考研数学（数学一）模拟试卷2（共209题）

考研数学（数学一）模拟试卷2（共9套）（共209题）考研数学（数学一）模拟试卷第1套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、已知f(χ)在χ＝0处二阶可导，且f′(0)＝f〞(0)＝2，则＝()A、B、C、D、－1标准答案：C知识点解析：根据反函数求导法则2、曲线y＝的渐近线条数为()A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：因为＝∞，所以χ＝0是一条垂直渐近线；因为＝∞，所以不存在水平渐近线；则y＝χ＋1是一条斜渐近线；又因为所以y＝－χ－1是一条斜渐近线。综上一共有三条渐近线，故选择C。3、下列命题中正确的是()A、若un收敛，则(－1)n-1un收敛。B、若＜1，则un收敛。C、若un收敛。则(－1)n-1un2收敛。D、若un绝对收敛，则un2收敛。标准答案：D知识点解析：选项D，若un绝对收敛，则un收敛，因此可得un＝0，而un2是un的高阶无穷小，根据正项级数判别法，低阶收敛能推出高阶收敛，因此un2收敛，故选择D。选项A若un＝，那么级数un收敛，但是是发散的，所以A选项错误。选项B由于没有说明un是正项级数，因此不能根据＜1推出un收敛，所以B选项错误。选项C令un＝根据交错级数收敛的判别法可知un收敛，但是是发散的，所以C选项错误。4、设M＝(χ＋y)3dχdy，N＝sin(χ＋y)dχdy，P＝(e｜χ＋y｜－1)dχdy，其中D＝{(x，y)｜χ2＋y2＜1}，则()A、M＜N＜PB、N＜M＜PC、M＜N＜PD、M＝P＜N标准答案：C知识点解析：M＝(χ＋y)3dχdy＝(χ3＋3χ2y＋3χy2＋y3)dχdy，因为积分区域D关于χ轴和y轴都对称，χ3、3χy2是关于χ的奇函数，3χ2y、y3是关于y的奇函数，所以根据对称件可得M＝0。N＝sin(χ＋y)dχdy＝(sinχcosy＋sinycosχ)dχdy，因为积分区域D关于χ轴和y轴都对称，sinχcosy是关于χ的奇函数，sinχcosy是关于y的奇函数，所以根据对称性可得N＝0。P＝(e｜χ＋y｜－1)dχdy，因为积分区域为D＝{(χ，y)｜χ2＋y2＜1}，则有e｜χ＋y｜－1＞0，即P＞0。故有M＝N＜P，选择C。5、三元一次方程组所代表的三个平面的位置关系不可能是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：对线性方程组的增广矩阵作初等行变换可知线性方程组解的情况只有两种，唯一解或者无解，B选项为有无穷多解的情况，故不正确，所以答案为B。6、设α1，α2，α3，α4，α5为4维列向量，下列说法中正确的是()A、若α1，α2，α3，α4线性相关，那么当尼k1，k2，k3，k4不全为0时，k1α1＋k2α2＋k3α3＋k4α4＝0。B、若α1，α2，α3，α4线性相关，那么当k1α1＋k2α2＋k3α3＋k4α4＝0时，k1，k2，k3，k4不全为0。C、若α5不能由α1，α2，α3，α4线性表出，则α1，α2，α3，α4线性相关。D、若α1，α2，α3，α4线性相关，则α5不能α1，α2，α3，α4线性表出。标准答案：C知识点解析：C选项，反证法。假设α1，α2，α3，α4线性无关，因为α1，α2，α3，α3，α5必线性相关(5个4维列向量必线性相关)，则α5可由α1，α2，α3，α4线性表出，矛盾。从而α1，α2，α3，α4线性相关。7、设总体X的概率密度为f(χ)＝，X1，X2，…，Xn是来自X的简单随机样本，统计量T＝的期望为()A、σB、C、D、标准答案：B知识点解析：由期望的定义和性质可得，二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、函数y＝f(χ)由参数方程所确定，则＝_______。标准答案：1知识点解析：当χ＝0可得t＝0，则f′(0)＝1，故极限9、∫－ππ[χ2＋∫0χsin3tdt]χcosχ2dχ＝_______。标准答案：0知识点解析：由积分的性质∫－ππf(χ2＋∫0χsin3tdt)χcos2χdχ＝∫－ππ[χ3cos2χ＋(χcos2χ∫0χsin3tdt)]dχ，因为χ3cos2χ是奇函数，积分为零，可进一步化为∫－ππ(χcos2χ∫0χsin3tdt)dχ对于积分∫0χsin3tdt，由于sin3t为奇函数，则∫0χsin3tdt为偶函数，则χcos2χ∫0χsin3tdt是奇函数，所以∫－ππ(χcos2χ∫0χsin3tdt)dχ＝0，那么∫－ππ(χ2＋∫0χsin3tdt)χcos2χdχ＝0。10、以C1e－χ＋C2e－χ＋C3，为通解的常系数齐次线性微分方程为_______。标准答案：y″′－y′＝0知识点解析：Cl1e－χ＋C2eχ＋C3为齐次线性微分方程的通解，所以可以得到特征根为r＝－1，r＝1，r＝0，特征方程为(r＋1)(r－1)r＝0，则微分方程为y″′－y′＝0。11、曲面片z2＝χ2＋y2(0≤z≤1)的形心坐标为_______。标准答案：(0，0，)知识点解析：形心公式，其中∑表示曲面片z2＝χ2＋y2(0≤z≤1)。由于∑关于yoz平面是对称的，而被积函数χ为奇函数，所以＝0。同理∑关于χoz是对称的，被积函数y为奇函数，所以所以曲面片z2＝χ2＋y2(0≤z≤1)的形心坐标为(0，0，)。12、设矩阵A＝，若存在不相同的矩阵B，C使得AB＝AC，且A*≠O，则a_______。标准答案：－2知识点解析：由AB＝AC可得A(B－C)＝0，则齐次线性方程组Aχ＝0有非零解，所以r(A)≤2：另一方面，因为A*≠O。所以r(A)≥2，从而r(A)＝2，所以a＝－2。13、设随机变量X服从参数为1的指数分布，则E(X2e－X)＝_______。标准答案：知识点解析：由期望的定义得三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)14、设曲线L过点(1，1)，L上任意一点P(χ，y)处的切线交χ轴于点T，O为坐标原点，若{PT}＝｜OT｜。试求曲线L的方程。标准答案：设曲线方程为y＝y(χ)，则y(1)＝1，过点P(χ，y)处的切线方程为Y－y＝y′(X－χ)，则切线与χ轴的交点为T(χ－，0)。根据｜PT｜＝｜OT｜，有上式两边同时平方，整理可得y′(χ2－y2)＝2χy，该一阶微分方程为齐次方程，令u＝，可得，两边取积分得解得u＋，将初始条件y(1)＝1代入，可得C＝，故曲线L的方程为χ2－y2－2y＝0。知识点解析：暂无解析15、求函数f(χ，y)＝χy－χ－y在由抛物线y＝4－χ2(χ≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。标准答案：区域D如图2所示。(1)边界L1＝y＝0(0≤χ≤2)，此时f(χ，0)＝－χ，函数在此边界的最大值为f(0，0)＝0，最小值为f(2，0)＝－。边界L2：χ＝0(0≤y≤4)，则f(0，y)＝－y，函数在此边界的最大值为f(0，0)＝0，最小值为f(0，4)＝－4。边界L3：y＝4－χ2(χ≥0)，则f(χ，y)＝χy－χ－y＝χ(4－χ2)－χ－(4－χ2)，令f′(χ)＝－3χ2＋2χ＋＝0，解得χ＝－(舍去)，χ＝，又f〞(χ)＝－6χ＋2，f〞()＜0，故该函数在此边界的最大值为(2)区域D内部，f(χ，y)＝χy－χ－y，则解得χ＝1，y＝，f〞χχ(χ，y)＝0，f〞χy(χ，y)＝1，f〞yy(χ，y)＝0，故AC－B2＜0，函数在区域D内部不存在极值。综上所述，函数在区域D上的最大值为f(0，0)＝0；最小值为f(0，4)＝－4。知识点解析：暂无解析16、设f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(0)＝f(1)＝0，若f(χ)在[0，1]上的最大值为M＞0设n＞1，证明：(Ⅰ)存在c∈(0，1)，使得f(c)＝；(Ⅱ)存在互不相同的ξ，η∈(0，1)，使得标准答案：(Ⅰ)根据已知条件，存在a∈(0，1]，使得f(a)＝M。令F(χ)＝f(χ)－，显然F(χ)在[0，1]上连续，又因为f(0)＝0，n＞1，故由零点定理可知，至少存在一点c∈(0，a)，使得F(c)＝f(c)－＝0，即f(c)＝。(Ⅱ)在[0，c]，[c，1]上分别使用拉格朗日中值定理。已知f(χ)在[0，1]上连续，在f(1)－f(c)＝(1－c)f′(η)(2)由(1).f′(η)＋(2).f′(ξ)，结合f(0)＝f(1)＝0可得，[f′(η)－f′(ξ)]f(c)＝f′(ξ)f′(η)，再由结论f(c)＝可知，[f′(η)－f′(ξ)]＝f′(ξ)f′(η)，即知识点解析：暂无解析17、设对任意分片光滑的有向闭合曲面片S，均有(y＋1)f′(χ)dydz＋(y－y2)f(χ)dzdχ＋[zyf′(χ)－2zeχ]dχdy＝0，其中f(χ)在(－∞，＋∞)内具有连续的二阶导数，求f(χ)。标准答案：令p(χ，y)＝(y＋1)f′(χ)，Q(χ，y)＝(y－y2)f(χ)，R(χ，y)＝zyf′(χ)－2zeχ，由于f(χ)在(－∞，＋∞)内具有连续的二阶导数，故p(χ，y)，Q(χ，y)，R(χ，y)均具有一阶连续偏导，故由高斯公式可知，(y＋1)f′(χ)dydz＋(y－y2)f(χ)dzdχ＋[zyf′(χ)－2zeχ]dχdy＝±[(y＋1)f〞(χ)＋(1－2y)f(χ)＋yf′(χ)－2eχ]dχdydz＝0。其中，Ω是由闭合曲面S所围成的区域，由区域Ω的任意性可知，(y＋1)f〞(χ)＋(1－2y)f(χ)＋yf′(χ)－2eχ＝0，即y[f〞(χ)＋f′(χ)－2f(χ)]＋[f〞(χ)＋f(χ)－2eχ]＝0，则有f〞(χ)＋f′(χ)－2f(χ)＝0(1)f〞(χ)＋f(χ)－2eχ＝0(2)求解微分方程(1)，得f(χ)＝C1eχ＋C2e－2χ，则该通解同样满足微分方程(2)，代入可得C1＝1，C2＝0，故f(χ)＝eχ。知识点解析：暂无解析18、设有幂级数求：(Ⅰ)该幂级数的收敛半径与收敛域：(Ⅱ)该幂级数的导数在收敛区间内的和函数。标准答案：(Ⅰ)＝2，故收敛半径为r＝，则收敛区间为由于均收敛，则收敛；由于均收敛，则收敛。故收敛域为。(Ⅱ)令f(χ)＝，则其导函数为则2χS2(χ)＝逐项求导可得两边同时积分，2χS2(χ)＝－2ln(1－2χ)＋C。将χ＝0代入，可得C＝0，故知识点解析：暂无解析19、已知两个向量组α1＝(1，2，3)T，α2＝(1，0，1)T与β1＝(－1，2，t)T，β2＝(4，1，5)T。(Ⅰ)t为何值时，α1，α2与β1，β2等价；(Ⅱ)当两个向量组等价时，写出两个向量组之间的线性表示式。标准答案：(Ⅰ)对向量组α1，α2和β1，β2所构成的矩阵(α1，α2，β1，β2)进行初等行变换化为阶梯型矩阵。因为α1，α2与β1，β2等价，所以，r(α1，α2)＝r(β1，β2)，所以t＝1。(Ⅱ)对矩阵(α1，α2，β1，β2)进行初等行变换化为行最简形，所以β1＝α1－2α2，β2＝。对矩阵(β1，β2，α1，α2)进行初等行变换化为行最简形，知识点解析：暂无解析20、设A为3阶实对称矩阵，α1＝(1，－1，－1)T，α2＝(－2，1，0)T是齐次线性方程组Aχ＝0的基础解系，且矩阵A－6E不可逆．则(Ⅰ)求齐次线性方程组(A－6E)χ＝0的通解：(Ⅱ)求正交变换χ＝Qy将二次型χTAχ化为标准形；(Ⅲ)求(A－3E)100。标准答案：(Ⅰ)因为矩阵A－6E不可逆，所以λ＝6是矩阵A的一个特征值；另一方面，因为α1，α2是齐次线性方程组Aχ＝0的基础解系，所以λ＝0是矩阵A的二重特征值，所以A的特征值为0，0，6。齐次线性方程组(A－6E)χ＝0的通解是矩阵A的属于特征值λ＝6的特征向量。因为A为3阶实对称矩阵，从而属于不同特征值的特征向量正交。设α3＝(χ1，χ2，χ3)T是矩阵A的属于特征值λ＝6的一个特征向量，则(α1，α3)＝0，(α2，α3)＝0，解得α3＝(－1，－2，1)T，所以齐次线性方程组(A－6E)χ＝0的通解为kα3，k为任意常数。(Ⅱ)下面将向量组α1，α2，α3正交化。令β1＝α1，β2＝α2－β1＝(－1，0，－1)T，β3＝α3下面将向量组β1，β2，β3，单位化。令则二次型χTAχ在正交变换χ＝Qy下的标准型为6y32。知识点解析：暂无解析21、设随机变量(X，Y)的概率密度函数为f(χ，y)＝其分布函数为F(χ，y)。(Ⅰ)求F(χ，y)；(Ⅱ)分别求(X，Y)关于X，Y的边缘概率密度，并问X与Y是否独立?标准答案：(Ⅰ)根据分布函数的定义因为f(χ，y)≠fX(χ)fY(y)，所以X与Y不独立。知识点解析：暂无解析22、设总体X的密度函数为f(χ；θ)＝，－∞＜χ＜＋∞，其中θ(θ＞0)是未知参数，(X1，X2，…，Xn)为来自总体X的一个简单随机样本。(Ⅰ)利用原点矩求θ的矩估计量；(Ⅱ)求θ的极大似然估计量，并问是否为θ的无偏估计?标准答案：(Ⅰ)根据已知条件则θ＝，所以θ的矩估计量(Ⅱ)设样本X1，…，Xn的取值为χ1，…，χn，则对应的似然函数为取对数得关于θ求导得令＝0，得0的极大似然估计量，因为所以＝θ，即是θ的无偏估计。知识点解析：暂无解析考研数学（数学一）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)﹦，则f(x)有()A、两条斜渐近线B、两条水平渐近线C、一条斜渐近线，无水平渐近线D、一条水平渐近线，一条斜渐近线标准答案：D知识点解析：函数f(x)无间断点，所以不存在垂直渐近线。当x→－∞时，所以y﹦0为函数f(x)的一条水平渐近线。又因为所以y﹦2x为函数f(x)的一条斜渐近线。故本题选D。本题考查曲线渐近线的计算。渐近线包括水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。垂直渐近线一般在第二类间断点处求得，考生可以先求出函数可能的间断点，然后再进行计算。2、函数f(x，y)﹦，在x﹦0处()A、不连续但偏导数存在B、偏导数不存在但连续C、可微但偏导数不连续D、偏导数连续标准答案：C知识点解析：因为所以函数f(x，y)在点(0，0)处连续。所以函数f(x，y)在点(0，0)对x的偏导数存在。同理可证函数f(x，y)在点(0，0)对y的偏导数存在。所以函数f(x，y)在点(0，0)的偏导数存在。所以函数f(x，y)在点(0，0)可微。因为上述极限不存在，所以函数fx’(x，y)在点(0，0)不连续。故本题选C。本题考查二元函数的连续性、偏导数的存在性和可微性等知识。函数可微能得出函数连续和可偏导，反之不成立；一阶偏导数连续可得出函数可微，反之不成立；函数连续和可偏导均不能相互推得。3、设函数f(u)可导，y﹦f(x2)，当自变量x在x﹦－1处取得增量△x﹦－0．1时，相应的函数增量△y的线性主部为0．1，则f’(1)﹦()A、-1B、0.1C、1D、0.5标准答案：D知识点解析：由微分的定义可知，函数f(x)在点x0的增量△y的线性主部即为函数f(x)在该点的微分dy｜x﹦x0f’(x0)△x，所以有0．1﹦y’(－1)·△x﹦-0．1·y’(－1)，即有y’(－1)﹦－1。同时y’(－1)﹦[f(x2)]’｜x﹦－1﹦2x·f’(x2)｜x﹦－1﹦－2f’(1)，所以f’(1)﹦0．5。故本题选D。本题考查函数微分的定义。函数y﹦f(x)在某区间内有定义，且x0﹢A△x及x0在该区间内，如果函数y﹦f(x)的增量△y﹦f(x0﹢△x)－f(x0)可表示为△y﹦A△x﹢o(△x)，则称霸数y﹦f(x)在点x0可微，其中A△x为函数y﹦f(x)在点x0的微分，记作dy，即dy﹦A△x。4、下列各级数发散的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：逐项判断每个级数的敛散性。综上所述，本题选A。本题考查级数的敛散性。判断级数敛散性常用的方法有比较审敛法、根值审敛法、莱布尼茨判别法、利用等价级数判断敛散性等。5、向量组α1﹦(1，3，5，－1)T，α2﹦(2，－1，－3，4)T，α3﹦(6，4，4，6)T，α4﹦(7，7，9，1)T，α5﹦(3，2，2，3)T的一个极大线性无关组是()A、α1，α2，α5B、α1，α3，α5C、α2，α3，α4D、α3，α4，α5标准答案：C知识点解析：对α1，α2，α3，α4，α5构成的矩阵实施初等行变换(α1，α2，α3，α4，α5)﹦可见r(α1，α2，α3，α4，α5)﹦3。由上述矩阵可知，三个非零行的非零首元在1，2，4列，所以α1，α2，α4为向量组的一个极大无关组。选项中无此答案，现结合选项来看，由于上述矩阵的第3列和第5列成比例，所以α3，α5线性相关，即同时包含α3，α5的选项错误，故排除B、D。又因为上述矩阵的第3行的非零元只有1个，且在第4列，所以α4必在极大无关组中，故本题选C。实际上，对于C项，上述矩阵对应的三阶子式≠0，所以α2，α3，α4是向量组的一个极大线性无关组。本题考查向量组的极大线性无关组。极大线性无关组的计算方法：设有向量组α1，α2，…，αm，令A﹦(α1，α2，…，αm)，对A实施初等行变换，将其化为阶梯形矩阵B，设矩阵B中各行的非零首元所在的列向量为βi1，βi2…，βir则矩阵A中对应的列向量组αi1，αi2，…，αir就是向量组α1，α2，…，αm的一个极大线性无关组。6、设A，B均为n阶矩阵，A可逆，且A与B相似，则下列命题中正确的个数为()①AB与BA相似；②A2与B2相似；③AT与BT相似；④A－1与B－1相似。A、1B、2C、3D、4标准答案：D知识点解析：因为A与B相似，所以存在可逆矩阵P，使得P－1AP﹦B，于是P－1A2P﹦B2，PTAT(PT)－1﹦BT，P－1A－1P﹦B－1，则有A2与B2相似，AT与BT相似，A－1与B－1相似。又因为A可逆，所以A－1(AB)A﹦BA，即AB与BA相似。故本题选D。本题考查矩阵的相似。考生可由题干A与曰相似得出A与B的关系，进而通过矩阵变换及矩阵的性质判断命题的正误。7、随机变量X服从参数为λ的泊松分布，已知P{0＜X2＜3}﹦P{3＜X2＜5}，则P{X﹦3}﹦()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：泊松分布P{X﹦k}﹦，已知P{0＜X2＜3}﹦P{3＜X2＜5}，则P{X﹦1}﹦P{X﹦2}，因此有，解得λ﹦2，因此P{X﹦3}﹦。故本题选D。本题考查泊松分布的定义和性质。泊松分布属于离散型随机变量，X只能取自然数，因此根据P{0＜X2＜3}﹦P{3＜X2＜5}可以得出P{X﹦1}﹦P{X﹦2}，建立等式得出λ的值，从而计算P{X﹦3}的值。8、设X1，X2，…，X9是来自总体N(2，1)的简单随机样本，则统计量服从()A、X2(3)B、X2(2)C、t(3)D、t(2)标准答案：C知识点解析：根据已知可得且它们相互独立，因此又因为统计量T和X是相互独立的，因此故本题选C。本题考查常用的抽样分布。根据已知，观察统计量的分子分母，将相关信息分别正态标准化，根据x2分布和t分布的定义检验其符合哪一个。首先均服从标准正态分布，然后据此可知分母变形后服从x2分布，从而Y服从t分布。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设曲线y﹦x2﹢1(x>0)，过原点作其切线，则以曲线、切线及y轴所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的表面积为______。标准答案：知识点解析：设切点为(x0，x02﹢1)，则过原点的切线方程为y﹦2x0x，把点(x0，x02﹢1)代入切线方程，可得x0﹦1，y0﹦2，因此切线方程为y﹦2x0。切线y﹦2x(0＜x≤1)绕y轴旋转一周所得旋转体的侧面积为由曲线y﹦x2﹢1(O＜x≤1)绕y轴旋转一周所得旋转体的侧面积为所以，所求旋转体表面积为S﹦S1﹢S2﹦本题考查旋转体的表面积公式。求出曲线过原点的切线方程，然后分别求出切线和曲线绕y轴旋转所成旋转体表面积，两者相加即可。10、向量场(2z－3y，3x﹢z，4y－x)在点M(x，y，z)处的旋度rotA﹦______。标准答案：(3，3，6)知识点解析：向量场A(x，y，z)﹦P(x，y，z)i﹢Q(x，y，z)j﹢R(x，y，z)k在点(x，y，z)处的旋度为已知P﹦2z－3y，Q﹦3x﹢z，R﹦4y－x，则rotA﹦﹦(4－1)i－(－1－2)j﹢(3﹢3)k﹦(3，3，6)。本题考查旋度的计算。设向量场为A(x，y，z)﹦P(x，y，z)i﹢Q(x，y，z)j﹢R(x，y，z)k，则A在点(x，y，z)处的旋度为11、曲线积分I﹦(2xey﹢y3sinx－2y)dx﹢(x2ey－3y2cosx－2x)dy，其中曲线为圆x2﹢y2﹦4上位于第一象限的弧，即A(2，0)到B(0，2)的弧，则积分I﹦______。标准答案：－12知识点解析：根据题意，设p﹦2xey﹢y3sinx－2y，Q﹦x2ey－3y2cosx－2x，且满足﹦2xey﹢3y2sinx－2，因此曲线积分与路径无关。取O(0，0)，：y﹦0，0≤x≤2，：x﹦0，0≤y≤2，则有I﹦(2xey﹢y3sinx－2y)dx﹢(x2ey－3y2cosx－2x)dy﹦(2xey﹢y3sinx－2y)dx﹢(x2ey－3y2cosx－2x)dy﹦∫202xdx－∫023y2﹦－12。本题考查曲线积分与路径的无关性。曲线积分I﹦Pdx﹢Qdy，当在区域D内，处处都有只依赖于起点和终点，与所选路径无关。12、方程的通解为______。标准答案：，C1，C2为任意常数知识点解析：令y’﹦p，在P≠0时，约去P并分离变量，得，两端积分，得ln｜P｜﹦ln(y﹢3)4﹢C1，即｜P｜﹦，再分离变量并积分得通解为，C1，C2为任意常数。本题考查高阶微分方程的求解。令y’﹦p，则y”﹦，代入原方程之后得到一个可分离变量的微分方程，解微分方程得通解。13、设四阶方阵A﹦(α，γ2，γ3，γ4)，JB﹦(β，γ2，γ3，γ4)，其中α，β，γ2，γ3，γ4均为四维列向量，且｜A｜﹦2，｜B｜﹦1，则｜A－4B｜﹦______。标准答案：54知识点解析：因为A﹦(α1，γ2，γ3，γ4)，B﹦(β，γ2，γ3，γ4)，所以A－4B﹦(α，γ2，γ3，γ4)－(4β，4γ2，4γ3，4γ4)﹦(α－4β，－3γ3，－3γ3，－3γ4)，因此有｜A－4B｜﹦｜α－4β｜，－3γ2，－3γ3，－3γ4｜﹦－27｜α－4β，γ2，γ3，γ4｜﹦－27(｜α，γ2，γ3，γ4｜－4｜β，γ2，γ3，γ4｜﹦－27(｜A｜－4｜B｜)﹦54。本题考查矩阵行列式的求解。可将矩阵的每一列视为一个列向量，先将向量组代入A－4B，利用行列式的性质分解成含有A和B的行列式的表达式，将｜A｜﹦2，｜B｜﹦1代入算出｜A－4B｜。14、已知随机变量X1与X2相互独立且分别服从参数为λ2，λ2的泊松分布，已知P{X1﹢X2＞0}﹦1－e－2，则E(X1﹢E2)2﹦______。标准答案：6知识点解析：已知Xi～P(λi)且X2与X2相互独立，因此E(Xi)﹦D(xi)﹦λi(i﹦1，2)，E(X1﹢X2)22﹦E(X12﹢2X1X2﹢X22)﹦E(X12)﹢2E(X1)E(X2)﹢E(X22)﹦λ1﹢λ12﹢2λ1λ2﹢λ2﹦λ1﹢λ2﹢(λ1﹢λ2)2。下面计算λ1﹢λ2的值，由于P{X1﹢X2＞0}﹦1－P{X1﹢X2≤0}﹦1－P{X1﹢X2﹦0}﹦1－P{X1﹦0，X2﹦0}﹦1－P{X1﹦0}P{X2﹦0}﹦1－e－λ1?e－λ2﹦1－e－(λ1﹢λ2)﹦1－e－2，所以λ1﹢λ2﹦2。故有E(X1﹢X2)2﹦λ1﹢λ2﹢(λ1﹢λ2)2﹦6。本题考查相互独立的随机变量数学期望的性质。首先利用泊松分布得出X1与X2的期望和方差，并将E(X1﹢X2)2分解，然后根据P{X1﹢X2＞0}﹦1－e－2推出λ1﹢λ2的值，代入E(X1﹢X2)2的表达式得出结果。三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、求不定积分标准答案：本题考查不定积分的求解。本题有根号，因此考生可以利用换元法求解，同时在求解过程中还会用到分部积分法。不定积分的换元法需要在最后一步进行回代，这一点和定积分不同。知识点解析：暂无解析16、计算二重积分I﹦ydxdy，其中D是由x轴、y轴与曲线围成的区域，其中a＞0且b＞0。标准答案：积分区域如图中阴影部分所示。本题考查二重积分的计算。考生可以根据题干画出积分区域的图形，选择合适的积分次序，将二重积分化为累次积分进行计算。知识点解析：暂无解析17、设函数y﹦f(x)由参数方程确定，求函数y﹦y(x)的极值和曲线y﹦y(x)的凹凸区间及拐点。标准答案：因为由上表可知，函数y﹦y(x)的极大值为y(－1)﹦1，极小值为曲线y﹦y(x)的凹区间为；曲线y﹦y(x)的拐点为本题考查极值、凹凸区间及拐点。本题在计算过程中还涉及参数方程的求导。已知y﹦y(x)是由参数方程(α＜t＜β)确定的。若φ(t)和ψ(t)都可导，且φ’(t)≠0，则；若φ(t)和ψ(t)二阶可导，且φ’(t)≠0，则知识点解析：暂无解析18、对任意的x，y有将f(x，y)变换成g(u，v)，试求满足﹦u2﹢v2的常数a，b。标准答案：由题意得﹦a[v2(f’1)2﹢u2(f’2)2﹢2uvf’1f’2－b[u2(f’1)2﹢v2(f’2)2－2uvf’1f’2﹦(av2－bu2)(f’1)2﹢(au2－bv2)(f’2)2﹢2uv(a﹢b)f’1f’2﹦u2﹢v2。因为(f’1)2﹢(f’2)2﹦4，所以(f’2)2﹦4－(f’1)2，则有(a﹢b)(v2－u2)(f’1)2﹢2uv(a﹢b)f’1f’2﹢4au2－4bv2﹦u2﹢v2。因此(a﹢b)﹦0，4a﹦1，4b﹦－1，所以本题考查多元函数的偏导数的计算。考生可先由题干条件得出关于g(u，v)和f(x，y)的等式，然后对g(u，v)关于变量u，v求偏导即可，最后代入等式即可求出未知参数。知识点解析：暂无解析19、已知fn(x)满足fn’(x)－fn(x)﹦ex(n为正整数)，且fn(1)﹦。求函数项级数的和函数。标准答案：fn(x)满足微分方程fn’－fn(x)﹦e，所以用一阶线性微分方程的通解公式得其通解为当x﹦－1时S(x)连续，因此x﹦－1时和函数也满足上述式子，当x﹦1时，本题考查求函数项级数的和函数。首先通过解微分方程得出fn(x)的表达式，然后利用逐项求导不改变级数的收敛区间的性质，将函数项级数转化为容易求出和函数的形式并写出和函数，最后对该和函数求积分，得出原级数的和函数。知识点解析：暂无解析20、已知的一个特征向量。(I)求参数a，b及特征向量p所对应的特征值；(Ⅱ)问A能否相似对角化，并说明理由。标准答案：(I)设λ是特征向量p所对应的特征值，根据特征值的定义，有(A－λE)p﹦0，即从而有方程组解得a﹦0，b﹦3，且特征向量p所对应的特征值为λ﹦2。(Ⅱ)A的特征多项式为｜A－λE｜﹦﹦－(λ﹢1)(λ﹢2)2所以A的特征值为λ1﹦1，λ2﹦λ3﹦2。对于单根λ1﹦1，可求得线性无关的特征向量恰有1个，故矩阵A可相似对角化的充分必要条件为对应重根λ2﹦λ3﹦2有2个线性无关的特征向量，即方程(A－2E)x﹦0有2个线性无关的解，系数矩阵A－2E的秩r(A－2E)﹦1。故r(A－2E)﹦1，所以矩阵A可相似对角化。本题考查矩阵的特征值与特征向量。题干已知矩阵的一个特征向量，根据特征值与特征向量的定义，可求得未知参数和特征值。n阶矩阵A可相似对角化的充分必要条件为A有n个线性无关的特征向量。知识点解析：暂无解析21、设二次型为f﹦x12﹢2x22﹢6x32﹢2x1x2﹢2x1x3﹢6x2x3。(I)用可逆线性变换化二次型为标准形，并求所用的变换矩阵；(Ⅱ)证明二次型对应的矩阵A为正定矩阵，并求可逆矩阵U，使得A﹦UTU。标准答案：(I)用配方法将二次型化为标准形f﹦x12﹢2x22﹢6x32﹢2x1x2﹢2x1x3﹢6x2x3﹦(x1﹢x2﹢x3)2﹢x22﹢5x32﹢4x2x3﹦(x1﹢x2﹢x3)2﹢(x2﹢2x3)2﹢x32。得f的标准形为f﹦y12﹢y22﹢y32，所用可逆线性变换为x﹦Cy，其中C﹦(｜C｜﹦1≠0)。(Ⅱ)由(I)得，二次型的标准形为f﹦y12y22﹢y32，其系数全为正，所以二次型正定，即二次型对应的矩阵A为正定矩阵。方法一：由(I)知f﹦(x1﹢x2﹢x3)2﹢(x2﹢2x3)2﹢x32方法二：由题干得，二次型f﹦xTAx对应的矩阵为A﹦由(I)知，f﹦xTAx﹦yTCTACy﹦yTy，所以CTAC﹦E，A﹦(C－1)TC－1﹦UTU，其中U﹦C－1。本题考查二次型。二次型标准化的方法有：配方法和正交变换法。证明二次型对应的矩阵A正定的方法有：定义、顺序主子式全部大于0、正惯性指数为n、特征值均大于0等。考生可根据对上述知识点的掌握程度选择求解方法。知识点解析：暂无解析22、设随机变量X和Y均服从(0，3)上的均匀分布，求随机变量U﹦X﹢Y和V﹦XY的概率密度函数。标准答案：由题意可知，X和Y的概率密度均为f(t)﹦记U﹦X﹢Y的概率密度为fU(u)，则fU(u)﹦∫－∞﹢∞f(t)f(u－t)dt，其中当u≤0或u≥6时，fU(u)﹦0；当0＜u＜3时，综上所述，可得记V﹦XY的概率密度为fV(v)，当v≤0或v≥9时fV(V)﹦0；当0＜v＜9时，综上所述，可得本题考查随机变量函数的分布。当X和Y相互独立时，Z﹦X﹢Y的概率密度为fZ(z)﹦∫－∞﹢∞fx(x)fY(z－x)dx或fZ(z)﹦∫－∞﹢∞fX(z－y)fY(y)dy，而Z﹦XY的概率密度为知识点解析：暂无解析23、设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，且X的概率分布为其中0＜θ＜1，分别用n1，n2，n3表示X1，X2，…，Xn中出现1，2，4的次数，试求(I)未知参数θ的最大似然估计量；(Ⅱ)未知参数θ的矩估计量；(Ⅲ)当样本值为1，2，1，4，5，4，1，5时的最大似然估计值和矩估计值。标准答案：(I)根据已知，样本中出现1，2，4，5的次数分别为n1，n2，n3，n－n1－n2－n3，则似然函数为L(θ)﹦(1－θ)2n1[θ(1－θ)]n1[θ(1－θ)]n3θ2(n－n1－n1－n1)，两边取对数lnL(θ)﹦ln{(1－θ)2n1[η(1－θ)]n2[θ(1－θ)]n3θ2(n－n1－n2－n3)}﹦(2n1﹢n2﹢n3)ln(1－θ)﹢(2n－2n1－n2－n3)lnθ，两边同时对θ求导解得θ的最大似然估计量为。(Ⅱ)总体X的数学期望为E(X)﹦1X(1－θ)2﹢2[θ(1－θ)]﹢4[θ(1－θ)]﹢5θ2﹦1﹢4θ，因此可得θ的矩估计量为。(Ⅲ)利用上面的两个估计量公式，当样本值为1，2，1，4，5，4，1，5时，θ的最大似然估计值为本题考查最大似然估计和矩估计。因为n1，n2，n3表示X1，X2，…，Xn中出现1，2，4的次数，因此5出现的次数即为n－n1－n2－n3。再根据最大似然估计量的求解步骤构造似然函数，取对数，求导。矩估计量与各个随机变量出现的次数无关，根据X的概率分布计算期望，求矩估计量。知识点解析：暂无解析考研数学（数学一）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)=则f(x)在x=0处()．A、不连续B、连续但不可导C、可导且f’(x)在x=0处连续D、可导但f’(x)在x=0处不连续标准答案：C知识点解析：先考查在x=0处f(x)是否可导；若可导，则进一步考查f’(x)的连续性，否则只考查f(x)的连续性．当x＞0时，f’(x)=arctan当x＜0时，f’(x)=arctan所以．因此f(x)在x=0处可导，且f’(x)在x=0处连续．故应选(C)．2、若函数f(x)的二阶导数连续，且满足f’’(x)-f(x)=x，则∫π-πf(x)cosxdx=()．A、f’(π)-f’(-π)B、C、f(π)-f(-π)D、标准答案：B知识点解析：利用对称区间上奇函数的定积分为零的性质及定积分的分部积分法即可．∫-ππf(x)cosxdx=∫-ππf(x)dsinx=f(x)sinx｜-ππ-∫-ππf’(x)sinxdx=∫-ππf’(x)dcosx=f’(x)cosx｜-ππ-∫-ππf’’(x)cosxdx=f’(-π)-f’(π)-∫-ππf’’(x)cosxdx=f’(-π)-f’(π)-∫-ππ[f(x)+x]cosxdx=f’(-π)-f’(π)∫-ππf(x)cosxdx-∫-ππxcosdx=f(-π)-f’(π)-∫-ππf(x)cosxdx-0=f’(-π)-f’(π)-∫-ππf(x)cosxdx，移项，得∫-ππf(x)cosxdx=故应选(B)．3、极限=()．A、0B、1C、-1D、2标准答案：A知识点解析：因为所以故应选(A)．4、设F(x)=，则F’(0)=()．A、1B、2C、3D、不存在标准答案：A知识点解析：由F’-(0)与F’+(0)便可得F’(0)．当x＞0时，令u=xt，则，从而∫01f(xt)dt=∫0xf(u).du=∫01f(u)du．于是由导数定义：显然F’-(0)=F’+(0)=1，即F’(0)=1．故应选(A)．5、设n维列向量α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量β2不可由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k必有()．A、α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关B、α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关C、α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关D、α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关标准答案：A知识点解析：设有一组数字λ1，λ2，λ3，λ4，满足λ1α1+λ2α2+λ3α3+λ4(kβ1+β2)=0，若λ4=0，则有条件λ1=λ2=λ3=0，从而推出α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关．若λ4≠0，则kβ1+β2可由α1，α2，α3线性表示，而β1可由α1，α2，α3线性表示，故β2也可由α1，α2，α3线性表示，矛盾，所以，λ4=0，从而(A)项正确．对于其余三个选项，也可用排除法．当k=0时，可排除(B)、(C)项；当k=1时，可排除(D)项．故应选(A)．6、下列各组矩阵相似的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为相似矩阵的秩相等，由的秩为1，而的秩为2，故(A)项中的矩阵不能相似．因为相似矩阵的行列式的值相等，由于=8，故(C)项中的矩阵不相似．因为相似矩阵的特征值相同，所以它们的迹相等．由于的对角线元素之和为6，而的对角线元素之和为4，故(D)中的矩阵不相似．因此只能选(B)．事实上，都与对角矩阵相似，因而相似．故应选(B)．7、对于任意两个事件A和B，()．A、若AB≠，则A，B一定独立B、若AB=，则A，B有可能独立C、若AB=，则A，B一定独立D、若AB=，则A，B一定不独立标准答案：B知识点解析：由AB≠推不出P(AB)=P(A)P(B)，因此推不出事件A，B一定独立，排除(A)项；若AB=，则P(AB)=0，但P(A)P(B)是否为零不确定，因此(C)、(D)项也不成立；故正确选项为(B)．故应选(B)．8、设X1，X2，…，Xn，…为独立同分布序列，且X服从参数为的指数分布，则当n充分大时，Zn=Xi近似服从______．A、N(2，4)B、C、D、N(2n，4n)标准答案：B知识点解析：E(X)==2，D(X)==4，则当n充分大时，Xi近似服从N(2n，4n)，可者Xi近似服从故应选(B)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、曲线的斜渐近线方程为_______．标准答案：y=x+知识点解析：直接用斜渐近线方程公式进行计算即可．因为=1．故所求斜渐近线方程为y=x+故应填y=x+10、设函数u=f(x，y，z)有连续偏导数，且z=z(x，y)由方程xex-yey=zez所确定，则du=_____.标准答案：知识点解析：利用多元函数全微分公式与隐函数求导法即可得．设F(x，y，z)=xex-yey-zez，则F’x=(x+1)ex，F’y=-(y+1)ey，F’z=-(z+1)ez．11、定积分I=｜sinx｜.arctanexdx=______．标准答案：知识点解析：利用定积分的性质、换元积分法及恒等式：arctanex+arctane-x≡I=-sinx.arctanex.dx+sinx.arctanex.dx．对于积分-sinx.arctanexdxsint.arctane-t(-dt)=sint.arctane-t.dt=sinx.arctane-xdx代入上式，于是，故应填12、设Ω是由平面x+y+z=1与三个坐标平面所围成的空间区域，则∫∫∫Ω(x+2y+3z)dxdydz=_____.标准答案：知识点解析：在直角坐标系中将三重积分化为三次积分计算．利用轮换对称性，知，于是(x+2y+3z)dxdydz=xdxdydz=6∫01xdx∫01-xdy∫01-x-ydz=∫01xdx∫01-x(1-x-y)dy=3∫01(x-2x2+x3)dx故应填13、设A和B独立，P(A)=0．5，P(B)=0．6，则=_______．标准答案：知识点解析：利用条件概率公式、概率基本性质以及事件的独立性计算结果．故应填三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)14、设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0，证明存在一点ξ∈[a，b]，使∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx．标准答案：因为f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0，由最值定理，知f(x)在[a，b]上有最大值M和最小值m，即m≤f(x)≤M，故mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)．所以∫abmg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤∫abMg(x)dx，即m≤≤M．由介值定理知，存在ξ∈[a，b]，使即∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx．知识点解析：暂无解析15、设z=z(x，y)是由方程确定的隐函数，且具有连续的二阶导数．证明：标准答案：对方程两边分别对x，y求导，可得由此解得，所以，将上式分别对x，y求导，得①×x，②×y，相加得到知识点解析：利用隐函数求偏导数的方法是直接求偏导数；并注意在求导过程中将z看作因变量，x，y看作自变量，求出相应的偏导数并整理即可得所求的结论．16、已知曲线L的方程为，计算曲线积分I=∫L(y+z)dx+(z2-x2+y)dy+x2y2dz．标准答案：参数法．由L的方程：知若以θ为参数，则L的方程可表示为所以I=∫L(y+z)dx+(z2-x2+y)dy+x2y2dz=+cosθ).sinθ+2sinθ.cosθ-2cos2θ.sin3θ]dθ=-sinθ.cosθ+2cos2θ.sin3θ)dθ=(2sin2θ.cosθ-1)sinθ.cosθdθ知识点解析：本题可采用两种方法计算曲线积分：一种方法是直接将曲线积分化为定积分；另一种方法是利用斯托克斯公式将曲线积分转化为曲面积分进行计算．17、设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(a)=g(b)=1，在(a，b)内f(x)，g(x)可导，且g(x)+g’(x)≠0，f’(x)≠0．证明：标准答案：令φ(x)=exg(x)，则由题设可知f(x)，φ(x)在[a，b]上满足柯西中值定理，于是存在ξ∈(a，b)，使得又因为g(a)=g(b)=1，所以又令ψ(x)=ex，则f(x)，ψ(x)在[a，b]上满足柯西中值定理，于是存在η∈(a，b)，使得由(*)、(**)可得知识点解析：，将η和ξ均看作变量，则上式可写成辅助函数可令φ(x)=exg(x)，ψ(x)=ex．18、设方程组，有三个解：α=(1，0，0)T，α=(-1，2，0)T，α=(-1，1，1)T．记A为方程组的系数矩阵，求A．标准答案：(Ⅰ)将方程组(i)改写为令，得(i)的基础解系α1=(0，-1，1，0)T，α2=(-1，0，0，1)T，故方程组(i)的通解为k1α1+k2α2，k1，k2为常数．又将方程组(ii)改写为令，得(ii)的基础解系β1=(0，1，0，-2)T，β2=(-2，0，1，0)T，故方程组(ii)的通解为k1β1+k2β2，k1，k2为常数．(11)联立方程组(i)和(ii)，求得的通解即为公共解对系数矩阵A进行初等行变换，可得从而解得基础解系ξ=(-2，-1，1，2)T．所以方程组(i)和(ii)的公共解为kξ，k为常数．知识点解析：若两个方程组都给了一般表示式，则求公共解，只需联立求通解即可．19、设二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2)2+(x1-x3)2+(x3-x2)2，(Ⅰ)求二次型f的秩；(Ⅱ)求正交变换Q，使二次型f化为标准形．标准答案：(Ⅰ)实对称矩阵A的特征多项式为｜λE-A｜=(λ-1)2(λ-3)，故A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=3．于是，A与对角矩阵相似，又因为A与B相似，故B也与对角矩阵相似，因此，B的特征值为λ1=λ2=1，λ3=3，且R(E-B)=1，又因为x+5=λ1+λ2+λ3=5，解得x=0．由得y=-2，z=3．(Ⅱ)经计算可知，将实对称矩阵A化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为P1=，即P1-1AP1=把矩阵B化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为P2=，即P2-1BP2=取P=P1P2-1=有PAP=P2P1-1AP1P2-1=P2P2-1=B.知识点解析：将A，B分别与同一个对角阵相似，再由相似的传递性，可得A，B相似．20、设(X，Y)的概率密度为f(x，y)=(Ⅰ)问X，Y是否独立?(Ⅱ)求Z=2X+Y的密度fZ(z)；(Ⅲ)求P{Z＞3}．标准答案：(Ⅰ)X的概率密度为fX(x)=在X=x(0＜x＜1)的条件下，Y的条件概率密度为当0＜y＜x＜1时，随机变量X和Y的联合概率密度为f(x，y)=fX(x)fY｜X(y｜x)=在其他点处，有f(x，y)=0，即(Ⅱ)当0＜y＜1时，Y的概率密度为fY(y)=∫-∞+∞f(x，y)dx=∫y1dx=-lny；当y≤0或y≥1时，fY(y)=0．因此(Ⅲ)P{X+Y＞1}知识点解析：利用条件密度公式求出f(x，y)，再利用f(x，y)求边缘密度及概率．21、设(X，Y)的分布律为F(x，y)为(X，Y)的分布函数，若已知Cov(X，Y)=(Ⅰ)求a，b，c；(Ⅱ)求E(X2+Y2)．标准答案：(Ⅰ)设T=X1+X2，其中X1，X2分别表示两台仪器无故障时的工作时间．因为X～E(5)(i=1，2)且相互独立，故X1，X2的密度函数为则由卷积公式f(t)-∫-∞+∞fX(t-y)fY(y)dy，可得(Ⅱ)因为Xi～E(5)(i-1，2)且相互独立，由E(Xi)=，D(Xi)=(i=1，2)，可得E(T)=E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=D(T)=D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)=知识点解析：先求随机变量之和的分布，再利用指数分布求期望和方差．考研数学（数学一）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、函数f(x)=的可去间断点的个数为()．A、0B、1C、2D、3标准答案：C知识点解析：因为f(0—0)≠f(0+0)，所以x=0为跳跃间断点；因为f(2—0)=0，f(2+0)=一∞，所以x=2为第二类间断点；故f(x)有两个可去间断点，应选(C)．2、设f(x，y)=则f(x，y)在(0，0)处()．A、不连续B、连续但不可偏导C、可偏导但不可微D、可微标准答案：C知识点解析：当(x，y)≠(0，0)时，0≤|f(x，y)|=|x|.由夹逼定理得=0=f(0，0)，从而f(x，y)在(0，0)处连续，(A)不对；因为不存在，所以f(x，y)在(0，0)处不可微分，(D)不对，应选(C)．3、点M(2，1，一1)到直线L：的距离为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：显然M0(1，0，1)为直线L上一点，直线L的方向向量为s={1，一1，0}×{1，2，一1}={1，1，3}，4、设幂级数在x=一1处收敛，则级数A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、敛散性不能确定标准答案：A知识点解析：令3x+1=t，则级数当t=-2时收敛，故级数的收敛半径R≥2，因为1＜R，所以当t=1时，级数绝对收敛，即级数绝对收敛，应选(A)．5、设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是()．A、若A2～B2，则A～BB、矩阵A的秩与A的非零特征值的个数相等C、若A，B的特征值相同，则A～BD、若A～B，且A可相似对角化，则B可相似对角化标准答案：D知识点解析：由A～B得A，B的特征值相同，设为λ1，λ2，…，λn,且存在可逆矩阵P1，使得P1-1AP1=B，即A=P1BP1-1；因为A可相似对角化，所以存在可逆矩阵P2，使得P2-1AP2=即A=，于是有6、设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，…，γn)，令向量组(I)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βn；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn若向量组(1]I)线性相关，则()．A、向量组(I)与向量组(Ⅱ)都线性相关B、向量组(I)线性相关C、向量组(Ⅱ)线性相关D、向量组(I)与(Ⅱ)至少有一个线性相关标准答案：D知识点解析：当向量组(I)线性相关时，r(A)＜n，由r(AB)≤r(A)得r(AB)＜n，即向量组(Ⅲ)线性相关；同理，当向量组(Ⅱ)线性相关时，r(B)＜n，由r(AB)≤r(B)得r(AB)＜n，即向量组(Ⅲ)线性相关，应选(D)．7、设P(A|B)=P(B|A)=，则()．A、事件A，B独立且P(A+B)=B、事件A，B独立且P(A+B)=C、事件A，B不独立且P(A+B)=D、事件A，B不独立且P(A+B)=标准答案：C知识点解析：由P(A|B)=P(B|A)=得P(A)=P(B)，因为P(AB)≠P(A)P(B)，所以A，B不独立．故P(A+B)=P(A)+P(B)一P(AB)=选(C)．8、设连续型随机变量X的概率密度f(x)为偶函数，且F(x)=∫-∞xf(t)dt，则对任意常数a＞0，P{|X|＞a}为()．A、2—2F(a)B、1一F(a)C、2F(a)D、2F(a)一1标准答案：A知识点解析：P{|X|＞a}=1一P{|X|≤a}=1一P{一a≤X≤a}=1一F(a)+F(一a)，而F(一a)=∫-∞-af(x)dx∫+∞af(一t)(一dt)=∫a+∞f(t)dt=1一∫-∞af(t)dt=1一F(a)，所以P{|X|＞a}=2—2F(a)，选(A)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、设f(x)连续，且f(0)=0，f’(0)=2，则标准答案：知识点解析：∫0xf(x一t)dt∫x0f(u)(一du)=∫0xf(u)du，10、过点A(3，2，1)且平行于L1：的平面方程为_______．标准答案：x一2y一5z+6=0知识点解析：s1={1，一2，1}，s2={2，1，0}，则所求平面方程的法向量为n=s1×s2={一1，2，5}所求平面方程为π：一(x一3)+2(y一2)+5(z—1)=0，即π：x一2y一5z+6=0．11、设D：(x2+y2)2≤4(x2一y2)，则标准答案：知识点解析：12、平面π：Ax+By+z+D=0被柱面x2+4y2=4所截得的面积为_______．标准答案：知识点解析：平面π为z=-Ax—By—D，由于是平面π被柱面所截得的面积为13、设X1，X2，…，Xm与Y1，Y2，…，Yn分别为来自相互独立的标准正态总体X与Y的简单随机样本，令则D(Z)=_______．标准答案：2(m+n一2)知识点解析：D(Z)=2(m一1)+2(n一1)=2(m+n一2)．三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)14、设y=y(x)(x＞0)是微分方程2y“+y’一y=(4—6x)e-x的一个解，且(I)求y(x)，并求y=y(x)到x轴的最大距离．(Ⅱ)计算∫0+∞y(x)dx．标准答案：(I)2y"+y’一y=(4—6x)e-x的特征方程为2λ2+λ—1=0，特征值为λ1=一1，2y"+y’一y=0的通解为y=C1e-x+令2y"+y’一y=(4—6x)e-x的特解为y0=(ax2+bx)e-x，代入得a=1，b=0，原方程的通解为y=C1e-x+由得y(0)=0，y’(0)=0，代入通解得C1=C2=0，故y=x2e-x．由y’=(2x一x2)e-x=0得x=2，当x∈(0，2)时，y’＞0；当x＞2时，y’＜0，则x=2为y(x)的最大点，故最大距离为dmax=y(2)=4e-2．(Ⅱ)∫0+∞y(x)dx=∫0+∞x2e-xdx=Γ(3)=2!=2．知识点解析：暂无解析15、设f(x)在[0，1]上二阶连续可导，且f’(0)=f’(1)．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2∫01f(x)dx=f(0)+f(1)+标准答案：令F(x)=∫0xf(t)dt，则F(x)三阶连续可导且F’(x)=f(x)，由泰勒公式得因为f"(x)∈C[ξ1，ξ2]，所以f"(x)在[ξ1，ξ2]上取到最大值M和最小值m，知识点解析：暂无解析16、设y=f(x)=(I)讨论f(x)在x=0处的连续性．(Ⅱ)求f(x)的极值点与极值．标准答案：0，所以f(0+0)=e0=1，f(0)=f(0一0)=1，因为f(0一0)=f(0+0)=f(0)=1，所以f(x)在x=0处连续．(Ⅱ)当x＞0时，f’(x)=2x2x(1+lnx)，令f’(x)=0得当x＜0时，f’(x)=1．当x＜0时，f’(x)＞0；当0＜x＜时，f’(x)＜0；当x＞时，f’(x)＞0，故x=0为极大值点，极大值为f(0)=1；x=为极小值点，极小值为知识点解析：暂无解析17、求曲面z=x2+y2+1在点M(1，一1，3)的切平面与曲面z=x2+y2所围成区域的体积．标准答案：法向量为={2，一2，一1}，切平面为π：2(x一1)一2(y+1)一(z一3)=0，即π：2x一2y一z—1=0．由得(x一1)2+(y+1)2=1，令D：(x一1)2+(y+1)2≤1，故所求的体积为知识点解析：暂无解析18、计算其中∑为圆柱面x2+y2=1及平面z=x+2，z=0所围立体的表面．标准答案：∑1：z=x+2(x2+y2≤1)．在xOy坐标平面上投影区域为D1：x2+y2≤1．∑2：x2+y2=1(0≤z≤x+2)．在xOz坐标平面上投影区域为D2：{一1≤x≤1,0≤z≤x+2}．又∑2关于xOz坐标平面左右对称，被积函数关于y是偶函数，∑21(右半部分):知识点解析：暂无解析19、就a，b的不同取值情况讨论方程组何时无解、何时只有唯一解、何时有无数个解，在有无数个解时求其通解．标准答案：1)当a≠一1，a≠6时，方程组只有唯一解；2)当a=一1时，当a=一1，b≠36时，方程组无解；当a=一1，b=36时，方程组有无数个解，方程组的通解为3)当a=6，b为任意数值时，知识点解析：暂无解析20、设α=(1，1，一1)T是A=的一个特征向量．(I)确定参数a，b及特征向量α所对应的特征值；(Ⅱ)问A是否可以对角化?说明理由．标准答案：(I)由Aα=λα，得解得a=一3，b=0，λ=一1．(Ⅱ)由|λE—A|=(λ+1)3=0，得λ=一1是三重特征值．因为r(一E-A)=2，所以λ=一1对应的线性无关的特征向量只有一个，所以A不可以对角化．知识点解析：暂无解析21、设X1，X2，…，Xn，是来自总体X的简单随机样本，且总体X的密度函数为(I)求θ的矩估计量；(Ⅱ)求θ的极大似然估计量．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学（数学一）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)可导f(0)﹦0，f’(0)﹦2，F(x)﹦∫x0t2f(x3－t2)dt，g(x)﹦，则当x→0时，F(x)是g(x)的()A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但非等价无穷小标准答案：D知识点解析：因为故本题选D。本题考查无穷小量阶的比较。观察题干给出的两个函数，考生可以发现F(x)为变上限积分的形式，因此要先对其化简，然后再计算。2、设f(x)为可导函数，且f’(x)严格单调递增，则F(x)﹦在(a，b]内()A、有极大值B、有极小值C、单调递减D、单调递增标准答案：D知识点解析：由导数运算法则及拉格朗日中值定理得其中a＜ξ＜x≤b。因为f’(x)严格单调递增，所以f’(x)－f’(ξ)＞0，从而F’(x)＞0，即F(x)在(a，b]内单调递增。故本题选D。本题考查函数的性质。题干中已知f’(x)严格单调递增，要想得到关于F’(x)的表达式，就要对F(x)求导，求导之后利用已知条件和函数性质，即可得出最终答案。3、曲线r﹦aebθ的(a＞0，b＞0)从θ﹦0到θ﹦α(α＞0)的一段弧长为()3A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：用极坐标表示曲线的弧长公式，有故本题选A。本题考查定积分的几何应用。平面曲线由极坐标方程r﹦r(θ)(α≤θ≤β)给出，弧长为s﹦，其中r﹦r(θ)在[α，β]上有连续的导数。4、与直线L1：都平行，且过原点的平面方程为()A、x﹢5y﹢7z﹦0B、x－5y﹢7z﹦0C、x﹢5y－7z－13﹦0D、－x﹢5y﹢7z－13﹦0标准答案：A知识点解析：由题意可得直线L1的方向向量为(2，1，－1)，直线L1的方向向量为(1，－3，2)，平面的法向量n垂直于两个方向向量，则因此过原点的平面方程为x﹢5y﹢7z﹦0。故本题选A。本题考查平面方程的求解。所求平面方程的法向量垂直于两条直线的方向向量，因此求出两条直线的方向向量之后，对它们做向量积可得平面的法向量，从而得出平面方程。5、下列矩阵中，A和B相似的是()5A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：A项，r(A)≠r(B)；B项，tr(A)≠tr(B)；C项，｜A｜≠｜B｜。由矩阵相似的必要条件可知，A、B、C三项错误。由排除法可知，本题选D。实际上，对于D项，r(A)﹦3，特征值为1(三重)，r(A－E)﹦2，r(B)﹦3，特征值为1(三重)，r(B－E)﹦2，所以矩阵A和B相似。本题考查相似矩阵的性质。矩阵A和B相似的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得P－1AP﹦B。进而可得矩阵A和B相似的必要条件：①r(A)﹦r(B)；②｜A｜﹦｜B｜；③λA﹦λB；④tr(A)﹦tr(B)；⑤A和B的特征多项式相同。6、设二次型f(x1，x2，x3)﹦(x1﹢x2－2x3)2﹢[－3x1﹢(a－1)x2﹢7x3]2﹢(x1﹢ax3)2正定，则参数a的取值范围是()A、a﹦－2B、a﹦－3C、a＞0D、a为任意值标准答案：D知识点解析：方法一：f(x1，x2，x3)是平方和的形式，所以f(x1，x2，x3)≥0。上述方程组的系数行列式为﹦(a﹢2)2﹢1＞0，所以a取任意值，上述方程组都有唯一零解，即对任意的x≠0，都有f(x1，x2，x3)＞0，f正定。故本题选D。方法二：f(x1，x2，x3)﹦[x1﹢x2－2x3，－3x1﹢(a－1)x2﹢7x3，x1﹢ax3]﹦(x1，x2，x3)﹦xTBTBx﹦xTAx，其中A﹦BTB且AT﹦A。｜B｜﹦(a﹢2)2﹢1＞0，其中a为任意值，所以对任意的a，矩阵B均可逆，则A﹦BTTB正定，f(x1，x2，x3)是正定二次型。故本题选D。本题考查正定二次型的判定。若要判断二次型正定，则应给出证明，常用的方法为二次型正定的定义或充分必要条件。二次型正定的定义：设有二次型f(x)﹦xTAx，如果对于任何x≠O，都有f(x)＞0，则称f为正定二次型。二次型f(x)﹦xTAx正定的充分必要条件：①A的正惯性指数为n，其中n为向量x的维数；②A的特征值均大于0；③A与单位矩阵E合同；④存在可逆矩阵P，使得A﹦PTP；⑤的所有顺序主子式全大于0。7、设A，B，C是三个随机事件，P(ABC)﹦0，且0＜P(C)＜1，则一定有()A、P(A﹢B﹢C)﹦P(A)﹢P(B)﹢P(C)B、P(ABC)﹦P(A)P(B)P(C)C、P[(A﹢B)｜C]﹦P(A｜C)﹢P(B｜C)D、P[(A﹢B)｜C]﹦P(A｜C)﹢P(B｜C)标准答案：C知识点解析：选项A：P(A﹢B﹢C)﹦P(A)﹢P(B)﹢P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)﹢P(ABC)，由于P(AB)，P(BC)，P(AC)的值未知，所以A选项不一定成立。选项B：因为P(ABC)﹦0，且0＜P(C)＜1，所以若P(ABC)﹦P(A)P(B)P(C)成立，则P(A)，P(B)的值至少有一个为零，因此B选项不一定成立。选项C：因为P[(A﹢B)C]﹦P(AC﹢BC)﹦P(AC)﹢P(BC)－P(ABC)﹦P(AC)﹢P(BC)，所以因此C选项成立。选项D：因为由于P(AB)的值未知，所以D选项不一定成立。综上所述，本题选C。本题考查三个随机事件的概率关系。考生可依据三个随机事件的概率性质逐一判断各个选项的正误。8、设X1，X2，…，XN和Y1，Y2，…，YN是分别取自总体均为正态分布N(μ，σ2)的两个相互独立的简单随机样本，记它们的样本方差分别为S12和S22，则统计量T﹦(S12﹢S22)的方差D(T)﹦()A、2(n－1)σ2B、2nσ2C、4(n－1)σ2D、4nσ2标准答案：C知识点解析：根据题意可得且二者相互独立，所以故本题选C。本题考查统计量方差的计算。设X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是来自总体的简单随机样本，样本均值为，样本方差为S2，则有如下结论：二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设f(x)为可导的偶函数，且满足，则曲线y﹦f(x)在点(－1，f(－1))的切线方程为______。标准答案：y﹦4(x﹢1)知识点解析：因为因为f(x)为偶函数，所以f(－1)﹦0。所以f’(1)﹦－4。因为f(x)为偶函数，所以f’(x)为奇函数，则f’(1)﹦－f’(－1)﹦－4，即f’－1(－1)﹦4，因此所求切线方程为y﹦4(x﹢1)。本题考查切线方程的计算。求某点的切线方程需要确定切线的斜率，而斜率等于该点的导数值。本题涉及的知识点有：同阶无穷小的定义，导数的极限形式，已知函数的奇偶性判断导函数的奇偶性。10、函数f(x，y)﹦ax2﹢bxy2﹢2y在点(1，－1)取得极值，则ab﹦______。标准答案：知识点解析：函数f(x，y)﹦ax2﹢bxy2﹢2y分别对x，y求偏导，得因为函数f(x，y)﹦ax2﹢bxy2﹢2y，在点(1，－1)取得极值，所以本题考查多元函数求极值。设函数z﹦f(x，y)在点(x0，y0)取得极值，则fx’(x0，y0)﹦0，fy’(x0，y0)﹦0。11、∫01dx∫0xdy﹦______。标准答案：1／4知识点解析：本题先对y积分较困难，先对x积分可以应用凑微分法，因此先交换积分次序得求解上述积分得本题考查累次积分的计算。观察被积函数可知，先对y积分较困难，因此可以先交换积分次序，然后再进行计算。12、函数f(x，y，z)﹦x2﹢y2﹢z2沿球面x2﹢y2﹢z2﹦2在点(1，－1，0)的外法线方向的方向导数﹦______。标准答案：知识点解析：球面x2﹢y2﹢z2﹦2在点(1，－1，0)的外法线向量为n﹦(1，－1，0)，其方向余弦为本题考查方向导数的定义及其计算。13、设α1﹦(2，1，1)T，α2﹦(－1，2，7)T，α3﹦(1，－1，－4)T，若β1﹦(1，2，t﹢1)T可以由α1，α2，α3线性表示，但是β2﹦(t，1，O)T不可以由α1，α2，α3线性表示，则t﹦______。标准答案：4知识点解析：根据题意，β1可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x1α1﹢x2α2﹢x3α3﹦β1有解；β2不可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x1α1﹢x2α2﹢x3α3﹦β2无解。由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并在一起进行矩阵的初等变换，即由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并在一起进行矩阵的初等变换，即所以当t﹦4时，方程组x1α1﹢x2α2﹢x3α3﹦β1有解，方程组x1α1﹢x2α2﹢x3α3﹦β2无解，故t﹦4。本题考查向量组的线性相关性及线性方程组解的判断。向量β1可以由向量组α1，α2，α3线性表示的充分必要条件为非齐次线性方程组x1α1﹢x2α2﹢x3α3﹦β1有解；同理，若不能线性表示，则对应的非齐次线性方程组无解。同时，非齐次线性方程组有解的充分必要条件为系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩；无解的充分必要条件为系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩。14、设随机变量X1，X2，X3相互独立，且X1～N(1，4)，X2～N(2，9)，X3～N(3，16)，则E[X1(X1﹢X2﹢X3)]﹦______。标准答案：10知识点解析：已知X1～N(1，4)，X2～N(2，9)，X3～N(3，16)，则E(X1)﹦1，E(X2)﹦2，E(X3)﹦3，D(X1)﹦4，D(X2)﹦9，D(X3)﹦16。E[X1(X1﹢X2﹢X3)]﹦E(X12)﹢E(X1)E(X2)﹢E(X1)E(X3)﹦D(X1)﹢[E(X1)]2﹢E(X1)E(X2)﹢E(X1)E(X3)﹦10。本题考查相互独立随机变量的性质及正态分布的期望和方差公式。将所求期望的随机变量展开，利用独立性分解成多个期望的和，结合公式D(X)﹦E(X2)－[E(X)]2及正态分布的期望和方差求得最终结果。三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)15、设f(x)连续，且∫0xtf(x﹢t)﹦，已知f(2)﹦1。求积分∫12f(x)dx的值。标准答案：令u﹦x﹢t，则t﹦u－x，dt﹦du，根据换元积分法，∫1xtf(x﹢t)dt﹦∫x2x(u－x)f(u)du﹦∫x2xuf(u)du－x∫x2xf(u)du﹦在等式∫x2xuf(u)du－x∫x2xf(u)du﹦两端同时对x求导可得2xf(2x)×2－xf(x)－∫x2xf(u)du－x[2f(2x)－f(x)]﹦移项合并得∫x2xf(u)du﹦2xf(2x)﹢在上式中，令x﹦1，结合f(2)﹦1，可得∫12f(u)du﹦2×1﹢(2﹢2)﹦6。本题考查换元法化简积分，其中涉及变限积分求导。首先容易观察到令u﹦x﹢t时，则已知积分的上、下限变为x和2x。结合变限积分化简已知积分，将其变形为关于x的函数∫x2xf(t)dt的表达式，令x﹦1，即可得出最终积分。知识点解析：暂无解析16、求幂级数的收敛域及和函数，并求的和。标准答案：当｜x｜＜1时，幂级数收敛；当｜x｜＞1时，幂级数发散；当x﹦±1时，幂级数收敛，因此幂级数的收敛域为[－1，1]。因此有φ(0)﹦0，S(0)﹦1。本题考查幂级数求和及幂级数的性质。本题求收敛域时，首先利用比值判别法求出幂级数的收敛半径，再单独判断端点处级数的敛散性。幂级数的和函数利用幂级数的性质，即对原幂级数逐项求导或逐项求积分不改变级数的敛散性。知识点解析：暂无解析17、设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导且f(a)≠f(b)，试证明存在η，ξ∈(a，b)，使得标准答案：f(x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，因此由拉格朗日中值定理知令g(x)﹦x3，由柯西中值定理知结合已经得出的结论f(b)－f(a)﹦f’(η)(b－a)，有本题考查拉格朗日中值定理和柯西中值定理。首先根据拉