2020-2021学年新教材高中数学导数及其应用6.1导数6.1.3基本初等函数的导数课时素养检测含解析

十五基本初等函数的导数(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.曲线y=xn在x=2处的导数为12,则n等于 ()A.1B.2【解析】选C.y=xn求导,得y′=nxn-1,令n·2n-1=12,解得n=3.2.下列命题中正确的是 ()①若f′(x)=cosx,则f(x)=sinx;②若f′(x)=0,则f(x)=1;③若f(x)=sinx,则f′(x)=cosx;④若f(x)=QUOTE,则f′(x)=QUOTE.A.① B.①② C.③ D.①②③④【解析】选C.①当f(x)=sinx+1时,f′(x)=cosx;②当f(x)=2时,f′(x)=0;④若f(x)=QUOTE,则f′(x)=-QUOTE.3.若f(x)=sinx,f′(α)=QUOTE,则下列α的值中满足条件的是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTEπ D.QUOTEπ【解析】选A.因为f(x)=sinx,所以f′(x)=cosx.又因为f′(α)=cosα=QUOTE,所以α=2kπ±QUOTE(k∈Z).当k=0时,α=QUOTE.4.函数y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为 ()A.QUOTEe222D.QUOTE【解析】选D.因为当x=2时,y′=e2,所以切线方程为y-e2=e2(x-2).当x=0时,y=-e2,QUOTE×|-e2|×1=QUOTE.5.对任意的x,有f′(x)=4x3,f(1)=-1,则此函数解析式可以为 ()A.f(x)=x3 B.f(x)=x4-2C.f(x)=x3+1 D.f(x)=x4-1【解析】′(x)=4x3知f(x)中含有x4项,所以A,C不正确,然后将x=1代入B,D中验证可得B正确.6.(多选题)若f(x)=x2,g(x)=x3,则能满足g′(x)-f′(x)>0的区间有 ()A.(-∞,0) B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】′(x)=3x2,f′(x)=2x,由g′(x)-f′(x)>0,得3x2-2x>0,得x>QUOTE或x<0.二、填空题(每小题5分,共10分)7.曲线y=lnx在点M(e,1)处的切线的斜率是________;切线方程为________.

【解析】由题得f′(x)=QUOTE,所以切线的斜率为QUOTE,所以切线的方程为y-1=QUOTE(x-e),即x-ey=0.答案:QUOTEx-ey=08.若质点P的运动方程是s=t2,则质点P在t=8时的瞬时速度为________.

【解析】由s=t2得s′=2t,所以v=2t.所以t=8时,v=16.答案:16三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知f(x)=lnx,g(x)=x2,求适合f′(x)+1=g′(x)的x值.【解析】因为f′(x)=QUOTE,g′(x)=2x,又f′(x)+1=g′(x),所以QUOTE+1-2x=0,2x2-x-1=0,得x=1或x=-QUOTE(舍),所以x的值为1.10.已知曲线y=5QUOTE,求:(1)这条曲线与直线y=2x-4平行的切线方程.(2)过点P(0,5)且与曲线相切的切线方程.【解析】(1)设切点为(x0,y0),由y=5QUOTE,得y′=QUOTE,所以切线斜率为QUOTE,因为切线与直线y=2x-4平行,所以QUOTE=2.所以x0=QUOTE,所以y0=QUOTE.则所求切线方程为y-QUOTE=2QUOTE,即16x-8y+25=0.(2)因为点P(0,5)不在曲线y=5QUOTE上,设切点坐标为M(t,u),则切线斜率为QUOTE,又切线斜率为QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以2t-2QUOTE=t,又t≠0,解得t=4.所以切点为M(4,10),斜率为QUOTE.所以切线方程为y-10=QUOTE(x-4),即5x-4y+20=0.【补偿训练】过已知直线x-y-4=0上的任意一点P作曲线y=x2的切线,切点分别为A,B,求证:直线AB过定点.【证明】因为点P是已知直线x-y-4=0上的任意一点,所以设P(m,m-4),又设A(x1,y1),B(x2,y2),因为y=x2,所以y′=2x,所以切线AP的方程为y-y1=2x1(x-x1),即y+y1=2x1x,同理可得切线BP的方程为y+y2=2x2x,因为AP,BP都经过点P,所以m-4+y1=2x1m,m-4+y2=2x2m,这两个式子说明(x1,y1),(x2,y2)都是方程m-4+y=2xm的解,也就是直线m-4+y=2xm经过两个点A(x1,y1),B(x2,y2),所以直线AB的方程为m-4+y=2xm,即m(1-2x)+(-4+y)=0经过定点QUOTE.所以直线AB过定点QUOTE.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.满足fQUOTE=f′QUOTE的函数fQUOTE可以是 ()QUOTE=log1920 QUOTE=QUOTEQUOTE=x20 QUOTE=ex【解析】选D.利用求导公式可得只有D满足fQUOTE=f′QUOTE.2.已知函数f1(x)=sinx,fn+1(x)=fn′(x),则f2021QUOTE= ()QUOTE QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】1(x)=sinx,fn+1(x)=fn′(x),故f2(x)=cosx,f3(x)=-sinx,f4(x)=-cosx,f5(x)=sinx,周期为4,故f2021(x)=f1(x)=sinx,f2021QUOTE=sinQUOTE=QUOTE.3.正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE∪QUOTE D.QUOTE∪QUOTE【解析】选C.设P(x0,y0),因为y′QUOTE=cosx0,所以直线l的斜率k=cosx0∈[-1,1].又直线l的倾斜角α∈[0,π),所以0≤α≤QUOTE或QUOTE≤α<π.4.已知直线y=3x+1与曲线y=ax3+3相切,则a的值为 () B.±1 【解析】选A.设切点为(x0,y0),则y0=3x0+1,且y0=aQUOTE+3,所以3x0+1=aQUOTE+3…①.对y=ax3+3求导得y′=3ax2,则3aQUOTE=3,aQUOTE=1…②,由①②可得x0=1,所以a=1.二、填空题(每小题5分,共20分)5.曲线y=QUOTE在Q(16,8)处的切线的斜率是________.

【解析】因为y=QUOTE,所以y′=QUOTE,所以在点Q(16,8)处的切线的斜率为QUOTE.答案:QUOTE6.在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是________.

【解析】因为y=lnx,所以y′=QUOTE(x>0),设A(x0,lnx0),则在点A处的切线方程为y-lnx0=QUOTE(x-x0),化简为y=QUOTEx+lnx0-1,因为切线过点(-e,-1),所以-1=QUOTE(-e)+lnx0-1,所以lnx0-QUOTE=0,所以x0=e时方程成立,又因为y=lnx-QUOTE递增(x>0),所以方程有唯一解x0=e,A(e,1).答案:(e,1)7.已知直线y=kx是曲线y=3x的切线,则k的值为________.

【解析】设切点为(x0,y0).因为y′=3xln3,所以k=QUOTEln3,所以y=(QUOTEln3)·x,又因为(x0,y0)在曲线y=3x上,所以QUOTEln3·x0=QUOTE,所以x0=QUOTE=log3e.所以k=eln3.答案:eln38.已知函数y=f(x)的图像在M(1,f(1))处的切线方程是y=QUOTEx+2,则f(1)+f′(1)=________.

【解析】依题意知,f(1)=QUOTE×1+2=QUOTE,f′(1)=QUOTE,所以f(1)+f′(1)=QUOTE+QUOTE=3.答案:3三、解答题(每小题10分,共30分)9.若曲线y=QUOTE在点(a,QUOTE)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,求实数a的值.【解析】因为y′=-QUOTE·QUOTE,所以y′|x=a=-QUOTE·QUOTE,所以在点(a,QUOTE)处的切线方程为y-QUOTE=-QUOTE·QUOTE·(x-a).令x=0,得y=QUOTE,令y=0,得x=3a,所以QUOTE×3a×QUOTE=18,解得a=64.10.过点P(-1,0)作直线l与曲线C1:y=QUOTE和曲线C2:y=x2+x+c都相切,求c的值.【解析】设直线l与曲线C1:y=QUOTE相切于点M(x0,y0),则QUOTE=QUOTE,又y0=QUOTE,解得x0=1,y0=1,所以切点为(1,1),切线l的方程为y=QUOTE(x+1),因为直线l与曲线C2:y=x2+x+c相切,所以由方程组QUOTE消元整理得x2+QUOTEx+c-QUOTE=0,所以判别式Δ=QUOTE-4QUOTE=0,所以c=QUOTE.11.设抛物线y=x2与直线y=x+a(a是常数)有两个不同的交点,记抛物线在两交点处切线分别为l1,l2,求a值变化时l1与l2交点的轨迹.【解析】将y=x+a代入y=x2整理得x2-x-a=0,①因为直线与