高考数学一轮总复习 第五篇 第1讲 平面向量的概念及其线性运算 理 湘教版

第1讲平面向量的概念及其线性运算A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(·合肥检测)已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，那么 ()．A.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)) B.eq\o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))C.eq\o(AO,\s\up6(→))＝3eq\o(OD,\s\up6(→)) D．2eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))解析由2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)).答案A2．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OD,\s\up6(→))＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则()．A．a－b＋c－d＝0 B．a－b－c＋d＝0C．a＋b－c－d＝0 D．a＋b＋c＋d＝0解析依题意，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，故eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，即eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即有eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝0，则a－b＋c－d＝0.选A.答案A3．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))，则eq\f(|\o(BC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)的值为()．A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)解析由eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))，得eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝2eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OC,\s\up6(→))，即eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\f(|\o(BC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2).故选A.答案A4．(·山东)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若eq\o(A1A3,\s\up6(→))＝λeq\o(A1A2,\s\up6(→))(λ∈R)，eq\o(A1A4,\s\up6(→))＝μeq\o(A1A2,\s\up6(→))(μ∈R)，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是 ()．A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C、D可能同时在线段AB上D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上解析若A成立，则λ＝eq\f(1,2)，而eq\f(1,μ)＝0，不可能；同理B也不可能；若C成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＞2，与已知矛盾；若C，D同时在线段AB的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＜2，与已知矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确．答案D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(·开县模拟)设a，b是两个不共线向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．解析∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→)).即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝2λ，,p＝－λ，))∴p＝－1.答案－16.如图，在矩形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝c，则|a＋b＋c|＝________.解析根据向量的三角形法则有|a＋b＋c|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4.答案4三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在平行四边形OADB中，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→)).试用a，b表示eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))及eq\o(MN,\s\up6(→)).解由题意知，在平行四边形OADB中，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,6)(a－b)＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，则eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)(a＋b)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(a＋b)－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.8．(13分)(1)设两个非零向量e1，e2不共线，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝6e1＋23e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．(2)设e1，e2是两个不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．(1)证明因为eq\o(BC,\s\up6(→))＝6e1＋23e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝4e1－8e2，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝10e1＋15e2.又因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，得eq\o(BD,\s\up6(→))＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(BD,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))，又因为eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)解Deq\o(B,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝e1＋3e2－2e1＋e2＝4e2－e1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，若A，B，D共线，则eq\o(AB,\s\up6(→))∥Deq\o(B,\s\up6(→))，设Deq\o(B,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝2λ，,4＝λk))⇒k＝－8.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(·济南一模)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(OB,\s\up6(→))＋2\o(OC,\s\up6(→))))，则点P一定为三角形ABC的()．A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．重心D．AB边的中点解析设AB的中点为M，则eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，即3eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))，也就是eq\o(MP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，∴P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点．答案B2．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))，则△ABM与△ABC的面积比为 ()．A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5) C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析设AB的中点为D，由5eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))，得3eq\o(AM,\s\up6(→))－3eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AM,\s\up6(→))，即3eq\o(CM,\s\up6(→))＝2eq\o(MD,\s\up6(→)).如图所示，故C，M，D三点共线，且eq\o(MD,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(CD,\s\up6(→))，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比为eq\f(3,5)，选C.答案C二、填空题(每小题5分，共10分)3．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，则△ABC的形状为________．解析eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案直角三角形4.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，则m＋n的值为________．解析∵O是BC的中点，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．又∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up6(→)).∵M，O，N三点共线，∴eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1，则m＋n＝2.答案2三、解答题(共25分)5．(12分)如图所示，在△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝eq\f(1,3)AC，在AB上取一点M，使得AM＝eq\f(1,3)AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝eq\f(1,2)BN，在CM的延长线上取点Q，使得eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(CM,\s\up6(→))时，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(QA,\s\up6(→))，试确定λ的值．解∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\o(CN,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BN,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(QA,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))－eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BM,\s\up6(→))＋λeq\o(MC,\s\up6(→))，又∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(QA,\s\up6(→))，∴eq\f(1,2)eq\o(BM,\s\up6(→))＋λeq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，即λeq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,2).6．(13分)已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．(1)求eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GO,\s\up6(→))；(2)若PQ过△ABO的重心G，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝ma，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝nb，求证：eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝3.(1)解∵eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＝2eq\o(GM,\s\up6(→))，又2eq\o(GM,\s\up6(→))＝－eq\o(GO,\s\up6(→))，∴eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GO,\s\up6(→))＝－eq\o(GO,\