高考数学一轮总复习 第八篇 第5讲 垂直关系 理 湘教版

第5讲垂直关系A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则 ()．A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直解析如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．答案C2．已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l，m的位置关系是 ()．A．平行 B．异面 C．相交 D．垂直解析因为直线l垂直于直线AB和AC，所以l垂直于平面ABC，同理，直线m垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质定理得l∥m.答案A3．已知P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是 ()．A．PA＝PB＝PCB．PA⊥BC，PB⊥ACC．点P到△ABC三边所在直线的距离相等D．平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等解析条件A为外心的充分必要条件，条件C、D为内心的必要条件，故选B.答案B4．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()．A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β解析与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与α平行或相交，故A错；对B，存在n∥α情况，故B错；对D，存在α∥β情况，故D错．由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故C正确，选C.答案C二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图，拿一张矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌面上，折痕与桌面的位置关系是________．解析折痕与矩形在桌面内的两条相交直线垂直，因此折痕与桌面垂直．答案垂直6．(·沙坪坝)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β.给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确命题的序号是________．解析由面面平行的性质和线面垂直的定义可知①正确；因为l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，所以l，m平行、相交、异面都有可能，故②错误；由线面垂直的定义和面面垂直的判定定理可知③正确；因为l⊥α，l⊥m⇒m⊂α或m∥α，又m⊂β，所以α，β可能平行或相交，故④错误．答案①③三、解答题(共25分)7．(12分)如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.证明(1)如图，连接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，∴AN＝eq\f(1,2)PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴BN＝eq\f(1,2)PC.∴AN＝BN，∴△ABN为等腰三角形，又M为底边的中点，∴MN⊥AB，又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.(2)连接PM、MC，∵∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AP＝AD.∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∴PA＝BC.又∵M为AB的中点，∴AM＝BM.而∠PAM＝∠CBM＝90°，∴PM＝CM.又N为PC的中点，∴MN⊥PC.由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.8．(13分)(·泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.(1)证明由直四棱柱，得BB1∥DD1，又∵BB1＝DD1，∴BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD.而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，∴B1D1∥平面A1BD.(2)证明∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D.而MD⊂平面BB1D，∴MD⊥AC.(3)解当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D.取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示．∵N是DC的中点，BD＝BC，∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD⊥平面DCC1D1，∴BN⊥平面DCC1D1.又可证得O是NN1的中点，∴BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形．∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D.∵OM⊂平面DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．如图(a)，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图(b)所示，那么，在四面体A－EFH中必有()．A．AH⊥△EFH所在平面 B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面解析折成的四面体有AH⊥EH，AH⊥FH，∴AH⊥面HEF.答案A2.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()．A．直线AB上 B．直线BC上C．直线AC上 D．△ABC内部解析由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．答案A二、填空题(每小题5分，共10分)3.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或BM⊥PC)4.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．解析由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．答案①②③三、解答题(共25分)5．(12分)(·汕头模拟)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME；(2)证明：平面BDE⊥平面BCD.(3)求三棱锥D－BCE的体积．(1)证明连接MN，则MN∥CD，AE∥CD，又MN＝AE＝eq\f(1,2)CD，∴四边形ANME为平行四边形，∴AN∥EM.∵AN⊄平面CME，EM⊂平面CME，∴AN∥平面CME.(2)证明∵AC＝AB，N是BC的中点，AN⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD.由(1)，知AN∥EM，∴EM⊥平面BCD.又EM⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD.(3)解VD－BCE＝VE－BCD＝eq\f(1,3)S△BCD·|EM|＝eq\f(1,3)×eq\f(2\r(2)×4,2)×eq\r(2)＝eq\f(8,3).6．(13分)(·黔江模拟)如图，在多面体ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1綉BB1，AB＝AC＝AA1＝eq\f(\r(2),2)BC，B1C1綉eq\f(1,2)BC.(1)求证：A1B1⊥平面AA1C；(2)若D是BC的中点，求证：B1D∥平面A1C1C.(3)若BC＝2，求几何体ABC－A1B1C1的体积．(1)证明∵AB＝AC＝eq\f(\r(2),2)BC，AB2＋AC2＝BC2，∴AB⊥AC，又AA1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AA1⊥AB，AA1∩AC＝A，∴AB⊥平面AA1C，又∵AA1綉BB1，∴四边形ABB1A1为平行四边形．∴A1B1∥AB，∴A1B1⊥平面AA1C.(2)证明∵B1C1綉eq\f