高考数学一轮总复习 第十一篇 第4讲 古典概型 理 湘教版

第4讲古典概率模型A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(·北京海淀期末)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为()．A.eq\f(1,12) B.eq\f(5,12) C.eq\f(7,12) D.eq\f(5,6)解析由题意知，事件中元素个数有eq\f(Aeq\o\al(2,4),2)＝12个，满足条件的元素个数就一个，故所求概率为P＝eq\f(1,12).答案A2．(·皖南八校联考)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是 ()．A.eq\f(1,5) B.eq\f(3,10) C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)解析元素总个数有Ceq\o\al(2,5)＝10个，其中为同色球的有Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,2)＝4个，故所求概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案C3．(·云阳一模)甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是 ()．A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)解析(甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)，(甲、乙都送给丁)，共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).答案A4．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为eq\f(2,3)，则这班参加聚会的同学的人数为()．A．12 B．18 C．24 D．32解析设女同学有x人，则该班到会的共有(2x－6)人，所以eq\f(x,2x－6)＝eq\f(2,3)，得x＝12，故该班参加聚会的同学有18人，故选B.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(·南京模拟)在集合A＝{2，3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1，2，3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．解析由题意得到的P(m，n)有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共6个，在圆x2＋y2＝9的内部的点有(2，1)，(2，2)，所以概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)6．(·郑州二检)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的概率是________．解析∵m，n均为不大于6的正整数，∴当点A(m，n)位于直线y＝x上及其下方第一象限的部分时，满足θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的点A(m，n)有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个，点A(m，n)的元素总数为6×6＝36，故所求概率为eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).答案eq\f(7,12)三、解答题(共25分)7．(12分)(·天津)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．解(1)由分层抽样的定义知，从小学中抽取的学校数目为6×eq\f(21,21＋14＋7)＝3；从中学中抽取的学校数目为6×eq\f(14,21＋14＋7)＝2；从大学中抽取的学校数目为6×eq\f(7,21＋14＋7)＝1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3，2所中学分别记为A4，A5，1所大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．所以P(B)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).8．(13分)(·广东)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1，2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩xn7076727072(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率．解(1)∵这6位同学的平均成绩为75分，∴eq\f(1,6)(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90，这6位同学成绩的方差s2＝eq\f(1,6)×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩共有Ceq\o\al(2,5)＝10种，恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的有：(70，76)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，共4种，所求的概率为eq\f(4,10)＝0.4，即恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率为0.4.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0，5，10三种数字，每人则可喊0，5，10，15，20五种数字，当两人所出数字之和等于甲所喊数字时为甲胜，当两人所出数字之和等于乙所喊数字时为乙胜，若甲喊10，乙喊15时，则 ()．A．甲胜的概率大 B．乙胜的概率大C．甲、乙胜的概率一样大 D．不能确定解析两人共有9种出数的方法，其中和为10的方法有3种，和为15的方法有2种，故甲胜的概率要大，应选A.答案A2．(·奉节二模)将号码分别为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4<0成立的事件发生的概率为 ()．A.eq\f(1,8) B.eq\f(3,16) C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析由题意知(a，b)的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a－2b＋4<0的有(1，3)，(1，4)，(2，4)，(3，4)，共4个，所以所求概率为eq\f(1,4).答案C二、填空题(每小题5分，共10分)3．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率e>eq\r(5)的概率是________．解析e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))>eq\r(5)，∴b>2a，符合b>2a的情况有：当a＝1时，b＝3，4，5，6四种情况；当a＝2时，b＝5，6两种情况，总共有6种情况．则所求概率为eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)4．(·上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．解析因为每人都从三个项目中选择两个，有(Ceq\o\al(2,3))3种选法，其中“有且仅有两人选择的项目完全相同”的元素个数有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)个，故所求概率为eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),（Ceq\o\al(2,3)）3)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)三、解答题(共25分)5．(12分)(·枣庄二模)袋内装有6个球，这些球依次被编号为1，2，3，…，6，设编号为n的球重n2－6n＋12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)．(1)从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率；(2)如果不放回的任意取出2个球，求它们重量相等的概率．解(1)若编号为n的球的重量大于其编号．则n2－6n＋12>n，即n2－7n＋12>0.解得n<3或n>4.∴n＝1，2，5，6.∴从袋中任意取出一个球，其重量大于其编号的概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(2)不放回的任意取出2个球，这两个球编号的所有可能情形共有Ceq\o\al(2,6)＝15种．设编号分别为m与n(m，n∈{1，2，3，4，5，6}，且m≠n)球的重量相等，则有m2－6m＋12＝n2－6n＋12，即有(m－n)(m＋n－6)＝0.∴m＝n(舍去)或m＋n＝6.满足m＋n＝6的情形为(1，5)，(2，4)，共2种情形．由古典概型，所求事件的概率为eq\f(2,15).6．某省实验中学共有特级教师10名，其中男性6名，女性4名，现在要从中抽调4名特级教师担任青年教师培训班的指导教师，由于工作需要，其中男教师甲和女教师乙不能同时被抽调．(1)求抽调的4名教师中含有女教师丙，且4名教师中恰有2名男教师、2名女教师的概率；(2)若抽到的女教师的人数为ξ，求P(ξ≤2)．解由于男教师甲和女教师乙不能同时被抽调，所以可分以下两种情况：①若甲和乙都不被抽调，有Ceq\o\al(4,8)种方法；②若甲和乙中只有一人被抽调，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,8)种方法，故从10名教师中抽调4人，且甲和乙不同时被抽调的方法总数为Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,8)＝70＋112＝182.这就是事件含元素总数．(1)记事件“抽调的4名教师中含有女教师丙，且恰有2名男教师，2名女教师”为A，因为含有女教师丙，所以再从女教师中抽取一人，若抽到的是女教师乙，则男教师甲不能被抽取，抽调方法数是Ceq\o\al(2,5)；若女教师中抽到的不是乙，则女教师的抽取方法有Ceq\o\al(1,2)种，男教师的抽取方法有Ceq\o\al(2,6)种，抽调的方法数是Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,6).故随机事件“抽调的4名教师中含有女教师丙，且4名教师中恰有2名男教师、2名女教师”含有的元素的个数是Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,6)＝40.根据古典概型概率的计算公式得P(A)＝eq\f(40,182)＝eq\f(20,91).(2)ξ的可能取值为0，1，2，3，4，所以P(ξ≤2)＝1－P(ξ>2)＝1－P(ξ＝3)－P(ξ＝4)，若ξ＝3，则选出的4人中，可以含有女教师乙，这时取法为Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,5)种，也可以不含女教师乙，这时有Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,6)种，