4.2 正　切 （课件）2024-2025湘教版 数学九年级上册

4.2正切知识点正切11.

正切的定义：文字语言数学语言图示2.

特殊角的正切值：α30°45°60°tanα13.

利用计算器求锐角的正切值或由正切值求锐角：所求值计算器的按键顺序求tanx°的值求tanx°y′z′′的值已知tanx°＝a，求x

的值

特别提醒1.tanα是完整的数学符号，是一个整体，不能理解成tan·α.2.tanα中的∠α的符号“∠”习惯上省略不写，但对于用三个大写英文字母或数字表示的角，角的符号不能省略.3.tan

α的值只与∠α的大小有关，与所在直角三角形的边的长短无关.4.正切符号后面可以跟单个小写希腊字母或单个大写英文字母或三个大写英文字母或数字表示的角，也可以跟度数.[中考·桂林]如图4.2-1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为点D，则tan∠BCD＝________.

例1解题秘方：紧扣正切的定义，找出该锐角所在的直角三角形的两直角边，求出正切值，或求出与之相等的锐角的正切值.

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C

解题秘方：用“代入法”求值.例2

解题秘方：用“代入法”求值.

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例3等边三角形感悟新知

解题秘方：先根据特殊角的三角函数值求出两个内角的度数，再判断三角形的形状.感悟新知教你一招：已知特殊角的三角函数值求特殊角的度数时，要注意两点：一是要求的角是锐角；二是看准三角函数的类别，同样的函数值，不同的类别，角的度数一般不一样.感悟新知

C感悟新知

例4感悟新知任务：(1)请根据上面的步骤，完成tan15°的计算．(2)类比这种方法，画出图形，并计算tan22.5°的值．感悟新知解题秘方：类比材料中的构造办法利用45°角构造出22.5°角，再根据正切的定义求解.感悟新知(1)请根据上面的步骤，完成tan15°的计算．

感悟新知(2)类比这种方法，画出图形，并计算tan22.5°的值．解：如图4.2-3所示，在Rt△ABC

中，∠C

＝90°，∠ABC

＝45°，延长CB

到点D，使得BD

＝AB，连接AD，易知∠D

＝22.5°.感悟新知

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例5[母题教材P119练习T2]用计算器求sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″的值.解题秘方：按计算器的使用说明求值.例5解：如下表：按键顺序显示结果sin16°0.275637355cos42°0.743144825tan85°11.4300523sin72°38′25″0.954450312感悟新知5-1.用计算器求下列各式的值：(精确到0.0001)(1)

sin23°5′＋cos66°55′；(2)

cos14°28′－tan42°57′；(3)

sin27.8°－cos65°37′＋tan49°56′；解：原式＝sin23°5′＋sin23°5′＝2×0.39207≈0.7841.原式≈0.96829－0.93088≈0.0374.原式≈0.01842－0.41284＋1.18894≈0.7945.[母题教材P119练习T3]已知下列锐角的三角函数值，用计算器求其相应的锐角的度数.(1)sinA＝0.5168(结果精确到0.01°)；(2)cosA＝0.6753(结果精确到1″)；(3)tanα=3.5492(精确到0.01°)．解题秘方：按计算器的使用说明依次按键.例6(1)sinA＝0.5168(结果精确到0.01°)；解：依次按键：，显示结果为31.11784556，即∠A≈31.12°.(2)cosA＝0.6753(结果精确到1″).解：依次按键：，显示结果为47°31′21.18″，即∠A

≈47°31′21″.(3)tanα=3.5492(精确到0.01°)．解：依次按键：，显示结果为74.26462479°，即α≈74.26°.感悟新知6-1.

[期中·烟台芝罘区]已知tanA＝0.85，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是(

)A知识点锐角三角函数21.

定义:从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角α，都有唯一确定的比值sinα

(或cosα

，tanα)与它对应.当锐角α变化时，它的比值sinα(cosα

，tanα)也随之变化.因此，我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为角α的锐角三角函数.2.特殊角的三角函数值:α30°45°60°sin

αcosαtanα1特别提醒◆并非只有在直角三角形中才有三角函数值，而是只要有角就有三角函数值.◆锐角三角函数的定义说明了直角三角形中的边角之间的关系，它是一个比值，无单位，这些比值只与锐角的大小有关.在锐角三角函数中，自变量是∠α

.如图4.2-4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.求出∠A的三个三角函数值.解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定义”求解.例7感悟新知解法提醒已知直角三角形的任意两边长求某个锐角的三角函数值时，运用数形结合思想，首先画出符合题意的直角三角形，然后根据勾股定理求出未知边长，最后结合锐角三角函数的定义求锐角的三角函数值.

感悟新知7-1.在锐角三角形ABC中，AB=15，BC=14，S△ABC=84，求：(1)tanC

的值；感悟新知(2)sinA

的值．

解题秘方：当三角形出现边与边的比时，可引入参数，用这个参数表示三角形三边，再用定义求解.例8答案：B

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