高考数学一轮复习 第一篇 集合与常用逻辑用语（考点梳理+考点自测+揭秘高考）理 新人教A版

高考总复习·数学理(新课标A)第一篇集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念和运算【年高考会这样考】1．考查集合的交、并、补的基本运算，常与一次不等式、一元二次不等式、简单的分式不等式、指数不等式、对数不等式的求解或函数定义域相结合．2．利用集合运算的结果确定某个集合，主要是有限数集的基本运算，可用韦恩图解决，多以选择题的形式进行考查．考点梳理1．集合的基本概念(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．2．集合间的基本关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则AB(或BA)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．(4)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.3．集合的基本运算及其性质(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)补集：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，U为全集，∁UA表示A相对于全集U的补集．(4)集合的运算性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；③A∪A＝A，A∪∅＝A；④A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.【助学·微博】常用一条性质若集合A中含有n个元素，则A的子集有2n个，A的真子集有2n－1个．关注两个“易错点”(1)注意空集在解题中的应用，防止遗漏空集而导致失误，如A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B中A＝∅的情况需特别注意；(2)对于含参数的两集合具有包含关系时，端点的取舍是易错点，对端点要单独考虑．考点自测1．(·湖南)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝()．A．{0}B．{0,1}C．{－1,1}D．{－1,0,1}解析由x2≤x，解得0≤x≤1，∴M∩N＝{0,1}．答案B2．(·广东)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM＝()．A．UB．{1,3,5}C．{3,5,6}D．{2,4,6}解析根据补集的定义，由于U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，从而∁UM＝{3,5,6}．答案C3．(·江西)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为()．A．5B．4C．3D．2解析涉及集合中元素个数的问题，常用枚举法求解．本题可用枚举法求解：当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3.故z的值为－1,1,3，故所求集合为{－1,1,3}，共3个元素．答案C4．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,2,4}，B＝{3,4,5}，则图中的阴影部分表示的集合为()．A．{5}B．{4}C．{1,2}D．{3,5}解析由题图可知阴影部分为集合(∁UA)∩B，∵∁UA＝{3,5,6}，∴(∁UA)∩B＝{3,5}．答案D5．(·天津)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.解析A＝{x|－5<x<1}，因为A∩B＝{x|－1<x<n}，B＝{x|(x－m)(x－2)<0}，所以m＝－1，n＝1.答案－11考向一集合的基本概念【例1】►已知a∈R，b∈R，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，则a2014＋b2014＝________.[审题视点]结合元素的互异性与集合相等入手．解析由已知得eq\f(b,a)＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2014＋b2014＝1.答案1(1)利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但仍然要检验，看所得结果是否符合集合中元素的互异性的特征．(2)此类问题还可以根据两集合中元素的和相等，元素的积相等，列出方程组求解，但仍然要检验．【训练1】集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N*\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(12,x)∈Z))))中含有的元素个数为()．A．4B．6C．8D．12解析令x＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12代入验证得x＝1,2,3,4,6,12时，eq\f(12,x)∈Z，故集合中有6个元素．答案B考向二集合间的基本关系【例2】►已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．[审题视点]若B⊆A，则B＝∅或B≠∅，要分两种情况讨论．解当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.当B≠∅时，若B⊆A，如图．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1<2m－1，))解得2<m≤4.综上，m的取值范围为m≤4.(1)集合中元素的互异性，可以作为解题的依据和突破口；(2)对于数集关系问题，往往利用数轴进行分析；(3)对含参数的方程或不等式求解，要对参数进行分类讨论．【训练2】已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.解析A＝{x|log2x≤2}＝{x|0<x≤4}，即A＝(0,4]，由A⊆B，B＝(－∞，a)，且a的取值范围是(c，＋∞)，可以结合数轴分析得c＝4.答案4考向三集合的基本运算【例3】►设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，则m的值是________．[审题视点]本题中的集合A，B均是一元二次方程的解集，其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m，需要对这个参数进行分类讨论，同时需要根据(∁UA)∩B＝∅对集合A，B的关系进行转化．解析A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.答案1或2本题的主要难点有两个：一是集合A，B之间关系的确定；二是对集合B中方程的分类求解．集合的交、并、补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过Venn图进行直观的分析不难找出来，如A∪B＝A⇔B⊆A，(∁UA)∩B＝∅⇔B⊆A等，在解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的一种极为有效的方法．【训练3】(1)(·陕西)集合M＝{x|lgx>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝()．A．(1,2)B．[1,2)C．(1,2]D．[1,2](2)(·山东)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为()．A．{1,2,4}B．{2,3,4}C．{0,2,4}D．{0,2,3,4}解析(1)由题意得M＝(1，＋∞)，N＝[－2,2]，故M∩N＝(1,2]．(2)∵∁UA＝{0,4}，B＝{2,4}，∴(∁UA)∪B＝{0,2,4}．答案(1)C(2)C热点突破1——集合问题的求解策略【命题研究】集合是数学中最基本的概念，高考对集合的考查内容主要有：集合的基本概念、集合间的基本关系和集合的基本运算，并且以集合的运算为主，与不等式的解集、函数的定义域、方程的解集、平面上的点集等内容相互交汇，涉及的知识面较广，但难度不大．高考对集合的考查有两种形式：一种是直接考查集合间的包含关系或交、并、补的基本运算；另一种是以集合为工具考查集合语言和集合思想在方程、不等式、解析几何等中的运用．一、集合与不等式交汇问题的解题策略【真题探究1】►(·北京)已知集合A＝{x∈R|3x＋2>0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)>0}，则A∩B＝()．A．(－∞，－1)B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，3))D．(3，＋∞)[教你解题]第1步解出A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>－\f(2,3)))；第2步解出B＝{x|x>3或x<－1}；第3步结合数轴取交集，得A∩B＝(3，＋∞)．[答案]D[反思]应牢固掌握一元二次不等式、简单的分式不等式、指数不等式、对数不等式的解法．【试一试1】已知全集U＝{y|y＝log2x，x>1}，集合P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y＝\f(1,x)，x>3))，则∁UP＝()．A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C．(0，＋∞)D．(－∞，0)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))解析因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，所以当x>1时，y>log21＝0，故U＝(0，＋∞)；因为函数y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上为减函数，故当x>3时，0<y<eq\f(1,3)，故P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))).显然P⊆U，故∁UP＝eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))，所以选A.答案A二、集合中新定义问题的求解策略【真题探究2】►(·新课标全国)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()．A．3B．6C．8D．10[教你审题]解决本题的关键是准确理解集合B.集合B中的元素是符合x∈A，y∈A，x－y∈A的有序数对(x，y)．[解法]可用列表法yx1234510－1－2－3－4210－1－2－33210－1－243210－1543210也可用直接法(学生自己试一试)．[答案]D[反思]解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．如本例中的集合B就是一个由集合A中的元素通过附加条件“x∈A，y∈A，x－y∈A”演变而来的，所以要判断集合B中元素的个数，需要根据x－y是否是集合A中的元素来进行判断．【试一试2】定义集合运算：AB＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{－2014,0,2014}，B＝{lna，ea}，则集合AB的所有元素之和为()．A．2014B．0C．－2014D．ln2014＋e2014解析因为AB＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，所以当x＝0时，无论y取何值，都有z＝0；当x＝－2014，y＝lna时，z＝(－2014)×lna＝－2014lna；当x＝2014，y＝lna时，z＝2014×lna＝2014lna；当x＝－2014，y＝ea时，z＝(－2014)×ea＝－2014ea；当x＝2014，y＝ea时，z＝2014×ea＝2014ea；故AB＝{0,2014lna，－2014lna,2014ea，－2014ea}．所以AB的所有元素之和为0.答案BA级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(·浙江)设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁RB)＝()．A．(1,4) B．(3,4)C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)解析因为∁RB＝{x|x>3或x<－1}，所以A∩(∁RB)＝{x|3<x<4}．答案B2．(·辽宁)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁UA)∩(∁UB)等于 ()．A．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}解析根据集合运算的性质求解．因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{7,9}．答案B3．(·郑州三模)设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁UM＝()．A．{1,4} B．{1,5} C．{2,3} D．{3,4}解析U＝{1,2,3,4}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，∴∁UM＝{1,4}．答案A4．(·长春名校联考)若集合A＝{x||x|>1，x∈R}，B＝{y|y＝2x2，x∈R}，则(∁RA)∩B＝ ()．A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅解析∁RA＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，∴(∁RA)∩B＝{x|0≤x≤1}．答案C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(·湘潭模拟)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.解析∵3∈B，又a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.答案16．(·四川)设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则(∁UA)∪(∁UB)＝________.解析依题意得知，∁UA＝{c，d}，∁UB＝{a}，(∁UA)∪(∁UB)＝{a，c，d}．答案{a，c，d}三、解答题(共25分)7．(12分)若集合A＝{－1,3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求实数a，b.解∵A＝B，∴B＝{x|x2＋ax＋b＝0}＝{－1,3}．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＝－1＋3＝2，,b＝－1×3＝－3，))∴a＝－2，b＝－3.8．(13分)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a(1)9∈(A∩B)；(2){9}＝A∩B.解(1)∵9∈(A∩B)，∴9∈A且9∈B，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝－3或a＝3，经检验a＝5或a＝－3符合题意．∴a＝5或a＝－3.(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A且9∈B，由(1)知a＝5或a＝－3.当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，此时A∩B＝{9}，当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，此时A∩B＝{－4,9}，不合题意．∴a＝－3.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(·广东)已知集合A＝{(x，y)|x，y是实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y是实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为 ()．A．0 B．1 C．2 D．3解析集合A表示圆x2＋y2＝1上的点构成的集合，集合B表示直线y＝x上的点构成的集合，可判定直线和圆相交，故A∩B的元素个数为2.答案C2．(·潍坊二模)设集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(3y2,4)＝1))))，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝()．A．[－2,2] B．[0,2]C．[0，＋∞) D．{(－1,1)，(1,1)}解析A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，∴A∩B＝{x|0≤x≤2}＝[0,2]．答案B二、填空题(每小题5分，共10分)3．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是________．解析①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以不正确．②中设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确．③令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，3∈A1,2∈A2，但是，3＋2∉A1∪A2，则A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．答案②4．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(6,x＋1)≥1，x∈R))))，B＝{x|x2－2x－m<0}，若A∩B＝{x|－1<x<4}，则实数m的值为________．解析由eq\f(6,x＋1)≥1，得eq\f(x－5,x＋1)≤0，∴－1<x≤5，∴A＝{x|－1<x≤5}．又∵B＝{x|x2－2x－m<0}，A∩B＝{x|－1<x<4}，∴有42－2×4－m＝0，解得m＝8.此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意，故实数m的值为8.答案8三、解答题(共25分)5．(12分)设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．(1)若a＝eq\f(1,5)，试判定集合A与B的关系；(2)若B⊆A，求实数a组成的集合C.解由x2－8x＋15＝0，得x＝3或x＝5.∴A＝{3,5}．(1)当a＝eq\f(1,5)时，由eq\f(1,5)x－1＝0，得x＝5.∴B＝{5}，∴BA.(2)∵A＝{3,5}且B⊆A，∴若B＝∅，则方程ax－1＝0无解，有a＝0.若B≠∅，则a≠0，由方程ax－1＝0，得x＝eq\f(1,a)，∴eq\f(1,a)＝3或eq\f(1,a)＝5，即a＝eq\f(1,3)或a＝eq\f(1,5)，∴C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，\f(1,5))).6．(13分)(·衡水模拟)设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．(1)求(∁IM)∩N；(2)记集合A＝(∁IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a的取值范围．解(1)∵M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，∴∁IM＝{x|x∈R且x≠－3}，∴(∁IM)∩N＝{2}．(2)A＝(∁IM)∩N＝{2}，∵B∪A＝A，∴B⊆A，∴B＝∅或B＝{2}．当B＝∅时，a－1>5－a，∴a>3；当B＝{2}时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝2，,5－a＝2，))解得a＝3.综上所述，所求a的取值范围是{a|a≥3}.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件【年高考会这样考】1．考查四种命题之间的关系，明确四种命题的构成形式，能运用所学知识判断命题或其等价命题的真假，多以填空题或选择题的形式考查．2．判断指定的条件与结论之间的关系或探求其结论成立时的条件等，一般以选择题、填空题的形式考查，有时融入到解答题中综合考查．考点梳理1．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假判断①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．【助学·微博】一个等价关系互为逆否命题的两个命题的真假性相同，对于一些难于判断真假的命题可转化为对其等价命题来判断．两种判断方法充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)集合法：记A＝{x|x∈p}，B＝{x|x∈q}．若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．考点自测1．(·湖南)命题“若α＝eq\f(π,4)，则tanα＝1”的逆否命题是()．A．若α≠eq\f(π,4)，则tanα≠1B．若α＝eq\f(π,4)，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠eq\f(π,4)D．若tanα≠1，则α＝eq\f(π,4)解析按逆否命题的定义知原命题的逆否命题是：若tanα≠1，则α≠eq\f(π,4).故选C.答案C2．(·天津)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析因为f(x)是偶函数⇔φ＝kπ，k∈Z，所以“φ＝0”是“f(x)是偶函数”的充分而不必要条件．答案A3．(人教A版教材习题改编)命题“如果b2－4ac＞0，则方程ax2＋bx＋c＝0(aA．0B．1C．2D．3解析原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，则b2－4ac＞0”，为真命题，则它的否命题也为真．答案D4．(·山东)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()．A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3解析同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．答案A5．下列命题中所有真命题的序号是________．①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．解析①由2＞－3⇒/22＞(－3)2知，该命题为假命题；②a2＞b2⇒|a|2＞|b|2⇒|a|＞|b|，该命题为真命题；③a＞b⇒a＋c＞b＋c，又a＋c＞b＋c⇒a＞b；∴“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件为真命题．答案②③考向一四种命题及其关系【例1】►(·济南模拟)下列有关命题的说法正确的是()．A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy＝0，则x≠0”B．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题C．命题“∃x∈R，使得2x2－1<0”的否定是“∀x∈R，均有2x2－1<0”D．命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题为真命题[审题视点](1)根据四种命题的定义判断一个命题的逆命题、否命题、逆否命题表达格式的正误．(2)判断一个命题的真假时，若命题简单可直接判断；否则，利用其逆否命题进行真假判断．解析命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0”，所以A错；命题“∃x∈R，使得2x2－1<0”的否定是“∀x∈R，均有2x2－1≥0”，所以C错；命题“若cosx＝cosy，则x＝y”为假命题，故其逆否命题也假，故D错；“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”显然正确．所以应选B.答案B[(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例．【训练1】以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．解析对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝logax在其定义域内是增函数，因此①是假命题，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案②④考向二充分条件与必要条件的判断【例2】►(·北京)设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[审题视点]根据充分条件、必要条件的定义判断．解析a＝0时，a＋bi不一定是纯虚数，但a＋bi为纯虚数时，a＝0一定成立，故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件．答案B充分条件和必要条件反映了条件和结论之间的关系，结合具体问题可按照以下三个步骤进行判断：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．【训练2】(·天津)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析由题意知，x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4，充分性满足；反之，不成立，如x＝y＝eq\f(7,4)，满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2.答案A考向三充要条件的探求【例3】►(·陕西)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.[审题视点]直接利用求根公式进行计算，然后用整数等有关概念进行分析、验证．解析x＝eq\f(4±\r(16－4n),2)＝2±eq\r(4－n)，因为x是整数，即2±eq\r(4－n)为整数，所以eq\r(4－n)为整数，且n≤4，又因为n∈N*，取n＝1,2,3,4，验证可知n＝3,4符合题意，所以n＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．答案3或4解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性．【训练3】(·湖北)若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝eq\r(a2＋b2)－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的()．A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若φ(a，b)＝0，即eq\r(a2＋b2)＝a＋b，两边平方整理，得ab＝0，故具备充分性．若a≥0，b≥0，ab＝0，则不妨设a＝0.φ(a，b)＝eq\r(a2＋b2)－a－b＝eq\r(b2)－b＝0.故具备必要性．故选C.答案C方法优化1——充要条件的判断方法【命题研究】通过对近三年高考试题的统计分析可以看出，有关充分条件和必要条件的考题，是通过对命题条件和结论的分析，一方面运用集合观点进行求解，另一方面可从逻辑关系上去寻找联系．考查对数学概念的准确记忆和深层次的理解，考查角度主要是充分条件、必要条件和充要条件的判断，它往往是在不同知识点的交会处进行命题，考查面十分广泛，涵盖函数、立体几何、不等式、向量、三角等内容．判断“p是q的什么条件”的实质是对命题“若p，则q”与“若q，则p”的真假的确定．今后凡是遇到“p是q的什么条件”的题目，一要养成化简条件、结论为最简形式的好习惯，二要养成“解决彻底”的好习惯，既要解决充分性，又要解决必要性．【真题探究】►(·山东)设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[教你审题]先根据函数的性质确定这两个命题的充要条件，然后根据定义法将其转化为两个简单命题进行判断．[一般解法]第1步确定“函数f(x)＝ax在R上是减函数”的充要条件：a∈(0,1)；第2步由g′(x)＝3(2－a)x2≥0知g(x)在R上是增函数的充要条件：a∈(0,1)∪(1,2)；第3步(0,1)(0,1)∪(1,2)．所以选A.[优美解法](举反例法)第1步在(0,1)内任取一个实数，不妨取a＝eq\f(1,2)，前者⇒后者；第2步取a＝eq\f(3,2)，后者⇒/前者(前提：想到y＝x3的图象和性质)．[答案]A【试一试】(·浙江)若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析对于0＜ab＜1，如果a＞0，则b＞0，a＜eq\f(1,b)成立，如果a＜0，则b＜0，b＞eq\f(1,a)成立，因此“0＜ab＜1”是“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”成立，但不能推出0＜ab＜1，因此“0＜ab＜1”不是“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”的必要条件；故“0＜ab＜1”是“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”的充分而不必要条件．答案AA级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(·福建)下列命题中，真命题是 ()．A．∃x0∈R，ex0≤0B．∀x∈R,2x>x2C．a＋b＝0的充要条件是eq\f(a,b)＝－1D．a>1，b>1是ab>1的充分条件解析因为∀x∈R，ex>0，故排除A；取x＝2，则22＝22，故排除B；a＋b＝0，取a＝b＝0，则不能推出eq\f(a,b)＝－1，故排除C.应选D.答案D2．(·徐州模拟)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()．A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析否命题既否定题设又否定结论，故选B.答案B3．(·重庆)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的 ()．A．既不充分也不必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．充要条件解析∵x∈[0,1]时，f(x)是增函数，又∵y＝f(x)是偶函数，∴x∈[－1,0]时，f(x)是减函数．当x∈[3,4]时，x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)．∴x∈[3,4]时，f(x)是减函数，充分性成立．反之：x∈[3,4]时，f(x)是减函数，x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)，∴x∈[－1,0]时，f(x)是减函数，∵y＝f(x)是偶函数，∴x∈[0,1]时，f(x)是增函数，必要性亦成立．答案D4．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是 ()．A．0<a≤1 B．a<1C．a≤1 D．0<a≤1或a<0解析法一(直接法)当a＝0时，x＝－eq\f(1,2)符合题意．当a≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－4a>0，,\f(1,a)<0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<1，,a<0))⇔a<0；若方程两根均负，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－4a≥0，,－\f(2,a)<0，,\f(1,a)>0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,a>0))⇔0<a≤1.综上所述，所求充要条件是a≤1.法二(排除法)当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A，D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，所以选C.答案C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(·盐城调研)“m<eq\f(1,4)”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．解析x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤eq\f(1,4).答案充分不必要6．(·扬州模拟)下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；③“x>2”是“eq\f(1,x)<eq\f(1,2)”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中说法不正确的序号是________．解析①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③eq\f(1,x)<eq\f(1,2)，则eq\f(1,x)－eq\f(1,2)＝eq\f(2－x,2x)<0，解得x<0或x>2，所以“x>2”是“eq\f(1,x)<eq\f(1,2)”的充分不必要条件，③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．答案①②三、解答题(共25分)7．(12分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若ab＝0，则a＝0或b＝0；(2)若x2＋y2＝0，则x，y全为零．解(1)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．(2)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题．逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．8．(13分)已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－a2≤0(a>0)．若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解p：x2－8x－20≤0⇔－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－a2≤0⇔1－a≤x≤1＋a.∵p⇒q，q⇒/p，∴{x|－2≤x≤10}{x|1－a≤x≤1＋a}．故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a≤－2，,1＋a≥10，,a>0，))且两个等号不同时成立，解得a≥9.因此，所求实数a的取值范围是[9，＋∞)．B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(·皖南八校模拟)“m＝eq\f(1,2)”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的 ()．A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析由两直线垂直的充要条件知(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，解得m＝－2或eq\f(1,2)，∴m＝eq\f(1,2)时，两直线垂直，反过来不成立．答案B2．(·潍坊二模)下列说法中正确的是 ()．A．命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题B．若函数f(x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(2,x＋1)))的图象关于原点对称，则a＝3C．∃x∈R，使得sinx＋cosx＝eq\f(4,3)成立D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件解析A中命题的逆命题是“若a<b，则am2<bm2”是假命题，因为m＝0时，上述命题就不正确，故A错误；B选项，若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数，则f(0)＝ln(a＋2)＝0，解得a＝－1，故B错误；C选项，sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]，且eq\f(4,3)∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]，因此C是真命题．选项D，“x>1”是“x>2”的必要不充分条件．故选C.答案C二、填空题(每小题5分，共10分)3．(·长沙模拟)若方程x2－mx＋2m解析方程x2－mx＋2m＝0对应的二次函数f(x)＝x2－mx＋2m，∵方程x2－mx＋2m＝0有两根，其中一根大于3一根小于3，∴f(3)<0，解得m>9，即：方程x2－mx＋2m＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是m>9.答案m>94．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<2x<8，x∈R))))，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．解析A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<2x<8，x∈R))))＝{x|－1<x<3}，∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴AB，∴m＋1>3，即m>2.答案(2，＋∞)三、解答题(共25分)5．(12分)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.证明充分性：若a＋b＋c＝0，∴b＝－a－c，∴ax2＋bx＋c＝0化为ax2－(a＋c)x＋c＝0，∴(ax－c)(x－1)＝0，∴当x＝1时，ax2＋bx＋c＝0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.必要性：若方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a＋b＋c＝0.综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.6．(13分)已知全集U＝R，非空集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(x－2,x－3a＋1)<0))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(x－a2－2,x－a)<0)).(1)当a＝eq\f(1,2)时，求(∁UB)∩A；(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．解(1)当a＝eq\f(1,2)时，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(x－2,x－\f(5,2))<0))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2<x<\f(5,2)))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(x－\f(9,4),x－\f(1,2))<0))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,2)<x<\f(9,4)))，∴∁UB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤\f(1,2)或x≥\f(9,4))).∴(∁UB)∩A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(9,4)≤x<\f(5,2))).(2)∵a2＋2>a，∴B＝{x|a<x<a2＋2}．①当3a＋1>2，即a>eq\f(1,3)时，A＝{x|2<x<3a＋1}．∵p是q的充分条件，∴A⊆B.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2,3a＋1≤a2＋2))，即eq\f(1,3)<a≤eq\f(3－\r(5),2).②当3a＋1＝2，即a＝eq\f(1,3)时，A＝∅，不符合题意；③当3a＋1<2，即a<eq\f(1,3)时，A＝{x|3a＋1<x<2}，由A⊆B得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤3a＋1,a2＋2≥2))，∴－eq\f(1,2)≤a<eq\f(1,3).综上所述，实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3－\r(5),2))).特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【年高考会这样考】1．考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能用“或”、“且”、“非”表述相关的数学内容．2．考查对全称量词与存在量词意义的理解，叙述简单的数学内容，并能正确地对含有一个量词的命题进行否定．考点梳理1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)全称命题与特称命题①短语“所有的”“任意一个”这样的词语，一般在指定的范围内都表示事物的全体，这样的词叫做全称量词，用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．②短语“存在一个”“至少有一个”这样的词语，都是表示事物的个体或部分的词叫做存在量词．并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可以用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．(2)含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)【助学·微博】一个逆用p∧q为真，可知p，q都为真．p∨q为真，可知p，q至少有一个为真．p∨q为假，两个一定都假．两点提醒(1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提．(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定．考点自测1．若p是真命题，q是假命题，则()．A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题解析q是假命题，故綈q是真命题，故选D.答案D2．(·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()．A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数解析原命题是全称命题，则其否定是特称命题，故选D.答案D3．(·辽宁)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)≥0，则綈p()．A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0解析利用“全称命题的否定是特称命题”求解．命题p的否定为“∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．答案C4．下列四个命题中，其中为真命题的是()．A．∀x∈R，x2＋3<0B．∀x∈N，x2≥1C．∃x∈Z，使x5<1D．∃x∈Q，x2＝3解析由于∀x∈R都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，所以命题“∀x∈R，x2＋3<0”为假命题；由于0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x2≥1”是假命题；由于－1∈Z，当x＝－1时，x5<1，所以命题“∃x∈Z，使x5<1”为真命题；由于使x2＝3成立的数只有±eq\r(3)，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x∈Q，x2＝3”为假命题．答案C5．若命题“∃x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值范围是________．解析“∃x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则“∀x∈R有x2－mx－m≥0”是真命题．即Δ＝m2＋4m≤0，∴－4≤m≤0.答案[－4,0]考向一含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】►已知命题p：∃x∈R，使tanx＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是()．A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④[审题视点]先判断命题p，q的真假，然后对用逻辑联结词构成的复合命题进行真假判断．解析命题p：∃x∈R，使tanx＝1是真命题，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命题，∴①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．答案D若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相对，做出判断即可．【训练1】已知命题p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1,2}，由它们构成的“p∨q”，“p∧q”，“綈p”形式的命题中，真命题有()．A．0个B．1个C．2个D．3个解析命题p为真命题，命题q为假命题，则p∨q为真命题，p∧q为假命题，綈p为假命题．答案B考向二含有一个量词的命题的否定【例2】►(·湖北)命题“∃x0∈∁RQ，xeq\o\al(3,0)∈Q”的否定是()．A．∃x0∉∁RQ，xeq\o\al(3,0)∈QB．∃x0∈∁RQ，xeq\o\al(3,0)∉QC．∀x∉∁RQ，x3∈QD．∀x∈∁RQ，x3∉Q[审题视点]否定量词，否定结论，写出命题的否定．解析其否定为∀x∈∁RQ，x3∉Q.答案D全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．【训练2】(·北京东城一模)命题“∃x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanx0>sinx0”的否定是________．答案∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanx≤sinx考向三全称命题、特称命题的真假判断【例3】►下列命题中，真命题是()．A．∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是偶函数B．∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数[审题视点]根据量词的意义和函数奇偶性的概念判断．解析由函数奇偶性概念知，当m0＝0时，f(x)＝x2为偶函数，故选A.答案A对于特称命题的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判断该命题成立，对于全称命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立.【训练3】(·太原模拟)下列命题中的假命题是()．A．∃x0∈R，lgx0＝0B．∃x0∈R，tanx0＝eq\r(3)C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R,2x＞0解析当x＝1时，lgx＝0，故命题“∃x0∈R，lgx0＝0”是真命题；当x＝eq\f(π,3)时，tanx＝eq\r(3)，故命题“∃x0∈R，tanx0＝eq\r(3)”是真命题；由于x＝－1时，x3＜0，故命题“∀x∈R，x3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对∀x∈R,2x＞0，故命题“∀x∈R,2x＞0”是真命题．答案C热点突破2——含逻辑联结词的命题的判断【命题研究】通过对近三年高考试题统计可以看出，高考对逻辑联结词的考查频数不多，但并不是不考．多数以函数、不等式、三角函数、向量、立体几何等知识为载体，考查含有逻辑联结词的命题的判断．【真题探究】►(·山东)设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为eq\f(π,2)；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称．则下列判断正确的是()．A．p为真B．綈q为假C．p∧q为假D．p∨q为真[教你解题]第1步判断命题p的真假；第2步判断命题q的真假；第3步判断含逻辑联结词的命题判断真假．[解法]命题p为假命题，命题q为假命题，故p∧q为假，故选C.[答案]C[反思]含有逻辑联结词命题真假的判断方法：p∧q“见假就假”，p∨q“见真就真”，綈p“真假相对”．【试一试】已知命题p：抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－eq\f(1,2)；命题q：若函数f(x＋1)为偶函数，则f(x)关于x＝1对称．则下列命题是真命题的是()．A．p∧qB．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q)D．p∨q解析由题意知：抛物线准线方程为y＝－eq\f(1,8)，故命题p为假；函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图象向左平移1个单位关于y轴对称，即f(x＋1)的图象关于x＝1对称，故命题q为真，故p∨q必为真．所以选D.答案DA级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(·北京朝阳二模)如果命题“p∧q”是假命题，“綈q”也是假命题，则 ()．A．命题“綈p∨q”是假命题B．命题“p∨q”是假命题C．命题“綈p∧q”是真命题D．命题“p∧綈q”是真命题解析由“綈q”为假命题得q为真命题，又“p∧q”是假命题，所以p为假命题，綈p为真命题．所以命题“綈p∨q”是真命题，A错；命题“p∨q”是真命题，B错；命题“p∧綈q”是假命题，D错；命题“綈p∧q”是真命题，故选C.答案C2．(·吉林模拟)已知命题p：有的三角形是等边三角形，则 ()．A．綈p：有的三角形不是等边三角形B．綈p：有的三角形是不等边三角形C．綈p：所有的三角形都是等边三角形D．綈p：所有的三角形都不是等边三角形解析命题p：有的三角形是等边三角形，其中隐含着存在量词“有的”，所以对它的否定，应该改存在量词为全称量词“所有”，然后对结论进行否定，故有綈p：所有的三角形都不是等边三角形，所以选D.答案D3．(·开封二模)下列命题中的真命题是 ()．A．∃x∈R，使得sinx＋cosx＝eq\f(3,2)B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1C．∃x∈(－∞，0)，2x<3xD．∀x∈(0，π)，sinx>cosx解析因为sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≤eq\r(2)<eq\f(3,2)，故A错误；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；因为x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))时有sinx<cosx，故D错误．所以选B.答案B4．(·潍坊模拟)已知命题p：∃a0∈R，曲线x2＋eq\f(y2,a0)＝1为双曲线；命题q：x2－7x＋12＜0的解集是{x|3＜x＜4}．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是________．A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④解析因为命题p和命题q都是真命题，所以命题“p∧q”是真命题，命题“p∧綈q”是假命题，命题“綈p∨q”是真命题，命题“綈p∨綈q”是假命题．答案D二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0成立”的否定是________．答案对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠06．(·南通调研)存在实数x，使得x2－4bx＋3b<0成立，则b的取值范围是________．解析要使x2－4bx＋3b<0成立，只要方程x2－4bx＋3b＝0有两个不相等的实根，即判别式Δ＝16b2－12b>0，解得b<0或b>eq\f(3,4).答案(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))三、解答题(共25分)7．(12分)写出由下列各组命题构成的“p∨q”，“p∧q”，“綈p”形式的新命题，并判断其真假．(1)p：2是4的约数，q：2是6的约数；(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；(3)p：方程x2＋x－1＝0的两个实根的符号相同，q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．解(1)p∨q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p∧q：2是4的约数且2也是6的约数，真命题；綈p：2不是4的约数，假命题．(2)p∨q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p∧q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；綈p：矩形的对角线不相等，假命题．(3)p∨q：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号相同或绝对值相等，假命题；p∧q：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号相同且绝对值相等，假命题；綈p：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号不同，真命题．8．(13分)写出下列命题的否定，并判断真假．(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)有些实数的绝对值是正数；(4)某些平行四边形是菱形．解(1)存在一个矩形不是平行四边形，假命题．(2)存在一个素数不是奇数，真命题．(3)所有的实数的绝对值都不是正数，假命题．(4)每一个平行四边形都不是菱形，假命题．B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(·吉林二模)给出如下几个结论：①命题“∃x∈R，cosx＋sinx＝2”的否定是“∃x∈R，cosx＋sinx≠2”；②命题“∃x∈R，cosx＋eq\f(1,sinx)≥2”的否定是“∀x∈R，cosx＋eq\f(1,sinx)<2”；③对于∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanx＋eq\f(1,tanx)≥2；④∃x∈R，使sinx＋cosx＝eq\r(2).其中正确的为 ()．A．③ B．③④ C．②③④ D．①②③④解析根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，知①不正确，②正确；由基本不等式知③正确；由sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]知④正确．答案C2．(·江西六校联考)已知命题p：“∀x∈[1,2]都有x2≥a”．命题q：“∃x∈R，使得x2＋2ax＋2－a＝0成立”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为 ()．A．(－∞，－2] B．(－2,1)C．(－∞，－2]∪{1} D．[1，＋∞)解析若p是真命题，即a≤(x2)min，x∈[1,2]，所以a≤1；若q是真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有解，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.命题“p∧q”是真命题，则p是真命题，q也是真命题，故有a≤－2或a＝1.答案C二、填空题(每小题5分，共10分)3．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＝a2＋8a≤0，))得－8≤a＜0.综上，－8≤a≤0.答案[－8,0]4．(·长沙调研)下列结论：①若命题p：∃x∈R，tanx＝eq\f(\r(3),3)；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧綈q”是假命题；②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是eq\f(a,b)＝－3；③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．解析①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧綈q为假命题，故①正确；②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.答案①③三、解答题(共25分)5．(12分)已知c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))时，函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)>eq\f(1,c)恒成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围．解由命题p为真知，0<c<1，由命题q为真知，2≤x＋eq\f(1,x)≤eq\f(5,2)，要使此式恒成立，需eq\f(1,c)<2，即c>eq\f(1,2)，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p、q中必有一真一假，当p真q假时，c的取值范围是0<c≤eq\f(1,2)；当p假q真时，c的取值范围是c≥1.综上可知，c的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c|0<c≤\f(1,2)或c≥1)).6．(13分)已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．解若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝m2－4＞0，,m＞0，))解得m＞2，即命题p：m＞2.若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3.因“p∨q”为真，所以p，q至少有一个为真，又“p∧q”为假，所以命题p，q至少有一个为假，因此，命题p，q应一真一假，即命题p为真、命题q为假或命题p为假、命题q为真．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞2，,m≤1或m≥3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤2，,1＜m＜3.))解得：m≥3或1＜m≤2，即实数m的取值范围为[3，＋∞)∪(1,2].特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.小题专项集训(一)集合与常用逻辑用语(时间：40分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．(·深圳调研)设全集U＝{1,3,5,6,8}，A＝{1,6}，B＝{5,6,8}，则(∁UA)∩B＝ ()．A．{6} B．{5,8} C．{6,8} D．{5,6,8}解析依题意∁UA＝{3,5,8}，(∁UA)∩B＝{5,8}，选B.答案B2．(·辽宁)已知命题p：∃n∈N,2n＞1000，则綈p为 ()．A．∀n∈N,2n≤1000 B．∀n∈N,2n＞1000C．∃n∈N,2n≤1000 D．∃n∈N,2n＜1000解析特称命题的否定是全称命题．即p：∃x∈M，p(x)，则綈p：∀x∈M，綈p(x)．故选A.答案A3．(·福建)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是()．A．N⊆M B．M∪N＝MC．M∩N＝N D．M∩N＝{2}解析－2∉M，可排除A；M∪N＝{－2,1,2,3,4}，可排除B；M∩N＝{2}，故应选D.答案D4．(·河南重点中学联考)已知集合A＝{圆}，B＝{直线}，则A∩B为()．A．∅ B．单元素集C．两个元素的集合 D．以上情况均有可能解析集合A是各种圆构成的集合，B中元素是直线，当然A∩B＝∅.答案A5．(·山东)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的 ()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B.答案B6．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是 ()．A．(－∞，1] B．[1，＋∞)C．[0，＋∞) D．(－∞，－1)解析∵1∉A，∴1－2＋a≤0，则a≤1.故选A.答案A7．(·安徽“江南十校”联考)命题p：若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是 ()．A．“p或q”是真命题 B．“p或q”是假命题C．綈p为假命题 D．綈q为假命题解析当a·b>0时，a与b的夹角为锐角或零度角，∴命题p是假命题；命题q是假命题，例如f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x≤0，,－x＋2，x>0，))所以“p或q”是假命题，选B.答案B8．(·济南模拟)若函数f(x)＝eq\r(1－x)的定义域为A，函数g(x)＝lg(x－1)，x∈[2,11]的值域为B，则A∩B等于 ()．A．(－∞，1] B．(－∞，1) C．[0,1] D．[0,1)解析由题知，A＝(－∞，1]，B＝[0,1]，∴A∩B＝[0,1]．答案C9．(·哈师大附中模拟)设x，y是两个实数，则命题“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是 ()．A．x＋y＝2 B．x＋y>2C．x2＋y2>2 D．xy>1解析命题“x，y中至少有一个数大于1”等价于“x>1或y>1”，若x＋y>2，必有x>1或y>1，否则x＋y≤2；而当x＝2，y＝－1时，2－1＝1<2，所以x>1或y>1不能推出x＋y>2.当x＝1，且y＝1时，满足x＋y＝2，不能推出x>1或y>1，所以A错；对于x2＋y2>2，当x<－1，y<－1时，满足x2＋y2>2，但不能推出x>1或y>1，故C错；对于xy>1，当x<－1，y<－1时，满足xy>1，但不能推出x>1或y>1，故D错，综上知选B.答案B10．(·山西四校联考)下列有关命题的说法正确的是 ()．A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2＋x－1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x－1>0”D．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题解析对