考研数学（数学三）模拟试卷7（共136题）

考研数学（数学三）模拟试卷7（共6套）（共136题）考研数学（数学三）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、曲线y＝＋ln(1＋eχ)的渐近线的条数为()．A、1B、2C、3D、4标准答案：D知识点解析：当χ＝0，χ＝－1时，函数无定义，所以χ＝0，χ＝1分别为该曲线的垂直渐近线．由＝0．所以沿χ→∞方向曲线有水平渐近线y＝0．所以沿χ→＋∞方向有斜渐近线y＝χ．因沿χ→∞方向有水平渐近线，故没有斜渐近线，所以共有4条渐近线．故应诜D．2、设f(χ)在χ＝χ0的某领域内存在二阶导数，且＝a＞0，则存在点(χ0，f(χ0))的左、右侧邻域U－与U＋，使得()．A、曲线y＝f(χ)在U－内是凹的，在U＋内是凸的B、曲线y＝f(χ)在U－内是凸的，在U＋内是凹的C、曲线y＝f(χ)在U－与U＋内都是凹的D、曲线y＝f(χ)在U－与U＋内都是凸的标准答案：B知识点解析：由极限的保号性，因为＝a＞0，知存在χ0的去心邻域(χ0)，使当χ∈(χ0)时，＞0，于是，当χ∈(χ0)且χ＜χ0时，f〞(χ)＜0，曲线y＝f(χ)是凸的．当χ∈(χ0)且χ＞χ0时，f〞(χ)＞0，曲线y＝f(χ)是凹的．故应选B．3、设χ＝rcosθ，y＝rsinθ，则极坐标系(r，θ)中的累次积分f(rcosθ，rsinθ)dr可化为直角坐标系(χ，y)中的累次积分()．A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：由题意知其中积分区域D在极坐标系下的不等式形式为D＝在直角坐标系下的形式为(如图3—1所示)：故应选B．4、设p(χ)，q(χ)，f(χ)均是χ的连续函数，y1(χ)，y2(χ)，y3(χ)是y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝f(χ)的3个线性无关的解，C1与C2是两个任意常数，则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是()．A、C1y1＋(C2＋C1)y2＋(1－C2)y3B、(C1－C2)y1＋(C2－1)y2＋(1－C1)y3C、(C1＋C2)y1＋(C1－C2)y2＋(1－C1)y3D、C1y1＋C2y2＋(1－C1－C2)y3标准答案：B知识点解析：根据题意及线性微分方程解的性质与结构，只要判定选项A、B、C、D中的组合系数即可．若组合系数中有两个任意常数，且组合系数之和为零的表示式即为对应的齐次方程的通解，选项B即满足这两条，是对应的齐次方程的通解．故应选B．5、设n维列向量α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量尼不可由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k，必有()．A、α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关B、α1，α2，α3，kβ1＋β2线性相关C、α1，α2，α3，β1＋kβ2线性无关D、α1，α2，α3，β1＋kβ2线性相关标准答案：A知识点解析：设有一组数字λ1，λ2，λ3，λ4，满足λ1α1＋λ2α2＋λ3α3＋λ4(kβ1＋β2)＝0，若λ4＝0，则有条件λ1＝λ2＝λ3＝0，从而推出α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关．若λ4≠0，则kβ1＋β2可由α1，α2，α3线性表示，而β1可由α1，α2，α3线性表示，故β2也可由α1，α2，α3线性表示，矛盾，所以，λ4＝0，从而A正确．对于其余三个选项，也可用排除法．当k＝0时，可排除B、C；当k＝1时，可排除D．故应选A．6、下列各组矩阵相似的是()．A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：因为相似矩阵的秩相等，由的秩为1，而的秩为2，故A中的矩阵不能相似．因为相似矩阵的行列式的值相等，由于＝4，而＝8，故C中的矩阵不相似．因为相似矩阵的特征值相同，所以它们的迹相等．由于的对角线元素之和为6，而的对角线元素之和为4，故D中的矩阵不相似．因此只能选B．事实都与对角矩阵相似，因而相似．故应选B．7、设A，B为随机事件，已知P(A)＝，P(B｜A)＝，P(A｜B)＝，则P(A∪B)＝()．A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：P(AB)＝P(A)P(B｜A)＝由P(A｜B)＝，可得P(B)＝．则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝．故应选D．8、设X1，X2，…，Xn，…为独立同分布序列，且Xi服从参数为的指数分布，则当n充分大时，Zn＝近似服从_______．A、N(2，4)B、N(2，)C、N()D、N(2n，4n)标准答案：B知识点解析：E(Xi)＝＝2，D(Xi)＝＝4，则当n充分大时，Xi近似服从N(2n，4n)，或者Xi近似服从N(2，)．故应选B．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设f(χ)在χ＝0处连续，且＝2，则曲线y＝f(χ)在(0，f(0))处的切线方程为_______．标准答案：χ－1知识点解析：由极限和无穷小的关系知其中α(χ)＝0又f(χ)在χ＝0处连续，所以f(0)＝f(χ)＝－1．于是f′(0)＝则曲线过(0，f(0))点的切线方程为y＋1＝(χ＝0)，即y＝χ－1．故应填y＝χ－1．10、＝_______．标准答案：知识点解析：根据sinχ的周期性知故应填．11、设函数z＝f(χ，y)(χy≠0)满足f(χy，)＝y2(χ2－1)，则dz＝_______．标准答案：(2χ－y)dχ－χdy知识点解析：令χy＝μ，＝v，则χ2＝，y2＝μv，于是有f(μ，v)＝μv(－1)＝μ2－μv所以，f(χ，y)＝χ2－χy．故dz＝(2χ－y)dχ－χdy．故应填(2χ－y)dχ－χdy．12、设f(u)为连续函数，且∫0χtf(2χ－t)dt＝ln(1＋χ2)，f(1)＝1，则∫12f(χ)dχ＝_______．标准答案：知识点解析：令2χ－t＝u，则∫0χtf(2χ－t)dt－∫2χχ(2χ－u)f(u)du＝∫χ2χ(2χ－u)f(u)du＝2χ∫χ2χf(u)du－∫χ2χuf(u)du．原方程化为2χ∫χ2χf(u)du＝∫χ2χuf(u)du＝ln(1＋χ2)．两边对X求导得2∫χ2χf(u)du－χf(χ)＝，令χ＝1，得2∫12f(u)du－f(1)＝，而f(1)＝1，所以∫12f(u)du＝．故应填．13、设A为3阶方阵，如果A-1的特征值是1，2，3，则｜A｜的代数余子式A11＋A22＋A33＝_______．标准答案：1知识点解析：因为A-1的特征值为1，2，3，所以｜A｜-1＝1×2×3＝6，从而｜A｜＝．又因为AA*＝｜A｜E＝E，所以A*＝A-1．故A*的特征值为所以A11＋A22＋A33＝＝1．故应填1．14、设A和B独立，P(A)＝0．5，P(B)＝0．6，则P(｜A∪B)＝_______．标准答案：知识点解析：故应填．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、求标准答案：知识点解析：暂无解析16、设f(χ)在[0，1]上连续，且满足f(0)＝1，f′(χ)＝f(χ)＋aχ－a，求f(χ)，并求a的值，使曲线y＝f(χ)与χ＝0，yχ0，χ＝1所围平面图形绕χ轴旋转一周所得体积最小．标准答案：方程f(χ)＝f(χ)＋aχ－a可以改写为f′(χ)－f(χ)＝aχ－a．则f(χ)＝e∫1dχ[∫e－∫1dχ(aχ－a)dχ＋C]＝eχ[∫e－χ(aχ－a)dχ＋C]＝eχ(－aχe－χ＋C)＝Ceχ－aχ．由f(0)＝1得C＝1，所以f(χ)＝eχ－aχ．旋转体的体积为Vχ(a)＝π∫01(eχ－aχ)2dχ＝π∫01(e2χ－2aχeχ＋a2χ2)dχ＝π[a2－2a＋(e2－1)]．V′χ＝π(a－2)＝0，解得驻点a＝3．又V〞χ(3)＝＞0，知当a＝3时，Vχ取得最小值．即a＝3时，所求旋转体体积最小，此时f(χ)＝eχ－3χ．知识点解析：暂无解析17、已知函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)－0，f(1)＝1．证明：(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)＝1－ξ；(Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f′(η)f′(ζ)＝1．标准答案：(Ⅰ)令g(χ)＝f(χ)＋χ－1，则g(χ)在[0，1]上连续，且g(0)＝－1＜0，g(1)＝1＞0，由零点定理知，存在ξ∈(0，1)，使得g(ξ)＝0，即f(ξ)＋ξ－1＝0，从而有f(ξ)＝1－ξ．(Ⅱ)因f(χ)在[0，ξ]，[ξ，1]上连续，在(0，ξ)，(ξ，1)上可导，f(χ)在[0，ξ]和[ξ，1]上均满足拉格朗日中值定理的条件，应用拉格朗日中值定理可知，存在η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使得则f′(η)f′(ζ)＝＝1．知识点解析：暂无解析18、设z＝f(χ，y)在点(1，2)处存在连续的一阶偏导数，且f(1，2)＝2，f′χ(1，2)＝3，f′y(1，2)＝4，φ(χ)＝f(χ，f(χ，2χ))．求标准答案：因为＝3φ2(χ)φ′(χ)，而φ′(χ)＝{f(χ，f(χ，2χ))}′＝f′1(χ，f(χ，2χ))＋f′2(χ，f(χ，2χ)).[f(χ，2χ)]′＝f′1(χ，f(χ，2χ))＋f′2(χ，f(χ，2χ)).[f′1(χ，2χ)＋2f′2(χ，2χ)]′．则φ′(1)＝f′1(1，f(1，2))＋f′2(1，f(1，2)).[f′1(1，2)＋2f′2(1，2)]＝f′1(1，2)＋f′2(1，2)×[f′1(1，2)＋2f′2(1，2)]＝3＋4×(3＋2×4)＝47．所以，＝3φ2(1)φ′(1)＝3[f(1，f(1，2))]2×47＝141×[f(1，2)]2＝141×4＝564．知识点解析：暂无解析19、设f(χ)在[0，1]上连续，证明：∫0πχf(sinχ)dχ＝πf(sinχ)dχ，并由此计算标准答案：∫0πχf(sinχ)dχ∫π0(π－μ)f(sinμ)(－dμ)＝∫0π(π－μ)f(sinμ)dμ＝π∫0πf(sinχ)dχ－∫0πχf(sinχ)dχ，即2∫0πχf(sinχ)dχ＝π∫0πf(sinχ)dχ，从而利用上述积分等式，由于，具有上述χf(sinχ)的形式．故有知识点解析：暂无解析20、已知A＝(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Aχ＝b的通解为(1，1，1，1)T＋k1(1，0，2，1)T＋k2(2，1，1，－1)T．(Ⅰ)令B＝(α1，α2，α3)，求Bχ＝b的通解；(Ⅱ)令C＝(α1，α2，α3，α4，b)，求Cχ＝b的通解．标准答案：(Ⅰ)先求Bχ＝0的基础解系，为此，首先要找出矩阵B的秩．由题目的已知信息可知：Aχ＝0的基础解系中含有两个向量，故4－R(A)＝2，即R(A)＝2，而由(1，0，2，1)T是Aχ＝0的解，可得α1＋2α3＋α4＝0，故α4＝－α1－2α3．可知α4能由α1，α2，α3线性表示，故R(α1，α2，α3，α4)＝R(α1，α2，α3)＝R(B)，即R(B)＝2．因此，Bχ＝0的基础解系中仅含一个向量，求出Bχ＝0的任一非零解即为其基础解系．由于(1，0，2，1)T，(2，1，1，－1)T均为Aχ＝0的解，故它们的和(3，1，3，0)T也为Aχ＝0的解，可知3α1＋α2＋3α3＝0，因此(3，1，3)T为Bχ＝0的解，也即(3，1，3)T为Bχ＝0的基础解系．最后，再求Bχ＝b的任何一个特解即可．只需使得Aχ＝b的通解中α1的系数为0即可．为此，令(1，1，1，1)T＋k1(1，0，2，1)T＋k2(2，1，1，－1)T中k1＝0，k2＝1，得(3，2，2，0)T是Aχ＝b的一个解，故(3，2，2)T是Bχ＝b的一个解．可知Bχ＝b的通解为(3，2，2)T＋k(3，1，3)T，k∈R．(Ⅱ)与(Ⅰ)类似，先求Cχ＝0的基础解系．由于C即为线性方程组Aχ＝b的增广矩阵，故R(C)＝R(A)＝2，可知Cχ＝0的基础解系中含有5－2＝3个线性无关的解向量，为此，需要找出Cχ＝0的三个线性无关的解．由于(1，0，2，1)T，(2，1，1，－1)T均为Aχ＝0的解，可知(1，0，2，1，0)T，(2，1，1－1，0)T均为Cχ＝0的解．而(1，1，1，1)T为Aχ＝b的解，可知α1＋α2＋α3＋α4＝b，也即α1＋α2＋α3＋α4－b＝0，故(1，1，1，1，－1)T也为Cχ＝0的解．这样，我们就找到了Cχ＝0的三个解：(1，0，2，1，0)T，(2，1，1，－1，0)T，(1，1，l，1，－1)T，容易验证它们是线性无关的，故它们即为Cχ＝0的基础解系．最后，易知(0，0，0，0，1)T为Cχ＝b的解，故Cχ＝b的通解为(0，0，0．0，1)T＋k1(1，0，2，1，0)T＋k2(2，1，1，－1，0)T＋k3(1，1，1．1，－1)T，ki∈R，i＝1，2，3．知识点解析：暂无解析21、设矩阵试判断A和B是否相似，若相似，求出可逆矩阵X，使得X-1AX＝B．标准答案：由｜λE－A｜＝＝(λ－2)(λ－1)(λ＋1)，得A的特征值为2，1，－1．因此A相似于进而求得对应于2，1，－1的特征向量分别为令P＝(η1，η2，η3)，则有P-1AP＝又因为B是下三角矩阵，所以特征值为2，1，－1．B也相似于进而求得对应2，1，－1的特征向量分别为令Q＝(ξ1，ξ2，ξ3)，则Q-1BQ＝因此P-1AP＝Q-1BQ，所以B＝QP-1APQ-1＝(PQ-1)-1A(PQ-1)，令X＝PQ-1＝，X即为所求．知识点解析：暂无解析22、设二维随机变量(X，Y)的概率分布为其中a，b，c为常数，且X的数学期望E(X)＝－0．2，P{Y≤0｜X≤0}＝0．5，记Z＝X＋Y．求：(Ⅰ)a，b，c的值；(Ⅱ)Z的概率分布；(Ⅲ)P{X＝Z}．标准答案：(Ⅰ)由概率分布的性质知a＋0．2＋0．1＋b＋0．2＋0．1＋c＝1，即a＋b＋c＝0．4(*)由(X，Y)的概率分布可写出X的边缘概率分布为故E(X)＝－(a＋0．2)＋(c＋0．1)＝0．2，即a－c＝0．1(**)又因0．5＝P{Y≤0｜X≤0}＝即a＋b＝0．3(***)将(*)，(**)，(***)联立，解方程组得a＝0．2，b＝0．1，c＝0．1．(Ⅱ)Z的可能取值为－2，－1，0，1，2，则P{Z＝－2}＝P{X＝－1，Y＝－1}＝0．2，P{Z＝－1}＝P{X＝－1，Y＝0}＋P{X＝0，Y＝－1}＝0．1，P{Z＝0}＝P{X＝－1，Y＝1}＋P{X＝0，Y＝0}＋P{X＝1，Y＝－1}＝0．3，P{Z＝1}＝P{X＝1，Y＝0}＋P{X＝0，Y＝1}＝0．3，P{Z＝2}＝P{X＝1，Y＝1}＝0．1．故Z的概率分布为(Ⅲ)P{X＝Z}＝P{X＝X＋Y}＝P{Y＝0}＝0＋0．1＋0．1＝0．2．知识点解析：暂无解析23、设二维随机变量(X，Y)服从D上的均匀分布，其中D是由直线y＝χ和曲线y＝χ2围成的平面区域．(Ⅰ)求X和Y的边缘概率密度fX(χ)和fY(y)；(Ⅱ)求E(XY)．标准答案：(Ⅰ)区域D的面积为SD＝∫01(χ－χ2)dχ＝，所以(X，Y)的概率密度为当0＜χ＜1时，fχ(χ)＝6dy＝6(χ－χ2)．所以X的边缘概率密度为当0＜y＜1时，fY1(y)＝所以Y的边缘概率密度为(Ⅲ)E(XY)＝知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、x→0时，下列无穷小量阶数最高的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：选项(A)，选项(B)，3x3－4x4+5x5=3x3+o(x3)，可知3x3－4x4+5x5－3x3。选项(D)，假设和xn同阶，计算极限可见，要使极限为非零常数，必有n=4。综上所述，本题选(D)。2、已知f(x)的导函数图像如图1所示，则f(x)在(0，+∞)上()A、有3个驻点，3个极值点，3个拐点。B、有2个驻点，2个极值点，2个拐点。C、有3个驻点，2个极值点，3个拐点。D、有3个驻点，2个极值点，1个拐点。标准答案：C知识点解析：驻点为导数等于0的点，即导函数图像与横坐标的交点，共3个；极值点为该点两端导数符号不一致的点，图中有2个；拐点即为导函数的极值点，根据图像可知有3个点。故选择(C)。3、设幂级数an(x－1)n在x=－1处条件收敛，则nan(x+1)n在x=1．5处()A、绝对收敛。B、条件收敛。C、发散。D、收敛性无法判断。标准答案：C知识点解析：因为级数an(x－1)n在x=－1处条件收敛，则其收敛半径为R=2，所以nan(x+1)n的收敛区间为(－3，1)，而x=1．5不在收敛区间内，所以nan(x+1)n在x=1．5处发散。4、函数f(x)=在x=0处()A、不连续但偏导数存在。B、偏导数不存在但连续。C、可微但偏导数不连续。D、偏导数连续。标准答案：C知识点解析：连续性：所以函数f(x，y)在(0，0)点连续。偏导数：所以函数f(x，y)在(0，0)处对x的偏导数存在。同理可验证函数f(x，y)在(0，0)处对y的偏导数存在。所以函数f(x，y)在(0，0)处的偏导数存在。全微分：所以函数f(x，y)在(0，0)处可微。偏导数连续性：所以函数f’x(x，y)在(0，0)处不连续，故选择(C)。5、设A为4阶矩阵，A=(α1，α2，α3，α4)，若Ax=0的基础解系为(1，2，－3，0)T，则下列说法中错误的是()A、α1，α2，α3线性相关。B、α4可由α1，α2，α3线性表出。C、α1，α2，α4线性无关。D、α1可由α2，α3，α4线性表出。标准答案：B知识点解析：Ax=0的基础解系为(1，2，－3，0)T，可知r(A)=3且α1+2α2－3α3=0，则α1，α2，α3线性相关，所以(A)正确。因为r(A)=3且α1，α2，α3线性相关，若α4可由α1，α2，α3线性表出，则r(α1，α2，α3，α4)=r(α1，α2，α3)＜3，所以该选项错误，答案为(B)。由于α3=，可知α3能由α1，α2，α4线性表出，故r(α1，α2，α4)=r(α1，α2，α3，α4)=3，因此α1，α2，α4线性无关，所以(C)正确。由于α1=－2α2+3α3，可知α1可由α2，α3，α4线性表出，所以(D)正确。6、已知α=(1，－3，2)T，β=(0，1，2)T，设矩阵A=αβT－E，则矩阵A最大特征值的特征向量是()A、α。B、β。C、α+β。D、α－β。标准答案：A知识点解析：由题设可知r(αβT)=1，所以αβT的特征值为0，0，βTα，即0，0，1，所以A的特征值为－1，－1，0。A属于0的特征向量等于αβT属于1的特征向量，因为αβTα=α(βTα)=α，所以答案为(A)。7、已知X的分布函数为F(x)，概率密度为f(x)，a为常数，则下列各函数中不一定能作为随机变量概率密度的是()A、f(x+a)。B、f(－x)。C、af(ax)。D、2f(x)F(x)。标准答案：C知识点解析：由题设可知f(x)为概率密度函数，故f(x)≥0，∫－∞+∞f(x)dx=1。F(x)为分布函数，故F(x)≥0，从而f(x+a)，f(－x)，2f(x)F(x)大于等于0，并且容易验证它们的积分等于1，而af(ax)在a＜0时小于0，故不一定为概率密度函数。8、已知随机变量X，Y均服从正态分布N(μ，σ2)，且P{max(X，Y)≥μ}=a(0＜a＜1)，则P{min(X，Y)＜μ}=()A、B、C、a。D、1－a。标准答案：C知识点解析：由题设可知P{max(X，Y)≥μ}=1－P{max(X，Y)＜μ}=1－P{X＜μ，Y＜μ}，而P{min(X，Y)＜μ}=P{X＜μ或Y＜μ}=P{X＜μ}+P{Y＜μ}－P{X＜μ，Y＜μ}=1－P{X＜μ，Y＜μ}。从而P{min(X，Y)＜μ}=P{max(X，Y)≥μ}=a。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设函数f(x)二阶连续可导，且f(0)=1，f(2)=3，f’(2)=5，则∫01xf"(2x)dx=________。标准答案：2知识点解析：10、差分方程yx+1－2yx=3x的通解为________。标准答案：y(x)=C2x+3x。其中C为任意常数知识点解析：由已知方程知对应的齐次差分方程的特征值λ=2，通解为y(x)=C2x。因为λ=2≠3，所以令特解y*=A.3x，代入原方程得A=1，故原方程的通解为y(x)=C2x+3x，其中C为任意常数。11、设某商品的需求函数是Q=－4，则需求Q关于价格p的弹性是________。标准答案：知识点解析：根据弹性函数的定义，则需求Q关于价格p的弹性为，即12、微分方程(x2－1)dy+(2xy－cosx)dx=0满足初始条件y(0)=1的特解为________。标准答案：知识点解析：原方程可化为。一阶线性微分方程y’+p(x)y=q(x)的通解为y=e－∫p(x)dx[∫q(x)e∫p(x)dx+C]。因此由y(0)=1，得C=－1，故满足初始条件的特解y=。13、设A，B都是三阶矩阵，A相似于B，且｜E－A｜=｜E－2A｜=｜E－3A｜=0，则｜B－1+2E｜=________。标准答案：60知识点解析：根据已知｜E－A｜=｜E－2A｜=｜E－3A｜=0可得矩阵A的三个特征值为，1，又已知A相似于B，所以B的特征值也为，1，从B－1的特征值为1，2，3，进一步B－1+2E的特征值为3，4，5，因此可得｜B－1+2E｜=60。14、随机变量X的概率密度f(x)=。随机变量Y=aX+b～N(0，1)，则ab=________。标准答案：1知识点解析：根据服从正态分布的随机变量的概率密度表达式可知X～N(－2，2)，故～N(0，1)，从而。因此ab=1。三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设曲线L过点(1，1)，L上任意一点P(x，y)处的切线交x轴于点T，O为坐标原点，若｜PT｜=｜OT｜。试求曲线L的方程。标准答案：设曲线方程为y=y(x)，则y(1)=1，过点P(x，y)处的切线方程为Y－y=y’(X－x)，则切线与x轴的交点为T(x－，0)。根据｜PT｜=｜OT｜，有上式两边同时平方，整理可得y’(x2－y2)=2xy，该一阶微分方程为齐次方程，令u=，可得，两边取积分得解得u+，将初始条件y(1)=1代入，可得C=，故曲线L的方程为x2+y2－2y=0。知识点解析：暂无解析16、求函数f(x，y)=xy－－y在由抛物线y=4－x2(x≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。标准答案：区域D如图1所示。(1)边界L1：y=0(0≤x≤2)，此时f(x，0)=，函数在此边界的最大值为f(0，0)=0，最小值为f(2，0)=。边界L2：x=0(0≤y≤4)，则f(0，y)=－y，函数在此边界的最大值为f(0，0)=0，最小值为f(0，4)=－4。边界L3：y=4－x2(x≥0)，则(2)区域D内部，f(x，y)=xy－－y，则f"xx(x，y)=0，f"xy(x，y)=1，f"yy(x，y)=0，故AC－B2＜0，函数在区域D内部不存在极值。综上所述，函数在区域D上的最大值为f(0，0)=0；最小值为f(0，4)=－4。知识点解析：暂无解析17、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(0)=f(1)=0，若f(x)在[0，1]上的最大值为M＞0。设n＞1,，证明：(Ⅰ)存在c∈(0，1)，使得f(c)=；(Ⅱ)存在互不相同的ξ，η∈(0，1)，使得。标准答案：(Ⅰ)根据已知条件，存在a∈(0，1]，使得f(a)=M。令F(x)=f(x)－，显然F(x)在[0，1]上连续，又因为f(0)=0，n＞1，故由零点定理可知，至少存在一点c∈(0，a)，使得F(c)=f(c)－=0，即f(c)=。(Ⅱ)在[0，c]，[c，1]上分别使用拉格朗日中值定理。已知f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，则存在ξ∈(0，c)和η∈(c，1)，使得f(c)－f(0)=cf’(ξ)(1)f(1)－f(c)=(1－c)f’(η)(2)由(1).f’(η)+(2).f’(ξ)，结合f(0)=f(1)=0可得，[f’(η)－f’(ξ)]f(c)=f’(ξ)f’(η)，再由结论f(c)=可知，知识点解析：暂无解析18、设Ia=，其中Da为曲线y=(a＞0)与y=所围成的区域．则(Ⅰ)求Ia；(Ⅱ)求a的值使得Ia最小。标准答案：(Ⅰ)积分区域如图2所示。利用奇偶性可得其中，D’a为Da在y轴右侧的部分。所以当0＜a＜3时La单调递减，当a＞3时Ia单调递增，则当a=3时，Ia取得最小值。知识点解析：暂无解析19、设有幂级数。求：(Ⅰ)该幂级数的收敛半径与收敛域：(Ⅱ)该幂级数的导数在收敛区间内的和函数。标准答案：(Ⅰ)=2，故收敛半径为r=，则收敛区间为。知识点解析：暂无解析20、已知两个向量组α1=(1，2，3)T，α2=(1，0，1)T与β1=(－1，2，t)T，β2=(4，1，5)T。(Ⅰ)t为何值时，α1，α2与β1，β2等价；(Ⅱ)当两个向量组等价时，写出两个向量组之间的线性表示式。标准答案：(Ⅰ)对向量组α1，α2和β1，β2所构成的矩阵(α1，α2，β1，β2)进行初等行变换化为阶梯型矩阵，因为α1，α2与β1，β2等价，所以r(α1，α2)=r(β1，β2)，所以t=1。[Ⅱ)对矩阵(α1，α2，β1，β2)进行初等行变换化为行最简形，对矩阵(β1，β2，α1，α2)进行初等行变换化为行最简形，知识点解析：暂无解析21、设A为3阶实对称矩阵，α1=(1，－1，－1)T，α2=(－2，1，0)T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，且矩阵A－6E不可逆。(Ⅰ)求齐次线性方程组(A－6E)x=0的通解：(Ⅱ)求正交变换x=Qy将二次型XTAx化为标准形；(Ⅲ)求(A－3E)100。标准答案：(Ⅰ)因为矩阵A－6E不可逆，所以λ=6是矩阵A的一个特征值；另一方面，因为α1，α2是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，所以A的特征值为0，0，6。齐次线性方程组(A－6E)x=0的通解是矩阵A的属于特征值λ=6的特征向量。因为A为3阶实对称矩阵，从而属于不同特征值的特征向量正交。设α3=(x1，x2，x3)T是矩阵A的属于特征值λ=6的一个特征向量，则(α1，α3)=0，(α2，α3)=0，解得α3=(－1，－2，1)T，所以齐次线性方程组(A－6E)x=0的通解为kα3，k为任意常数。(Ⅱ)下面将向量组α1，α2，α3正交化。令下面将向量组β1，β2，β3单位化。令则二次型xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为6y32。知识点解析：暂无解析22、设随机变量(X，Y)的概率密度函数为f(x，y)=其分布函数为F(x，y)。(Ⅰ)求F(x，y)；(Ⅱ)分别求(X，Y)关于X，Y的边缘概率密度，并问X与Y是否独立?标准答案：(Ⅰ)根据分布函数的定义因为f(x，y)≠fX(x)fY(y)，所以X与Y不独立。知识点解析：暂无解析23、设总体X的密度函数为f(x；θ)=，－∞＜x<+∞，其中θ(θ＞0)是未知参数，(X1，X2，…，Xn)为来自总体X的一个简单随机样本。(Ⅰ)利用原点矩求θ的矩估计量；(Ⅱ)求θ的极大似然估计量，并问是否为θ的无偏估计?标准答案：(Ⅰ)根据已知条件(Ⅱ)设样本X1，…，Xn的取值为x1，…，xn，则对应的似然函数为知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、=()。A、1B、C、D、-1标准答案：B知识点解析：这是一个型未定式，使用洛必达法则，有故选B。2、设f(x)=min{sinx，cosx}，则f(x)在区间[0，2π]内()。A、没有不可导的点B、只有1个不可导的点C、共有2个不可导的点D、共有3个不可导的点标准答案：C知识点解析：方法一：在[0，2π]上，画出y=sinx与y=cosx的图形，立即可得y=f(x)的图形，由图形直接看出，两个交点为y=f(x)图形的尖点，因而是不可导点，其他均为可导点，应选C。方法二：写出f(x)的表达式f(x)是一个分段函数，有两个分界点。又f(x)在[0，2π]上连续，在除分界点外其余各点处均可导，但f(x)在x=的左导数由于连续，它在的右导数即在不可导，类似可得f(x)在x=也不可导。故应选C。3、设可导函数x=x(t)由方程所确定，其中可导函数f(u)＞0，且f(0)=f’(0)=1，则x’’(0)=()。A、3B、1C、-3D、-1标准答案：C知识点解析：令t=0，由题设方程可得x(0)=0，在题设方程两边对t求导，得cost-f[x(t)]x’(t)+f(t)=0(*)在(*)式中令t=0，可得x’(0)=2，在(*)两边再对t求导，得-sint-f’[x(t)][x’(t)]2-f[x(t)]x’’(t)+f’(t)=0(**)在(**)式中令t=0，可得x’’(0)=-3，故选C。4、设f(x)在[0，1]有连续导数，且f(0)=0，令M=，则必有()。A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：方法一：考察f(x)与f’(x)的关系，设xε[0，1]，则由牛顿-莱布尼兹公式及f(0)=0，有，由积分基本性质，并考虑到M=，有，于是，故选A。方法二：同样考察f(x)与f’(x)的关系，由拉格朗日中值定理知当xε[0，1]时f(x)=f(x)-f(0)=f’(ξ)x，ξε(0，x)→。故选A。5、设，要使得A正定，a应该满足的条件是()。A、a＞2B、a≥2C、0＜a＜2D、a＜0标准答案：C知识点解析：用顺序主子式，A的3个顺序主子式为2，4-a2，2a-a2，它们都大于0的条件是0＜a＜2。6、n维向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αs和(Ⅱ)β1，β2，…，βt等价的充分必要条件是()。A、r(Ⅰ)=r(Ⅱ)，并且s=tB、r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=nC、r(Ⅰ)=r(Ⅱ)，并且(Ⅰ)可以用(Ⅱ)线性表示D、(Ⅰ)和(Ⅱ)都线性无关，并且s=t。标准答案：C知识点解析：(Ⅰ)与(Ⅱ)等价的充分必要条件是r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ，Ⅱ)。答案A、缺少条件r(Ⅰ，Ⅱ)=r(Ⅰ)。答案B、是(Ⅰ)与(Ⅱ)等价的一个充分条件，但是等价并不要求向量组的秩达到维数。答案D、(Ⅰ)和(Ⅱ)都无关不能得到它们互相可以线性表示，例如：(Ⅰ)：α1=(1，0，0，0)，α2=(0，1，0，0)，(Ⅱ)：β1=(0，0，1，0)，设β2=(0，0，0，1)。(Ⅰ)和(Ⅱ)都无关，并且s=t=2，但是(Ⅰ)和(Ⅱ)不等价。答案C、(Ⅰ)可以用(Ⅱ)线性表示，则r(Ⅱ)=r(Ⅰ，Ⅱ)。7、设X，Y为随机变量，，则P{min(X，Y)≤0}=()。A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：设A={X≤0}，B={Y≤0}，则{XY≤0}=，。于是故应选D。8、设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，X25是取自总体X的简单随机样本，为样本均值，若，则a=()。A、πB、5πC、D、25π标准答案：B知识点解析：由于X～N(μ，σ2)，故有而依题意→故应选B。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设f(x)在x=0处连续，且=2，则曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为_________________________。标准答案：知识点解析：方法一：由极限与无穷小的关系，有，其中，于是，由于所以，由于f(x)在x=0处连续，所以f(0)==-1，又f’(0)所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y-f(0)=f’(0)(x-0)，即。方法二：利用sinx的带皮亚诺余项的三阶泰勒公式有，代入原极限式即得，可见[f(x)+1]=0，于是f(0)==-1，且f’(0)===，以下同方法一。10、设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，当xε(0，+∞)时f(x)＞0且单调上升，x=g(y)为y=f(x)的反函数，它们满足=t3(t≥0)，则f(x)的表达式是_________________________。标准答案：f(x)=x2(x≥0)知识点解析：方法一：由定积分的几何意义知：=由曲线y=f(x)，x、y轴及直线x=t＞0所围成的曲边梯形的面积，=由曲线x=g(y)，y轴(y≥f(0))及直线y=f(t)所围成的曲边三角形的面积。x=g(y)与y=f(x)互为反函数，代表同一条曲线，它们面积之和是长方形面积(边长分别为t与f(t))，见下图。于是，因此tf(t)=t3，f(t)=t2(t≥0)，即f(x)=x2(x≥0)。方法二：先化简题设方程的左端式子，有于是，即tf(t)=t3，f(t)=t2(t≥0)，因此f(x)=x2(x≥0)。方法三：将题设方程两边求导得，即f(t)+g[f(t)]f’t=3t2，f(t)=tf’(t)=3t2，亦即[tf(t)]’=3t2。(原方程中令t=0，等式自然成立，不必另加条件)，将上式积分得tf(t)=t3+C，即，因f(t)在[0，+∞)上连续，故必有C=0，因此f(x)=x2(x≥0)。11、设a是一个常数，则I==_________________________。标准答案：知识点解析：令x=，则dx=，且t：+∞→0，于是故I=。12、差方程yt+1-3yt=满足条件y0=5的特解是_________________________。标准答案：知识点解析：根据题设差分方程的特点，可设其通解形式为，其中A，B，C是待定常数，于是，，把它们代入可得，令，即可确定常数A=-1，B=17，即差分方程的通解为，再利用条件y0=5又可确定常数C=6，故所求特解是。13、已知A=的任意两个特征向量都线性相关，则a=_________________________。标准答案：-2知识点解析：因为属于不同特征值的特征向量一定线性无关，所以条件说明A的三个特征值都相等，即A有一个3重特征值λ，3λ=tr(A)=3，于是λ=1。有︱λE-A︱=(λ-1)3，==λ+1+a(a+λ+2)+(λ-1)(λ2-2λ-8-5a)=a2+λ(a+1)+2a+1+(λ-1)(λ2-2λ+1-9-5a)=(λ-1)3+λ(a+1)+a2+2a+1-(λ-1)(5a+9)=(λ-1)3-(8+4a)λ+a2+7a+10。则8+4a=0并且a2+7a+10=0，得a=-2。14、假设每次试验只有成功与失败两种结果，并且每次试验的成功率都是p(0＜p＜1)，现进行重复独立试验直至成功与失败的结果都出现为止，已知试验次数X的数学期望EX=3，则p=_________________________。标准答案：知识点解析：首先求出X的概率分布，再用期望定义求解P的值，依题意X取值为2，3，…，且P{X=n}=pqn-1+qpn-1，(q=1-p)解方程，得。三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设F(x)=，求F’(x)(x＞-1，x≠0)并讨论F’(x)在(-1，+∞)上的连续性。标准答案：先将F(x)转化为变限积分，令s=xt，则F(x)=①→F’(x)②下面讨论F’(x)的连续性，因In(1+s)，sIn(1+s)当s＞-1时连续，于是由②式及变限积分的连续性与连续性运算法则知当x＞-1且x≠0时F’(x)连续，余下只需再求F’(0)并考察F’(x)在点x=0处的连续性。注意F(0)=0，且，从而F(x)在点x=0处连续，又，于是F’(0)=，因此F’(x)=F’(0)，F’(x)在点x=0处连续，这就证明了F’(x)在(-1，+∞)上连续。知识点解析：暂无解析16、抛物线y=x2上任意点(a，a2)(a＞0)处引切线L1，在另一点处引另一切线L2，L2与L1垂直，(Ⅰ)求L1与L2交点的横坐标x1；(Ⅱ)求L1，L2与抛物线y=x2所围图形的面积S(a)；(Ⅲ)问a＞0取向值时S(a)取最小值。标准答案：(Ⅰ)抛物线y=x2在点(a，a2)处的切线为L1：y=a2+2a(x-a)，即y=2ax-a2，另一点(b，b2)处的切线为L2：y=b2+2b(x-b)，即y=2bx-b2，由L1与L2垂直→2b=，b=。它们的交点(x1，y1)满足2ax1-a2=2bx1-b2，x1=。于是。(Ⅱ)L1，L2与y=x2所围图形的面积由x1的表达式知，x1-b=a-x1→(Ⅲ)求导解最值问题，由→a=时s(a)取最小值。知识点解析：暂无解析17、设积分区域D={(x，y)︱0≤x≤1，0≤y≤1}，求。标准答案：因积分区域D关于直线y=x对称，又被积函数，令就有令x=rcosθ，y=rsinθ引入极坐标，即知D1=，dσ=rdrdθ,代入即得。知识点解析：暂无解析18、求幂级数的收敛D与函数S(x)。标准答案：方法一：易知幂级数的收敛半径R=1，且级数在收敛区间(-1，1)的两个端点x=-1与x=1处都收敛，从而级数的收敛域为[-1，1]令s(x)=，用x2乘上幂级数即得逐项求导三次可知。再积分三次，就有。令1-t=u作换元可得。利用求得的上述结果即知当0＜︱x︱＜1时，而s(0)=0。方法二：用通项分拆法分解幂级数可得，利用已知的和函数公式：当0＜︱x︱＜1时=-In(1-x)就有，代入即得与方法一中同样的结果。知识点解析：暂无解析19、设函数f(x)在[0，1]上具有二阶连续导数，且f(0)=f(1)=0，f(x)≠0(xε(0，1))，证明：。标准答案：由题设可知︱f(x)︱在[0，1]上连续，根据有界闭区间上连续函数最值定理，存在x0ε(0，1)，使得在[0，x0]与[x0，1]上分别应用拉格朗日中值定理得：存在ξ1ε(0，x0)，ξ2ε(x0，1)使得，于是，令y=x(1-x)，则y’=1-2x，由y’=0得x=，又y’’=-2，所以y=x(1-x)在x=处取最大值，因而在x=处取最小值，因此。知识点解析：暂无解析20、α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，-1，-3)T，α4=(0，0，3，a)T，β=(1，b，3，2)T，(Ⅰ)a取什么值时α1，α2，α3，α4线性相关？此时求α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出。(Ⅱ)在α1，α2，α3，α4线性相关的情况下，b取什么值时β可用α1，α2，α3，α4线性表示？写出一个表示式。标准答案：两个小题都关系到秩，α1，α2，α3，α4线性相关→r(α1，α2，α3，α4)＜4；β可用α1，α2，α3，α4线性相关→r(α1，α2，α3，α4，β)=r(α1，α2，α3，α4)，因此应该从计算这两个秩着手，以α1，α2，α3，α4，β为列向量构造矩阵(α1，α2，α3，α4，β)，然后用初等行变换把它化为阶梯形矩阵：(α1，α2，α3，α4，β)。(Ⅰ)r(α1，α2，α3，α4)＜4→a=3*α1，α2，α3是α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，并且α4=-6α1+6α2-3α3；(Ⅱ)r(α1，α2，α3，α4，β)=r(α1，α2，α3，α4)=3，则b=2，β=-7α1+8α2-3α3。知识点解析：暂无解析21、设二次型f(x1，x2，x3)=(x1，x2，x3)，已知它的秩为1。(Ⅰ)求a和二次型f(x1，x2，x3)的矩阵。(Ⅱ)作正交变换将f(x1，x2，x3)化为标准二次型。标准答案：(Ⅰ)二次矩阵A=，它的秩为1，则a=4；(Ⅱ)A=的秩为1，则特征值为0，0，9。属于0的特征向量即AX=0的非零解，求出此方程组的一个基础解系：α1=(0，1，1)T，α2=(2，0，1)T，对它们作施密特正交化得，再求得属于9的一个特征向量α3=(1，2，-2)T，作单位化得η3=(1/3，2/3，-2/3)T。令Q=(η3，η1，η2)=，则正交变换X=QY把原二次型化为9y12。知识点解析：暂无解析22、假设男孩的出生率为51﹪，同性双胞胎是异性双胞胎的3倍，已知一双胞胎第一个是男孩，试求第二个也是男孩的概率。标准答案：设Ai表示i个婴儿是男孩，表示第i个婴儿是女孩，i=1，2，所求的概率为，事件构成一个完备事件组，记，由已知条件有Pi=1，P3=P4，P1+P2=3(P3+P4)，上述3个方程含有4个未知数，故还需再建立一个方程，由于，于是得方程组解得P1==P(A1A2)，故。知识点解析：暂无解析23、设总体X的概率分布为X～，其中参数θ未知且。从总体X中抽取一个容量为8的简单随机样本，其8个样本值分别是1，0，1，-1，1，1，2，1。试求：(Ⅰ)θ的矩估计值；(Ⅱ)θ的最大似然估计值；(Ⅲ)经验分布函数F8(x)。标准答案：(Ⅰ)EX=，我们用样本均值作为总体期望的矩估计值，用样本均值的函数作为总体期望同一函数的矩估计值，而，因此θ的矩估计值为；(Ⅱ)对于给定的样本值x1，…，xn，其似然函数为，令=0，得方程20θ2-23θ+4=0，解得，于是θ的最大似然值为；(Ⅲ)由于经验分布函数，于是有。知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第4套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、函数f(x)=cosx+xsinx在(一2π，2π)内零点的个数为A、1个．B、2个．C、3个．D、4个．标准答案：D知识点解析：f(x)为偶函数，f(0)=1，故只需讨论(0，2π)内零点的个数．由此可知，f(x)在均单调且端点函数值异号．因而各有唯一零点，所以f(x)在[一2π，2π]内共有4个零点．2、设m与n是正整数，则∫01xm(lnx)ndx=A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：用分部积分法计算．这里积分下限0是瑕点，从而在积分下限处都理解为求极限．继续进行分部积分可得故应选(B)．3、设f(x)在[a，b]上可导，f’(x)+[f(x)]2一∫axf(t)dt=0，且∫abf(t)dt=0，则∫axf(t)dt在(a，b)内必定A、恒为正．B、恒为负．C、恒为零．D、变号．标准答案：C知识点解析：设F(x)=∫axf(t)dt，若F(x)在(a，b)内可取正值，由于F(a)=F(b)=0，故F(x)在(a，b)内存在最大值且为正，从而知F(x)必在(a，b)内存在正的极大值，记该极大值点为x0，于是F’(x0)=0，F(x0)＞0．即f(x0)=0，代入原方程，得这表明F(x0)应是极小值，导致矛盾．同理可知F(x)在(a，b)内也不可能取到负值．故选(C)．4、设D是以点A(1，1)，B(一1，1)，C(一1，一1)为顶点的三角形区域，则=________．A、2．B、5．C、8．D、6．标准答案：C知识点解析：D如图所示，连将D分成D=D1∪D2，D1，D2分别关于x，y轴对称选(C)．5、下列矩阵中不相似于对角矩阵的是A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：(A)矩阵的3个特征值两两不同，(D)是实对称矩阵，因此它们都相似于对角矩阵．(C)矩阵的秩为1，它的特征值都为0，其重数3＞3一(C)矩阵的秩．因此(C)不相似于对角矩阵．(B)矩阵的秩也为1，它的特征值为0，0，6，0的重数2=3一(B)矩阵的秩．因此相似于对角矩阵．6、在考核中，若学员中靶两次，则认定合格而停止射击，但限定每人最多只能射击三次．设事件A=“考核合格”，B=“最多中靶一次”，C=“射击三次”，已知学员中靶率为p(0＜p＜1)，则A、AB与C独立．B、BC与A独立．C、AC与B独立．D、A，B，C相互独立．标准答案：A知识点解析：依题意A与B为对立事件，因此AB=，BC=B，而不可能事件与任何事件相互独立，故应选(A)．若进一步分析，P(ABC)=0，而P(A)，P(B)，P(C)，P(AC)，P(BC)均不为0，因此(B)、(C)、(D)均不正确．7、设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立且都服从标准正态分布N(0，1)，已知对给定的α(0＜α＜1)，数yα满足P{y＞>yα}=α，则有A、yαy1-α=1．B、C、D、标准答案：A知识点解析：依题意可知，X12+X22与X32+X42相互独立且都服从自由度为2的χ2分布，因此Y=因为P{Y＞yα}=α，即yα=Fα(2，2)，又1—α=1一P{Y＞yα}=P{Y≤yα}=P{Y＜yα}=而由α=P{Y＞yα}可知y1-α=即yαy1-α=1．故应选(A)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、曲线的斜渐近线方程为______．标准答案：y=±x．知识点解析：因为因此斜渐近线方程为y=±x．9、设函数则f(10)(1)=________．标准答案：一10!×210．知识点解析：10、设f(x)=g(x)在x=0连续且满足g(x)=1+2x+ο(x)(x→0)．又F(x)=f[g(x)]，则F’(0)=_____．标准答案：4e．知识点解析：由g(x)在点x=0处连续及g(x)=1+2c+o(x)(x→0)由复合函数求导法及变限积分求导法11、已知当x＞0与y＞0时则函数f(x，y)在点(x，y)=(1，1)处的全微分df|(1,1)=________．标准答案：知识点解析：12、已知矩阵A相似于B.A*为A的伴随矩阵，则|A*+3E|=____．标准答案：27．知识点解析：A相似于B，则A*+3E相似于B*+3E，于是|A*+3E|=|B*+3E|．13、设试验的成功率P=20％，现在将试验独立地重复进行100次，则试验成功的次数介于16次和32次之间的概率α=_______．(φ(1)=0．8413，φ(3)=0．9987)标准答案：0．84．知识点解析：以X表示“100次独立重复试验成功的次数”，则X服从参数为n=100，p=0．20的二项分布，且根据棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理可知随机变量近似服从分布N(0，1)，于是α=P{16≤X≤32}=≈φ(3)一φ(一1)=φ(3)一[1一φ(1)]=0．9987—0．1587=0．84，其中φ(n)是标准正态分布函数．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)14、设b为常数．(I)求曲线L：的斜渐近线l的方程；(Ⅱ)设L与l从x=1延伸到x→+∞之间的图形的面积A为有限值，求b及A的值．标准答案：(I)求的斜渐近线．由于所以斜渐近线方程为y=2x一4．如果2b+15+1≠0，即如果b≠一8，无论b＞一8还是b＜一8，均有Int(t+2)2b+15=∞，从而与A为有限值矛盾．当b=一8时有知识点解析：暂无解析15、设函数f(x)在x=1的某邻域内连续，且有(I)求f(1)及(Ⅱ)求f’(1)，若又设f”(1)存在，求f”(1)．标准答案：(I)由条件知[f(x+1)+1+3sin2x]=0[f(x+1)+3sin2x]=f(1)+0=0f(1)=0．又在x=0的某空心邻域内f(x+1)+3sin2x≠0，现利用等价无穷小因子替换:当x→0时，ln[1+f(x+1)+3sin2x]一f(x+1)+3sin2x，知识点解析：暂无解析16、求f(x，y，z)=2x+2y—z2+5在区域Ω：x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值．标准答案：f(x，y，z)在有界闭区域Ω上连续，一定存在最大、最小值．第一步，先求f(x，y，z)在Ω内的驻点．由知f(x，y，z)在Ω内无驻点，因此f(x，y，z)在Ω的最大、最小值都只能在Ω的边界上达到．第二步，求f(x，y，z)在Ω的边界x2+y2+z2=2上的最大、最小值，即求f(x，y，z)在条件x2+y2+z2—2=0下的最大、最小值．令F(x，y，z，λ)=2x+2y—z2+5+λ(x2+y2+z2—2)，解方程组由①，②知x=y，由③知z=0或λ=1．由x=y，z=0代入④知x=y=±1，z=0．当λ=1时由①，②，④也得x=y=一1，z=0．因此得驻点P1(一1，一1，0)与P2(1，1，0)．计算得知f(P1)=1，f(P2)=9．因此，f(x，y，z)在Ω的最大值为9，最小值为1．知识点解析：暂无解析17、设曲线y=y(x)上任意一点的切线在y轴上的截距与法线在x轴上的截距之比为3，求y(x)．标准答案：1)先求截距并列方程．曲线y=y(x)在点(x，y(x))处的切线方程是Y一y(x)=y’(x)(X一x)令X=0，得y轴上截距Y=y(x)一xy’(x)相应的法线方程是令Y=0，得x轴上截距X=x+y(x)y’(x)2)求解方程．知识点解析：暂无解析18、设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，试证：标准答案：引进辅助函数，把证明常数不等式转化为证明函数不等式(可用单调性方法)．F(x)单调不减，故F(x)≥F(a)=0(x∈[a，b])特别有F(b)≥0，即知识点解析：暂无解析19、已知四元齐次方程组(I)的解都满足方程式(Ⅱ)x1+x2+x3=0．①求a的值．②求方程组(I)的通解．标准答案：①条件即(I)和(Ⅱ)的联立方程组和(I)同解，也就是矩阵B=和的秩相等．对B用初等行变换化阶梯形矩阵，并注意过程中不能用第4行改变上面3行，以保证化得阶梯形矩阵的上面3行是由A变来的．显然a=0时r(A)=1，r(B)=2，因此a≠0．因为a≠0，所以r(A)=3．要使得r(B)=3，a=1／2．得(I)的通解：c(一1，一1，2，2)T，c任意．知识点解析：暂无解析20、已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1=一α1一3α2—3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=一2α1+3α3．①求A的特征值．②求A的特征向量．③求A*一6E的秩．标准答案：①记P=(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3是线性无关，所以P是可逆矩阵．AP=(Aα1，Aα2，Aα3)=(一α1一3α2—3α3，4α1+4α2+α3，一2α1+3α3)=(α1，α2，α3)记B=则AP=PB，即P-1AP=B，A与B相似，特征值一样．求B的特征多项式|λE—B|==(λ一1)(λ一2)(λ一3)．得A的特征值为1，2，3．②先求B的特征向量，用P左乘之得到A的特征向量．(如果Bη=λη，则P-1APη=λη，即A(Pη)=λ(Pη)．)对于特征值1：B的属于特征值1的特征向量(即(B—E)x=0的非零解)为c(1，1，1)T，c≠0．则A的属于特征值1的特征向量为c(α1+α2+α3)T，c≠0．对于特征值2：B的属于特征值2的特征向量(即(B一2E)x=0的非零解)为c(2，3，3)T，c≠0．则A的属于特征值2的特征向量为c(2α1+3α2+3α3)T，c≠0．对于特征值3：B的属于特征值3的特征向量(即(B一3E)x=0的非零解)为c(1，3，4)T，c≠0．则A的属于特征值3的特征向量为c(α1+3α2+4α3)T，c≠0．③由A的特征值为1，2，3，|A|=6．于是A*的特征值为6，3，2，A*一6E的特征值为0，一3，一4．知识点解析：暂无解析21、设在某一时间段内进入某大型超市的顾客人数X服从参数为λ的泊松分布，且每一顾客购买A类商品的概率为p．假定各顾客是否购买A类商品是相互独立的，求进入该超市的顾客购买A类商品的人数Y的概率分布及Y的期望EY．标准答案：由题设知，P{X=m}=m=0，1，2，…；λ＞0．购买A类商品的人数Y，在进入超市的人数X=m的条件下服从二项分布B(m，P)，即P{Y=k|X=m}=Cmkpkqm-k，k=0，1，2，…，m；q=1一p．由全概率公式有又因为当m＜k时，P{Y=k|X=m}=0，所以由此可知，Y服从参数为λp的泊松分布，故EY=λp．知识点解析：暂无解析22、历史上科学家皮尔逊进行抛掷一枚匀称硬币的试验，他当时掷了12000次，正面出现6019次，现在我们若重复他的试验，试求：(I)抛掷12000次正面出现频率与概率之差的绝对值不超过当年皮尔逊试验偏差的概率；(Ⅱ)要想使我们试验正面出现的频率与概率之差的绝对值不超过皮尔逊试验偏差的概率小于20％，现在我们应最多试验多少次?标准答案：(I)设X表示试验中正面出现的次数，则X～B(12000，0．5)，且EX=np=6000。DX=npq=3000．由于n=12000相当大，因此近似服从正态分布N(0，1)，于是(Ⅱ)设至多试验n次，Y为n次中正面出现的次数，显然Y～B(n，0．5)，EY=0．5n，DY=0．25n，于是故最多试验6232次即可．知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设函数f(χ)＝，则f(χ)有()．A、1个可去间断点，1个跳跃间断点B、1个可去间断点，1个无穷间断点C、2个跳跃间断点D、2个无穷间断点标准答案：A知识点解析：当χ＝0与χ＝1时，f(χ)无定义，则f(χ)的间断点为χ＝0和χ＝1．则χ＝0为f(χ)的可去间断点．则χ＝1为f(χ)的跳跃间断点．故应选A．2、设f′(0)＝2，则＝()．A、B、2C、D、4标准答案：B知识点解析：故应选B．3、设f(χ)在[0，1]上连续且单调递减，则函数F(t)＝t∫01[f(tχ)－f(χ)]dχ在(0，1)内()．A、单调增加B、单调减少C、有极小值D、有极大值标准答案：D知识点解析：因为F(t)＝t∫01[f(tχ)－f(χ)]dχ＝t∫01f(tχ)dχ－t∫01f(χ)dχ，其中于是F(t)＝∫0tf(u)du－t∫01f(χ)dχ，F′(t)＝f(t)－∫01(χ)dχ．令F′(t)＝0，即f(t)＝∫01f(χ)dχ，由积分中值定理知∫01f(χ)dχ＝f(ξ).1＝f(ξ)，ξ∈(0，1)，所以，t＝ξ是F(t)的驻点．由于f(χ)在[0，1]上单减，当0＜t＜ξ时，F′(t)＝f(t)－f(ξ)＞0；当ξ＜t＜1时，F′(t)＝f(t)－f(ξ)＜0，则F(t)在t＝ξ点取得极大值．故应选D．4、设f(χ，y)连续，且f(χ，y)＝χyf(χ，y)dχdy，其中D＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤1}，则＝()．A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：设χyf(χ，y)dχdy＝A，则解得A＝(e－1)2，从而f(χ，y)＝(e－1)2χy．所以故应选C．5、设A为n阶方阵，齐次线性方程组Aχ＝0有两个线性无关的解，A*是A的伴随矩阵，则有()．A、A*χ＝O的解均为Aχ＝O的解B、Aχ＝0的解均为A*χ＝0的解C、Aχ＝0与A*χ＝0无非零公共解D、Aχ＝0与A*χ＝0恰好有—个非零公共解标准答案：B知识点解析：由题意，n－R(A)≥2，从而R(A)≤n－2，由R(A)与R(A*)之间关系知R(A*)＝0，即A*＝O，所以任选一个n维向量均为A*χ＝0的解．故应选B．6、设3维向量α4不能由向量组α1，α2，α3线性表示，则必有()．A、向量组α1，α2，α3线性无关B、向量组α1，α2，α3线性相关C、向量组α1＋α4，α2＋α4，α3＋α4线性无关D、向量组α1＋α4，α2＋α4，α3＋α4线性相关标准答案：B知识点解析：4个3维向量α1，α2，α3，α4必线性相关．若α1，α2，α3线性无关，则α4可由α1，α2，α3线性表示，所以B正确．对于C选项，取易知α4不能由α1，α2，α3线性表示，但α1＋α4，α2＋α4，α3＋α4线性相关，故C不正确．对于D选项，取易知α4不能由α1，α2，α3线性表示，但α1＋α4，α2＋α4，α3＋α4线性无关，故D不正确．故应选B．7、设随机变量X1的分布函数为F1(χ)，概率密度函数为f1(χ)，且E(X1)＝1，随机变量X的分布函数为F(χ)＝0．4F1(χ)＋0．6F1(2χ＋1)，则E(X)＝_______．A、0．6B、0．5C、0．4D、1标准答案：C知识点解析：已知随机变量X1的分布函数为F1(χ)，概率密度函数为f1(χ)，可以验证F1(2χ＋1)为分布函数，记其对应的随机变量为X2，其中X2为随机变量X1的函数，且X2＝，记随机变量X2的分布函数为F2(χ)，概率密度函数为f2(χ)，所以X的分布函数为F(χ)＝0．4F1(χ)＋0．6F2(χ)．两边同时对χ求导，得f(χ)＝0．4f1(χ)＋0．6f2(χ)．于是∫－∞＋∞χf(χ)dχ＝0．4∫－∞＋∞χf1(χ)dχ＋0．6∫－∞＋∞χf2(χ)dχ，即E(X)＝0．4E(X1)＋0．6E(X2)＝0．4E(X1)＋0．6E()＝0．4．故应选C．8、设总体X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本．记，其中a为常数．若E(T)＝λ2，则a＝()．A、B、C、－1D、1标准答案：A知识点解析：因为X服从泊松分布P(λ)，则E(X)＝D(X)＝λ，由E(T)＝λ2，可得aλ＋＝0，则a＝－．故应选A．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、微分方程χ2y′＋χy＝y2满足初始条件y｜χ＝1＝1的特解为_______．标准答案：y＝知识点解析：方程变形为y′＝，令＝u，则y＝χu，两边同时对χ求导，得y′＝u＋χu′，代入原方程得χ＝u2－2u，分离变量得，则，积分得[ln(u－2)－lnu]＝lnχ＋C1，即＝Cχ2，则＝Cχ2．由y｜χ＝1＝1，得C＝－1．则所求特解为＝－χ2，即y＝．故应填y＝．10、设f(χ)＝，为连续函数，则a＝_______，b＝_______．标准答案：知识点解析：因为f(χ)为分段函数，且为连续函数，则f(χ)在分段点χ＝0，χ＝1均连续，即则－＝b．f(1)＝a＋b，则a＋b＝1．解得故应填11、函数f(χ)＝展开成χ的幂级数为_______．标准答案：知识点解析：其中－1＜χ＜1且－1＜＜1，解得收敛域为－1＜χ＜1．故应填12、设某商品需求量Q是价格P的单减函数Q＝Q(P)，其需求弹性η＝＞0，则总收益R对价格P的弹性函数为_______．标准答案：知识点解析：R＝PQ＝PQ(P)，则R′(P)＝Q(P)＋PQ′(P)，由题意知，需求弹性η＝－，则收益对价格P的弹性函数为13、设n阶方阵A与B相似，A2＝2E，则｜AB＋A－E｜＝_______．标准答案：1知识点解析：AB＋A－B－E＝(A－E)B＋A－E＝(A－E)(B＋E)．又A2＝2E，得(A－E)(A＋E)＝E再由A，B相似，得A＋E和B＋E相似，从而｜A＋E｜＝｜B＋E｜．于是｜AB＋A－B－E｜＝｜A－E｜.｜B＋E｜＝｜A－E｜.｜A＋E｜＝｜E｜＝1．故应填1．14、设随机变量X～U(0，1)，Y～E(1)，且X与Y相互独立，则P{Y≤X}＝_______．标准答案：e-1知识点解析：所以联合概率密度为故P{Y≤X}＝f(χ，y)dχdy＝∫01dχ∫0χe-ydy＝∫01(1－e-χ)dχ＝1＋(e-1－1)＝e-1．故应填e-1．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设f(χ)可导，且f(0)＝0，f′(0)≠0，求．标准答案：此极限是“”型未定义，由洛必达法则，可得知识点解析：暂无解析16、求｜z｜在约束条件下的最大值与最小值．标准答案：由｜z｜的最值点与z2的最值点一致，下面构造拉格朗日函数．设F(χ，y，z，λ，μ)＝z2＋λ(χ2＋9y2－2z2)＋μ(χ＋3y＋3z－5)，令解得两组解：(χ，y，z)1＝(1，，1)；(χ，y，z)2＝(－5，－，5)．比较｜z｜在两点的值大小：当χ＝1，y＝时，｜z｜＝1为最小值；当χ＝－5，y＝－时，｜z｜＝5为最大值．知识点解析：暂无解析17、设χOy平面上有正方形D＝((χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤1}及直线l：χ＋y＝t(t≥0)，若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求∫0χS(t)dt(χ≥0)．标准答案：当0≤t≤1时，S(t)＝∫0t(t－χ)dχ＝t2；当1＜t≤2时，S(t)＝(t－1)×1＋∫t-11(t－χ)dχ＝－t2＋2t－1；当t＞2时，S(t)＝1．即S(t)＝所以，当0≤χ≤1时，∫0χS(t)dt＝；当1＜χ＜2时，当χ＞2时，∫0χS(t)dt＝∫01dt＋∫12(－＋2t－1)dt∫2χdt＝χ－1．因此，∫0χS(t)dt＝知识点解析：暂无解析18、对于一切实数t，函数f(t)为连续的正函数且可导，又f(－t)＝f(t)，设g(χ)＝∫-aa｜χ－t｜f(t)dt，a＞0，χ∈[－a，a]．(Ⅰ)证明g′(χ)单调增加；(Ⅱ)求出使g(χ)取得最小值的χ；(Ⅲ)将g(χ)的最小值当作a的函数，使其等于f(a)－a2－1，求f(χ)．标准答案：(Ⅰ)因为g(χ)＝∫－aa｜χ－t｜f(t)dt＝∫－aχ(χ－t)f(t)dt＋∫χa(t－χ)f(t)dt＝χ∫－aχf(t)dt－∫－aχtf(t)dt＋∫χatf(t)dt－χ∫χaf(χ)dt，且f(t)连续，故上式右边可导，于是g′(χ)＝∫－aχf(t)dt＋χf(χ)－χf(χ)－χf(χ)－∫χaf(t)dt＋χf(χ)＝∫－aχf(t)dt＋∫aχf(t)dt，g〞(χ)＝2f(χ)，因为f(χ)＞0，知g〞(χ)＞0，由此可得出g′(χ)为单调增函数．(Ⅱ)令g′(χ)＝0，即∫－aχf(t)dt＋∫aχf(t)dt＝0．令t＝－μ，dt＝－dμ，并注意到f(－t)＝f(t)，则∫－aχf(t)dt＝－∫a－χf(－μ)dμ＝∫－χaf(μ)dμ＝∫－χaf(t)dt，因此∫－aχf(t)dt＋∫aχf(t)dt＝∫－χaf(t)dt＋∫aχf(t)dt＝∫－χχf(t)dt＝0，即2∫0χf(t)dt＝0．又因为f(t)＞0，故χ＝0．由(Ⅰ)可知g〞(0)＝2f(0)＞0，则g(χ)在χ＝0点取得最小值，最小值为g(0)＝∫－aa｜t｜f(t)dt＝2∫0atf(t)dt．(Ⅲ)由2∫0af(t)dt＝f(a)－a2－1，将上式两边对a求导，则有2af(a)＝f′(a)－2a，即＝2a，则有＝2χ，两边积分得ln[f(χ)＋1]＝χ2＋c；由2∫0atf(t)dt＝f(a)－a2－1，知f(0)＝1，则c＝ln2，于是得f(χ)＋1＝2，即f(χ)＝2－1．知识点解析：暂无解析19、计算二重积分I＝｜χ2＋y2－4｜dχdy，其中D是由y＝｜χ｜与y＝2所围成的平面区域．标准答案：设D1＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤4，y≥χ，χ≥0}，D2＝{(χ，y)｜χ2＋y2≥4，y≥χ，χ≥0，y≤2}，由于积分区域D关于Y轴对称，被积函数｜χ2＋y2－4｜关于χ是偶函数，由对称性知所以I＝2(I1＋I2)＝4π－．知识点解析：暂无解析20、设α1，α2，α3，α4为4维列向量，满足α2，α3，α4线性无关，且α1＋α3＝2α2．令A＝(α1，α2，α3，α4)，β＝α1＋α2＋α3＋α4．求线性方程组Aχ＝β的通解．标准答案：先求Aχ＝0的基础解系．由于α2，α3，α4线性无关，且α1＝2α2－α3，得R(A)＝3．又因为α1－2α2＋α3＋0.α4＝0，故Aχ＝0基础解系为(1，－2，1，0)T．再求Aχ＝β的一个特解．由于β＝α1＋α2＋α3＋α4，故(1，1，1，1)T为一个特解．所以，Aχ＝β的通解为(1，1，1，1)T＋k(1，－2，1，0)T，k为常数．知识点解析：暂无解析21、设A是一个n阶方阵，满足A2＝A，R(A)＝r，且A有两个不同的特征值．(Ⅰ)试证A可对角化，并求对角阵A；(Ⅱ)计算行列式｜A－2E｜．标准答案：(Ⅰ)设λ是A的特征值，由于A2＝A，所以λ2＝λ，且A有两个不同的特征值，从而A的特征值为0和1．又因为A2＝A，即A(A－E)＝O，故R(A)＋R(A－E)＝n事实上，因为A(A－E)＝O，所以R(A)＋R(A－E)≤n另外，由于E－A同A－E的秩相同，则有n＝R(E)＝R[(E－A)＋A]≤R(A)