新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）34 圆锥曲线中的定点、定值问题（原卷版）

素养拓展34圆锥曲线中的定点、定值问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、定点问题定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．【一般策略】①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等.②列出关系式.根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程.③探究直线过定点.一般化成点斜式或者直线系方程二、定值问题在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．【一般策略】①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值【常用结论】结论1过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）.结论2过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点.结论3

过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点.结论4过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则kAB为定值.结论5

设点A，B是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左，右顶点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是椭圆的右焦点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)不过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，记直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，证明直线SKIPIF1<0过定点，并求出定点的坐标．【典例2】已知椭圆SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（2）若直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为坐标原点直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之积等于SKIPIF1<0，试探求SKIPIF1<0的面积是否为定值，并说明理由．【题型训练1-刷真题】1．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率是SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0的直线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点分别为SKIPIF1<0，证明：线段SKIPIF1<0的中点为定点．2．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过SKIPIF1<0两点．(1)求E的方程；(2)设过点SKIPIF1<0的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足SKIPIF1<0．证明：直线HN过定点．3．）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为SKIPIF1<0，右准线l的方程为：SKIPIF1<0．(1)求椭圆的方程；(2)在椭圆上任取三个不同点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0为定值，并求此定值．4．已知椭圆C：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程：（2）点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为垂足．证明：存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值．【题型训练2-刷模拟】1.定点问题1．已知抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与抛物线相交于不同的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点．(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)如果SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．2．已知椭圆SKIPIF1<0的两个焦点分别为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)M为椭圆SKIPIF1<0的左顶点，直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，求证：直线SKIPIF1<0过定点．3．设抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上任意一点，过点SKIPIF1<0作抛物线SKIPIF1<0的两条切线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，切点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0时，求过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点的圆的方程，并判断直线SKIPIF1<0与此圆的位置关系；(2)求证：直线SKIPIF1<0恒过定点．4．已知圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0内一个定点，SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上任意一点，线段SKIPIF1<0的垂直平分线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上运动时.(1)求点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；(2)已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的内部，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上不同的两点，且直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切.求证：以SKIPIF1<0为直径的圆过定点.5．已知椭圆SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)椭圆SKIPIF1<0的上、下顶点分别为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的另一个交点分别为点SKIPIF1<0，证明：直线SKIPIF1<0过定点，并求该定点坐标.6．已知双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线方程为SKIPIF1<0，焦点到渐近线的距离为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)过双曲线SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0作互相垂直的两条弦（斜率均存在）SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.两条弦的中点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，那么直线SKIPIF1<0是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.7．在平面直角坐标系中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M为平面内的一个动点，且SKIPIF1<0，线段AM的垂直平分线交BM于点N，设点N的轨迹是曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设动直线l：SKIPIF1<0与曲线C有且只有一个公共点P，且与直线SKIPIF1<0相交于点Q，问是否存在定点H，使得以PQ为直径的圆恒过点H？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由.8．已知SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上一点，点SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的两个焦点构成的三角形面积为SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)不经过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率之和为SKIPIF1<0，证明：直线SKIPIF1<0必过定点，并求出这个定点坐标．9．已知椭圆SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)过SKIPIF1<0的两条互相垂直的直线分别交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点和SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0的中点分别为SKIPIF1<0，证明：直线SKIPIF1<0必过定点，并求出此定点坐标．10．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)若SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0轴不垂直的直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于另一点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于另一点SKIPIF1<0，求证：直线SKIPIF1<0过定点.11．平面直角坐标系xOy中，已知双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的离心率为SKIPIF1<0，实轴长为4．

(1)求C的方程；(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点SKIPIF1<0且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求点P的坐标．12．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，过点SKIPIF1<0且与椭圆SKIPIF1<0有相同焦点(1)求E的离心率：(2)设椭圆E的下顶点为A，设过点SKIPIF1<0的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T．证明：直线TN过定点．13．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，设动点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求动点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程，并指出它表示什么曲线；(2)已知过点SKIPIF1<0的直线与曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴分别交于点SKIPIF1<0，试问：线段SKIPIF1<0的中点是否为定点，若是定点，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．14．已知SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上一点，长轴长为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)不经过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率之和为SKIPIF1<0，证明：直线SKIPIF1<0必过定点，并求出这个定点坐标.15．椭圆SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，左､右顶点分别为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上.已知SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积之比为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不重合，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1<0.证明：SKIPIF1<0过定点.2.定值问题1．已知SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的两个焦点，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上异于左､右顶点的任意一点，SKIPIF1<0的周长为6，面积的最大值为SKIPIF1<0：(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的另一交点为SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.试问：SKIPIF1<0是否为定值？并说明理由.2．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知圆心为SKIPIF1<0的动圆过点SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0轴上截得的弦长为4，记SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0的方程；(2)已知SKIPIF1<0及曲线SKIPIF1<0上的两点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0经过定点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0为定值．3．已知点SKIPIF1<0是离心率为SKIPIF1<0的椭圆SKIPIF1<0上的一点．(1)求椭圆C的方程；(2)点P在椭圆上，点A关于坐标原点的对称点为B，直线AP和BP的斜率都存在且不为0，试问直线AP和BP的斜率之积是否为定值?若是，求此定值；若不是，请说明理由．4．已知椭圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0离心率等于SKIPIF1<0且椭圆C经过点SKIPIF1<0．(1)求椭圆的标准方程SKIPIF1<0；(2)若直线SKIPIF1<0与轨迹SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为坐标原点，直线SKIPIF1<0的斜率之积等于SKIPIF1<0，试探求SKIPIF1<0的面积是否为定值，并说明理由．5．过点SKIPIF1<0的直线为SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴正半轴的交点.(1)若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，求直线SKIPIF1<0的方程：(2)证明：若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0的斜率之和为定值.6．已知双曲线C:SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，双曲线C的右顶点A在圆O:SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.(1)求双曲线C的标准方程；(2)动直线SKIPIF1<0与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M，N，求△OMN(O为坐标原点）的面积．7．已知圆SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，动直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0．(1)若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，求直线SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．8．以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点SKIPIF1<0．(1)求椭圆的方程．(2)设SKIPIF1<0是椭圆上一点（异于SKIPIF1<0），直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴分别交于SKIPIF1<0两点．证明在SKIPIF1<0轴上存在两点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0是定值，并求此定值．9．已知SKIPIF1<0，M为平面上一动点，且满足SKIPIF1<0，记动点M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)若SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的动直线SKIPIF1<0交曲线E于P，Q（不同于A，B）两点，直线AP与直线BQ的斜率分别记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0为定值，并求出定值.10．已知双曲线SKIPIF1<0的实轴长为4，离心率为SKIPIF1<0．过点SKIPIF1<0的直线l与双曲线C交于A，B两点．(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点SKIPIF1<0，若直线QA，QB的斜率均存在，试问其斜率之积是否为定值？请给出判断与证明．11．已知椭圆C：SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的方程；(2)过点SKIPIF1<0的直线l交C于点M，N，直线SKIPIF1<0分别交直线SKIPIF1<0于点P，Q．求证：SKIPIF1<0为定值．12．已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，离心率SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0的右支交于M，N两点，记SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0为定值.13．已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在E上．(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点F的直线l与椭圆E交于A，B两点，点Q为椭圆E的左顶点，直线QA，QB分别交SKIPIF1<0于M，N两点，O为坐标原点，求证：SKIPIF1<0为定值．14．已知点SKIP