一边的长度.一般应用举例一距离正弦定理余弦定理例1:设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离.测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o，∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）.分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形实例讲解距离解：根据正弦定理，得答：A,B两点间的距离为65.7米。例2:A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法.分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离.解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在⊿ADC和⊿BDC中，应用正弦定理得计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离练习1:一艘船以32.2nmile/hr的速度向正北航行在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5nmile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？练习2:自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．

（1）什么是最大仰角？

最大角度最大角度最大角度最大角度（2）例题中涉及一个怎样的三角形？在△ABC中已知什么，要求什么？CAB练习2:自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为

，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．

最大角度最大角度最大角度最大角度

已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，夹角∠CAB＝66°20′，求BC．解：由余弦定理，得答：顶杆BC约长1.89m。

CAB应用举例二高度正弦定理余弦定理实例讲解例1:如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高.图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？想一想高度实例讲解AA1BCDC1D1分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可.答：烟囱的高为29.9m.例2：在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′。已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD(精确到1m).分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长.解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠BAD=α.根据正弦定理，CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)答：山的高度约为150米.例3：一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD.（精确到1m）分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长.根据已知条件，可以计算出BC的长.例3：一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山的高度CD.解：在⊿ABC中，∠A=15°,∠C=25°-15°=10°.根据正弦定理，CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)答：山的高度约为1047米.应用举例三角度正弦定理余弦定理例1：一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1°,距离精确到0.01nmile）?解：在⊿ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，角度实例讲解所以，∠CAB=19.0°,75°－∠CAB=56.0°.答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15nmile.例2:在⊿ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S(精确到0.1cm²)(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°;(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;(3)已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°;(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.例3:在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m，这个区域的面积是多少（精确到0.1cm²）?解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，1、分析题意，弄清已知和所求；2、根据提意，画出示意图；3、将实际问题转化为数学问题,建立数学模型；4、正确运用正、余弦定理解数学模型，并写出答案.小结：求解三角形应用题的一般步骤：课堂小结1、本节课通过举例说明了解斜三角形在行程中的一些应用.掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法.2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知

与所求，根据题意画出示意图，将实际问题归纳到一个或几个三角形中去，然后通过函数或方程或不等式求解.3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程图可表示为：实际问题数学模型实际问题的解数学模