新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）13 三角形中的“四心”问题（原卷版）

素养拓展13三角形中的“四心”问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、三角形的四心定义外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；二、三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．重要结论：（1）设点SKIPIF1<0是△SKIPIF1<0所在平面内的一点，则当点SKIPIF1<0是△SKIPIF1<0的重心时，有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为平面内任意一点）；（2）在向量的坐标表示中，若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0.三、三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．注：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．重要结论：若点SKIPIF1<0是△SKIPIF1<0的外心，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；反之，若SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0是△SKIPIF1<0的外心。四、三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．重要结论：若点SKIPIF1<0是△SKIPIF1<0的内心，则有SKIPIF1<0；反之，若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0是△SKIPIF1<0的内心．五、垂心三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.重要结论：若SKIPIF1<0是△SKIPIF1<0的垂心，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，反之，若或SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是△SKIPIF1<0的垂心．二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心（重心为三条中线交点），且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___．【典例2】已知点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的内心、外心、重心、垂心之一，且满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0一定是SKIPIF1<0的（

）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【典例3】已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则点P的轨迹一定经过SKIPIF1<0的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【典例4】设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（

）A．重心（三条中线交点） B．内心（三条角平分线交点）C．垂心（三条高线交点） D．外心（三边中垂线交点）【题型训练-刷模拟】1.重心一、单选题1．（四川省泸州市泸县第五中学2023届高三下学期二诊模拟考试文科数学试题）已知△ABC的重心为O，则向量SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则P的轨迹一定通过SKIPIF1<0的（

）A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心3．在SKIPIF1<0中，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，则用向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为基底表示向量SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，则SKIPIF1<0（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．边长为2的正SKIPIF1<0中，G为重心，P为线段BC上一动点，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．2C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．37．在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是不在同一直线上的三个点，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0内一动点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹一定过SKIPIF1<0的（

）A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心9．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设xSKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，ySKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．3 B．4C．5 D．610．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则直线AP一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心11．）在SKIPIF1<0中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．212．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，G为SKIPIF1<0的重心，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0外接圆的半径为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．记SKIPIF1<0内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的取值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．32 B．30 C．16 D．1415．已知点G为三角形ABC的重心，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0取最大值时，SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题16．已知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的可能取值为（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面内任意一点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<018．已知SKIPIF1<0的重心为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0点的直线与边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的交点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积之比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的可能取值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．3三、填空题19．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为重心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=.20．已知等边SKIPIF1<0的重心为O，边长为3，则SKIPIF1<0.21．已知SKIPIF1<0的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.22记SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若O为SKIPIF1<0的重心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.23．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．24．设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．25．若点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为．2.外心一、单选题1．点SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外一点，且SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的射影一定是SKIPIF1<0的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心2．已知O为锐角三角形SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知点O为SKIPIF1<0所在平面内一点，在SKIPIF1<0中，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点O为该三角形的（

）A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心4．在SKIPIF1<0中，设SKIPIF1<0，那么动点SKIPIF1<0的轨迹必通过SKIPIF1<0的（

）A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心5．在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为外心，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．10 D．206．SKIPIF1<0的外心SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．27．已知点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．5 B．6 C．7 D．88．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，则SKIPIF1<0的值为（

）A．17 B．10 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知O是SKIPIF1<0的外心,且满足SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<012．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外心，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．6 D．6SKIPIF1<013．已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点D满足SKIPIF1<0，E为SKIPIF1<0的外心，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．已知O是SKIPIF1<0的外心，外接圆半径为2，且满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．0 D．215．在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,O是SKIPIF1<0的外心,则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0二、多选题16．设点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外心，且SKIPIF1<0，下列命题为真命题的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0是正三角形，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<017．设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的角平分线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<018．已知SKIPIF1<0的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积S满足SKIPIF1<0，点O为SKIPIF1<0的外心，满足SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题19．已知O为SKIPIF1<0的外心，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.20．已知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．21．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为其外心，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．22．已知O是SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为.23．已知点O是锐角SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．24．已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外心，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．25．设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为.3.内心一、单选题1．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0通过SKIPIF1<0的（

）A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心2．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点D，E分别在线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，且D为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0的（

）.A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心3．在△ABC中，SKIPIF1<0，O为△ABC的内心，若SKIPIF1<0，则x＋y的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．在平面上有SKIPIF1<0及内一点O满足关系式：SKIPIF1<0即称为经典的“奔驰定理”，若SKIPIF1<0的三边为a，b，c，现有SKIPIF1<0则O为SKIPIF1<0的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心5．平面内SKIPIF1<0及一点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（

）A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心6．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M为BC中点，O为SKIPIF1<0的内心，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．17．若O在△ABC所在的平面内，a，b，c是△ABC的三边，满足以下条件SKIPIF1<0，则O是△ABC的（

）A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心8．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，动点M满足SKIPIF1<0，则直线AM一定经过SKIPIF1<0的（

）A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心9．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为三角形所在平面上的一点，且点SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0点为三角形的A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心10．已知点O是ABC的内心，若SKIPIF1<0，则cos∠BAC=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题11．已知SKIPIF1<0中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且SKIPIF1<0，设O为SKIPIF1<0的内心，则SKIPIF1<0的面积为．12．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的三个内角，SKIPIF1<0的外心为SKIPIF1<0，内心为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．13．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心，则SKIPIF1<0．14．已知G为SKIPIF1<0的内心，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．4.垂心一、单选题1．已知SKIPIF1<0是平面内一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面内不共线的三点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0一定是SKIPIF1<0的（

）A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心2．数学家欧拉于SKIPIF1<0年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点SKIPIF1<0分别为任意SKIPIF1<0的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．在三棱锥SKIPIF1<0中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两两垂直，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内的射影，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心4．已知H为SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M为边BC的中点，则SKIPIF1<0（

）A．20 B．10 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内一点，且SKIPIF1<0则点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心6．已知SKIPIF1<0是平面上一定点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是平面上不共线的三个点，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹一定通过SKIPIF1<0的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心7．已知H为SKIPIF1<0的垂心，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面上一点，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心，满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0的大小是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0内任意一点，若满足SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的一个“优