新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）14 平面向量中等和线的应用（含解析）

素养拓展14平面向量中等和线的应用（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、平面向量共线定理已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则A，B，C三点共线，反之亦然.二、等和线平面内一组基底SKIPIF1<0及任一向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则SKIPIF1<0（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线.当等和线恰为直线AB时，k=1；当等和线在O点和直线AB之间时，SKIPIF1<0；当直线AB在点O与等和线之间时，SKIPIF1<0；当等和线过O点时，k=0；若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数.三、证明步骤如图1，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面上一点，过SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0，由平面向量基本定理知：存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0下面根据点SKIPIF1<0的位置分几种情况来考虑系数和SKIPIF1<0的值=1\*GB3①若SKIPIF1<0时，则射线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0无交点，由SKIPIF1<0知，存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0=2\*GB3②若SKIPIF1<0时，（i）如图1，当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0右侧时，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交射线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的相似比为SKIPIF1<0由SKIPIF1<0三点共线可知：存在SKIPIF1<0使得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0（ii）当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0左侧时，射线SKIPIF1<0的反向延长线与SKIPIF1<0有交点，如图1作SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，由（i）的分析知：存在存在SKIPIF1<0使得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0综合上面的讨论可知：图1中SKIPIF1<0用SKIPIF1<0线性表示时，其系数和SKIPIF1<0只与两三角形的相似比有关。我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0边的垂线SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的射影为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(SKIPIF1<0的符号由点SKIPIF1<0的位置确定)，因此只需求出SKIPIF1<0的范围便知SKIPIF1<0的范围一般解题步骤：（1）确定单位线（当SKIPIF1<0时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值；（3）从长度比计算最值.二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边SKIPIF1<0上的点，SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=（）【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于此时等和线为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【典例2】如图，四边形SKIPIF1<0是边长为1的正方形，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的延长线上，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0（含边界）的动点，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）【解析】当点SKIPIF1<0位于点SKIPIF1<0时，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【题型训练-刷模拟】一、单选题1.已知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）【解析】过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，从而有SKIPIF1<0,而三角形SKIPIF1<0的外接圆的半径为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.2.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上的任意一点，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．4【答案】A【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．3.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P是以C为圆心且与BD相切的圆上，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A.3B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.2【解析】：根据图形可知，当点P在圆上运动到与A点距离最大时SKIPIF1<0有最大值，此时SKIPIF1<0，过A点作BD的垂线，如图所示垂足分别为M、N，则SKIPIF1<0答案：A4.在SKIPIF1<0中，点D是线段BC上任意一点，且满足SKIPIF1<0，若存在实数m和n，使得SKIPIF1<0，则m+n=（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0 ，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0答案：C5.已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，点SKIPIF1<0，过点F且斜率为1的直线交抛物线于AB两点，点P为抛物线上任意一点，若SKIPIF1<0，则m+n的最小值为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【解析】因SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当等和线相切于抛物线时SKIPIF1<0有最小值，过C作两等和线的垂线，垂足分别为T、S，则SKIPIF1<0由抛物线方程为SKIPIF1<0可得直线AB方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故切点为SKIPIF1<0，此时切线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0答案：A6.在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0在以点SKIPIF1<0为圆心且与SKIPIF1<0相切的圆上，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为()SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】：如图所示：过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0三点共线时，高线最长，即SKIPIF1<07.已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内一点，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内（不含边界），若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内一点，且SKIPIF1<0所以O为SKIPIF1<0的重心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内（不含边界），且当M与O重合时，SKIPIF1<0最小，此时SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0当M与C重合时，SKIPIF1<0最大，此时SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内且不含边界所以取开区间，即SKIPIF1<0所以选B8.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0上任一点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】A【解析】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵BC//EF，∴设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：A.二、填空题1.如图，在同一个平面内，向量SKIPIF1<0的模分别为1，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则m+n=______.【解析】连接AB，过C点作AB的平行线，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由题意可知SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，根据三角形张角定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0答案：32.已知P是SKIPIF1<0内任一点，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则y+2x的取值范围是_____.【解析】SKIPIF1<0（D为AB中点）所以当等和线过点B时，y+2x有最大值SKIPIF1<0,当等和线过点A时，y