2023年湖北省荆州市统招专升本高数自考真题(含答案)

2023年湖北省荆州市统招专升本高数自考

真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(20题)

1.

1-1-COS(72y2)

I"】1,、・/?,、\/

LO(支“十y)sin(j?v)

y-*0

A.0B.3C.eD.oo

2.

设y=/(sin；/),/为可导函数.则单=()

ax

A.sin./f(sina2)B.cos>r2f(sinr2)

C.2.rsin.7'/"(sin.r2)D.2,rcos.if(sin.1')

3.

,函数/(x)=--e-的一个原函数是()

A.F(.r)=c'—c~'B.F(.i)=c'4-c-'

r

C.FQ-)=e"—e"D.F(T)=—e—e”

4.

设当J—0时，/Q)与*(.r)均为“•的同阶无穷小量，则下列命题正确的是()

A./(工)+)一定是x的高阶无穷小

B.,/(.r)-g(j)一定是J的高阶无穷小

C.一定是了的高阶无穷小

D.牛?(g(.r)声0)一定是1的高阶无穷小

*(H)

5.

1

函数1y=(―8v1<H-oo)是)

ln(\/1+z2—J-)

A.偶函数B.奇函敦C.非奇非偶函数D.既奇又偶函教

6.

下列四组函数中*/(1)与g(.r)表示同一个函数的是()

A.f(jc)=.r—1.g(、r)=——rB.f(x)=M.g(.r)=(7z)4

彳一1

C./(.r)=j,2.g(.r)=D./(I)=1.g(a)=,r°

7.

下列级数中发散的是

8

A.三(一1尸七B.S]

n=IVHH=1〃ln/1+--

1

gsin一00

C.>1+(-1)叮—^产D.2](?>2)

•»=1w

8.

定积分小臂：&的值为)

TLX+COS1

A.0B.1C.-1D.2

9.

设为可导函数.则*=

)

,22

A.sinj/(sin.r)B.COSJ2『(sina2)

C.2.rsinj2/z(sin.r2)D.2.iCOSJ2//(sin.r2)

10.

微分方程，一2z—3.r-=0满足、丫=1的特解为)

A.A'=L/+.7,"+1B.y=大.*+JJ+-1

C.、=>+D.y=>+C

11.

sinr♦arctan—h-ln(l+3/),一丁V」r<0,

已知函数fix')=xx3在父=0处连续.

J।

1[a,i20

则a=()

A.OB.1C.3D.4

12.

函数N=1V”+1.”=0.±1,±2,…的值域为()

A.{0,1.2.3.…〉B.{1.2.3.-yC.(-e.+z)D.{0.±1.±2.-}

13.

•下列等式中不正确的是()

z

A.(x)d.r)=/(jr)B.d(f(.j)d.r)=f(JC)d.r

C.[/"(1)dr=/(x)D.|=/(j->+C

14.

设y=,则其反函数.r=q(y>在y=0处导数为()

A.4B.3C.-3D.—4

15.

[3e"zV0,

若函数/(i)=J在i=0处连续,则a的值为()

[2.r+a«.r20

A.OB.3C.-J-D.1

16.

r

已知向量组©=(1.0,2.3尸.a?=(1.1.3.5).a:)=(1.-1.a+2.1),的秩为2.则

a=()

A.OB.1C.-1I).2

17.

设丫=ln(l+上).则

A(―1尸(〃-1)]B.•

(1+x)-

T\/___1\»—i(〃1)!

C.(-1尸D-(D(1+.4-)-

(1+"

18.

/(3/Q一八一

设/(J-)在1=0处可导•则limh)_)

/»-02h

2v

A.|r(o)B.-=-r(o)

J

C.2/(0)D./(O)

19.

,X2

.设小)在(0,+8)上连续.且y(/)d/=八则/⑵=)

B.3D-l

20.

已知曲线》=土•与曲线y=ar?+〃在点(2，)处相切，则

A.a=一1仁一.B.«=_[b=4

164164

C.«=±,6=-lD.a=上山=4

164164

二、填空题(10题)

2|设/(J)=x(x—1)(.?,—2)(w—3)dr—4),则/'(4)一

”在［一1上任取一点X，则该点到原点距离不超过！的概率为

22.3

23积分匚

幕级数之4的收敛域为

24.»=i"

25.

/300]

.已知A=140.E为三阶单位矩阵，则A—2E的逆矩阵（A-2E）

003

八+M,则y（j）=

27与向量（一3,4.1）平行的单位向量是

d/

。，1+八

极限lim

28.，-。

广义积分

29.

30.

设区域D=｛（1.》）I0W1<1•—1W»41》,则］（.丫一合）d.rd_y=

I）

三、判断题（10题）

31.

3e'.40,

若函数/(])=，arcianer,在丁=0处连续.则a=2e.()

--------------Fa,.r>0

A.否B.是

一设J(J)=J•*，则函数fCr)有1个间断点.八才口目

32.A.pqB.TE：

极限lim普：=2.

33.2s,n4jrA.否B.是

34.

6.设函数/(i)=sinx*6[〃/].由拉格朗日中值公式得存在E6(〃而,使sin〃一sin”

=cos?•(6—a).()

A.否B.是

lim(j-2—3/)=lim/2—3linrr=8-8=0.

__x*0工-♦<>x*0-———t—.

35.A.否B.是

("=e2\

36.A.否B.是

二确定，唬=

已知函数v=.y(.r)由参数方程2t-1.

37.A.

否B.是

1-2-N—3/+2_2

a。…J*?-4-r+33

3o.A.否B.是

39如果/(-r)在［a，M上单调增加,则/(G是极小值JU)是极大值.A

否B.是

40.

微分方程U十也=0的通解为./+V=

C.)

y'

A.否B.是

四、计算题（5题）

§1皿

.求不定积分cLr.

siru+COSJ

41.

42.

2:

计算二重积分!y/R'—J'-y'd3,•D：J-+<R.0<y<J>o.

ln(l+/)山

43求极限外Jk.

设f'(In.z)=1+a、,求_/(w).

44.

求不定积分「,厂+5L.

45aJ3-21一、广

五、证明题（2题）

证明不等式:gVinmVg.其中〃V〃，为正整数.

in〃

46.n

47.

设/（Z）在［a，b］二阶可导，且f（6）=0,又设FCr）=（工一。//（1）,证明在（明份内

至少存在一点M使/（§）=0.

六、应用题（5题）

48.

设一物体其下端为直圆柱形.其上端为半球形,如图所示.如果此物体的体积为v.问

这物体的尺寸各是多少时.才能使其表面积最小？

49.

求由两条曲线v=cos.r.v=sin/及两条直线,=0,.r=?所围成的平面图形绕

0

『轴旋转而成的旋转体体积.

50.

半径10cm的金属圆片加热后，半径伸长了0.05cm,向其面积增大了多少？

51.

求由曲线），=.r-2.r+9与该曲线过原点的两条切线所围成图形的面积.

52.

已知曲线v=uV＞（a＞0）与曲线＞=In77在点Qu，y＞）处有公切线•试求:

（1）常数a和切点（”,，%）;

（2）两曲线与上轴围成的平面图形的面积S.

参考答案

1.A

【精析】使用无穷小的等价代换可得原式=lim£=1lim注

JC-*O2T-ox+y

y-*0y-*0

而04一2<1,limj-2=0,所以lim飞—0,故原式—0.

f-yx-*ox-*oj：/+y

y-*Oy-*0

2.D

［答案］D

【精析】翌=1/(sin/)］'=/'(sirtr，)•(sina")'=2«rcos〉/'(sirLi").

d.r

3.B

4.C

［答案］C

【精析】由题意知.lim42"=4Jim)=〃,故7(0)=g(0)=0.对于选项(：・

,r*0JC/t。JT

lim/(")**(")=［im£(")•lirng(x)=aX0=0,即/<x)g(.r)一定是x的高阶无穷小.

t•力上*上一。JT

其他三项都不能保证一定是“的高阶无穷小.故应选C.

5.B

【精析】令./<.r)=——-.~-则

z)

__________1__________

/(—JC)=

ln(+M+_r),r(yi+.r2)2-.r21

L7TT7r-1J

1

2

1,J.■...----\ln(</1+.r—J.)

(/r+Tr-j-)

=­f(JT),

即y=为奇函数.故选B.

6.C

【精析】A项中"(n)=1—1的定义域为R,g(、r)=—―-的定义域为{wI//

a—1

故A项中人］)与耳1)表示的不是同一个函数：B项中・/(/)=/的定义域为R，H(I)

=O的定义域为巨I』・》0},故B项中八彳)与gGr)表示的不是同一个函数:C项

中,/(4)=x2・gQ)=，3=M•且两个函数的定义域均为R,故C项中/(l)与g(x)

表示的是同一个函数：D项中，/Q)==1°=l(、r/0)・故两个函数的定义域

不同.故D项中/(j)与g(j)表示的不是同一个函数.故选C.

7.B

［答案］B

1

sin——

【精析】A项由莱布尼茨判别法知条件收敛;C项.当“f8时.一工〜;.所以收

〃ir

敛；D项中£—=Y^-.p>2.即4>1.故级数收敛；而B项中.

«=1(v/T)”=】/

Hm--------.....-=lim------^―：—=1并0.故发散.

一〃ln(l+—)tt

nn

8.A

［答案1A

【精析】zWcos/在1—1,1］上是偶函数・tan_z在［-1.1］上是奇函数,所以

小胃_在［-M］上是奇函数，故该定积分的值为0.

LX十COST

9.D

［答案］D

【精析】牛=L/(sinj2)=/"(sin/)♦(siru：)'=2.rcos.r2/^(sinx2).

10.B

［答案］B

【精析】分离变量可得dy=(2『+3/)d,.两边枳分可得y=>+>+C.又由

2

y=1可得C=1.故特解为y=J-'+J-+1.

ll.C

［答案1C

【精析】要使函数/(x)在1=0处连续，必有limy(.r)=lim/(J)=/(0),所以a=

sinx.arctan1+ln(1+3/)limsiru1•arcian'+lim,上■■如)=0+3=

一。-工…-]

3,故当a=3时，/(jr)在/=0处连续.

12.D

［答案］D

【精析】函数夕=［I］=〃为取整函数.值域即"的取值范围,即{0,土1.±2,…}.

【精析】［/(jr)cLr=/(«r)+C.

13.C

14.D

［答案1I)

【精析】t=］吧‘口一J(oW工《。r=o时得才=河沙'(-)=J,所以

(3十sin/)Z\4/4

7—e(y)在y=。处的导数为-------=14•故选D.

w刀)

15.B

［答案］B

T

【精析】lim/(J)=lim3e=3•lim/(x)=lim(2x+a)=a>/(0)=a♦由/(/)在

.1-••I4

X=0处连续可得lim/Q)=lim/Q)=/(O).因此〃=3.故选B.

u-D-.，-<>•

16.C

•若r(ai.a•

【精析】＜ai-a2・。3)=2

as)=2,则a+1=0•

17.A

［答案］A

f11”1•21(»-D!

【精析】y==(-i)i

F+7^-(T+77^=?TG'…(1+•!.)"

应选A.

18.C

【精析】lim/(3.工/(一%)=隔/(3力)：/(一八).2=2/(0),故选C.

A-0LilA-04/1

19.D

【精析】方程两边同时对/求导./匚/(1+/门・(21+3/)=］.

令工=1.贝IJ/(2)•5=l,f(2)=!■.故应选D.

0

20.B

［答案］B

【精析】曲线V=《与曲线=&/+〃在（24）处相切，故

“（2）=2（2）,且，（2）=，（2）,

1

4a+〃,

一16

叫T1

~1

21.

4!

［答案］4;

［精析］/(4)=lim/⑺一/⑷=lim-才一1”二一2)Q；3)(.r—4)一°二

Ix-4»-*i.7—4

linu(J—I)(.?—2)(彳-3)=4!.

•—I

22.

4

5

【精析】由题意知.x〜u(—i.i).则P(-4-<4)==4-.

5□」T25

23.

1—ln(1+c)

c-2『r-?i

【精析】-----d.r=------；d(1—e1)=—(In|1—ev1)

J-i1—eJ-i1—e

=ln(e-1)—1—ln(e-1)+2

=1—Ind—e).

24.

(-8.+OO)

（〃+1）田

【精析】p—lim=lim（一^）"•lim—!—=lim---——•lim---

。一»81-8）1+1L0O7/~r1L8（］-8"I1

n

=(),所以R=+8.故幕级数收敛域为(-8.4-00).

25.

100>

001

rl00

（A-2E）/

【精析】A-2E=120\A-2E|=2・（A-2E）T

|A-2E\

001

/100,

11

———uA

22

001

26.

［答案］

T

【精析】由于/(5)=]+无匚/=++ji+T

于是/（＞=]+Jl+1.

27.

w

_1x/26y/26回、

【精析】向精的模为，（一3尸+/+12=质.

故与之平行的单位向量为士(-全忘扁.

28.1

［精析］lim---"'广，-=lim---;=lim［=1.

L。彳L02x+、/L0+「

29.1n2

［答案］ln2

【精析】|T-7---d-i=ln(lie*)=ln2—limln(1:J)=ln2—0=ln2.

J.1+e*-1-，

30.

【精析】由题意知积分区域D=Kx,y)|1,-14丁41},则

(y_jrDdidy=jdy\(y-x2)dx=j.y—1-jdv

=(耳T)L一系

31.N

［答案］x

【精析】lim/(.?)=lim3c*=3,limf(.r)=lim(?rctanej+a)=c—a,/(0)=3,

,rr.r•«,r«<t"1"

由/(JC)在z=0处连续可得lim/(ar)=lim/(.r)=/'(0),因此a=3—e.

32.Y

【精析】函数八%)为落指函数•故底数/>o•且1•则函数定义域为(o.i)U

(1.+8),故可知函数f(x)有一个间断点J：=1.

sin2j,_1.2/_1

【精析】lim=如47=7-

33.N…siivli

34.Y

【精析】:/(/)=sinj*,/./(T)在［a,6］上连续，在(a,6)内可导，且fC)=cosa,

A由拉格朗日中值公式得存在?6(a,6),使普二^吆=cos&即sin6-sin«

b-a

cos^•(()—a)

35.N

【精析】因为limz'=0-linu=0.所以limlr'—3/)=0—0=0.

4-0

【精析】(eZrV=e”.(2_r)'=2e".

36.N

dv

【精析】由=dr

dv

dz

37.Y

【精析】当/f0时.2/—31+2f2.F—4丁+3f3.

则lim丁=2

38Y।,。1—。3

39N【精析】火笛是最小值./(〃)是最大值.

40.Y

［答案］V

【精析】分离变量可得一了山=」，山,两边积分可得［Jdy=廿心.解得一1»，

+G=。.即M+V=C.

41.

・注4•匚.1Isin-r+COSJ—cos.r+sirur.

［精析］原式=亍--------：-T------------dx

LJsiiu*+cos/

=1f(1+-cos-r+sin^)dj

cJsin.z+cos.r

1-g1-....}-----d(siiiz+cos.r)

=­JC

22Jsiru+COST

1

=T］---ln|sirtr+cos.r|+C.

42.

【精析】由被积函数及积分区域特点可知选择极

坐标计算较为简便•如图所示.区域D的去示式

为|臼＜?

=][VR:-

JR•rdr.ltf

=Id(7jr\/'R"-rdr

J<•J"

二f•(一?)/VR:-rd(R-广)

4ZJo

43.

jln(l+/)df-r1।9x9

【精析】原式=limJ--=limmay■2=1.

…春⑵尸…

44.

【精析】令In.r=t・则.r=e'•由//(In.r)=1+.r得//(/)=1+e'•积分得/(/)

=/+c'+C,故/(、r)=x+c4+C.

45.

【精析】，3+2才一才,=i/4—(J1)'♦

令_r—1=2sii”,一卷<PV段■,则才=1+2sinr.dr=2coszdz.故有

乙Lt

(64-2sinf)dz=6r—2cos/+C

=6arcsinL.!-J3+—+C.

46.

【证明】设/Q)=Imr,易知/Q)在区间「”.〃门上满足拉格朗日中值定理条件.

即至少存在一点WG(〃.,〃).使得

\nm—Inn_1

--------———.

m-n3

又因为0V,故,v3VL,从而有

HlF〃

1)In/H-Inn1-1

—<--------=—<—•

mm-nfn