高考高中数学第76炼 存在性问题

第76炼圆锥曲线中的存在性问题

一、基础知识

1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）

存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成

立；否则即判定不存在

2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替

（1）点：坐标（%,%）

（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）

（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程

3、解决存在性问题的一些技巧：

（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必

要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。

（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素

作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。

（3）核心变量的求法：

①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解

②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变

量的方程（组），运用方程思想求解。

二、典型例题：

例1：已知椭圆c：=+工=1（。〉万〉0）的离心率为无，过右焦点厂的直线/与C相交

ab"3

Ji

于A,B两点，当/的斜率为1时，坐标原点。至U的距离为X—。

2

（1）求的值

（2）C上是否存在点P,使得当/绕E旋转到某一位置时，有。尸=。4+。3成立？若存

在，求出所有的P的坐标和/的方程，若不存在，说明理由

解：（1）e=—=a:b:c=V3:y/2:1

a3

则。=石。力=岳，依题意可得：F（c,O）,当/的斜率为1时

1:y=%-c=>x-y-c=O

do_l=-^==解得：c=l

22

：.a=®b=6~椭圆方程为：—+—=1

32

（2）设P（%o，%）,A（再,％）,5（%2，%）

当/斜率存在时，设/:y=k（x—1）

X。=X]+x

OP=OA+OB2

。0=%+%

y=k（x—1）_、,—

联立直线与椭圆方程：V'）消去y可得：2/+3/（x—1）-=6,整理可得:

2X2+3/=6

（3k1+2）x2-6k2x+3左2—6=0

6k2，/、c,6k3c,4k

x,+x=­；---y,+y=klx,+x\-2k=2-------2k=------2------

127342+2八J22v1R3k+23k+2

2

72kA+48/=6（3左2+27n24/0/+2）=6^3k+27

24k2=6（3k~+2）=女=±72

当左=后时，/:y=V2（x-1）,JG3F封

当左=—应时，Z:y=-V2（x-l）,P

当斜率不存在时，可知/：x=l,则P（2,0）不在椭圆上

（3万、

二综上所述：/:y=0（九—1）,P或/:y=—夜（x—1）,P

（22J

22

例2：过椭圆「：鼻+%=1（。〉6〉0）的右焦点工的直线交椭圆于4,3两点，耳为其左

焦点，已知的周长为8,椭圆的离心率为日

（1）求椭圆r的方程

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆r恒有两个交点P,Q,且

OP±OQ?若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由

解：（1）由AFJJB的周长可得：4a=8=〃=2

e=—=nc=A/3/.b2=a2—c2=1

a2

2

椭圆「上+y=1

4

（2）假设满足条件的圆为炉+9=尸，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内

,-.0<r<l

若直线PQ斜率存在，设=+尸（4乂）,。（X2，%）

222

PQ与圆相切do,=,=r<=m=r（^+1）

、7

OP_LOQnOP-OQ=0即xrx2+yxy2=0

,y=kx+m（八）

联立方程：r,^（l+4A:2）x2+8b/u+4m29-4=0

x+4y=4'7

8km4m2-4

12

4公+1I?4P+1

22

/.yxy2=（村+m）（Ax2+m）=^^x2+km^xv+x2）+m

二.+M%=（左之+1）%/+6（玉+%）+加之

4k-+1

5m2-4k--4

4/+1

5m2-4k2-4=0对任意的m,k均成立

将机2=，（/+］）代入可得：5/（产+1）—4（左2+1）=0

，（5/一4）（左2+1）=0.•./=1

，存在符合条件的圆，其方程为：x2+y2=-

5

当尸。斜率不存在时，可知切线2。为兀=±2«

若吟=15则信用q聆叫

:.OPOQ=0；.PQ:x=|6符合题意

若PQ:x=-16，同理可得也符合条件

4

综上所述，圆的方程为：f0+y02=—

5

例3：已知椭圆5+5=1（。〉6〉0）经过点（0,、6），离心率为:，左，右焦点分别为

月（—c,0）和4（c,0）

（1）求椭圆C的方程

（2）设椭圆。与x轴负半轴交点为A,过点四（T,0）作斜率为左（左力0）的直线/,交椭

圆。于伉。两点（3在M,。之间），N为BD中点、,并设直线ON的斜率为匕

①证明：左人为定值

②是否存在实数左，使得£N，A£>?如果存在，求直线/的方程；如果不存在，请说明

理由

解：（1）依题意可知：e=£=」可得：a:bic=2;^3:l

a2

22

，椭圆方程为：—y+=1，可得:c=l

4c23c2

椭圆方程为：—+^=1

43

（2）①证明：设3（%,%）,。（%2，%），线段班＞的中点N（%,%）

设直线/的方程为：丁=左（％+4）,联立方程:

y=k(x+4)

<化为：(3+4A;2)%2+32k1x+64k2-12=0

3x2+4y2=12

,1口-324264--12

由△>()解得：k<-且=4.+3'石々=

44r+3

x.+x-,1642,12k

%=丁=一K%=—z)=「

3

/.k、k=-----

14k4

②假设存在实数k,使得F.NLAD,则kFtN-kAD^-l

12k

.k：%_3+4-2_4k

L词-16k2;匚死

―3+4二+

=%=M-+4)

AD

X2+2X2+2

_4左k(x2+4)_

N*AD-7.——]

F'N仞I-4k-X2+2

2

即4k20+16k=(4左2-1)无2+8左2—2=%=—2—8k?<-2

因为。在椭圆上，所以々4―2,2],矛盾

所以不存在符合条件的直线/

例4：设E为椭圆E:/+，=l(a〉5〉0)的右焦点，点在椭圆E上，直线

Z0:3x-4y-10=C与以原点为圆心，以椭圆E的长半轴长为半径的圆相切

（1）求椭圆E的方程

（2）过点/的直线/与椭圆相交于A,B两点，过点尸且平行于AB的直线与椭圆交于另一

点。，问是否存在直线/,使得四边形2钻。的对角线互相平分？若存在，求出/的方程;

若不存在，说明理由

解：（1）/（）与圆相切

/10CC

ao_l=-=2=ra=2

将代入椭圆方程;+\=1可得：人=退

22

，椭圆方程为：--1--=1

43

（2）由椭圆方程可得：尸（1,0）

3

设直线=—则PQ:y—e=Z（x_l）

联立直线/与椭圆方程：

y-k（x-l）消去得：（4左2+3）尤2—8左2无+4k2-12=0

3d+4/=12'7

A1=（8/J-4（4左2+3）（4左2-12）=144左？+144

:.\AB\=J1+左2,—%|=Jl+公,严=I?,+1）

1111J4k2+34/+3

同理：

联立直线PQ与椭圆方程：

一3

＜，-'（X—1）+5消去y可得：（4左2+3）尤2—（8左2—12可尤+4左2—12左一3=0

3x2+4/=12

A2=［（842—12勾，-4（4左2—12k-3）（4左之+3）=1441（+左+左？）

144廿+左+42

4k2+3

因为四边形PABQ的对角线互相平分

四边形上钻。为平行四边形

.-.\AB\=\PQ\

lA^+k+k2

.12俨+1)

=Jl+E

"4左2+34左②+3

3

解得：k=-

4

存在直线/:3x—4y—3=0时，四边形PABQ的对角线互相平分

例5：椭圆C:0+2=l（a〉6〉O）的左右焦点分别为耳，心，右顶点为4,尸为椭圆G

上任意一点，且出.2用的最大值的取值范围是[。2,302],其中°=上

（1）求椭圆G的离心率e的取值范围

（2）设双曲线G以椭圆G的焦点为顶点，顶点为焦点，5是双曲线。2在第一象限上任意

一点，当e取得最小值时，试问是否存在常数彳（彳＞0）,使得/BA片恒成立?

若存在，求出4的值；若不存在，请说明理由

解：⑴设尸（苍y），E（—c,0）,6（c,0）

：.PF1=^-c-x,-y）,PF2=（c-x,-y）

i22

:.PF[PF2=x+y-c

221

xy,?f9b7,/

由F+=1可得：y-b--x代入可得：

aba

2

222222222

PFcPF2=x+y-cl-〈x+b-c=—7x+b-c

'a?a

2

x^\-a.a\/.(P/J-PF2]=b

L」\/max

22V2

c1<b2<3c2c2<a2—c2<3c2=><

4c2>a

12110

4222

（2）当6=工时，可得：a=2c,b=yf3c

2

22

二双曲线方程为1r=1,A（2c,0），K（—c,0）,设3（%,%），毛〉0,为〉0

当AB±x轴时，X。=2。,%=3c

TC71

tanBEA=—=1二ZBF.A=-因为ZBAF.=-

13c1412

NBAF]=2NBRA

所以2=2,下面证明2=2对任意B点均使得/BA片A成立

考虑tanNBAF[=-k=----——,tanZBFA=k=———

AB{BF1

“x0-2cx0+c

2%

_2tanN5耳A_x0+c_2%（冗0+c）

=1—tad/B耳4=]（%j=（x°+c）2—3

[xo+c.

由双曲线方程f—\"=1，可得：y；=3x：-3/

c3c

（%。+c）—yj=（%o+c）—3XQ+3c2=—2%；+2cxQ+4c?=2（x0+c）（2c—%（））

tan2ZBF.A=2yo（1+。）=%=tanZBAF

2（x0+c）（2c-x0）2c-x0

ZBAF}=2ABFXA

结论得证

,4=2时，NBAF[=A恒成立

22

例6：如图，椭圆石：二+1=l（a〉6〉0）的离心率是,过点P（O,1）的动直线/与椭

a2b2

圆相交于A,3两点，当直线/平行于x轴时，直线/被椭圆E截得的线段长为20

（1）求椭圆E的方程

（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点。，使得对于任意直线/,

区2=?斗恒成立？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由

3阿

解：（1）e=—=----cibc=A/2:1:1

a2

22

椭圆方程为+斗=1

2b-b2

由直线I被椭圆E截得的线段长为20及椭圆的对称性可得：

点（、/5,1）在椭圆上

.椭圆方程为---H-^―=1

42

（2）当/与x轴平行时，由对称性可得：|24|=|尸固

\QA\|PA|....

~\=I^\QA\=\QB\

\QB\\PB\1111

.•.Q在A3的中垂线上，即。位于y轴上，设Q（0,%）

当/与x轴垂直时，贝iJA（O,行）,网0,-0）

冏=友+1\QA\=\y0-

.QA_PA%-夜6_1

二一二可解得%=1或%=2

"\QB\|「仁为+0一V2+1

y八

P,。不重合二为=2

Q

2（0,2）

下面判断Q（0,2）能否对任意直线均成立一人…一Q-

若直线/的斜率存在，设/:y=kx+l,

人（希，%），3（孙％）

联立方程可得：卜+2y=4^（l+2k2）x2+4kx-2=0

y=kx+l、'

由因=因可想到角平分线公式，即只需证明平分NBQA

3\PB\

只需证明kQA=-kQBnkQA+ka=0

，4（%%），8（%％）

•kX2k_%-2

一^QA

X{x2

%—2।%—2=%（X—2）+%（%—2）=%%+%％—2（%+々）①

•k4-“

…几Q4丁KQB

%%再入2药%2

y.=kxy+1

因为A（玉,%）,5（%2，%）在直线y="+1上,11代入①可得:

y2=kx2+l

x（hq+1）+罚（仇+1）—2（石+W）2kx\X?—（国+马）

•k_i_V-2

一氏QA丁0QB

石工2

联立方程可得：\X+2y=4=＞（1+2/）%2+4辰—2=0

y=kx+\、'

4k2

"+%=-百尸2=一胃！

2k——J

kQA+kQB=——1+2左21+2左-=0

1+242

•e•^QA+k0B=。成乂

:.QP平分NBQA.•.由角平分线公式可得：=W

\QB\\PB\

例7：椭圆0:《+提=1（“〉6〉0）的上顶点为4,是C上的一点，以AP为

直径的圆经过椭圆C的右焦点F

（1）求椭圆C的方程

（2）动直线/与椭圆。有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直

线/的距离之积等于1?若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由

解：由椭圆可知：A（O,Z?）,F（c,O）

AP为直径的圆经过/.\FA±FP

(Ab

:.FAFP=OFA=(-c,b),FP=^-c,-

4cV—=0^>c2--c+—=0

333

4b

由「在椭圆上，代入椭圆方程可得:

353

1161/2

—7---F—r—=ln〃=2

a29b29

24/

c——c-\---=0,<

33n6=c=l

b2+c2=a2=2

2

椭圆方程为三+丁=1

（2）假设存在》轴上两定点必（4,o）,澳（4,。），（4<4）

设直线I:y=kx+m

\k\+m||左尢+m|

=7FTT，£/,所以依题意:

|k\+m|卜4+叫左244+如+/?2)+7〃2

“%一/“2-1=1①

k2+l

因为直线/与椭圆相切，.♦.联立方程:

y=kx+m(,、

丁，n(2/+l)x2+4kmx+2m2-2=0

%2+2/=2'7

由直线l与椭圆相切可知A=（4fon）2-4（2F+1）（2//—2）=0

化简可得：祇2=2/+1,代入①可得:

女~44+左〃z(4+4)+2k~+1

=1上"4%++4)+2k~+1=k+1

k2+l

；"2（44+I）+珈（4+4）=°，依题意可得：无论左，机为何值，等式均成立

4%=T

4=T

4+4=0n<

।4=1

所以存在两定点：加1（—1,0）,加2（1，0）

例8：已知椭圆6：/+4丁2=1的左右焦点分别为耳,耳，点尸是G上任意一点，。是坐

标原点，设点。的轨迹为G

OQ=PF1+PF2,

（1）求点。的轨迹G的方程

（2）若点T满足：OT=MN+2OM+ON,其中M,N是G上的点，且直线OM,QN的

斜率之积等于-；，是否存在两定点，使得|力4|+|2|为定值？若存在，求出定点的坐

标；若不存在，请说明理由

（1）设点0的坐标为（羽丁），点2的坐标为（尤0，%），则君+4尤=1

由椭圆方程可得：

I2

OQ=PFX+PF2且尸片=[—冷―玉）,一为）尸工=[m一/,一为

X

*（）二—

2

:.Q（-2xQ,-2yQ）.•」；1_；；：=<代入至!）4+44=1可得：

2

X2

1+y=i

（2）设点T（x,y）,加（石,乂）,？/（%2，%）

OT=MN+2OM+ON

(苍y)=(%—%，x—%)+2(%,x)+(%，%)

x=2X2+不

•°=2%+%

设直线OM,ON的斜率分别为kOM,kON,由已知可得：kOM-kON="=--

%2玉4

二.玉%2+4%>2=0

22

考虑%+4y2=（2%+%1）+4（2%+为『=（x；+4y；）+4（考++16%%

炉+4y2=4

M,N是G上的点・・・1::

昌+4y；=4

2

%+4y2=4+4x4=20

2222

即T的轨迹方程为土+乙=1,由定义可知，T到椭圆上+乙=1焦点的距离和为定值

205205

.•.A3为椭圆的焦点4（-715,0）,5（715,0）

所以存在定点A3

22/lQ

例9：椭圆E1：—+^—r=1（。〉6〉0）的焦点到直线x—3y=0的距离为北一，离心率为

a1b2

铝，抛物线6:/=2°%（0>0）的焦点与椭圆后的焦点重合，斜率为左的直线/过G的

焦点与E交于AB,与G交于C,。

（1）求椭圆E及抛物线G的方程

11

（2）是否存在常数;I,使得~+1一为常数？若存在，求出X的值；若不存在，请说

\ABr\\CD\^

明理由

解：（1）设E,G的公共焦点为歹（c,0）

,同_VIo

-—------C—Z

V105

e=—=2"=>a=y/5:.b2=6^-c2=1

a5

E:—+y2=1

5

/.y1=8x

（2）设直线/:丁=左（％—2）,4%,%）,3（%2，%），0（$，%），。（%4，%）

与椭圆联立方程：<:一"（：—2）n（5左2+1）——20左2工+20左2—5=0

x2+5y=5

20k②2042—5

212

飞1+5421+542

26俨+1）

.•.|AB|=V1+

1+5/­

y—k（x—2）

直线与抛物线联立方程：\\1二父/—（442+8卜+4左2=0

V=8x

4左之+8、..8傍+1）

x3+x4=———CD是焦点弦|CZ>|=£+=+4='7—-

1一_1+5左2.左2_4+20.2+&\,2_4+（20+石\）42

■,|AB|+|CDP2V5（^2+1）+8（^2+1）-8君俨+1）-8A/5（^2+1）

若■j--r+-；---[•为常数，则20+，5Z=4A=--------

|AB|\CD\5

例10：如图，在平面直角坐标系x0y中，椭圆C：W+}=l（a〉6〉0）的离心率为渔，

a"b~3

直线/与％轴交于点E,与椭圆C交于两点，当直线/垂直于x轴且点E为椭圆C的

/7

右焦点时，弦A3的长为2*

3

（1）求椭圆C的方程

11

（2）是否存在点E,使得育+市为定值？若存在,

请求出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理

由

解：（1）依题意可得：e=—=—«:Z?:C=A/3:1：A/2

a3

当/与x轴垂直且E为右焦点时，为通径

••』如"半

/.a=y/6,b=A/2

22

%J

-------1-------=1

62

（2）思路：本题若直接用用字母表示A,E,3坐标并表示|胡|,|座|,则所求式子较为复杂,

不易于计算定值与E的坐标。因为E要满足所有直线，所以考虑先利用特殊情况求出E点

11

及定值，再取判定（或证明）该点在其它直线中能否使得为定值。

解：（2）假设存在点E,设E（%,0）

若直线A3与％轴重合，则4-诟0）,网跖0）

=|x+

.'.\EA\0V6|,|EB|=|x0-V6|

11112/+12

-------------1------------=------------------------1-----------------------=------------------

■>|2l^l21。+佝2（%-佝2（X：-6）2

若直线|A却与x轴垂直，则A3关于x轴对称

・••设4（飞,y）,B（%-y）,其中y>0,代入椭圆方程可得;

22ITIr

看+]=1=＞丁力-甘••.同=|珅4？

1126

------------1------------=--------------=-------------

|E4|2\EBf2一芯6一片

3

,2XQ+126=2（芯+6乂6-片）=6（片—6『，可解得:

（X；-6）26-x：

.•.若存在点E,则E（±"0b若E（"0）,设4&,乂）,3（孙％）

x2+3,2=6

设A5:x=,孙+3，与椭圆C联立方程可得:，消去y可得:

my+（苏+3）＞2+26my-3=0

2y/3m3

.•J+LE'W-F

1]1111

—,同理:

-力+弁42工2+y；2m2+1m2+

1111才+y；

--r---222

倒回Im2+1J+（加2+1）y；（加2+1）y；y；（加之十]）

2也m3

代入.1.%+%=—可得:

12m2+6（〃5+3）

2

m+3）18m2+18.

=2

9（〃/+1

m2+3）

11

所以-------7-I----------万为定值，定值为2

画\EB\

11

若网—6,0）,同理可得万为定值2

-I-网-----7网----------

11

综上所述:+•，使得5为定值2

-画------一T---即-------

三、历年好题精选

22c

1、已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆E:=1（。〉。〉0）过点尸百,

ab

离心率为过直线/：x=4上一点M引椭圆E的两条切线，切点分别是A3

2

（1）求椭圆£的方程

V2y2

（2）若在椭圆下十=1（。〉。〉0）上的任一点N（Xo，No）处的切线方程是

ab2

沪21,求证:直线A3恒过定点C,并求出定点。的坐标

⑶是否存在实数；I,使得|AC|+忸。|=川4。|•忸q恒成立？（点C为直线A3恒过的

定点），若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由

22

2、已知椭圆。：§+2=1（。〉6〉0）的一个焦点与抛物线V=4x的焦点重合，

1j是椭圆C上的一点

（1）求椭圆C的方程

（2）设分别是椭圆。的左右顶点，P,Q是椭圆C上异于的两个动点，直线

的斜率之积为-；，设APQ与3P。的面积分别为4,§2,请问：是否存在常数

2（2e7?）,使得Si=XS2恒成立？若存在，求出2的值，若不存在，请说明理由

3、己知椭圆，+5=1（。〉。〉0）经过点（°，6），离心率为:，左，右焦点分别为

G（—c,0）和月（c,0）

（1）求椭圆。的方程

（2）设椭圆。与x轴负半轴交点为4,过点Af（T,0）作斜率为M左20）的直线/,交椭

圆。于昆。两点（6在之间），N为BD中点、,并设直线ON的斜率为匕

①证明：h吊为定值

②是否存在实数左，使得耳NLAD?如果存在，求直线/的方程；如果不存在，请说明

理由

4、已知圆“：（》+6，+/=36,定点N（6,0）,点P为圆加上的动点，点。在NP

上，点G在上，且满足NP=2NQ,GQ-NP=0

（1）求点G的轨迹C的方程

（2）过点（2,0）作直线/,与曲线。交于A8两点，。是坐标原点，设OS=OA+O3,

是否存在这样的直线/,使得四边形OAS3的对角线相等（即|OS|=|A@）?若存在，求

出直线/的方程；若不存在，试说明理由

22

5、（2014,福建）已知双曲线E:J—£=1（。〉°力〉0）的两条渐近线分别为4：y=2x,

l2:y--2x

（1）求双曲线E的离心率

（2）如图，。为坐标原点，动直线/分别交直线h4于A8两点（A3分别在第一、四象

限），且。钻的面积恒为8,试探究：是否存在总与直线/有且只有

一个公共点的双曲线E?若存在，求出双曲线E的方程；若不存在请

说明理由

习题答案:

c1/—

1、解析：（1）e=—=—^a:b:c=2：y]3:l

a2

椭圆过点尸百，

—yH----=1J再由4：/?：C=2：：1可解得：4=2,b=

cr4Z?2

22

二.椭圆方程为：---F―1

43

（2）设切点坐标为A（再,必）,5（々,%），直线上一点“（4,。，依题意可得:

两条切线方程为:

至+里

=1%1+—=1

43由切线均过/可得：\

型+9=1x+理=1

、43r3

71(%1，%),8(%2,，2)均在直线％+'1'=1上

因为两点唯一确定一条直线

:.AB:x+^y=l,即过定点(1,0),即点C的坐标为(1,0)

■IIII।IIIACl+l5cl11

(3)AC+LBC=2AC-BC=_LJ___

11+

......MCq\AC\\BC\

x+—

联立方程：｛32(r+12)/—6^—27=0

3X2+4/=12

6/27

•,・%+%=77"^，%%=—7^7,不妨设为〉0,为<°

J.4ILA.乙IL

AC

||=J(X]T)2+y；=，9：M，忸c|=J(%2T『+£=一’9：%

11

k6t丫108_____________

3亚12+/J-12+/_]J144—+9x144_4

y19+t2—27,9+付93

12+t2

32=

■■-l使得IAC|+忸q=川AC|.忸q恒成立

2、解析：(1)抛物线V=4x的焦点为(1,0).-.C=l

19,

依题意可知:<a24-b2=>片=46=3

a2-b2=c2=1

二.椭圆方程为：---F―1

43

(2)由(1)可得：A(—2,0),5(2,0),若直线PQ斜率存在

^PQ:y=kx+m,尸(花,%)。(如％)

A到直线PQ的距离4="8到直线PQ的距离d,=犁二

J1+42~J1+42

.5「；，归。14_4——24+同

，2l.|P2|J24\2k+m\

222

联立方程：1,^(3+4^)%+8fo7ix+4m-12=0

3d+4/=12'7

8km4m2-12

x1,+x2=----------,xx=-----；-----

2442+31224/+3

kk

AP-AQ==+(X1+2)(%+2)=0(*)

22

23m-12k

yy=(而1+z/7)(fct+m)=lcxx+km(x[+x)+m

x22x224A2+3

16k2-16km+4-m2

(%i+2)(%+2)=xx+2(X[+尤2)+4=代入到(*)可得:

Y24/+3

16m2—16km—32k2

=0=>m2-km-2k2=0

4r+3

m=2k或m=-k

当加=2左时，PQ:y=kx+2k=k(x+2),交点与A重合，不符题意

:.m=-k,代入到工可得：

邑

—=।,J=3=>S[=3s2,即之=3

S2IM

3、解：(1)依题意可知：e=£=」可得：a:b:c=2:^/3:1

a2

22

二.椭圆方程为：*+3=1，代入(0,6)可得：C=1

，椭圆方程为：----F=1

43

(2)①证明：设3(%,%),£>(%,%)，线段班»的中点N(%,为)

设直线/的方程为：丁=左(1+4),联立方程:

y=k(x+4),.

-')化为：(3+4左2)尤2+32左2工+64左2—12=0

3x2+4v2=12''

,1-32k264左2—12

由A>0解得：k<-且玉+%=------=-------9----

44左2+3124左2+3

x+x916k2-八12k

%=丁=一EKO=E

33

K=&=-3lek=-----k=—

14k4

x04k

②假设存在实数k,使得F.NLAD,则kFxN窿=-1

12k

.k：%_3+4-2_4k

0----------------7+i

3+4左2

；%=M-+4)

陋%+2%+2

4k^(x2+4)

1一4左2x,+2

即*2+16k2=(4左2—1)无2+8上2—229=—2—8左2<-2

因为。在椭圆上，所以七4―2,2],矛盾

所以不存在符合条件的直线/

4、解析：(1)由NP=2NQ,GQ•NP=0可得。为PN的中点，且GQLPN

.•.GQ为PN的中垂线.•1PG|=|GM

:.\GN\+\GM\=\MP\=6

；.G点的轨迹是以为焦点的椭圆，其半长轴长为。=3,半焦距。=不

b2=a2-c2=4

22

.,.轨迹方程为：---1-2―=1

94

（2）因为OS=OA+O3

四边形为平行四边形

若|QS|=|AB|,则四边形Q455为矩形，即。4。3=0

①若直线I的斜率不存在，则/:x=2

x=2x=2（

述、J22⑤

联立方程：\-y2n2后,即A2,2,-----

-------1-------—1y=±—I

[943、、3