北师大高中数学选择性必修第一册第六章课时作业48正态分布【含答案】

北师大高中数学选择性必修第一册第六章课时作业48正态分布(原卷版)一、选择题1.设随机变量X服从正态分布，且相应的函数为φ(x)＝16πe－x2＋4x－A.μ＝2，σ＝3B.μ＝3，σ＝2C.μ＝2，σ＝3D.μ＝3，σ＝32.已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X~N(110，52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为 (C)A.(90，100] B.(95，125]C.(100，120] D.(105，115]3.在如图所示的正方形中随机投掷1000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(2，1)的分布密度曲线的一部分)的点的个数的估计值是 (A)参考数据：若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9544.A.136 B.159C.341 D.477≈136.故选A.4.随机变量ξ~N(μ，σ2)，若P(ξ≤1)＝0.3，P(1＜ξ＜5)＝0.4，则μ＝ (C)A.1 B.2 C.3 D.45.随机变量a服从正态分布N(1，σ2)，且P(0＜a＜1)＝0.3000.已知a＞0，a≠1，则函数y＝ax＋1－a图象不经过第二象限的概率为 (C)A.0.3750 B.0.3000C.0.2500 D.0.20006.已知三个正态分布密度函数φi(x)＝12πσie－(x－μi)22σi2，iA.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B.μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C.μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3.故选D.7.(多选题)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ12)，N(μ2，σ22)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是 A.甲类水果的平均质量μ1＝0.4kgB.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D.乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近8.(多选题)已知随机变量X服从正态分布N(100，102)，则下列选项正确的是 (ABC)(参考数值：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0.9974)A.EX＝100 B.DX＝100C.P(X≥90)≈0.8413 D.P(X≤120)≈0.9987二、填空题9.已知ξ~N(4，σ2)，且P(2＜ξ＜6)≈0.6826，则σ＝2，P(｜ξ－2｜＜4)＝0.84.10.某正态分布密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为12π，则总体落入区间(0，2]内的概率为0.47711.某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30，100)，求此人在40分钟至50分钟到达目的地(不包括40分钟，包括50分钟)的概率为0.1359.参考数据：若Z~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ＜Z≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ＜Z≤μ＋3σ)≈0.9974.0.1359.三、解答题12.设ξ~N(1，22)，试求：(1)P(－1＜ξ≤3)；(2)P(3＜ξ≤5)；(3)P(ξ≥5).13.某地区模拟考试的数学成绩X服从正态分布N(90，σ2)，且P(X＜70)＝0.2.从该地区参加模拟考试的学生中随机抽取10名学生的数学成绩，数学成绩在[70，110]的人数记作随机变量ξ，则ξ的方差为 (C)A.2B.2.1C.2.4D.314.每年农历腊月廿三至腊月廿九，我国迎来春运节前客流高峰，据统计，某区火车站在此期间每日接送旅客人数X(单位：万)近似服从正态分布N(10，0.82)，则估计在此期间，至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为 (A)A.29128 B.C.3964 D.15.某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”(记为l，单位：cm)，先从中随机抽取100件，测量发现全部介于85cm和155cm之间，得到如下频数分布表：分组[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)[125，135)[135，145)[145，155]频数2922332482已知该批产品的该项质量指标值服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(1)求P(132.2＜l＜144.4)；(2)公司规定：当l≥115时，产品为正品；当l＜115时，产品为次品.公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元.记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望.参考数据：150≈12.2.若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9974.北师大高中数学选择性必修第一册第六章课时作业48正态分布(解析版)一、选择题1.设随机变量X服从正态分布，且相应的函数为φ(x)＝16πe－x2＋4x－A.μ＝2，σ＝3B.μ＝3，σ＝2C.μ＝2，σ＝3D.μ＝3，σ＝3解析：由φ(x)＝12π×3e－(x－22.已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X~N(110，52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为 (C)A.(90，100] B.(95，125]C.(100，120] D.(105，115]解析：∵X~N(110，52)，∴μ＝110，σ＝5，又5760＝0.95≈P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝P(100＜X≤120)3.在如图所示的正方形中随机投掷1000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(2，1)的分布密度曲线的一部分)的点的个数的估计值是 (A)参考数据：若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9544.A.136 B.159C.341 D.477解析：由题意可知正态分布N(2，1)在(0，1)内取值的概率是图中阴影部分的面积，则S阴＝12×[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]≈12×(0.9544－0.6826)＝0.1359，故落入阴影部分的点的个数的估计值是1000×0.1359＝135.9≈136.4.随机变量ξ~N(μ，σ2)，若P(ξ≤1)＝0.3，P(1＜ξ＜5)＝0.4，则μ＝ (C)A.1B.2 C.3D.4解析：由于随机变量ξ~N(μ，σ2)，满足P(ξ≤1)＝0.3，P(1＜ξ＜5)＝0.4，P(ξ≥5)＝1－0.3－0.4＝0.3＝P(ξ≤1)，根据正态分布的对称性可知μ＝1＋52＝3.故选5.随机变量a服从正态分布N(1，σ2)，且P(0＜a＜1)＝0.3000.已知a＞0，a≠1，则函数y＝ax＋1－a图象不经过第二象限的概率为 (C)A.0.3750 B.0.3000C.0.2500 D.0.2000解析：∵y＝ax＋1－a的图象不经过第二象限，1－a≤－1，a>1，∴a≥2.∵随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(0＜∴P(1＜a＜2)＝0.3000，∴P(a≥2)＝0.2000，∴函数y＝ax＋1－a图象不经过第二象限的概率为0.21－0.6.已知三个正态分布密度函数φi(x)＝12πσie－(x－μi)22σi2，iA.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B.μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C.μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3解析：正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3.故选D.7.(多选题)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ12)，N(μ2，σ22)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是 A.甲类水果的平均质量μ1＝0.4kgB.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D.乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近解析：由正态曲线图象可知，甲类水果的平均质量为μ1＝0.4kg，A正确；乙类水果的平均质量为μ2＝0.8kg，所以μ1＜μ2，C正确；由甲类水果的正态曲线比乙类水果的正态曲线更“高瘦”些，所以σ1＜σ2，得出B正确，D错误.故选ABC.8.(多选题)已知随机变量X服从正态分布N(100，102)，则下列选项正确的是 (ABC)(参考数值：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0.9974)A.EX＝100 B.DX＝100C.P(X≥90)≈0.8413 D.P(X≤120)≈0.9987解析：∵随机变量X服从正态分布N(100，102)，∴曲线关于直线x＝100对称，根据题意可得，P(90＜X≤110)≈0.6826，P(80＜X≤120)≈0.9544，∴P(X≥90)≈0.5＋12×0.6826＝0.8413，故C正确；P(X≤120)≈0.5＋12×0.9544＝0.9772.故D错误.而A，B都正确.二、填空题9.已知ξ~N(4，σ2)，且P(2＜ξ＜6)≈0.6826，则σ＝2，P(｜ξ－2｜＜4)＝0.84.解析：∵ξ~N(4，σ2)且P(2＜ξ＜6)≈0.6826，∴μ＝4，结合3σ原则可知μ＋σ∴P(｜ξ－2｜＜4)＝P(－2＜ξ＜6)＝P(－2＜ξ＜2)＋P(2＜ξ＜6)＝12[P(－2＜ξ＜10)－P(2＜ξ＜6)]＋P(2＜ξ＜6)＝12P(－2＜ξ＜10)＋12P(2＜ξ＜6)＝12[P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＋P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)]≈12(0.9974＋0.68210.某正态分布密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为12π，则总体落入区间(0，2]内的概率为0.477解析：正态分布密度函数是φ(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2，x∈(－∞，＋∞)，若它是偶函数，则μ＝0，∵φ(x)的最大值为φ(μ)＝12πσ＝12π，∴σ＝1，∴P(0＜X≤2)＝12P(－2＜X≤2)＝11.某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30，100)，求此人在40分钟至50分钟到达目的地(不包括40分钟，包括50分钟)的概率为0.1359.参考数据：若Z~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ＜Z≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ＜Z≤μ＋3σ)≈0.9974.解析：∵P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6826，∴P(X＞μ＋σ)＝1－∴P(X≤μ＋σ)≈1－1－0.68262＝12＋0.68262.又P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9544，∴P∴P(X≤μ＋2σ)≈1－1－0.95442＝12＋0.95442，∴P(μ＋σ＜X≤μ＋2σ)＝P(X≤μ＋2σ)－P(X≤μ＋σ)≈12＋0.95442−∵μ＝30，σ＝10，∴P(40＜X≤50)≈0.1359.因此，此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率是0.1359.三、解答题12.设ξ~N(1，22)，试求：(1)P(－1＜ξ≤3)；(2)P(3＜ξ≤5)；(3)P(ξ≥5).解：因为ξ~N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2，(1)P(－1＜ξ≤3)＝P(1－2＜ξ≤1＋2)＝P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.6826.(2)因为P(3＜ξ≤5)＝P(－3＜ξ≤－1)，所以P(3＜ξ≤5)＝12[P(－3＜ξ≤5)－P(－1＜ξ≤3)]＝12[P(1－4＜ξ≤1＋4)－P(1－2＜ξ≤1＋2)]＝12[P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜ξ≤12(0.9544－0.6826)＝0.135(3)P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)＝12[1－P(－3＜ξ≤5)]＝12[1－P(1－4＜ξ≤1＋4)]＝12[1－P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)]≈12(1－0.9544)13.某地区模拟考试的数学成绩X服从正态分布N(90，σ2)，且P(X＜70)＝0.2.从该地区参加模拟考试的学生中随机抽取10名学生的数学成绩，数学成绩在[70，110]的人数记作随机变量ξ，则ξ的方差为 (C)A.2B.2.1C.2.4D.3解析：由正态分布知，每个人数学成绩在[70，110]的概率为2×(0.5－0.2)＝0.6，所以10名学生的数学成绩在[70，110]的人数服从二项分布B(10，0.6)，所以ξ的方差为10×0.6×(1－0.6)＝2.4.故选C.14.每年农历腊月廿三至腊月廿九，我国迎来春运节前客流高峰，据统计，某区火车站在此期间每日接送旅客人数X(单位：万)近似服从正态分布N(10，0.82)，则估计在此期间，至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为 (A)A.29128 B.C.3964 D.解析：由X~N(10，0.82)，得P(X≥10)＝12.故7天中至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为P＝C7515.某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”(记为l，单位：cm)，先从中随机抽取100件，测量发现全部介于85cm和155cm之间，得到如下频数分布表：分组[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)[125，135)[135，145)[145，155]频数2922332482已知该批产品的该项质量指标值服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(1)求P(132.2＜l＜144.4)；(2)公司规定：当l≥115时，产品为正品；当l＜115时，产品为次品.公司每生产一件这种产品，若是正品，则