用椭圆及其标准方程省公共课一等奖全国赛课获奖课件

2.1.1椭圆及其标准方程第1页怎样准确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形物件呢？生活中椭圆第2页太阳系第3页思索数学试验(1)取一条细绳，(2)把它两端固定在板上两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出图形1.在椭圆形成过程中，细绳两端位置是固定还是运动？2.在画椭圆过程中，绳子长度变了没有？说明了什么？3.在画椭圆过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样关系？第4页请你归纳出椭圆定义,它应该包含几个要素?F2F1M(1)因为绳长固定，所以点M到两个定点距离和是个定值（2）点M到两个定点距离和要大于两个定点之间距离第5页（一）椭圆定义平面内到两个定点F1，F2距离之和等于常数（2a）（大于|F1F2|）点轨迹叫椭圆。定点F1、F2叫做椭圆焦点。两焦点之间距离叫做焦距（2C）。椭圆定义文字表述：椭圆定义符号表述：(2a>2c)MF2F1第6页小结：椭圆定义需要注意以下几点1.平面上----这是大前提2.动点M到两定点F1，F2距离之和是常数2a3.常数2a要大于焦距2C思索：1.当2a>2c时,轨迹是（）椭圆2.当2a=2c时,轨迹是一条线段,是以F1、F2为端点线段．3.当2a<2c时,无轨迹,图形不存在.4.当c=0时,轨迹为圆．第7页绳长＝第8页绳长＜第9页

求曲线方程方法步骤是什么？建系设点列式代换化简建立适当直角坐标系；设M（x,y）是曲线上任意一点；由限制条件，列出几何等式，写出适合条件P点M集合P={M|P(M)}用坐标法表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0，化简方程f(x,y)=0.第10页解：取过焦点F1、F2直线为x轴，线段F1F2垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).

设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆焦距2c(c>0)，M与F1和F2距离和等于正常数2a(2a>2c)

，则F1、F2坐标分别是(

c,0)、(c,0).xF1F2M0y（问题：下面怎样化简？）由椭圆定义得，限制条件：代入坐标(二)椭圆标准方程推导第11页两边除以得由椭圆定义可知整理得两边再平方，得移项，再平方第12页总体印象：对称、简练，“像”直线方程截距式焦点在y轴：焦点在x轴：椭圆标准方程1oFyx2FM12yoFFMx

F1（-c，0）、F2（c，0）

F1（0，-c）、F2（0，c）

第13页OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0,c)椭圆标准方程再认识：（1）椭圆标准方程形式：左边是两个分式平方和，右边是1（3）椭圆标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2（4）由椭圆标准方程能够求出三个参数a、b、c值（2）椭圆标准方程中，x2与y2分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上第14页1.口答：以下方程哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？并指明，写出焦点坐标.?判断椭圆标准方程焦点在哪个轴上准则：焦点在分母大那个轴上。（三）尝试应用第15页2、求出适合以下条件椭圆标准方程 已知两个焦点坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离和等于10；变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)，结果怎样？变式二:将上题改为两个焦点距离为8，椭圆上一点P到两焦点距离和等于10，结果怎样？当焦点在X轴时，方程为：当焦点在Y轴时，方程为：第16页3、填空：已知椭圆方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1弦，则∆F2CD周长为________例题543(3,0)、(-3,0)6２0F1F2CD判断椭圆标准方程焦点在哪个轴上准则：

焦点在分母大那个轴上。|CF1|+|CF2|=2a第17页例1、求适合以下条件椭圆标准方程：法一:c=2法二:c=2设椭圆标准方程为:2a=P+P

两个焦点分别是(-2，0)，(2，0)，且过点P（四）典例分析第18页例2、如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD中点M轨迹是什么？为何？分析：点P在圆上运动，点P运动引起点M运动。解：设点M坐标为(x,y)，点P坐标为(x0,y0)，则x=x0,y=y0/2.因为点P(x0,y0)在圆上，所以把x0=x,y0=2y代入方程(1)，得即所以点M轨迹是一个椭圆。第19页解：变式：将圆x2+y2=4上点横坐标保持不变，纵坐标变为原来二分之一，求所曲线方程，并说明它是什么曲线？yxo设所曲线上任一点坐标为（x，y）,圆＝４上对应点坐标为（x’，y’），由题意可得：因为＝４所以即1）将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），能够得到椭圆。2）利用中间变量求点轨迹方程方法是解析几何中惯用方法；同例2第20页例3、如图，设点A，B坐标分别为(-5,0),(5,0)。直线AM，BM相交于点M，且它们斜率之积是，求点M轨迹方程。解：设点M坐标为(x,y)，因为点A坐标是，所以直线AM斜率同理，直线BM斜率由已知有化简，得点M轨迹方程为第21页小结：求椭圆标准方程方法一个方法：二类方程:三个意识：求美意识，求简意识，前瞻意识第22页分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点F1，F2距离和等于常数（大于F1F2）点轨迹标准方程不同点相同点图形焦点坐标定义a、b、c关系焦点位置判断xyF1F2POxyF1F2PO第23页作业第2题《自主学习丛书》P30—P32第24页则a＝

，b＝

；则a＝

，b＝

；5346口答：则a＝

，b＝

；则a＝

，b＝

．3第25页0<b<9巩固训练：a>3第26页表示焦点在y轴上椭圆，则m取值范

围是

.(1,2)变式：已知方程

3.椭圆mx2+ny2=-mn(m<n<0)焦点是

.若方程表示椭圆呢?第27页5：求适合以下条件椭圆标准方程：(2)焦点为F1(0,－3),F2(0,3),且a=5.答案：(1)a=,b=1,焦点在x轴上;(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；

(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).小结：求椭圆标准方程步骤：①定位：确定焦点所在坐标轴；②定量：求a,b值.第28页6、若动点P到两定点F1(－4,0)，

F2(4,0)距离之和为8，则动点P轨迹为（）A.椭圆B.线段F1F2

C.直线F1F2

D.不存在B第29页7：已知B，C是两个定点，|BC|=6，且三角形ABC周长为16，求顶点A轨迹方程． 解：1)建立直角坐标系：使x轴经过点B、C，使原点O与B、C重合B（-3，0），C（3，0）2)设A点坐标为（x，y）由|AB|+|AC|+|BC|=16，|BC|=6，即|AB|+|AC|=10

BC（用轨迹法）O化简可得方程：A当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能组成三角形．所以A点轨迹方程为：（y0）．xy第30页7：已知B，C是两个定点，|BC|=6，且三角形ABC周长为16，求顶点A轨迹方程．分析：1，由三角形ABC周长是16，可得：|AB|+|AC|+|BC|=16，即|AB|+|AC|=102，必须建立适当坐标系，确定椭圆形式BCA第31页7：已知B，C是两个定点，|BC|=6，且三角形ABC周长为16，求顶点A轨迹方程．解：建立直角坐标系，使x轴经过点B，C，使原点O与BC中点重合，B（-3，0），C（3，0）由|AB|+|AC|+|BC|=16，|BC|=6，即|AB|+|AC|=10所以点A轨迹是椭圆．设方程为：椭圆方程为：当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能组成三角形．所以A点轨迹方程为：（y0）．BCAxy第32页8、已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心P轨迹方程．解：设｜PB｜＝r．∵圆P与圆A内切，圆A半径为10．∴两圆圆心距｜PA｜＝10－r，即｜PA｜＋｜PB｜＝10(大于｜AB｜)．∴点P轨迹是以A、B两点为焦点椭圆．∴2a＝10，2c＝｜AB｜＝6，∴a＝5，c＝3．∴b2＝a2－c2＝25－9＝16．即点P轨迹方程为＝1．第33页例：第34页例3：平面内两个定点距离是8，写出到这两个定点距离之和是10点轨迹方程。解：这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点，用F1、F2表示，取过点F1、F2直线为x轴，线段F1F2垂直平分线为y轴建立直角坐标系。∵2a=102c=8∴a=5c=4b2=a2

c2=9,b=3所以这个椭圆标准方程是：yoBCAx定义法求轨迹方程。第35页变题1:已知△ABC一边BC固定，长为8，周长为18，求顶点A轨迹方程。.解：以BC中点为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系。依据椭圆定义知所求轨迹方程是椭圆，且焦点在轴上，所以可设椭圆标准方程为：yoBCAx∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆标准方程为:

注意：求出曲线方程后，要注意检验一下

方程曲线上点是否都是符合题意。第36页例4、写出适合以下条件椭圆标准方程(1)a=4，b=1，焦点在x轴上；(2)a=4，b=1，焦点在坐标轴上；(3)两个焦点坐标是（0，-2）和（0，2），而且经过点P（-1.5，2.5）.解：因为椭圆焦点在y轴上，设它标准方程为∵c=2，且c2=a2

-b2

∴4=a2-

b2……①又∵椭圆经过点∴……②联立①②可求得：∴椭圆标准方程为

(法一)xyF1F2P或第37页(法二)

因为椭圆焦点在y轴上，所以设它标准方程为由椭圆定义知，所以所求椭圆标准方程为第38页练习：求适合以下条件椭圆标准方程：(2)焦点为F1(0,－3),F2(0,3),且a=5.答案：(1)a=,b=1,焦点在x轴上;(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；

(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).小结：求椭圆标准方程步骤：①定位：确定焦点所在坐标轴；②定量：求a,b值.第39页例5：已知一个运油车上贮油罐横截面外轮廓线是一个椭圆，它焦距为2.4m，外轮廓线上点到两个焦点距离和为3m，求这个椭圆标准方程．解：以两焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2垂直平分线为y轴，建立如图所表示直角坐标系xOy，则这个椭圆标准方程可设为依据题意有即所以，这个椭圆标准方程为xyOF1F2第40页解：例1：将圆x2+y2=4上点横坐标保持不变，纵坐标变为原来二分之一，求所曲线方程，并说明它是什么曲线？yxo设所曲线上任一点坐标为（x，y）,圆＝４上对应点坐标为（x’，y’），由题意可得：因为＝４所以即1）将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），能够得到椭圆。2）利用中间变量求点轨迹方程方法是解析几何中惯用方法；第41页练习(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)距离之和为6点轨迹。(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)距离之和为4点轨迹。(3)到F1(-2,0)、F2(0,2)距离之和为3点轨迹。解(1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故点M轨迹为椭圆。(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M轨迹不是椭圆(是线段F1F2)。第42页1、已知一个圆圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’，延长P’P至M,使P’M=2P’P，求点M轨迹。2、已知一个圆圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’。求线段PP’上使PM=2MP’点M轨迹。3、已知一个圆圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP’。求PP’上PP’=-3P’M点M轨迹。练习第43页例2已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心P轨迹方程．解：设｜PB｜＝r．∵圆P与圆A内切，圆A半径为10．∴两圆圆心距｜PA｜＝10－r，即｜PA｜＋｜PB｜＝10(大于｜AB｜)．∴点P轨迹是以A、B两