初中生数学学习中的常见心理问题与应对策略

初中生数学学习中的常见心理问题与应对策略

昌国良

湖南师范大学数学与计算机科学学院

序：中学教师应成为研究中学生数学学习心理过程的主力军

教学讲效率：分析有效性

教学有根据：不盲从

教学有针对性：准确了解

好奇心是数学学习的动力（激发求识欲）

数学理解是数学学习的关键（注重数学理解）

数学思维是数学学习的根本特征（训练数学思维）

认知能力是数学学习的有效保证（学会数学学习）

初中数学教学应帮助学生形成发展自我监控能力，开发其元认知潜

能。

一、数学学习对学生基本心理过程的要求

1.数学学习中的注意（课堂上注意力不集中，是影响课堂效率

的基本因素）

（1）数学注意中的心理问题

①注意力难集中

数学内容不含情感因素，也无实验的新奇和吸引人处，只有思维

的严密性和逻辑性。不同的人对数学的感觉不一样，因而受注意的情

况也不一样，陈省身说“数学好玩”，而多数人看来，数学学习不总

是好玩和有趣。数学内容不太容易引起注意，但需较强的注意力，教

学时需增加情感因素，一一实例中的情感，增加教师的表演，通过教

学引发好奇心，使学生亲其师，信其道。

②容易走神

数学学习难度高，需要专注力，不能走神

（抽象性、理论性、逻辑性）一（直观呈现、相对实际，讲授完整）

③容易顾此失彼

数学学习要求高，需要注意分配力。如：代数式运算时要注意字

母、系数、指数等。

④学习上容易产生视而不见的现象

某些信息难以引起足够的注意一一没注意导致解不出题。（需理

解后才能注意到！）

例如图ZAOB=12（f,OC是NAO8

的平分线，直线PRQ分别交OA、OC、0B于点

111

P、R、Q求证:-------1--------=------

oOPOQOR

注意目标信息的特点（两边都乘以OR）!联想到相似三角形知识,

由此联想到平行线。如图，作■SRZ/OP,得

ORSRSQOQ-OS

无一而一而一0Q一

由此即得求证的结论

（2）引起学生课堂注意的教学艺术。（如何使自己的课吸引人）

①引起学生注意

内因：激发学生学习兴趣

外因：挖掘教材中易引起注意的成份

②在教法上想办法

做好充分的课前准备（心理、物质）；组织注意的转移；改善注

意的分配；把注意力引向问题的关键部位。

如：设x=43-2亚,求&2+2X+3的值

③有意放松，提高注意的稳定性

④使学生形成一个好习惯（组织教学），关注开小差的学生

⑤兴趣激发

研究学生的兴趣特点，利用生动幽默的语言，利用新颖新奇的实

际问题，利用启发性板书，利用多样化的教学方法，组织学生的探究

活动等。

2.数学学习中的感知

（1）数学感知的中的心理问题

①数学感知的盲目性

数学感知的对象是数、式、形及其反映出来的规律以及客观事物

的数与形的规律。

②数学感知对已有知识经验的依赖性

表现为一种感知倾向性定势，不同的人对同一对象的感知结果不

一样，无知看不懂、听不懂。每个人总是以自己善长的知识策略来解

题。掌握基础知识的重要性。

感知定势在解题中的作用一一两重性。

如：设解关于％的不等式，2"-已>1—%,方法一■,分类

讨论；方法二，讨论y=，2--1与y=的图象间的关系。

③数学感知对理解力的依赖性

不理解会视而不见！

例子：已知a.h.ceR：求证J/+。2+，/+.2++/N行(a+b+c)

误解：a2+Z?2>2ah,-左式N(2ab+R2bc+(2ca=0(V^+\/^+\/^)2右

式吗，走不下去了！(放过头了！)

正解一：由V7正想到勾股定理，直角三角形的斜边表达式，

正解二：由a.h.ceR*据公式a,时，\la2+b2>—(a+Z?),(当

2

且仅当a=。时，等号成立)

那么:V«2+b2+4b1+C1+\jc2+a2>(a+b)+—(Z>+c)+(c+a)

222

=V^(Q+Z?+C)

注：此处关键在于公式庐厅之在3+加

2

事实上：a、OeR+时，a2+b2>2ah

如Ma2+b2+a2+b2>a2+2ab+b2即2(a2+b2)>(a+b)2取算术根

\]a2+b2>-^-(«+/?)(若力口右得至！J(a+/?)224")

2

④数学感知对教师的依赖性

教师一点拨就通

例：若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,则2尸%+z

点拨：2=b2-4ac,得到，的方程，(x-y)产+(z-x»+(y-z)=O

而各项系数和为0,故，有等根G1,两根和为匚=1,

即得2y=x+z

⑤缺乏数学眼光

数学感知强调数学化(用数学眼光看、听)体现为一种数学素养。

数学观察的重要性(数学阅读，理解的基础)

如：设％="3-2心,求，2+2x+3的值

若直接将X代入&2+2》+3求值,则难算且易出错。仔细观察，

发现x=0-1,而％2+2X+3=(X+1)2+2,故易求得其值为2。

(2)引导学生感知的数学艺术

①感知规律与教学艺术

协同律一一多种感官协同作用效果好

经验律一一定势的作用(好习惯与反面干扰)，题海战术的价

值与负面作用。

视觉规律与板书艺术

听觉规律与口头语言(演讲)艺术

直观数学

②观察力的培养

观察什么？怎么观察？怎样教观察？

观察什么？

以解题为例

观察题没和结论的特征、观察命题式子结构特征、观察式子相应

的图象、观察有没有隐含条件、观察命题的整体结构、观察能否变换

代用公式

例：若」一+」一+，一=0①

y-zz-xx-y

求证一j+y,+—②

(y-z)(z—x)~(x—y)

观察后发现各种解法

法一：变化②式左边，代入①式，这时有

(y-z)*2(z-x)2(x-y)2

显然，这样做下去是越做越繁。

法二，变化①式推出②式，把①两边平方使其分母与②式相同，那么

就会有

2

上丁和一至一……

(y-z)一(y-z)(z-x)

这样一些项，这些项显然不是②式所含的项。

法三，再次观察①、②式的特征，要从上推得^只要注意至IJ:

y-z(y-z)

X_I—,观察①式，只要把①式移项得：

(y-z)2y-zy-z

X__(―

v-zz-xx-y

两边同乘以一L,得:

y1

x_xy-y2-Fz2-xz.1③

(y-z)2(z-x)(x-y)y-z

同理可得：=」2肛+)―>,④

(z-x)(y-z)U-y)Z-x

291

Z=应一r+)广一)2.]⑤

(x-y)2(y-z)(x-y)x-y

把③④⑤式相加，即可获证。

怎么观察？

数学观察的一般方法、策略：整体一部分一整体；从上至下，从

左至右。

X

例解方程+--2x-l=0

(x+l)(x-l)X

一般方法是去分母，但去分母必定是繁杂的

观察：“《匚与x互为倒数

XXx(x+l)(x-l)

-1±逐i±Vi7

此题易解出共有四根

24

又如研究初学几何的学生在分析观察复合图形时特点:

观察右图中共有多少条线段，并把它们的都写出来

结论：初学几何的学生，在分析观察复合图形时，认知结构上可

能具有“顺序”“对称”“封闭”及其组合的某种认知特征，这种特征

对学习效果起着积极作用。

怎样教观察？

主动教观察一一为学生创造观察条件

在观察中教观察一一让学生观察，养成观察习惯，教师不包办

促进学生掌握正确的观察方法一一不断总结

培养学生实事求是的科学态度

引导学生对弱感知成份(隐弊条件)的观察进行多角度观察

注重实践检验，培养观察的客观性

注重观察程序，培养观察的全面性

主动观察，培养观察的目的性

揭示事物特征，培养观察的精确性

挖掘隐含条件，培养观察的深刻性

3.数学学习中的记忆

(1)数学记忆中的心理问题

①建立数学对象的错误的表象

数学知识的抽象性使数学感知上升到表象有一个艰难的过程。

数学概念通过定义描述，图形不能准确反映概念。如角“N”。

数学表象来源于感知，但有特殊性，对认知加工要求高，具有选

择性和组织性。

感知到的对象与数学概念有区别，含有非本质的属性，且要借助

它，知识获得须经历表象一一概念一一表象的过程。

②数学对象的自主建构过程不易完成

数学知识的概括性使数学知识的自主建构过程不易完成，且易出

错.如命题的符号语言描述。

数学命题通过定理、公式（语言、符号）描述，符号语言有高度

的概括性。

教师们对学生在理解符号上的欠缺和困难认识不足，误以为学生

弄清了，学生其实没有弄清，因而造成学习上的困难。

③容易造成机械记忆

数学记忆的目的在于实践、应用。记住了知识不能说掌握了数学,

而必须把这些知识再回复到实践之中（如解题中）去解决实际问题。

能解出题才能谈得上掌握了相关知识。

数学学习对记忆的要求：准确；系统；深刻；灵活。

④数学记忆缺乏理解的基础，需要用时想不起来（不能提取）

数学记忆需要的是理解记忆。数学记忆与数学理解密切相关，一

般数学知识的机械记忆不起什么作用。数学知识理解了才能记得牢、

记得住，才能产生迁移，才能应用。

例设x=）3-2后，求设2x+3的值

仔细观察发现：E—1,

X2+2X+3=（X+1）2+2,易知原式二2

这里的关键是记住和平方公式并在要用时能有意识地提取出来。

（2）提高记忆效果的教学艺术

①明确记忆的目的任务，提出记忆的要求并经常检查。

②在记忆过程中，提高记忆力。（语言帮助记忆，依靠指引）

③在理解的基础上记，建立良好的知识系统

④通过活动（操作，如解题）提高记忆效果

⑤改进教法（掌握记忆材料间的联系，讲究材料的组织）

⑥按记忆规律做（多种感官并用，在运用过程中记）

⑦合理安排练习与复习（多种形式编码、对比等）

4.数学学习中的思维

（1）数学思维中的心理问题

对数学思维的简要认识（对数学思维过程的研究，还远不清楚）

①数学思维的特点：

A数学思维的对象是数学表象，借助于数学语言来进行。

B数学思维的抽象性和概括性（形式性和概括性）

C数学思维的条理性（逻辑性）

D数学思维的统一性（本质上的一致性）

E数学思维的创造性（建构的过程）

②数学思维发展的一般规律

A经由对具体事物的思维发展到对一般事物的抽象思维。（有自

我成长的一面）

B思维对已有知识经验（个人的、他人的）的依赖性（如解题）

C思维的多层次发展性（由低级向高级发展，皮亚杰的认知发展

阶段理论）

D思维与语言发展的相互依赖，相互促进。

③.数学思维的基本形式

A具体形象思维：凭借事物的具体形象和表象的联想来进行思

维，它与事物的具体模型密切联系且相互作用。（联想、想象）

B抽象逻辑思维：（人类思维的核心形态），在实践活动和感性经

验的基础上以抽象概括为形式的思维，以概念、判断、推理的形式进

行思维。

C直觉思维：人脑对突然出现在其面前的新事物、新形象、新问

题及其关系的一种迅速识别，敏锐而深入的洞察，直接的本质理解和

综合的整体判断（直接领悟的思维和认知）

④数学思维的基本方法

观察与实验；比较分析与系统化；旧纳演绎；分析综合；抽象概

括；一般化与特殊化；模型化具体化；类比映射；联想猜想等等。

⑤.数学思维的个性品质（智力品质）

深刻性；灵活性；敏捷性；独创性；批判性。（广阔性）

⑥数学思维的发展

A数学教育可促进思维的发展（形成风格）

数学教育不能改变思维（不能改变本质，不能改变潜能，

只能开发潜能）

B初中生数学思维的特点：

a抽象逻辑思维日益占主导地位，但具体形象思维仍起着重要作

用（理解水平以操作性理解层次为主，逐渐向关系性理解迁移性理解

发展）

b思维的独立性和批判性有了明显的发展，但还很不成熟（喜欢

怀疑、争论、不轻信书上结论、但易产生片面性、表面性）。

C高中数学思维的特点

a思维具有较高的抽象性和概括性、思维明显由经验型向理论型

转化，抽象逻辑思维逐渐占主导地位。

b思维的独立性、批判性得到了更高的发展，思维具有鲜明的意

识性。

数学思维中的心理问题

理性思维的发展不健全，思维的层次水平不高，智力品质不高。

片面性、表面性、思维量、活动量、参与度

（2）启发思维活动的教学艺术

思维量、活动量、参与度是衡量教学有效性的重要指标，数学教

学不能只看学生解题的结果，更要关注思维的过程

①为学生创设思维的情境

给予机会、设置环境，使数学有想头，有想的东西，可想出东西。

实验演示；观察联想，类比发现；认知冲突，问题解决。

分解难点，小步走，设台阶的教学策略的利与弊。

②给学生“自得”的机会（自我建构的机会）

给学生不显眼的帮助

③从提高思维品质着力，发展思维能力

（反向练习，进行逆向思维的训练，变式训练，刺激猜想等）

从数学特点出发、了解学生数学思维的特点和发展规律、启发数

学思维活动。

例如解关于%的方程：%+—=«+—

x-1a-\

改写成：x-ld----=tz-ld------

X—1u—1

显然和x-1=—匚的根为原方程的根

a-1

从而玉三（体现思维的灵活性）。

。一1

又如：设4、b、C、d均是不大于1的正数，求证：

\Jct~+（1~+\lb"+（1-c）~++（］-dy+d~+（1-K4

从'T上做文章:

a+(l—a)=H(l—6)=c+(l—c)=d+(l—d)=l,4=l+l+l+l,

再如，分析：证一组对边相等，一双对角相等的四边形是平行四边形

问题中的错误。（体现思维的批判性）

对于数学命题“有一组对边和一双对角分别相等的四边形是平行

四边形”你认为它是真命题还是假命题？有人作出了如下解法，对此

你有何看法？

解：如图，已知A8=O）,NA8C=NC0A

求证：四边形ABCQ是平行四边形

证明：分别过A、C作J.AO,

连AC,则Rt/^ABE=RtkCDF.

：.AE=CF,BE=DF,：.R&EC=RtbCFA.

ECrAZACE=ZCAF,

：.ADUBC,且8c=BE+EC=DF+FA=DA.

：.四边形ABCD为平行四边形.

5.数学理解

（1）数学理解的特点与学生的心理问题

①数学知识的理解必须要有一定的心理基础，数学理解是通过思

维实现的。

学生理解Ia|的困难。

②数学知识的理解必须选择和调动相称的认知结构。

（a历）2=a?+b2中的问题。

③数学知识的理解是一个信息或要素的组织过程，数学理解与发

现事物的功能相联系（发现了即加深了理解）（发现即建构意义的过

程）

如学习代数和概念

代数和

/加进相反数（顺应）

/t

算术和算术差

④数学知识的理解还需要认知结构的再组织（再建构）

心理机制是反省（反思）数学学习中“做”不一定能代替“想二

反省要有时间，因此过重的学习负担不利于学生理解，甚至阻碍

学生的理解。

⑤数学理解是一个动态发展过程（非连续的、跳跃式发展），数

学理解具有不同的层次性水平。

A常识性理解（初步理解，获得知识）；逻辑性理解（深刻理解、

形成能力）；观念性理解（透彻理解，升华思想）。

如对“全等”的理解。

B操作性理解（解一般题）；关系性理解（解综合题）；迁移性理

解（解新情境题）。

学生数学认知理解的程度

操作性理解：指个体懂得数学的某个事实、技能与概念，了解某

个原理，懂得某个技能的操作步骤（能解简单问题，（问题涉及知识

点少），和带操作性步骤的问题）。

关系性理解：指个体对数学本质与规律及相关事物的深刻认识，

能够在数学知识的纵横联系中认识数学（能解综合性问题）。

迁移性理解：指个体在关系中理解的基础上，能够将数学思维方

法以及所学数学知识迁移到其他场合，（能灵活运用数学知识，能解

新情境问题）。

初中生的数学理解水平大部分处于第一层次、处于二、三层次的

较少，所以学生在双基考试时能得高分，在能力测试中的水平不尽如

人意。现实教学中，虽学生投入了很大精力，教师费了很大功夫，但

学生对知识的理解水平远远没有达到深刻理解（二、三层次）。

例子：甲杯中盛有红墨水800加，乙杯中盛有蓝墨水400加，现

在用一个容积为50ml的小杯子从甲杯中盛走一小杯红墨水倾入乙杯

中，当情况（1）,待乙杯中两种墨水混合均匀后；情况（2）,不待乙

杯中两种墨水混合均匀；

从乙杯中盛走一小杯混合液倾入甲杯中，试问，这时乙杯中的红

墨水的液量和甲杯中混进来的蓝墨水的液量相比，哪个多？

计算方法：倒第一次后，乙杯中红墨水浓度，晨==!，蓝墨

400+509

水浓度，2^=幺

400+509

第二次盛满一小杯的混合液中，蓝墨水50X[=44*（ml）,（此即

甲杯中蓝水）红墨水是50X：=5,（m/）,它回到了甲杯中，于是仍留

9y

在乙杯中的红墨水是50—5京=441（ml）

所以倒两次后，乙杯中的红墨水与甲杯中的蓝墨水相等。

情况（2）则无法计算。

深入理解情况后易知，甲杯中倒出的红墨水（乙杯中的红水），

其位置正好被蓝墨水填满（甲中蓝水），显然，乙杯中红水与甲杯中

蓝水一样多（无论情况⑴还是情况（2））。

（2）.影响数学理解的因素。

①理解学习的心向；

②学习材料的性质和结构；

③学习者原认知结构的水平；

④学习者原有知识背景的激活程度。

（3）.数学理解的功能

①数学理解可促进记忆（便于存入与提取）

②数学理解可降低记忆量（有利于知识的块体化）

③数学理解促进迁移（理解后提高了概括水平，有利于在新情

景中应用）

④数学理解影响学生的信念（有利于建立正确的数学观和数学学

习观）

例：甲、乙两人同时从李村出发，步行去王庄，5分钟后，甲返回李

村取笔，没有停留，继续去王庄，恰与乙同时到达王庄，如果从两人

同时出发开始起计，那么，35分钟后，两人同时到达。已知甲每分

钟所行路程比乙每分钟所行路程的2倍少30米，求甲、乙两人的速

度各是多少：分析，画一个图：

甲用（35-2X5）分钟

乙------------------------------------>

乙用35分钟

解：设乙每分钟行％米，则甲每分钟行（2%—30）米

法一，在路程上选一个量（李村到王庄的路程），用两种方式表达得

(35-2x5)(2%—30)=35x

法二，在速度上选一个量(乙的速度)用两种方式表示得

_35(2^-30)-2x5(2%-30)

X------------------------------------------

35

法三，在时间上送一个量，(甲全程所用35分钟)得

cu35x+2x5(2x—30)

35=----------------------------

2x-30

(4).数学教学中促进理解的途径

①加强新旧知识的联系

②使用变式与比较教学

③促进学生知识的系统化

④提供必要的感性材料，使学生亲历知识的生长过程(教师应为

学生创造条件)

⑤使学生参与数学研究(做数学)

⑥促进学生进行哲学思考(反思)从认识论高度来理解。

⑦分析学生理解失败的原因，采取相应的教学策略

A应用了错误的认知结构，赋予了与客观意义不同的意义。

B新思想与原有认知结构之间间隙太大。

C未曾调整过的现有认知结构不能同化新思想

(5).数学理解的实例：

例(1)关于x的方程2%?—(m+l)x—m=0的一个根在1和2之间

(不包括1、2)另一根小于1,求m的取值范围

(2)关于％的方程f+(m—7)x+m=0

的两个根都在1和2之间(不包括1、2),求m的取值范围

解(1)法一：利用求根公式

m+l±y/m2+10m+l

4

]<m+l±-Jm2+10m+l<2

依题意有

4

m+l±+10/HH-1<]

4

这是一个不好解的不等式组。

法二：设y=2f—(m+1)x~m,

则％=1时y<0,x=2时,y>0

BP2x]2—(m+1)xl—m<0

解得-m>—

2

2

2x2—(m+1)x2-m〉0-m<2

o2x

-<m<2

2

解(2)设yr?(m—7)x+m

则JC=1时y>0,x=2时，y>0

于是fI2+(77-/)+加>0得至ll「m>3即m>W

3

22+(/n-7)x2+m>0

3

还要求抛物线与％轴有不同交点，即4〉。。

(m—7)2—4根>0,即毋一18m+49>0,解得，根<9—4/或加

>9一4日还要求抛物线与入轴的两个交点在(1.0),(2.0)之间,

即抛物线的对称轴L2在(1.0)和(2.0)之间,于是IV-萼

<2,即3<m<5.

三方要求作交集。相>©,机V9—4夜或机>9—4狡，3<m<5

3

有m<9-4夜

3

(附：比较?与9-4a的大小

作差9一于当。得

Oo)

｛在这里，用求根公式法困难，用二次函数图象法(数形结合)

(1)中对应二次函数开口向上，总在点(1,0)的下方.，(2、0)的

上方通过，代入％=1,y<0；x=2,y>0可得;VmV2

(2)对应抛物线开向上，总在(1,0)、(2,0)的上方通过

同时与％轴有交点，即△>(),还有对称轴在(1,0)和(2,0)之

间，可得：3-<m<9—472)

30

常识性理解，利用求根公式不易解出此题。

关系性理解：以至迁移性理解：①利用函数图象，开口向上;(I)

>0,/(2)>0；②图象与％轴有交点△>0；③两根在1、2之间，

故对称轴在1.2之间1V&V2,④理解约与9—4夜的大小关系。

2a3

(理解不到位则会出错)

6.数学中的想象

(1)数学想象中的心理问题

认识数学想象

①数学想象的主要内容是图形想象和图式想象

是对图形（式）表象的加工改造，包括图形（式）构想、表达、

识别和推理四个层次。

②数学想象的主要形式是联想与猜想

③数学想象具有形象性（表象的形象性），概括性、创造性、运

动性。

④数学想象的功能

帮助回忆，发现数学命题，探索解题途径，促进迁移。

有助于数学知识的学习和应用。

例：已知“2=7-3a方=7-3"求Q+《的值

ab

分析：因：〃+3Q—7=0/2+38—7=0,联想到

方程12+3工一7=0有两根，%,=a,X2=b

据韦达定理：〃+。=-3,〃♦/?=-7

所以且+且_3+—）［（〃+-I-3必］_-3［（-3）2-3x（-7）］_90

abah-77

数学想象中的心理问题

联想不丰富，思路不广，不会猜想，

（2）培养数学想象能力的教学艺术

①学好基础知识，形成想象的习惯。（注意知识的联系性、综合

性）

②重视作图过程及图形变式，重视图式的形成及其变式。

③重视数形结合的训练

④重视想象力形成的阶段性，按学生年龄递增，逐步提高要求。

⑤坚持不懈的训练

注意：预计学生在想象中可能遇到的困难。

想象要有目的性（不是胡思乱想）

掌握想象规律

例：已知a>b>c,求证」一+」一+」->0。（有何想法？）

a-bb-cc-a

①想到要证明它：方法一：通分后证分子，分母都小于0。

②想到我一个较简单的证法

方法二：作代换4-/?=九6-0=〃,则,+,------>0易证

mnm+n

方法三：a—c>a—匕>0,得出一—>--—，即一--+——>0

a-ba-ca-bc-a

③想到推广一下：（不等式可加强）

—>0,可想到_匚+_匚>_匚中，右端分子可更大

a-bc-aa-bb-ca-c

些？大到多少？

方法四（想到基本不等式）—（斫。时，等号成立）

214

ab

11

"b-r--?--,即：J_+_L>_J_>o,当且仅当

2（a-〃）+（/?-c）ci—bh—cc—ci

a力.c成等差数列时取等号。

更一般地有：若q>%>…>a.，则

111（"1）2c

---------+---------++----------+-———>0

«1-a2a2-a3%-%。“一4

当且仅当做，…0成等差数列时取等号。（此为有一定创造

性的成果！）

二、数学学习的心理过程

1.数学语言的形成与发展

（1）认识数学语言

①数学与语言的关系，数学的学习也就是数学语言的学习

斯肯普：数学不仅仅是事实和方法的总和，而且是也许甚至首先

是用来描述各门科学和实践活动领域的事实和方法的语言。

语言与数学学习成绩的相关性。

②数学语言与自然语言的关系

数学语言中的自然语言、图象语言、符号语言（素材）。

小学较多用自然语言；初中更多使用符号语言，重视图象语言，

三种语言经常在一起融合使用。

A数学语言是一种人工语言。

数学语言不含社会知识因素和情感因素；概括性强的数学语言重

在“达意”

数学语言以现实世界的数量关系为内容；

数学语言的叙述必须严谨而有系统；

数学语言来源于自然语言，但经过三个方面的改造（消除繁琐

性；消除同音异义词；扩展表达的可能性）。（简化自然语言，建立符

号体系）

精确，严谨的数学语言与模糊、多义的自然语言。

B数学语言大量使用符号。

符号使数学语言从冗长的自然语言中解放出来；

符号的发展阶段正标志着数学的发展阶段；算术与几何符号；代

数符号；微积分计算符号；集合与逻辑符号。

C数学语言大量使用变元。

D数学语言大量使用图形（包括图象）。

③学校中的数学语言

A数学语言的句法特点：（符号包括：数字符号、字母、运算符

号、逻辑符号、象形符号、表意符号、图像符号）

B数学语言的语义特点：数学的实体决非具体的对象；“没有意

义”与自然语言中的含义有所不同；（如1）,数学语句遇到的一些对

0

象的名词，讲述的是对象而非名字；（如9—8、3X1,表1）“或”

与“且”的特殊意义；“一般情形能在语言逻辑上等阶于一个特殊情

形”（要证一般结论，只证特殊，如证勾股定理，选定一个直角三角

形来证），数学语句不仅有各种各样的涵义，而且还有不同的意义,

（涵义：判断的内容，意义：命题的值）

④数学语言的理解与表达

数学语言是外部层面（语音、字符）与内部层面（内容、语义）的复

合统一体。

外部语言：思想转化为词、词发展到句（将思想陈述出来）。

内部语言：产生思想。

言语的理解与产出的过程

听懂别人的话或者看懂文字材料、把握言语或文字所表达的思想

称为言语的理解；（意义建构）

把自己的想法说出来写出来即以言语或文字表达自己的思想称

为言语的产出。（产生思想、表达思想）

例子--理解题意（理解）、写出解题过程（表达）

设b、C、d均为不大于1的正数，求证：

,cr+（］-by++（］-c）-++（1-d）~++（1-ci）~<4

（理解）：从“1”上做文章：

a+（l—a）=Z?+（l—"）=c+（l—c）=d+（l—d）=l,4=l+l+l+l,四根号内为

两数平方和想到勾股定理,

用数形结合，如图：

（表达）：（请读者写出解题过程）

（2）中学生数学语言能力的发展状况

①数学语言学习的困难

初中生代数入门--字母表数一对字母的理解（赋予意义）与结

构复杂程度。

初中生对字母赋予意义的6种情形：

给字母赋值；忽略字母的意义；把字母当成物体；

把字母看成特定的未知量；把字母看成是广义的数；把字母看成变量。

初中生代数的4种理解水平:

水平1把字母当成物体，或者给字母赋值，或者忽略字母的意义;

水平2把字母当成物体，但对代数概念更加熟悉，能处理结构更为

复杂的题目；

水平3把字母看成特定的未知量；

水平4把字母看成广义的数或者变量。（把字母看成特定的未知

量能处理结构更为复杂的题目）

习惯的自然语言一生疏的数学语言

描述3a26+2M3时自然语言与数学语言的混淆。

学习的困难首先来自语言的使用和理解。听、读的障碍来自于对

内容的不理解，（一般情况下，学生只能听懂或读懂适应他们已有经

验和语言水平的内容），对抽象数学符号的内容难理解、不熟悉。

用语言描述概念的能力并不一定保证具有正确的符号表示能

力。（代数入门难的问题，列代数式的困难）

数学教学不教数学语言，教师以为学生可以自然解决。

②听、读数学语言能力的发展状况

A、学生学习数学语言的困难，教师把数学语言与（自然）口头

语言，书面语言的相互转换工作留给学生，（书读百遍，其义自见）,

（如：3a2H2a/的读法，解不等式上2>o,分解（归结）为两个不

x-6

等式组的解，在课堂教学中，（教师使用大量的尤其是学生还不熟悉

的数学语言表达，或者对某些关键性的词语解释不清时，势必造成学

生数学学习的困难。

B.自然语言与数学语言经常混淆，如对垂直的理解，（初二学

生作钝角三角形三条高时，50%的学生不知怎么画，35%的学生画成

下图（作铅直垂线）。

对数学式子的数学说明，依赖于学生对式子表达式中所涉及到的相关

数学概念名词的熟悉程度。

C.听、读的障碍来自于对内容的不理解。

一般情况下，学生往往只能听懂或读懂适应他们已有经验和语言

水平的内容。

如下面两题：

i.一个人以每小时2千米的速度上山，并以每小时6千米的速度

下山，求他的平均速度。（路程相等）

ii.一个人以每小时6千米的速度行走，走了一段路后，他感到

疲劳，把速度减少到每小时一2千米，在走完全程所用的时间中，有一

半是以每小时6千米行进，有一半是以每小时2千米行进的，求他的

平均速度。（时间相等），

学生解出都是每小时4千米，认为二者无区别。

③说、写数学语言能力的发展状况

A、使用数学术语的情况

不会运用数学术语来表达自己的思想，平行线一一“直线”，相

交线一一“交叉线”；误解或完全不理解术语的意义，等边三角形一

一“真正的三角形”，其它的三角形则“太高”“太宽”“太斜”“太窄”。

B.形式与内容相脱节

常用错误：（〃±。）2=a2±〃；3±。）3=/土〃3

+h2=V?+后=1aI+网,yla2+h2=a+b

x+yxy

学生只注意了形式上的相似性，忽视了内容导致出错

C.书写证明困难

不注意数学语言中使用的自然语言，文字与其在自然语言中的含

义有区别，如“延长”、“连结”、“截取”、”交……于……”“确定”

等。

D.学生加工数学语句的水平较低

如反证法中，对反设结论中量词的转换，出现困难（特别是省略

了全称量词的命题），例：设外、做、的、。4,。是适合下列条件的整

数：如+*+痴+d二方，试证：这些数不能都是奇数。

学生反设，这些数不能都是偶数。（这些数都是奇数）

（3）数学语言教学的艺术

①根据数学语言的特点展开数学学习

牢记数学语言简明，精确和客观性的特点。

例：写代数式

两个数差的平方等于一个数的平方，减去两数积的二倍，再

加上另一个数的平方。

h.两个数的平方差等于两数之和与两数之差的乘积。

C.一个数与其倒数的和等于这个数的相反数与3之和。

可先作解释，用详尽语言，说清楚，再让学生写出代数式。

将所学知识的形式与内容相统一。

如学生不考虑条件直接写«=”；学生对“V—3X+2”，

"x2-3x+2=0y=x?-3x+2的关系搞不清。

学生知识表面化，来源于形式与内容配合不当，说明学生在把问

题翻译成数字语言的时候产生困难：一一学生解应用题的困难。

③根据学生数学语言的发展特点展开数学教学

学生喜欢用与课本上教的不相干的方法求解数学问题。一-教学

要注意学生的方法和理解水平。大约有50%以上的学生处于水平1、

水平2。学生解题的目标是完成作业，教师的教学目标是发展学生的

理解能力，提升其理解水平，由水平1、水平2提升到水平3、水平

4o

低水平学生的学习象一座桥，必需不断加大工作量，最终因乏味

而吃不消。教师应揭示低水平的理解会导致矛盾，学生正是在这种矛

盾中加深理解，进入更高级的水平。

对于尤2—V，学生甲：“％的平方减去y的平方”

学生乙：。和y两数的平方差”

二者有区别吗？会引发不同联想吗？

又如，由正比例关系意义推出正比例函数必是增函数，问题出在

哪？

③主动教教学语言

A重视词语的代表性学习（加强概念、符号的学习）

B多途径促进学生理解学习（进行合作交流式学习，）

C强调正确的数学书面表达（把解题过程写清楚，准确表达自己

的思想）

D坚持不懈的训练。

2、数学认知结构的发展

（1）数学认知结构

①学生将接触到的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着

自己的感知、记忆、思维、联想等认知特点，在头脑中形成的一个具

有内部规律的整体结构。

例如：一元一次方程的认知结构

数学认知结构与数学知识结构的区别与联系

区别：概念的内涵不同；信息的表达方式不同；结构的构造方式

不同；结构的完备性不同；内容的科学性不同。

联系：认知结构由相应的数学知识结构转化而来。后者是前者赖

以形成的物质基础和客观依据。

构建优良的知识结构对于学生学习的重要价值，孙维刚的八方联

系，浑然一体。教师优良的认知结构对于学生学习（数学教学）的重

要价值（示范作用）。

数学认知结构就是经过学习者对外显知识的感知、理解、内化进

而贮存在自己长时记忆中的，相互联系的陈述性知识，程序性知识和

过程性知识组成的结构。

’可辨别性

②优良的认知结构（可利用性

、稳定性

A原有认知结构中对新的学习起固定作用的观念的可利用性。

B新知识同原有认知结构中起固定作用的观念之间的可辨别性，

即原有知识和新知识的异同点是否可以清晰地辨别。

C原有认知结构中起固定作用的观念的稳定性和清晰性，即已有

知识的掌握程度，尤其是原有知识结构中“固定观念”的掌握程度。

认知结构是学生数学学习的重要基础，教学时应分析清学生已有

知识经验基础，然后施教，学习基础稳固了，才能继续学习。

③认知结构的形成与发展：从一个概念开始形成一个小的认知结

构，再把它并入到原有认知结构中，经命题学习等发展壮大起来。

发展的方式：同化与顺应

数学认知结构按照适应的需要来发展，即经过同化和顺应获得发

展。同化的学习过程轻松一些，顺应的学习过程相对来说要难以完成

一些，教学时应尽可能为学生设计成同化的学习过程。教学时要为学

生设计一些长期有效的知识结构，使它们既适应当前的也适合将来的

学习需要。

（2）中学生数学认知结构的缺陷

①知识有缺陷，有漏洞，甚至有错误，如钝角三角形的高的例子。

②知识零散，没有形成结构（死记后没有加工，没有建立起联系，

要用时找不着）

如：”等腰三角形”定义：有两边相等的三角形Q有两角相等的

三角形F"一个内角平分线平分对边的三角形二两边上的高相等的

三角形q有两边中线相等的三角形仁＞……

又如：”两个非负实数和等于0,当且仅当，这两个实数自身为0”

。力e20,620则。2+/=0（=^a=b=0

6+,耳=0仁＞a=b=0

Ia|+1b|=0a=b=0

a"+b"=0Qa=b=0

知识和策略不匹配，知识的理解层次较低（知识不会用）

斯肯普的工具性理解，（知道了法则，但不知理由）（做对了也可

能是碰对的）和关系性理解（知道怎么做，又知道为什么这样做）

学生学习中的一个困难是不能将作为过程的概念上升到作为对

象的概念（学生对。+人的理解）

一般地：初步理解，也称常识性理解，（能记忆，背诵，模仿做

题）

深刻理解，也称逻辑性理解（能关联性推导、记忆、上升为能力）

透彻理解，也称观念性理解（能结构化记忆，上升为思想，在一

定范围内为局层次）

理解不断深入，有无限多层次

对不同知识学习上理解层次有不同要求！

例：学习一元一次方程的解方程步骤，不同学习者有不同的理解

层次

对绝对值的符号同，不同学习者有不同的理解层次

③数学优生与普通生的数学认知结构差异（认知结构优劣的标志）

A优生认知结构的内容具体丰富，普通生认知结构的内容是贫乏

的。（认知结构中内容的丰富性）

优生学习某一材料时通过回忆能够唤起大量的相关的内容，体现

在，能够给出数学知识的不同表征，具有对数学知识与问题进行变式

与变形的能力；能够洞察相关数学知识之间本质的联系；建立了大量

的问题解决模式及其解题思路与解题方法，并熟知其应用的条件；在

学习活动中积累了大量书本以外的重要结论；对解题时需要特别注意

的环节了如指掌；拥有对解题过程起支配作用的解题策略。

普通生认知结构中的内容相对较少，其特征表现为：习惯于只是

记住所学数学知识的内容，不具有深究所学数学知识的意义的意识；

习惯于识记数学知识的常规表征形式，对数学知识的非常规表征形

式，识别能力较差；仅记住了一些题目的解题模式及解题思路，但对

其应用的条件系统重视不够，对书本以外的一些重要结论的学习缺少

敏感度；缺乏对概念、命题本质的深刻认识；缺乏灵活多变的解题策

略，对解题容易出错之处没有足够的警惕性，对数学学习中需要注意

的地方缺乏明确的认识。

B优生的认知结构中的内容具有整合性，普通生的认知结构的内容

是零散的。（认知结构中内容的整合性）

“数学学习应是八方联系，浑然一体，漫江碧透，鱼翔浅底。”

优生数学认知加工使知识形成一个有层次、有条理又不割裂的知

识网络结构。

普通生数学学习中理不清知识层次，形不成知识网络，知识的关

联密度和程度不高，在解决问题过程中不能有效提取知识。

C优生提取认知结构中的内容具有灵活性，普通生则是僵滞的。（认

知结构中内容的灵活性）

优生能为新知识找固作点，突破思维定势，在灵活解决问题中显

现创新才能。普通生则桎梏于思维定势。

如设a>0,解关于％的不等式而工7>1-/,普通生苦苦分类

讨论，优生利用函数图象，数形结合。

D优生的认知结构具有个性特征，普通生的认知结构仅具有共性特

征。（认知结构中内容的适用性）

解题时，优生寻找独特解法，普通生照搬熟悉解法，解不熟悉题

时一筹莫展。

④数学优生与普通生的认知结构存在差异的原因。

A学习习惯与方法不同（学习的观念不同，对待学习的态度不同）

优生带着问题与批判性思维，进行课上学习，带着反思性思维进

行课下学习，带着选择性与目的性进行解题实践，对参考书的使用注

重于拓展知识，深化理解，不盲目解题，会作挑选。普通生使用参考

书注重完成书中习题，纠缠于偏题、怪题。

B元认知水平的不同

普通生学习缺少反思意识，不能在行之有效的自我监控中学习数

学内容，不会利用旧知学新知。优生则善于反思、具有自我追问、反

问的学习习惯，思考的内容始终处于自我监控之中。

例题：现在是3点10分，再过多少分钟，分钟和时钟第一次重合？

理解：把表盘拉直一一追及问题。

分针速度：每1分钟1个格；时针速度：每1小时走5格，即

5-60=-（格/分钟）。

12

追上时间=距离差♦速度差。

错解：5-（1一上）=52（分钟）（自我监控：距离差不是5格）

1211

错解二，拨钟实践——看不准。

思维监控反思；距离差不是5格。

正解一：分钟走了10分钟，此时时针走了1OX_L=2（格）

126

所以（5+』）+（1——）=6—（分钟）。

61211

正解二：（换个角度思考）先从3点整算起，然后减去10分钟，

3点整时相距15格。

15-r（1——）—10=6—（分钟）。

1211

（3）促进学生形成优良认知结构的教学艺术

①加强知识间联系（使知识系统化）

②加强对知识的理解（注意不是盲目提高）

A亲历知识的生长过程（提供必要的感性材料，使学生自主建构

正确合理的意义，使过程上升为对象。）

B参与数学研究（做数学）

C使用变式教学

D及时进行反思（从认识论高度来提升理解水平）

③促进知识的迁移（运用）

提高对已有知识的概括化水平

揭示前后知识间的共同因素与不同因素

指导学生对学习方式、学习策略的学习

及时、复习与运用

3.数学知识学习的一般过程

（1）数学概念的学习

获得数学概念的两种基本方式一概念形成与概念同化

①概念的形成：辨别……刺激模式

分化……各种属性

类化……共同属性

抽象……本质属性或关键属性

检验...确认

概括……形成概念

形式化……用符号表示

例如：平行线概念的形成

②概念的同化

揭示概念的本质属性，给出定义、名称和符号；

对概念进行特殊的分类，再讨论这个概念表达的特殊情况，突出

概念的本质；

建立与原认知结构中的有关概念的联系，同化新学习的概念；

用肯定和否定例证强化（辨认）；

实际应用强化概念，并把所学的概念纳入到相应的概念系统中。

例如：一元二次方程概念的同化

③、概念形成与概念同化相互结合的模式

形成概念

系统

有意义接受式学习与探究发现式学习的公共核心，一一创设条件

让学生自主建构。

数学概念学习--由过程到对象。

④数学概念的理解学习--由过程到对象。

数学概念具有二重性，许多概念既表现为一种过程操作，又表现

为一种对象、结构。如代数式表运算过程，又表运算结果；“=”表

示做运算，在方程中又表示一个对象。

数学知识的二重性决定了数学思维、理解的二重性。

解题训练不会自然地过度到理解和领会，过度操练反而会起到反

作用。

数学概念的学习的APOS理论

杜宾斯基认为学生建构数学概念要经历四个阶段：

活动阶段Actiom;活动操作

过程阶段Process;把活动综合为过程

对象阶段Object;把过程当作一个完整的对象

图式阶段Schemeo把概念综合成心理图式存于脑海

⑤.影响数学概念学习的心理因素

A原有认知结构（已有知识经验、认知风格等）；

B智力活动水平（对感性材料的感知、概括能力水平等）；

C语言表达能力；

D非智力因素水平；

E学习材料的有效组织（感性材料本身的典型性，代表性等对学

习产生重要影响等）；

注意：教材中陈述数学概念，一般与人认识数学概念（概念形成）

的过程相反。

（2）数学命题的学习

①获得数学命题意义的两种学习方式--命题发现与命题接受

数学命题的发现：观察实例、提出假设、验证假设、得出结论。

数学命题的接受：分析命题，激后旧知识、分析新旧知识、理解

完整意义。

例如：等腰三角形性质定理；平行线判定定理。

②数学命题证明学习过程

本质上是数学问题解决。

逻辑上是找有限命题序列A】、A2-An.其中A\的条件是命题的

条件，A的结论是命题的结论，A,(lWiWn)是已证明过的真命题

或是公理。

安德森记忆网络激活扩张模式(引导联想)。

影响数学命题证明顺利完成的心理因素：思路点的准确性；扩展

力；推理能力；证明方法与思考方法。

1

例：已知aJl-U+0,1_。2=i,求证/+b=\

由条件能激活什么？(联想什么？怎么理解条件？)

解法一，代数方法。(理解为根式问