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文档简介
素养拓展34圆锥曲线中的定点、定值问题(精讲+精练)一、知识点梳理一、知识点梳理一、定点问题定点问题是比较常见出题形式,化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.【一般策略】①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等.②列出关系式.根据题设条件,表示出对应的动态直线或曲线方程.③探究直线过定点.一般化成点斜式或者直线系方程二、定值问题在解析几何中,有些几何量,如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关,这类问题统称为定值问题.这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用.【一般策略】①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;②引进变量法:选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量,然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数,最后把得到的函数化简,消去变量得到定值【常用结论】结论1过圆锥曲线上的任意一点P(x0,y0)作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A,B,则直线AB必过一定点(等轴双曲线除外).结论2过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线,切点分别为点A,B,则直线AB必过焦点.结论3
过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线,切点分别为点A,B,则直线AB已知且必过定点.结论4过圆锥曲线上的任意一点P(x0,y0)作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A,B两点,则kAB为定值.结论5
设点A,B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上关于原点对称的两点,点P是该椭圆上不同于A,B两点的任意一点,直线PA,PB的斜率分别是k1二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】在平面直角坐标系SKIPIF1<0中,椭圆SKIPIF1<0:SKIPIF1<0的左,右顶点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0是椭圆的右焦点,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程;(2)不过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点,记直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0,证明直线SKIPIF1<0过定点,并求出定点的坐标.【典例2】已知椭圆SKIPIF1<0,离心率为SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程;(2)若直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,SKIPIF1<0为坐标原点直线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的斜率之积等于SKIPIF1<0,试探求SKIPIF1<0的面积是否为定值,并说明理由.【题型训练1-刷真题】1.已知椭圆SKIPIF1<0的离心率是SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上.(1)求SKIPIF1<0的方程;(2)过点SKIPIF1<0的直线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点,直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点分别为SKIPIF1<0,证明:线段SKIPIF1<0的中点为定点.2.已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过SKIPIF1<0两点.(1)求E的方程;(2)设过点SKIPIF1<0的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足SKIPIF1<0.证明:直线HN过定点.3.)如图,中心在原点O的椭圆的右焦点为SKIPIF1<0,右准线l的方程为:SKIPIF1<0.(1)求椭圆的方程;(2)在椭圆上任取三个不同点SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0,证明:SKIPIF1<0为定值,并求此定值.4.已知椭圆C:SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0,且过点SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程:(2)点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为垂足.证明:存在定点SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0为定值.【题型训练2-刷模拟】1.定点问题1.已知抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0与抛物线相交于不同的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点.(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程;(2)如果SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0是否过一定点,若过一定点,求出该定点;若不过一定点,试说明理由.2.已知椭圆SKIPIF1<0的两个焦点分别为SKIPIF1<0,离心率为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程;(2)M为椭圆SKIPIF1<0的左顶点,直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点,若SKIPIF1<0,求证:直线SKIPIF1<0过定点.3.设抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上任意一点,过点SKIPIF1<0作抛物线SKIPIF1<0的两条切线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,切点分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0时,求过SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0三点的圆的方程,并判断直线SKIPIF1<0与此圆的位置关系;(2)求证:直线SKIPIF1<0恒过定点.4.已知圆SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0内一个定点,SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上任意一点,线段SKIPIF1<0的垂直平分线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0,当点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上运动时.(1)求点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程;(2)已知圆SKIPIF1<0:SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的内部,SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上不同的两点,且直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切.求证:以SKIPIF1<0为直径的圆过定点.5.已知椭圆SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0,且点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程;(2)椭圆SKIPIF1<0的上、下顶点分别为SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0,若直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的另一个交点分别为点SKIPIF1<0,证明:直线SKIPIF1<0过定点,并求该定点坐标.6.已知双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线方程为SKIPIF1<0,焦点到渐近线的距离为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程;(2)过双曲线SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0作互相垂直的两条弦(斜率均存在)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.两条弦的中点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,那么直线SKIPIF1<0是否过定点?若不过定点,请说明原因;若过定点,请求出定点坐标.7.在平面直角坐标系中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,M为平面内的一个动点,且SKIPIF1<0,线段AM的垂直平分线交BM于点N,设点N的轨迹是曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设动直线l:SKIPIF1<0与曲线C有且只有一个公共点P,且与直线SKIPIF1<0相交于点Q,问是否存在定点H,使得以PQ为直径的圆恒过点H?若存在,求出点H的坐标;若不存在,请说明理由.8.已知SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上一点,点SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的两个焦点构成的三角形面积为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程;(2)不经过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点,若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率之和为SKIPIF1<0,证明:直线SKIPIF1<0必过定点,并求出这个定点坐标.9.已知椭圆SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程;(2)过SKIPIF1<0的两条互相垂直的直线分别交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点和SKIPIF1<0两点,若SKIPIF1<0的中点分别为SKIPIF1<0,证明:直线SKIPIF1<0必过定点,并求出此定点坐标.10.在平面直角坐标系SKIPIF1<0中,顶点在原点,以坐标轴为对称轴的抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程;(2)若SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称,焦点为SKIPIF1<0,过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0轴不垂直的直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于另一点SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于另一点SKIPIF1<0,求证:直线SKIPIF1<0过定点.11.平面直角坐标系xOy中,已知双曲线SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)的离心率为SKIPIF1<0,实轴长为4.
(1)求C的方程;(2)如图,点A为双曲线的下顶点,直线l过点SKIPIF1<0且垂直于y轴(P位于原点与上顶点之间),过P的直线交C于G,H两点,直线AG,AH分别与l交于M,N两点,若直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,求点P的坐标.12.已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,过点SKIPIF1<0且与椭圆SKIPIF1<0有相同焦点(1)求E的离心率:(2)设椭圆E的下顶点为A,设过点SKIPIF1<0的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T.证明:直线TN过定点.13.在平面直角坐标系SKIPIF1<0中,已知点SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0,设动点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0.(1)求动点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程,并指出它表示什么曲线;(2)已知过点SKIPIF1<0的直线与曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点,点SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴分别交于点SKIPIF1<0,试问:线段SKIPIF1<0的中点是否为定点,若是定点,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.14.已知SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0:SKIPIF1<0上一点,长轴长为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程;(2)不经过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率之和为SKIPIF1<0,证明:直线SKIPIF1<0必过定点,并求出这个定点坐标.15.椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0,左、右顶点分别为SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上.已知SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积之比为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程;(2)不垂直于坐标轴的直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不重合,直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1<0.证明:SKIPIF1<0过定点.2.定值问题1.已知SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的两个焦点,SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上异于左、右顶点的任意一点,SKIPIF1<0的周长为6,面积的最大值为SKIPIF1<0:(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程;(2)直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的另一交点为SKIPIF1<0,与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.试问:SKIPIF1<0是否为定值?并说明理由.2.在平面直角坐标系SKIPIF1<0中,已知圆心为SKIPIF1<0的动圆过点SKIPIF1<0,且在SKIPIF1<0轴上截得的弦长为4,记SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0.(1)求曲线SKIPIF1<0的方程;(2)已知SKIPIF1<0及曲线SKIPIF1<0上的两点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0经过定点SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0,求证:SKIPIF1<0为定值.3.已知点SKIPIF1<0是离心率为SKIPIF1<0的椭圆SKIPIF1<0上的一点.(1)求椭圆C的方程;(2)点P在椭圆上,点A关于坐标原点的对称点为B,直线AP和BP的斜率都存在且不为0,试问直线AP和BP的斜率之积是否为定值?若是,求此定值;若不是,请说明理由.4.已知椭圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0离心率等于SKIPIF1<0且椭圆C经过点SKIPIF1<0.(1)求椭圆的标准方程SKIPIF1<0;(2)若直线SKIPIF1<0与轨迹SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点,SKIPIF1<0为坐标原点,直线SKIPIF1<0的斜率之积等于SKIPIF1<0,试探求SKIPIF1<0的面积是否为定值,并说明理由.5.过点SKIPIF1<0的直线为SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴正半轴的交点.(1)若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切,求直线SKIPIF1<0的方程:(2)证明:若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点,直线SKIPIF1<0的斜率之和为定值.6.已知双曲线C:SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,双曲线C的右顶点A在圆O:SKIPIF1<0上,且SKIPIF1<0.(1)求双曲线C的标准方程;(2)动直线SKIPIF1<0与双曲线C恰有1个公共点,且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M,N,求△OMN(O为坐标原点)的面积.7.已知圆SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0,动直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0.(1)若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切,求直线SKIPIF1<0的方程;(2)若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点,则SKIPIF1<0是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.8.以坐标原点为对称中心,坐标轴为对称轴的椭圆过点SKIPIF1<0.(1)求椭圆的方程.(2)设SKIPIF1<0是椭圆上一点(异于SKIPIF1<0),直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴分别交于SKIPIF1<0两点.证明在SKIPIF1<0轴上存在两点SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0是定值,并求此定值.9.已知SKIPIF1<0,M为平面上一动点,且满足SKIPIF1<0,记动点M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若SKIPIF1<0,过点SKIPIF1<0的动直线SKIPIF1<0交曲线E于P,Q(不同于A,B)两点,直线AP与直线BQ的斜率分别记为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求证:SKIPIF1<0为定值,并求出定值.10.已知双曲线SKIPIF1<0的实轴长为4,离心率为SKIPIF1<0.过点SKIPIF1<0的直线l与双曲线C交于A,B两点.(1)求双曲线C的标准方程;(2)已知点SKIPIF1<0,若直线QA,QB的斜率均存在,试问其斜率之积是否为定值?请给出判断与证明.11.已知椭圆C:SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0.(1)求椭圆C的方程;(2)过点SKIPIF1<0的直线l交C于点M,N,直线SKIPIF1<0分别交直线SKIPIF1<0于点P,Q.求证:SKIPIF1<0为定值.12.已知双曲线SKIPIF1<0:SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0,离心率SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程;(2)若直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0的右支交于M,N两点,记SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,证明:SKIPIF1<0为定值.13.已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0在E上.(1)求椭圆E的标准方程;(2)过点F的直线l与椭圆E交于A,B两点,点Q为椭圆E的左顶点,直线QA,QB分别交SKIPIF1<0于M,N两点,O为坐标原点,求证:SKIPIF1<0为定值.14.已知点SKIP
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