考研数学（数学三）模拟试卷4（共206题）

考研数学（数学三）模拟试卷4（共9套）（共206题）考研数学（数学三）模拟试卷第1套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设f(χ)＝，则f(χ)在χ＝0处()．A、不连续B、连续但不可导C、可导但f′(χ)在χ＝0处不连续D、可导且f′(χ)在χ＝0处连续标准答案：D知识点解析：f′(0)＝当χ＞0时，f′(χ)＝，当χ＜0时，f′(χ)＝所以，＝f′(0)．因此f(χ)在χ＝0处可导，且f′(χ)在χ＝0处连续．故应选D．2、设f(χ)＝，当χ→0时，f(χ)是g(χ)的()．A、等价无穷小B、同阶但不等价的无穷小C、高阶无穷小D、低阶无穷小标准答案：B知识点解析：所以，当χ→0时，f(χ)是g(χ)的同阶但不等价的无穷小．故应选B．3、设，且D＝{(χ，y)｜(χ－1)2＋(y－1)2≤2}，则有()．A、I1＜I2＜I3B、I2＜I3＜I1C、I3＜I1＜I2D、I3＜I2＜I1标准答案：A知识点解析：当被积函数连续时，在同一积分区域上比较积分大小即可．只要比较被积函数的大小，由题目知被积函数为的方幂，因此只需看是否小于或大于1，如图1—1所示．当(χ，y)∈D时，有0≤≤1，从而有(等号不恒成立)，所以I1＜I2＜I3．故应选A．4、已知n维向量组(i)α1，α2，…，αs(ii)β1，β2，…，βt的秩都为r，则下列命题中不正确的是()．A、若s＝t，则向量组(i)与(ii)等价B、若向量组(i)是(ii)的部分组，则向量组(i)与(ii)等价C、若向量组(i)能由(ii)线性表示，则向量组(i)与(ii)等价D、若向量组(iii)α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt的秩为r，则向量组(i)和(ii)等价标准答案：A知识点解析：取向量组(i)：和向量组(ii)：则向量组(i)的秩为2，向量组(ii)的秩也为2．但显然(i)与(ii)不等价．故应选A．5、矩阵与()相似．A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：令矩阵A＝，则A的特征值为1和2．而(A)选项中矩阵的特征值为－1和－2，故矩阵A不与A选项的矩阵相似．又因为＝2，而B选项中＝0，C选项中＝－2，故矩阵A不与B、C选项的矩阵相似．所以，矩阵A与D选项的矩阵相似．事实上，均与对角阵相似．再由相似的传递性，相似．故应选D．6、设随机变量X，Y，Z相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(2，2)，Z～N(3，7)，记a＝P{X＜Y}，b＝P{Y＜Z}，则()．A、a＞bB、a＜bC、a＝bD、无法确定标准答案：A知识点解析：因为X—y～N(－1，4)，y—Z～N(－1，9)，则a＝P{X＜Y}＝P{X－Y＜0}＝，b＝P{Y＜Z}＝P{Y－Z＜0}＝，由于分布函数Ф(χ)单调增加，所以a＞b．故应选A．7、当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则下列结论正确的是()．A、P(C)＝P(AB)B、P(C)＝P(A)＋P(B)C、P(C)≥P(A)＋P(B)－1D、P(C)≤P(A)＋P(B)－1标准答案：C知识点解析：由题意ABC及概率广义加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，得P(C)≥P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AUB)≥P(A)＋P(B)－1．故应选C．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、＝_______．标准答案：知识点解析：故应填．9、设＝∫－∞aχedχ，则常数a＝_______．标准答案：2知识点解析：由题意知ea＝(a－1)ea，解得a＝2．故应填2．10、设函数f(t)有二阶连续的导数，r＝，g(φ，y)＝f()，则＝_______．标准答案：知识点解析：因为，则利用对称性可得故应填11、设f(χ)＝若f(χ)在χ＝0处的二阶导数存在，则a＝_______．标准答案：2知识点解析：当χ＜0时，f′(χ)＝2e2χ；当χ＞0时，f′(χ)＝2aχ＋2；由于f〞(0)存在，则f′(χ)在χ＝0处连续，且f′(0)＝limf′(χ)＝2，则故f〞＋(0)＝f〞－(0)，即a＝2．故应填2．12、设Dn＝，则Dn中所有元素的代数余子式之和为_______．标准答案：n!知识点解析：因第一行元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，所以1.A11＋1.A12＋…＋1.A1n＝Dn＝n!．因第一行元素与第i行(i≥2)对应元素的代数余子式乘积之和等于零，所以1.Ai1＋1.Ai2＋…＋1.Ain＝0．故所有元素代数余子式之和为n!故应填n!．13、设总体X～N(μ，22)，X1，X2，…，Xn为取自总体的一个样本，为样本均值，要使E(－μ)2≤0．1成立，则样本容量n至少应取_______．标准答案：40知识点解析：，解得n≥40．故n≥40．故应填40．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)14、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析15、就常数a的不同取值情况，讨论方程χe－χ＝a(a＞0)的实根．标准答案：令f(χ)＝χe－χ－a，则f′(χ)＝(1－χ)e－χ，f〞(χ)＝(χ－2)e－χ．令f′(χ)＝0，得驻点χ＝1．由于当χ∈(－∞，1)时，f′(χ)＞0，f(χ)在(－∞，1)单调增加，当χ∈(1，＋∞)时，f′(χ)＜0，f(χ)在(1，＋∞)内单调减少，所以f(χ)在χ＝1处取得极大值，即最大值为f(1)＝e-1－a．则①当e-1－a＜0时，即a＞时，f(χ)≤f(1)＜0，方程χe-χ＝a无实根．②当e-1－a＝0，即a＝时，只有f(1)＝0，而当χ≠1时，f(χ)＜f(1)＝0，方程χe-χ＝a只有一个实根χ＝1．③当e-1－a＞0，即a＜时，由于(χe-χ－a)＝－∞，f(1)＝e-1－a＞0，f(χ)在(－∞，1)内单调增加，则f(χ)＝0在(－∞，1)内只有一个实根．又因＝－a＜0，f(1)＝e-1－a＞0，f(χ)在(1，＋∞)内单调递减，则f(χ)＝0在(1，＋∞)内只有一个实根．所以方程χe－χ＝a正好有两个实根．知识点解析：暂无解析16、设f(χ，y)＝求f(χ，y)dχdy，其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤2y}．标准答案：设D1＝{(χ，y)｜1≤χ2＋y2≤2y且χ≥0}，如图6—1所示，则当χ≥0时，由得交点M()．令χ＝rcosθ，y＝rsinθ引入极坐标系(r，θ)，则点M的极坐标为(1，)，从而，在极坐标系下D1＝知识点解析：暂无解析17、讨论函数f(χ，y)＝在点(0，0)处(Ⅰ)是否连续；(Ⅱ)偏导数是否存在；(Ⅲ)是否可微；(Ⅳ)偏导数是否连续．标准答案：(Ⅰ)当(χ，y)≠(0，0)时，｜f(χ，y)｜≤χ2＋y2，故f(χ，y)＝0＝f(0，0)，所以函数在(0，0)处连续．(Ⅱ)在(0，0)处，即f(χ，y)在(0，0)处关于χ的偏导数存在，且f′χ(0，0)＝0．同理，f′y(0，0)也存在，且f′y(0，0)＝0．(Ⅲ)由(2)知，f′χ(0，0)＝f′y(0，0)＝0，函数在(0，0)处的全增量：△z＝f(△χ，△y)－f(0，0)＝[(△χ)2＋(△y)2]sin＝ρ2sin，其中ρ＝．故△z－[f′χ(0，0)△χ＋f′y(0，0)△y]＝ρ2sin．因为所以△z＝f′χ(0，0)△χ＋f′y(0，0)△y＋o(ρ)．故函数f(χ，y)在(0，0)处可微，且dz＝f′χ(0，0)△χ＋f′y(0，0)△y＝0．(Ⅳ)当(χ，y)≠(0，0)时故均不存在所以f′χ(χ，y)，f′y(χ，y)在(0，0)处都不连续．知识点解析：暂无解析18、设有级数(Ⅰ)求此级数的收敛域；(Ⅱ)证明此级数的和函数y(χ)满足微分方程y〞－y＝－1；(Ⅲ)求微分方程y〞－y＝－1的通解，并由此确定该级数的和函数y(χ)．标准答案：(Ⅰ)对于任意χ，有所以收敛域为(－∞，＋∞)．(Ⅱ)应用幂级数和函数的性质证明：y(χ)＝2＋，χ∈(－∞，＋∞)即y(χ)满足微分方程y〞－y＝－1．(Ⅲ)y〞－y＝0的特征方程r2－1＝0的特征根为r＝±1，于是对应齐次方程的通解为Y＝C1eχ＋C2e－χ，又特解为y*＝－1，故y〞－y＝－1的通解为y＝C1eχ＋C2e－χ＋1．又幂级数的和函数y(χ)满足y〞(χ)－y(χ)＝－1，且y(0)＝2，y′＝(0)＝0，则y(χ)即为微分方程y〞－y＝－1满足初值条件y｜χ＝0＝2，y′｜χ＝0＝0的特解，即则C1＝C2＝．所以和函数y(χ)＝＋1．知识点解析：暂无解析19、设齐次线性方程组Aχ＝O的基础解系为α1＝(1，3，0，2)T，α2＝(1，2，－1，3)T．Bχ＝0的基础解系为β1＝(1，1，2，1)T，β2＝(0，－3，1，a)T．若Aχ＝0和Bχ＝0有非零公共解，求a的值并求公共解．标准答案：设非零公共解为γ，则γ既可由α1和α2线性表示，也可由β1和β2线性表示．设γ＝χ1α1＋χ2α2＝－χ3β1－χ4β2，则χ1α1＋χ2α2＋χ3β1＋χ4β2＝0．γ≠0χ1，χ2，χ3，χ4不全为零R(α1，α2，β1，β2)＜4a＝0．当a＝0时，则χ1＝2t，χ2＝－t，χ3＝－t，χ4＝t．所以非零公共解为2tα1－tα2＝t(1，4，1，1)T，其中t为非零常数．知识点解析：暂无解析20、已知矩阵A＝和B＝相似，求a，b及一个可逆矩阵P，使P-1AP＝B．标准答案：因为A，B相似，所以｜A｜＝｜B｜，且tr(A)＝tr(B)，｜λE－A｜＝＝(λ－3)(λ＋5)＋16＝λ2＋2λ－15＋16＝λ2＋2λ＋1＝(λ＋1)2．故A的两个特征值为－1，－1．但(－E－A)＝因此R(－E－A)＝1，所以不能对角化．设P＝，满足P-1AP＝B，即有AP＝PB，从而整理得解得基础解系为所以可令P＝，则有P-1AP＝B知识点解析：暂无解析21、设随机变量X和Y的联合分布在以点(0，1)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量U＝X＋Y的方差．标准答案：三角形区域为G＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤1，χ＋y≥1}；随机变量X和Y的联合密度为以f(u)表示U＝X＋Y的概率密度，当u＜1或u＞2时，显然f(u)＝0．设1≤u≤2，当0≤χ≤1且0≤u－χ≤1时，f(χ，u－χ)＝2，否则f(χ，u－χ)＝0．由随机变量之和的概率密度公式，有f(u)＝∫－∞＋∞f(χ，u－χ)dχ＝∫u-112dχ＝2(2－u)．因此E(X＋Y)＝E(U)＝∫－∞＋∞uf(u)du＝2∫12u(2－u)du＝，E(X＋Y)＝E(U*)＝∫－∞＋∞u2f(u)du＝2∫12u2(2－u)du＝，D(U)＝D(X＋y)＝E(X＋Y)2－[E(X＋Y)]2＝知识点解析：暂无解析22、设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为其中λ＞0，μ＞0是常数，引入随机变量Z＝(Ⅰ)求条件概率密度fX｜Y(χ｜y)；(Ⅱ)求Z的分布律和分布函数．标准答案：(Ⅰ)由X和Y相互独立，故f(χ，y)＝fX(χ).fY(y)．当y＞0时，(Ⅱ)由于Z＝且故Z的分布律为Z的分布函数为知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设，则f(x)有()A、1个可去间断点。B、1个可去间断点，1个无穷间断点。C、1个跳跃间断点，1个可去间断点。D、1个跳跃间断点，1个无穷间断点。标准答案：B知识点解析：本题考查间断点的类型和判断方法。先找出函数可能的间断点，再依次计算函数在这些点的极限，利用不同间断点的定义判断。由题意，x＝1和x＝0是函数的可疑间断点。对于x＝0，因此x＝0是可去间断点；对于x＝1，因此x＝1是无穷间断点。故本题选B。2、设函数f(x)在[a，B]上连续，且0＜f(x)＜1，则方程在(a，b)内的根有()A、0个。B、1个。C、2个。D、无穷多个。标准答案：A知识点解析：本题考查方程根的个数及变限积分求导。先判断在区间端点处的正负及函数在区间上的单调性，然后利用函数的单调性判断根的个数。设，则F(x)在[a，b]上连续，且对F(x)求导可得因此F(x)在(0，b)上单调递增，F(x)在(0，b)内没有实根。故本题选A。3、函数项级数的收敛域为()A、(－1，1)。B、C、D、标准答案：C知识点解析：本题考查求函数项级数的收敛域。令，将原级数变形化简，利用比值审敛法求关于y的级数的收敛半径，结合端点处级数的敛散性得出收敛域，最后再求出原级数的收敛域。4、方程的特解形式(0，6，c，d是常数)为()A、ae－3x＋be－2x＋cx＋d。B、axe－3x＋be－2x＋cx3＋dx。C、axe－3x＋bxe－2x＋cx3＋dx2。D、ae－3x＋bxe－2x＋cx3＋dx2。标准答案：D知识点解析：本题考查高阶常系数非齐次微分方程的特解。先利用特征方程求出特征根，再根据e－3x，3e－2x，x的形式分别设出各自的特解形式，将特解相加即得原方程的特解形式。特征方程为r4－r3-6r2＝r2(r－3)(r＋2)＝0，特征根分别为r1＝3，r2＝－2，r3＝0(重根)。对于f1(x)＝e－3x，λ1＝－3不是特征根，可设y*1＝ae－3x；对于f2(x)＝－3e－2x，λ2＝-2是特征根，可设y*2＝bxe－2x；对于f3(x)＝x，λ3＝0是双重特征根，可设y*3＝x2(cx＋d)。因此特解形式为ae－3x＋bxe－2x＋cx3＋dx2。故本题选D。5、设A是n阶可逆方阵(n≥2)，A*是A的伴随矩阵，则(A*)*＝()A、｜A｜n＋1A。B、｜A｜n－1A。C、｜A｜n＋2A。D、｜A｜n－2A。标准答案：D知识点解析：本题考查伴随矩阵的性质。主要利用公式AA*＝｜A｜E和结论｜A*｜＝｜A｜n－1推导。\根据公式AA*＝｜A｜E，可得(A*)(A*)*＝｜A*｜E，因此(A*)*＝｜A*｜(A*)－1。又因为｜A*｜＝｜A｜n－1，，所以故本题选D。6、下列命题正确的是()A、如果AB＝E，则矩阵A一定可逆，且A－1＝B。B、如果A，B是n阶可逆矩阵，则AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1。C、如果A，B是n阶可逆矩阵，则A＋B也可逆，且(A＋B)－1＝B－1＋A－1。D、如果A，B是n阶不可逆矩阵，则A－B一定不可逆。标准答案：B知识点解析：本题考查矩阵可逆的性质。只有针对方阵，才可以讨论其可逆性；两个n阶矩阵是否可逆对它们的和或差的矩阵的可逆性没有影响；两个可逆矩阵的乘积仍可逆。对于选项A，没有指出A和B是否为方阵，因此不能确定A是否可逆，例如，满足AB＝E，但显然A不可逆，A选项错误；对于选项B，矩阵A，B可逆，则｜A｜≠0，｜B｜≠0，且｜AB｜＝｜A｜｜B｜≠0，因此AB可逆，且(AB)－1＝B－1A－1，B选项正确；对于选项C，如果矩阵A，B可逆，但A＝－B，则A＋B＝D，零矩阵不可逆，C选项错误；对于选项D，设，显然A和B均不可逆，但是A－B是单位矩阵，单位矩阵可逆，D选项错误。故本题选B。7、设随机变量x与y均服从正态分布，其中X～N(μ，9)，Y～N(μ，16)，记p1＝P{X≥μ＋3}，p2＝P{X≤μ－4}，则()A、对任意实数μ，都有p1＝p2。B、无论μ取任何实数，都有p1≠p2。C、对任意实数μ，都有p1＞p2。D、对任意实数μ，都有p1＜p2。标准答案：A知识点解析：本题考查正态分布的标准化及标准正态分布的性质。先将题中的两个正态分布标准化，再利用正态分布的性质Φ(-x)＝1－Φ(x)得出结论。用Φ(x)表示标准正态分布N(0，1)的分布函数，则由于Φ(－1)＝1－Φ(1)，因此p1＝p2，即对任意实数μ，都有p1＝p2。故本题选A。8、设X1，X2，…，Xn是取自正态总体Ⅳ(μ，σ2)的简单随机样本，X是样本均值，S2是样本方差，则服从()A、自由度为n－1的X2分布。B、自由度为n的X2分布。C、自由度为n－1的t分布。D、自由度为n的t分布。标准答案：B知识点解析：本题考查X2分布和t分布的定义和性质。题干所需判断的随机变量是由两部分组成的，可以分开判断，利用X2分布或t分布的性质求自由度。因为总体X～N(μ,σ2)，所以。又因为。由于和S2独立，由X2分布的可加性可得。故本题选B。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设f(x)在x＝2的某邻域内可导，且f＇(x)＝ef(x)，f(2)＝3，则f(n)(2)＝_________。标准答案：(n-1)!e3n知识点解析：本题考查数学归纳法求高阶导数。首先通过多次求导找出f(n)(x)的表达式，再将x＝2代入最终表达式得出结果。对f＇(x)＝ef(x)两端求导可得f＂(x)＝ef(x)·f＇(x)＝e2f(x)，对上式两端继续求导可得，对上式两端继续求导可得f(4)(x)＝2e3f(x)·3f＇(x)＝6e4f(x)，根据数学归纳法可知，f(n)(x)＝(n－1)!enf(x)，结合f(2)＝3可知，f(n)(2)＝(n－1)!enf(2)＝(n－1)!e3n。10、设f(x，y)＝∫xy0tet2dt，则＝________。标准答案：x2yex2y2知识点解析：本题考查多元函数求高阶偏导和变上限积分求导公式。根据已知分别求出的表达式，代入化简。已知f(x，y)＝∫xy0tet2dt，则有，因此11、已知函数f(x)二阶可导，且，则f(x)＝__________。标准答案：，C1,C2为任意常数知识点解析：本题考查变限积分求导和二阶非齐次微分方程求解。首先处理积分∫10f(tx)dt，在等式两端乘以x，令u＝tx，原式化为含变上限积分的等式；再通过对变形后的方程两边同时求导构造二阶微分方程；最后利-用二阶非齐次方程求解步骤求通解。将所给的方程两端同乘以x可得令u＝tx，上式变为两边同时对x求导，得微分方程f＂(x)－4f(x)＝e2x，即y＂－4y＝e2x。y＂－4y＝0的特征根为λ＝±2，因此对应齐次方程的通解为y＝C1e－2x＋C2e2x。设特解为y*＝Axe2x,代入y＂－4y＝e2x，解得，所以，C1，C2为任意常数。12、已知f(x)是连续函数，且在x＝0的某邻域内满足－3f(1＋sinx)＝6x＋α(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x＝1处可导，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为__________。标准答案：y＝－2x＋2知识点解析：本题考查求切线方程。解答求切线方程类题目的关键是求出切线的斜率，即函数在切点处的导数值。本题求斜率时先求出f(1)的值，再利用导数的极限式定义求出f＇(1)的值。根据已知，由，得－3f(1)＝0，即f(1)＝0。又可得－3f＇(1)＝6，f＇(1)＝－2。因此切线方程为y＝－2x＋2。13、已知A，B均是3阶矩阵，将A中第3行的3倍加到第1行得到矩阵A1，将B中第2列和第3列交换得到矩阵B1，，则AB＝___________。标准答案：知识点解析：本题考查初等矩阵和初等变换。首先根据初等变换对应的初等矩阵得到A1，B1的形式，再用A1B1及初等矩阵的逆矩阵表示AB。由于初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵，因此直接对A1B1施行对应的初等变换(无需进行矩阵乘法)即可得出AB。根据题意14、设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立且都服从参数为λ的泊松分布，令(X1＋X2＋…＋Xn)，则Y2的数学期望为___________。标准答案：知识点解析：本题考查相互独立的随机变量的性质和数学期望。首先根据已知得出X1＋X2＋…＋Xn服从的分布，并得出其数学期望和方差，然后求出D(Y)和E(Y)并将结果代入E(Y2)＝D(Y)＋[E(Y)]2即可得出Y2的数学期望。因为随机变量X1，X2，…，Xn相互独立且都服从参数为λ的泊松分布，所以X1＋X2＋…＋Xn～P(nλ)，因此可得E(X1＋X2＋…＋Xn)＝D(X1＋X2＋…＋Xn)＝nλ，则根据公式D(Y)＝E(Y2)－[E(Y)]2，可得三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设确定a，b，c的值，使得函数f(x)在点x＝0处连续且可导。标准答案：首先函数在x＝0的左极限为其次函数在x＝0的右极限为知识点解析：本题考查函数连续和可导的条件。先通过计算x＝0的左、右极限并使其等于f(0)，建立两个方程。并令x＝0的左、右导数存在且相等得出第三个方程。解方程组即可求出a，b，c的值。16、计算二重积分的值，其中区域D是x2＋y2≥1和x2＋(y－1)2≤1所代表的区域的公共部分。标准答案：本题积分区域涉及圆的方程，因此采用极坐标求解。积分区域如图所示。知识点解析：本题考查二重积分的计算。首先画出积分区域的草图，发现积分区域是关于y轴对称的，因此积分值等于第一象限积分值的2倍。17、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝0，。证明存在，使得f＇(η1)＋f＇(η1)＝η31＋η32。标准答案：构造辅助函数，，则F(0)＝F(1)＝0，F(x)满足拉格朗日中值定理。即f＇(η1)＋f＇(η2)＝η31＋η32成立。知识点解析：本题考查拉格朗日中值定理。本题有两个中值点，因此需要构造辅助函数，并两次应用拉格朗日中值定理。18、在微分方程的通解中求一个特解y＝y(x)(x＞0)，使得曲线y＝y(x)与直线x＝1，x＝2及y＝0所围平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小。标准答案：原方程可化为，x≠0。这是一阶线性微分方程，由通解公式得由曲线与直线x＝1，x＝2及y＝0所围平面图形绕x轴旋转的旋转体体积为知识点解析：本题考查一阶线性微分方程的求解及旋转体体积的计算。首先由已知微分方程求得通解，然后再利用旋转体的体积公式表示出含有未知参量的体积值，最后利用导数与最值的关系确定未知参量，得到函数表达式。19、求幂级数的收敛域及和函数。标准答案：首先求收敛域，，令｜x｜＜l，得其收敛区间为x∈(－1，1)。当x＝－1时，级数为，由比较审敛法可知该级数收敛；当x＝1时，级数为，由莱布尼茨判别法可知该级数收敛。因此原级数的收敛域为x∈[－1，1]。接下来求级数的和函数：令知识点解析：本题考查幂级数的收敛域及和函数。首先利用根值判别法求收敛半径，再分别判断区间端点处级数的敛散性，得出收敛域。求和函数时先将级数分解为容易求和函数的常见函数形式，结合逐项求导或逐项求积分不改变收敛半径的性质得出原级数的和函数。20、设矩阵，X是一个2阶矩阵。(Ⅰ)求满足矩阵方程ABX－XAB＝O的所有的X(Ⅱ)矩阵方程是否有解，如果有解，求其解。标准答案：(Ⅰ)设未知矩阵为，代入方程可得则该矩阵方程等价于齐次线性方程组对该方程的系数矩阵实施初等行变换，其中自由变量为x3，x4，令3＝0，x4＝1和x3＝1，x4＝0，可得基础解系为α1＝(2，2，1，0)T，α2＝(－1，0，0，1)T，因此(x1，x2，x3，x4)T＝k1α1＋k2α2＝(2k1－k2，2k1，k1，k2)T，则满足矩阵方程的矩阵X为，k1，k2为任意常数。(Ⅱ)矩阵方程可转化为非齐次线性方程组未知数个数多于方程个数，因此必有解，对应齐次方程组的通解为x0＝k1α1＋k2α2＝(2k1－k2，2k1，k1，k2)T，非齐次线性方程组的一个特解为β＝(－2，－1，0，0)T。因此方程组的通解为x0＝k1α1＋k2α2＋β＝(2k1－k2－2，2k1－1，k1，k2)T。则满足矩阵方程的矩阵X为，k1，k2为任意常数。知识点解析：本题考查矩阵方程。该题第一问求解矩阵方程时可通过变形将其转化为求解齐次线性方程组的解，根据齐次线性方程组求通解的步骤求出通解即为X的四个元素。第二问等价于求非齐次线性方程组的解的存在性。21、设二次型f(x1，x2，x3)＝xTAx，其中二次型矩阵A的主对角元素的和为3。AB＝O，其中(Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形，并求所做的正交变换；(Ⅱ)求该二次型的具体表达式。标准答案：根据已知条件，因此矩阵B的3个列向量均为A的对应于特征值A＝0的特征向量，其中β1＝(1，2，1)T，β2＝(－2，1，0)，2β－β＝(4，3，2)T，故λ＝0至少为矩阵A的二重特征值。根据A的主对角元素的和为3可得A还有一个特征值为3，因此属于矩阵A的特征值分别为0，0，3。矩阵A是一个实对称矩阵，因此属于特征值3的特征向量与属于特征值0的两个特征向量均正交，可得方程组解得β3＝(x1，x2，x3)T＝(1，2，－5)T。故存在正交变换x＝Qy，其中知识点解析：本题考查化二次型为标准形。第一问通过矩阵方程及主对角线元素的和可得出矩阵A的特征值，利用属于不同特征值的特征向量正交的性质求出A的所有特征向量，从而得出正交矩阵。第二问利用第一问的逆向变化计算矩阵的乘积即可得出矩阵A的具体形式。22、设随机变量U在[－3，3]上服从均匀分布，记随机变量(Ⅰ)求Cov(X，Y)，并判断随机变量X与Y的独立性；(Ⅱ)求D[(1＋X)Y]。标准答案：(Ⅰ)已知X和Y的全部取值只有－1和1，且P{X＝－1，Y＝1}＝P{U≤－2，U＞1}＝0，因此(X，Y)的分布律及边缘分布律为根据相互独立的性质可知随机变量X和Y不独立。(Ⅱ)根据随机变量乘积的方差公式D[(1＋X)Y]＝D(y＋XY)＝D(Y)＋D(XY)＋2Cov(Y，XY)＝D(Y)＋D(XY)＋2E(XYz)-2E(Y)E(XY)，由上一问可知，因此通过计算可得随机变量XY和XY2的分布律如下因此可分别计算得知识点解析：本题考查协方差的计算、独立性的判断及随机变量乘积的方差的计算。先通过已知条件写出(X，Y)的分布律及边缘分布律，然后计算X和Y的期望，利用公式Cov(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)计算协方差，并通过判断协方差是否等于0验证X和Y是否独立。23、某机械工程师为了解多台同种仪器的精准度，抽取其中n台对某零件的同一物理量θ各检测一次，得到的测量结果分别为X1，X2，…，Xn。记录n次测量结果的误差分别为，(i＝1，2，…，n)，其概率密度为，假设Xi的绝对误差为。(Ⅰ)求Zi的概率密度；(Ⅱ)利用Z1，Z2，…，Zn求未知参数θ的矩估计量；(Ⅲ)求的数学期望和方差。标准答案：(Ⅰ)已知的概率密度为设Zi的分布函数为FZi(z)。当z＜0时，显然FZi(z)＝0；当z≥0时，因此可得Zi的概率密度为(Ⅱ)随机变量Z的数学期望是(Ⅲ)的数学期望知识点解析：本题主要考查求未知参数的矩估计量以及期望和方差的求解。第一问根据误差和绝对误差的关系求Zi的分布函数，对分布函数求导后得概率密度；第三问直接利用连续型随机变量的期望和方差的计算公式对矩估计量务求期望和方差。考研数学（数学三）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)连续，且则()．A、x=0为极大值点B、x=0为极小值点C、(0，f(0))为拐点D、x=0不是极值点，(0，f(0))也不是拐点标准答案：B知识点解析：因为f(x)连续，所以f(0)=0，再由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，f(x)＞0=f(0)，即x=0为f(x)的极小值点，应选B．2、曲线的渐近线条数为()．A、3条B、2条C、1条D、0条标准答案：A知识点解析：所以曲线的斜渐近线为y=x+2，故曲线有3条渐近线，选A．3、下列命题正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：方法一：方法二：应选D．4、设f(x，y)在(0，0)处连续，且则()．A、f(x，y)在(0，0)处不可偏导B、f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微C、f’x(0，0)=f’y(0，0)=4且f(x，y)在(0，0)处可微分D、f’x(0，0)=f’y(0，0)：0且f(x，y)在(0，0)处可微分标准答案：D知识点解析：5、设A为三阶矩阵，则()．A、当t≠2时，r(A)=1B、当t≠2时，r(A)=2C、当t=2时，r(A)=1D、当t=2时，r(A)=2标准答案：A知识点解析：方法一：当t≠2时为AX=0的两个线性无关的解，从而3－r(A)≥2，r(A)≤1，又由A≠O得r(A)≥1，即r(A)=1，应选A．方法二：当t≠2时，B为可逆矩阵，从而r(AB)=r(A)=1，应选A．6、设α，β为四维非零的正交向量，且A=αβT，则A的线性无关的特征向量个数为()．A、1个B、2个C、3个D、4个标准答案：C知识点解析：令AX=λX，则A2X=λ2X，因为α，β正交，所以αTβ=βTα=0，A2=αβT·αβT=O，于是λ2X=0，故λ1λ2λ3λ4=0，因为α，β为非零向量，所以A为非零矩阵，故r(A)≥1；又r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，所以r(A)=1．因为4－r(0E－A)=4－r(A)=3，所以A的线性无关的特征向量是3个，选C．7、(7)设随机变量X的分布函数为F(x)=0．2F1(z)+0．8F1(2x)，其中F。1(y)是服从参数为1的指数分布的随机变量的分布函数，则D(X)为()．A、0．36B、0．44C、0．64D、1标准答案：B知识点解析：设X1～E(1)，其密度函数为其分布函数为得D(X)=E(X2)－[E(X)]2=0．8－0．36=0．44，选B．8、设X1，X2，X3，X4，X5是来自总体N(1，4)的简单随机样本，则a=()．A、2B、C、D、1标准答案：C知识点解析：二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、标准答案：知识点解析：10、标准答案：z知识点解析：两边对x求偏导得11、标准答案：知识点解析：12、设y=y(x)由确定，则曲线y=y(x)在x=0对应的点处的切线为___________________．标准答案：y=2x+1知识点解析：令x=0得y=1．故所求的切线方程为y－1=2x，即y=2x+1．13、设若A～B，则y________________．标准答案：6知识点解析：由A～B得tr(A)=tr(B)，即x－3=0，于是x=3．显然A，B的特征值为λ1=λ2=1，λ3=－2，因为A～B且B为对角矩阵，所以A可对角化，从而r(E－A)=1，14、设X～N(0，1)，Y～N(0，4)且X，Y相互独立，则P{max(X，Y)＞0)=_____________________．标准答案：知识点解析：因为X～N(0，1)，Y～N(0，4)，三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)15、设过L上一点作切线，求切线与抛物线所围成面积的最小值．标准答案：首先求切线与坐标轴围成的面积其次求最优解知识点解析：暂无解析16、已知un(x)满足un(x)=un(x)+xn-1ex(n=1，2，…)，标准答案：un(x)=un(x)+xn－1一ex，即y＇－y=xn－1ex解得知识点解析：暂无解析17、设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导．(I)若f(a)=0，f(b)<0,f’+(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)f"(ξ)+f’2(ξ)=0．(Ⅱ)若证明：存在η∈(a，b)，使得f"(η)=f(η)．标准答案：(I)因为f＇+(a)＞0，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)=0，因为f(c)f(b)＜0，所以存在x0∈(c，b)，使得f(x0)=0．因为f(a)=f(x0)=0，由罗尔定理，存在x1∈(a，x0)，使得f＇(x1)=0．令φ(x)=f(x)f＇(x)，由φ(a)=φ(x1)=0，根据罗尔定理，存在ξ∈(a，x1)(a，b)，使得φ＇(ξ)=0．而φ＇(x)=f(x)f"(x)+f＇2(x)，所以f(ξ)f"(ξ)+f＇2(ξ)=0．(Ⅱ)令因为F(a)=F(b)=0，所以由罗尔定理，存在c∈(a，b)，使得F＇(c)=0，即f(c)=0．令h(x)=exf(x)，由h(a)=h(c)=h(b)=0，根据罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h＇(ξ1)=h＇(ξ2)=0，则h＇(x)=ex[f(x)+f＇(x)]，所以f(ξ1)+f＇(ξ1)=0，f(ξ2)+f＇(ξ2)=0．再令G(x)=e－x[f(x)+f＇(x)]，由G(ξ1)=G(ξ2)=0，根据罗尔定理，存在η∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得G＇(η)=0，而G’(x)=e-x[f"(x)－f(x)]且e－x≠0，所以f"(η)=f(η)．知识点解析：暂无解析18、设抛物线y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a2)(a＞0)．(I)求S=S(a)的表达式；(Ⅱ)当a取何值时，面积S(a)最小?标准答案：(I)设另一个切点为(x0，x02)，则抛物线y=x2的两条切线分别为L1:y=2ax－a2，L2:y=2x0x－x02知识点解析：暂无解析19、求级数的收敛域及和函数．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设A为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得且A*α=α．(I)求正交矩阵Q；(Ⅱ)求矩阵A．标准答案：(I)显然A的特征值为λ1=λ2=－1，λ3=2，A*的特征值为μ1=μ2=－2，μ3=1．因为α为A*的属于特征值μ3=1的特征向量，所以α是A的属于特征值λ3=2的特征向量，令α=α3．令A的属于特征值λ1=λ2=－1的特征向量为因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以－x1－x2+x3=0，则A的属于特征值λ1=λ2=－1的线性无关的特征向量为知识点解析：暂无解析21、某流水线上产品不合格的概率为各产品合格与否相互独立，当检测到不合格产品时即停机检查．设从开始生产到停机检查生产的产品数为X，求E(X)及D(X)．标准答案：X的分布律为P{X=k}=(1－p)k-1p(k=1，2，…)．则D(X)=E(X2)－[E2=190－100=90．知识点解析：暂无解析22、设总体X的分布函数为(X1，X2，…，X10)为来自总体X的简单随机样本，其观察值为1，1，3，1，0，0，3，1，0，1．(I)求总体X的分布律；(Ⅱ)求参数θ的矩估计值；(Ⅲ)求参数θ的极大似然估计值．标准答案：(I)总体X的分布律为(Ⅱ)E(X)=1×2θ+3×(1－3θ)=3—7θ，(Ⅲ)似然函数为L(θ)=θ3(2θ)5(1－3θ)2，lnL(θ)=3lnθ+5ln2θ+2In(1－3θ)，知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设函数f(χ)＝ln(1＋aχ2)－，且f〞(0)＝4，则常数a，b取值为()．A、a＝0，b为任意常数B、b＝0，a为任意常数C、a＝2，b为任意常数D、b＝2，a为任意常数标准答案：C知识点解析：由此得f〞(0)＝2a＝4，可知a＝2，而b为任一实数．故应选C．2、设f(χ)在[0，1]上连续，f(1)≠0，∫01f(χ)dχ＝0，则Ф(χ)＝χf(χ)＋∫0χf(t)dt出在闭区间[0，1]上()．A、必定没有零点B、有且仅有一个零点C、至少有两个零点D、有无零点无法确定标准答案：C知识点解析：易见，Ф(0)＝0，不选A．令F(χ)＝χ∫0χf(t)dt，则F(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F′K(χ)＝χf(χ)＋∫0χf(t)dt，并且F(0)＝F(1)＝0，由罗尔中值定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F′(ξ)＝0，即ξf(ξ)＋∫0ξf(t)dt＝0，可见，χ＝ξ∈(0，1)是Ф(χ)的零点．故应选C．3、下列反常积分发散的是()．A、B、C、D、∫0＋∞χ10e－χdχ标准答案：B知识点解析：以上都收敛，故应选B．事实上，故发散．故应选B．4、积分∫aa＋2πcosχln(2＋cosχ)dχ的值()．A、与a有关B、是与a无关的正数C、是与a无关的负数D、为零标准答案：B知识点解析：因被积函数f(χ)＝cosχln(2＋cosχ)是以2π为周期的周期函数，则∫aa+2πcosχln(2＋cosχ)dχ＝∫02πcosχln(2＋cosχ)dχ＝∫－ππcosχln(2＋cosχ)dχ，可见此积分与a无关．又因为cosχln(2＋cosχ)是偶函数，则∫－ππcosχln(2＋cosχ)dχ＝2∫0πcosχln(2＋cosχ)dχ＝2∫0πln(2＋cosχ)dsinχ＝2[sinχln(2＋cosχ)｜0π＋]＝＞0，则∫aa+2πcosχln(2＋cosχ)dχ＞0，且与a无关．故应选B．5、设向量组α1，α2，…，αm和向量组β1，β2，…，βt的秩相同，则正确结论的个数是()．①两向量组等价；②两向量组不等价；③若t＝m，则两向量组等价；④若两向量组等价，则t＝m；⑤若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βt线性表示，则两向量组等价；⑥若β1，β2，…，βt可由α1，α2，…，αm线性表示，则两向量组等价．A、5B、4C、3D、2标准答案：D知识点解析：若两个两向量组等价，则秩相同，但反之，未必成立．反例：向量组(Ⅰ)只含一个向量，向量组(Ⅱ)只含一个向量．则显然(Ⅰ)和(Ⅱ)的秩均为1，但不等价．若在秩相同的条件下，一个向量组可由另一个线性表示，则两个向量组等价，故⑤、⑥正确．故应选D．6、α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Aχ＝b．的三个解向量，且R(A)＝3，α1＝(1，2，3，4)T，α2＋α3＝(0，1，2，3)T．c表示任意常数，则线性方程组Aχ＝b的通解χ＝()．A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：根据线性方程组解的性质，可知2α1－(α2＋α3)＝(α1－α2)＋(α1－α3)是非齐次线性方程组Aχ＝b导出组Aχ＝0的一个解．因为R(A)＝3，所以Aχ＝0的基础解系含4－3＝1个解向量，而2α1－(α2＋α3)＝(2，3，4，5)T≠0，故是Aχ＝0的一个基础解系．因此Aχ＝b的通解为α1＋k(2α1一α2－α3)＝(1，2，3，4)T＋k(2，3，4，5)T，k∈R，即C正确．对于其他几个选项，A选项中(1，1，1，1)T＝α1－(α2＋α3)，B选项中(0，1，2，3)T＝α2＋α3，D选项中(3，4，5，6)T＝3α1－2(α2＋α3)，都不是Ax=b的导出组的解．所以选项A、B、D均不正确．故应选C．7、设随机变量X与Y服从正态分布N(－1，2)与N(1，2)，并且X与Y不相关，aX＋Y与X＋bY亦不相关，则()．A、a－b＝1B、a－b＝0C、a＋b＝1D、a＋b＝0标准答案：D知识点解析：X～N(－1，2)，Y～N(1，2)，于是D(X)＝2，D(Y)＝2．又Cov(X，Y)＝0，Cov(aX＋Y，X＋bY)＝0．由协方差的性质有Cov(aX＋Y，X＋bY)＝aCov(X，X)＋Coy(Y，X)＋abCov(X，Y)＋bCov(Y，Y)＝aD(X)＋bD(Y)故a＋b＝0．故应选D．8、设X1，X2，X3，X4为来自总体N(0，σ2)(σ＞0)的简单随机样本，则统计量的分布为()．A、N(0，2)B、t(2)C、χ2(2)D、F(2，2)标准答案：B知识点解析：因为X1～N(0，σ2)，所以X1－X2～N(0，2σ2)，即～N(0，1)．而～χ2(2)，自t分布定义～t(2)．故应选B．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、已知f(χ)具有任意阶导数，且f′(χ)＝[f(χ)]2，则f(χ)的n阶导数f(n)(χ)＝_______．标准答案：n![f(χ)]n+1知识点解析：由题意f′(χ)＝[f(χ)]2，则f〞(χ)＝[(f(χ))2]′＝2f(χ)f′(χ)＝2[f(χ)]3，f″′(χ)＝[2(f(χ))3]′＝3!f2(χ).f(χ)＝3![f(χ)]4，由归纳知f(n)(χ)＝n![f(χ)]n+1．故应填n![f(χ)]n+1．10、设f(χ)在χ＝1可导，f′(1)＝1，则＝_______．标准答案：9知识点解析：由题意可得故应填9．11、交换积分次序＝_______．标准答案：知识点解析：如图4—1所示．记D＝D1＋D2，则故应填．12、设f(χ)＝，则∫0πf(χ)dχ＝_______．标准答案：2知识点解析：故应填2．13、设｜A｜＝，那么行列式｜A｜所有元素的代数余子式之和为_______．标准答案：知识点解析：由于A*＝(Aij)，只要能求出A的伴随矩阵，就可求出Aij．因为A*＝｜A｜A-1，而｜A｜＝又由分块矩阵求逆，有故．故应填．14、设X服从参数为2的指数分布，则Y＝1－e－2X的概率密度fY(y)＝_______．标准答案：知识点解析：因为X服从以2为参数的指数分布，所以X的概率密度为由Y＝1－e-2X得χ＝h(y)＝－，所以Y的概率密度为三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、若＝3，求．标准答案：知识点解析：暂无解析16、计算二重积分I＝标准答案：由已知积分区域(如图2—1所示)D＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，1－≤χ}，利用极坐标，则有D＝{(r，θ)｜0≤θ≤，0≤r≤2sinθ}．知识点解析：暂无解析17、设f(χ)在[－2，2]上具有连续的导数，且f0)＝0，F(χ)＝∫－χχf(χ＋t)dt，证明：级数绝对收敛．标准答案：因为F(χ)＝∫－χχf(χ＋t)dt∫02χf(u)du＝uf(u)｜02χ－∫02χuf′(u)du＝2χf(2χ)－∫02χuf′(u)du，则．由拉格朗日中值定理，得又因为f′(χ)在[－2，2]上连续，则f′(χ)在[－2，2]上有界，即存在正数M＞0，有｜f′(χ)｜≤M，χ∈[－2，2]．因此又因为收敛，则收敛．所以绝对收敛．知识点解析：暂无解析18、已知χ＋y－z＝ez，χeχ＝tant，y＝cost，求．标准答案：由题设条件知χ，y都是t的函数，因此，方程χ＋y－z＝ez确定了z是t的函数，对方程两边关于t求导，得由χeχ＝tant，得，从而由y＝cost得＝－sint，＝－cost．当t＝0时，χ＝0，y＝1，z＝0，则知识点解析：暂无解析19、某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为χ和y(单位：吨)时，总收益函数为R(χ，y)＝42χ＋27y－4χ2－2χy－y2，总成本函数为C(χ，y)＝36＋8χ＋12y(单位：万元)．除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费2万元，1万元．(Ⅰ)在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少吨时总利润最大?总利润是多少?(Ⅱ)当限制排污费用支出总额为8万元的条件下，甲、乙两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大利润是多少?标准答案：(Ⅰ)由题意知，利润函数为L(χ，y)＝R(χ，y)－C(χ，y)＝(2χ＋y)＝－4χ2－2χy－y2＋32χ＋14y－36．解方程组该实际问题一定有最大值，当χ＝3，y＝4时，取得最大利润L(3，4)＝40．(Ⅱ)若排污费用2χ＋y＝8时，构造拉格朗日函数F(χ，y，λ)＝－4χ2－2χy－y2＋32χ＋14y－36＋λ(2χ＋y－8)．令此时最大利润L(2．5，3)＝37．知识点解析：暂无解析20、设有方程组(Ⅰ)求方程组(i)与(ii)的基础解系与通解；(Ⅱ)求方程组(i)与(ii)的公共解．标准答案：(Ⅰ)将方程组(i)改写为令取，得(i)的基础解系α1＝(0，－1，1，0)T，α2＝(－1，0，0，1)T，故方程组(i)的通解为k1α1＋k2α2，k1，k2为常数．又将方程组(ii)改写为令取，得(ii)的基础解系β1＝(0，1，0，－2)T，β2＝(－2，0，1，0)T，故方程组(ii)的通解为k1β1＋k2β2，k1，k2为常数．(Ⅱ)联立方程组(i)和(ii)，求得的通解即为公共解对系数矩阵A进行初等行变换，可得从而解得基础解系ξ＝(－2，－1，1，2)T．所以方程组(i)和(ii)的公共解为kξ，k为常数．知识点解析：暂无解析21、已知矩阵A＝与B＝相似．(Ⅰ)求χ，y，z的值；(Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP＝B．标准答案：(Ⅰ)实对称矩阵A的特征多项式为｜λ－A｜＝(λ－1)2(λ－3)，故A的特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝3．于是，A与对角矩阵相似，又因为A与B相似，故B也与对角矩阵相似，因此，B的特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝3，且R(E－B)＝1，又因为χ＋5＝λ1＋λ2＋λ3＝5，得χ＝0．由E－B＝得y＝－2，z＝3．(Ⅱ)经计算可知，将实对称矩阵A化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为P1＝，即P1-1AP1＝把矩阵B化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为P2＝，即则P-1AP＝P2P1-1AP1P2-1＝P2P2-1＝B．知识点解析：暂无解析22、设随机变量X在区间(0，1)上服从均匀分布，在X＝χ(O＜χ＜1)的条件下，随机变量y在区间(0，χ)上服从均匀分布．求：(Ⅰ)随机变量X和Y的联合概率密度；(Ⅱ)y的概率密度；(Ⅲ)概率P{X＋Y＞1}．标准答案：(Ⅰ)X的概率密度为fX(χ)＝在X＝χ(0＜χ＜1)的条件下，Y的条件概率密度为当0＜y＜χ＜1时，随机变量X和Y的联合概率密度为f(χ，y)＝fX(χ)fY｜X(y｜χ)＝，在其他点处，有f(χ，y)＝0，即(Ⅱ)当0＜y＜1时，Y的概率密度为fY(y)＝∫－∞＋∞f(χ，y)dχ＝＝－lny；当y≤0或y≥1时，fY(y)＝0．因此知识点解析：暂无解析23、设有两台仪器，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布．首先开动一台，发生故障时停用，而另一台自动开动，求两台仪器无故障工作的总时间T的：(Ⅰ)概率密度f(t)；(Ⅱ)数学期望和方差．标准答案：(Ⅰ)设T＝X1＋X2，其中X1，X2分别表示两台仪器无故障时的工作时间．因为Xi～E(5)(i＝1，2)且相互独立，故X1，X2的密度函数为则由卷积公式f(t)＝∫－∞＋∞fX(t－y)fY(y)dy，可得(Ⅱ)因为Xi～E(5)(i＝1，2)且相互独立，由E(Xi)＝，D(Xi)＝(i＝1，2)，可得E(T)＝E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)＝，D(T)＝D(X1＋X2)＝D(X1)＋D(X2)＝．知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设则f(n)(3)=A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：2、设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且则A、f(0)是f(x)的极大值．B、f(0)是f(x)的极小值．C、(0，f(0))是曲线f(x)的拐点．D、f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点．标准答案：C知识点解析：利用极限的保号性分析求解．由及f’’(x)连续可知f’’(0)=0；再由极限的保号性知，存在x=0的某邻域U(0，δ)，使得于是在U(0，δ)内，当x＜0时，f’’(x)＞0；当x＞0时，f’’(x)＜0，即点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．3、已知则A、df(x，y)｜(0,0)=0．B、fx’(0，0)，fy’(0，0)都不存在．C、仅fx’(0，0)存在．D、仅fy’(0，0)存在．标准答案：D知识点解析：因不存在，故fx’(0，0)不存在．又故fy’(0，0)存在．4、设x∈(一1，1)，则幂级数的和函数为A、ln(1一x2)．B、C、ln(1+x2)．D、标准答案：B知识点解析：因x∈(一1，1)时，故由幂级数的运算性质，有5、设A为3阶可逆矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的(-1)倍加到第2列得C，记则矩阵C的伴随矩阵C*等于A、P一1A*P．B、PA*P一1．C、PTA*P．D、PA*PT．标准答案：B知识点解析：由题设条件有6、设向量α=(1，1，一1)T是矩阵的一个特征向量，则A、矩阵A能相似对角化，且秩r(A)=3B、矩阵A不能相似对角化，且秩r(A)=3．C、矩阵A能相似对角化，且秩r(A)＜3D、矩阵A不能相似对角化，且秩r(A)＜3．标准答案：A知识点解析：设α=(1，l，一1)T是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，则有Aα=λα，即解得λ=一1，a=2，b=0，于是显然r(A)一3，且A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=一1．矩阵A能否相似对角化取决于λ1=λ2=2是否有两个线性无关的特征向量．由可知二重特征值λ=2有两个线性无关的特征向量，故A可相似对角化．7、设X和Y是任意两个随机变量，若D(X+Y)=D(X－Y)，则A、X和y相互独立．B、X和Y不独立．C、D(XY)=DX.DY．D、E(XY)=EX.EY．标准答案：D知识点解析：由D(X+Y)=D(X—Y)，得DX+DY+2cov(X，Y)=DX+DY一2cov(X，Y)，故cov(X，Y)=0，即有E(XY)一EX.EY=0．即E(XY)=EX.EY．8、设随机变量X和Y相互独立且都服从标准正态分布N(0，1)，考虑下列命题：①X2+Y2服从χ2分布；②X／｜Y｜服从t分布；③X2／Y2服从F分布；④X－Y服从正态分布，其中正确的个数为A、1．B、2．C、3．D、4．标准答案：D知识点解析：由题设条件与χ2分布、t分布、F分布的定义和性质可知X2～χ2(1)，Y2～χ2(1)，X2+Y2～χ2(2)；又由正态分布的性质知，X—Y～N(0，2)，故四个命题都正确．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、设当x→0时,是等价的无穷小，则常数a=__________．标准答案：一2．知识点解析：x→0时，因x→0时，10、函数z=z(x，y)由方程y=xf(z)+φ(y，z)确定，其中f’，φ分别具有连续的导数和偏导数，且xf’+φz’≠0，则=__________。标准答案：知识点解析：方程两边微分，得dy=f.dx+xf’.dz+φy’.dy+φz’.dz．解dz，得11、已知某商品的需求量x对价格p的弹性为η=一3p3，而市场对该商品的最大需求量为1(万件)，则需求函数为__________．标准答案：x=e-p3．知识点解析：根据弹性定义，有积分，得x=Ce-p3．由题设知p=0时，x=1，从而C=1．于是所求的需求函数为x=e-p3．12、设三维列向量α1,α2,α3线性无关，且向量β1=α1+2α2+3α3，β2=α2+α3β3=α1+α3，则秩r(β1，β2，β3)=__________．标准答案：2知识点解析：因(β1，β2，β3)=(α1+2α2+3α3，α2+α3，α1+α3)由α1,α2,α3线性无关易知α2+α3，α1+α3线性无关，故r(α2+α3，α1+α3)=2，从而r(β1，β2，β3)=2．13、设随机变量X与Y相互独立，且X服从正态分布N(0．1)，Y在区间[一1．3]上服从均匀分布，则概率P{max(X，Y)≥0}=_________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)14、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析15、设f(x)=∫0xtg(x—t)dt，其中试求f(x)，并问f(x)在(0，+∞)内是否可导?标准答案：令x—t=u，则f(x)=∫x0(x－u)g(u)(一du)=∫0x(x一u)g(u)du．可见f(x)在处可导，因此f(x)在(0，+∞)内可导．知识点解析：暂无解析已知某商品的需求量Q和供给量S都是价格p的函数：其中常数a＞0，b＞0，又价格p是时间t的函数，且满足假设当t=0时价格为1，试求16、价格函数p(t)；标准答案：由条件得分离变量，得知识点解析：暂无解析17、极限，并解释此极限值的含义．标准答案：令Q(p)=S(p)，即可见上述极限值为当需求量等于供给量时的均衡价格．知识点解析：暂无解析18、设区域D由曲线y=一x3，直线x=1与y=1围成，计算二重积分标准答案：如图所示，用y=x3分区域D为D1，D2两部分．显然D1，D2分别关于y轴、x轴对称，故知识点解析：暂无解析19、将函数展开成(x一1)的幂级数，指出级数的收敛范围，并利用展开式求数项级数的和．标准答案：因f(x)=lnx—ln(1+x)，由知识点解析：暂无解析20、已知两个向量组(Ⅰ)：α1=(1，2，3)T，α2=(1，0，1)T与(Ⅱ)β1=(一1，2，k)T，β2=(4，1，5)T，试问k取何值时(Ⅰ)与(Ⅱ)等价?并写出等价时(Ⅰ)与(Ⅱ)相互表示的线性表示式标准答案：对矩阵(α1，α2，β1，β2)作初等行变换，得可见k=1时，β1，β2均可由α1，α2线性表示，此时由当k=1时，对矩阵(β1，β2，α1，α2)作初等行变换，得可见α1，α2均可由β1，β2线性表示，因此k=1时，向量组(I)与(Ⅱ)等价．由知识点解析：暂无解析设矩阵已知A的特征值之和为4，且某个特征值为2．21、求a，b的值；标准答案：由，得a+b+2=4．又由矩阵A有一个特征值为2，知行列式｜2E—A｜=0，即得a=0，从而b=2．知识点解析：暂无解析22、求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵．标准答案：因A是实对称矩阵，故(AP)TAP=PTA2P，其中求可逆矩阵P，使(AP)TAP为对角矩阵，即相当于对A2作合同变换，使之对角化．可求出A2的特征值、特征向量，再把A2的特征向量正交单位化后，以其为列组成的矩阵即为所求．但这样做比较繁琐，故考虑借助二次型求解．考虑二次型xTA2x=4x12+4x22+5x32+5x42+8x3x4，用配方法将它化为标准形，得令则由线性变换知识点解析：暂无解析23、设二维随机变量的联合概率密度为(I)求常数k；(Ⅱ)求关于X，Y的边缘概率密度fX(x)，fY(y)，并问X与Y是否独立?(Ⅲ)计算P{X+Y≤1}；(Ⅳ)求Z=Y—X的概率密度．标准答案：(I)(X，Y)的概率密度f(x，y)的非零区域如图所示．由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x，y)dxdy=1，得∫01dx∫0xk(x+y)dy=1，k=2．(Ⅱ)fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy知识点解析：暂无解析24、某人接连不断、独立地对同一目标射击，直到击中为止，以X表示命中时已射击的次数．假设他共进行了10轮这样的射击，各轮射击的次数分别为1，2，3，4，4，5，3，3，2，3，试求此人命中率P的矩估计和最大似然估计．标准答案：由题设条件可得X的分布律为P{X=k}=(1一P)k-1p，k=1，2，3，…．①求矩估计．因②求最大似然估计．似然函数L(p)=P{X1=1，X2=2，X3=3，…，X10=3)=p10(1一P)20，于是lnL(p)=10lnp+20ln(1一P)．令得是p的最大似然估计值．知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第6套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(χ)的导数在χ＝a处连续，又＝－1，则()．A、χ＝a是f(χ)的极小值点B、χ＝a是f(χ)的极大值点C、(a，f(a))是曲线y＝f(χ)的拐点D、χ＝a不是f(χ)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y＝f(χ)的拐点标准答案：B知识点解析：因f(χ)在χ＝a点连续，由＝－1得＝f′(a)＝0，即χ＝a是f(χ)的驻点．又f〞(a)＝＝－1＜0，由极值的第二充分条件，知χ＝a为f(χ)的极大值点．由拐点的判定可得，因f〞(a)＝－1＜0，则(a，f(a))不是曲线y＝f(χ)的拐点．故应选B．2、已知边际收益函数MR＝－k，其中常数a＞0，b＞0，k＞0，则需求函数Q＝Q(p)的表达式为()．A、Q＝－bB、Q＝－aC、Q＝－bD、Q＝－a标准答案：A知识点解析：设总收益函数为R＝R(Q)，则R(0)＝0，且边际收益函数为MR＝－k，于是又因为R(Q)＝PQ，从而P＝，推得Q＝故应选A．3、设f(χ，y)在(0，0)处连续，且＝2，则f(χ，y)在(0，0)处()．A、不存在偏导数B、存在偏导数但不可微C、可微且f′χ(0，0)≠0，f′y(0，0)≠0D、可微且f′χ(0，0)＝0，f′y(0，0)＝0标准答案：D知识点解析：由＝2，知[f(χ，y)－1]＝0，即f(χ，y)＝f(0，0)＝1．由极限与无穷小的关系，得＝2＋α(χ，y)，其中(χ，y)＝0．则f(χ，y)－f(0，0)＝2(χ2＋y2)＋α(χ，y)(χ2＋y2)＝0(ρ)(ρ＝→0)，故f(χ，y)－f(0，0)＝0.△χ＋0.△y＋0(ρ)．由可微定义知f(χ，y)在(0，0)点可微且f′χ(0，0)＝f′y(0，0)＝0．故应选D．4、设有以下命题：①若正项级数μn收敛，则μn2收敛；②若＜1，则μn收敛；③若(μ2n-1，μ2n)收敛，则μn收敛；④若μn收敛，(－1)nμn发散，则μ2n发散．则以上命题正确的是()．A、①②B、①④C、②④D、①③④标准答案：B知识点解析：命题①正确，由正项级数的比较判别法判定即可．因为正项级数μn收敛，知＝0，又＝0．由正项级数比较判别法(极限形式)知μn2收敛．命题②错误，因μn不一定是正项级数，所以没有此判定方法，如μn＝(－1)n，则＝－1＜1，但(－1)n发散．命题③错误，(μ2n-1＋μ2n)收敛，但μn不一定收敛，如μn＝(－1)n-1，则(μ2n-11＋μ2n)＝0收敛但μn发散．命题④正确，因μn收敛，(－1)nμn发散，由级数性质知发散，μ2n发散．故应选B．5、设A，B均为n阶矩阵，且AB＝A＋B，下列命题：①若A可逆，则B可逆；②若A＋B可逆，则B可逆；③若B可逆，则A＋B可逆；④A－E恒可逆．则以上命题正确的有()个．A、1B、2C、3D、4标准答案：D知识点解析：由于(A－E)B＝AB－B＝A＋B－B＝A，若A可逆，则B可逆，即①正确．若A＋B可逆，则｜AB｜＝｜A＋B｜≠0，则｜B｜≠0，即B可逆，②正确．由于A(B－E)＝B，｜A｜｜B－E｜＝｜B｜，若B可逆，则｜A｜≠0，即A可逆，从而A＋B＝AB可逆，③正确．对于④，由AB＝A＋B，可得(A－E)(B－E)＝E，故A－E恒可逆．故应选D．6、设3维列向量组α1，α2，α3线性无关，γ1＝α1＋α2－α3，γ2＝3α1－α2，γ3＝4α1－α3，γ4＝2α1－2α2＋α3，则向量组γ1，γ2，γ3，γ4的秩为()．A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：B＝(λ1，λ2，λ3，λ4)＝(α1，α2，α3)＝＝AC．由α1，α2，α3，线性无关，A可逆，所以，R(B)＝R(C)．故R(B)＝R(C)＝2．故应选B．7、设X为随机变量，若矩阵A＝的特征值全为实数的概率为0．5，则()．A、X服从区间[0，2]的均匀分布B、X服从二项分布B(2，0．5)C、X服从参数为1的指数分布D、X服从正态分布标准答案：A知识点解析：由｜λE－A｜＝＝(λ－2)(λ2＋2λ＋X)，其特征值全为实数的概率为P{22－4X≥0}＝P{X≤1}＝0．5，可见当X服从[0，2]上的均匀分布时成立．故应选A．8、设总体X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，X1，X2，…，Xn+1为来自总体X的简单随机样本．记T＝(Xi+1－Xi)2，则E(T)＝()．A、λB、2λC、λ2D、2λ2标准答案：B知识点解析：因为X～π(λ)，所以E(Xi)＝D(Xi)＝λ，则故应选B．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、＝_______．标准答案：知识点解析：故应填．10、设f(χ)有一个原函数ln(χ＋)，则∫01χf′(χ)dχ＝_______．标准答案：知识点解析：又因为f(χ)＝，故f(1)＝，所以∫01χf′(χ)dχ＝故应11、已知幂级数在χ＝2处发散，在χ＝－1处收敛，则幂级数(χ－1)n的收敛域是_______．标准答案：知识点解析：令χ－＝t，由题设知幂级数antn在t＝2－处发散，从而antn当｜t｜＞时发散．又因为antn在t＝－1－处收敛，则可知antn当｜t｜＜时收敛．由此可知antn的收敛半径为R＝，进而可得antn的收敛域为，令t＝χ－1，代入即得幂级数an(χ－1)n的收敛域为χ－1∈，即χ∈故应填12、微分方程y〞－3y′＋2y＝χeχ的通解为_______．标准答案：y＝C1eχ＋C2e2χ－(χ2＋χ)eχ知识点解析：对应的齐次方程为y〞－3y′＋2y＝0，其特征方程为λ2－3λ＋2＝0，解得λ1＝2，λ2＝1，则齐次方程y〞－3y′＋2y＝0的通解为C1eχC2e2χ．设y〞－3y′＋2y＝χeχ的一个特解为y*＝χ(Aχ＋B)eχ，将y*代入方程得A＝－，B＝－1，则特解y*＝(χ2＋χ)eχ，所以原方程的通解为y＝C1eχ＋C2e2χ－(χ2＋χ)eχ．故应填y＝C1eχ＋C2e2χ－(＋χ2)eχ．13、设3阶实对阵矩阵A满足A2－3A＋2E＝O，且｜A｜＝2，则二次型f＝χTAχ的标准形为_______．标准答案：y12＋y22＋y32知识点解析：由A2－3A＋2E＝O，得A的特征值为1或2．又因为｜A｜＝2，即特征值乘积为2，故A的特征值为1，1，2．所以二次型的标准形为y12＋y22＋2y32故应填y12＋y22＋y32．14、在总体N(1，4)中抽取一容量为5的简单随机样本X1，X2，X3，X4，X5，则概率P{min{X1，X2，X3，X4，X5}＜1}_______．标准答案：知识点解析：P{min{X1，X2，X3，X4，X5}＜1}＝1－P{min{X1，X2，X3，X4，X5}≥1}＝1－P{X1≥1，X2≥1，…，X5≥1}＝1－[P{X1≥1}]5＝1－[1－Ф(0)]5＝1－故应填三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、已知f′(χ)，g′(χ)，且f(0)＝g(0)＝0，试求．标准答案：由f′(χ)＝知，又f(0)＝0，代入f(χ)表达式得C＝0，故f(χ)＝ln(χ＋)．由g′(χ)＝，则g(χ)＝＝ln(1＋χ)＋C1，又g(0)＝0得C1＝0，知g(χ)＝ln(1＋χ)．于是故当χ→0时，ln(χ＋)～χ，所以，知识点解析：暂无解析16、设常数a＞0，求∫arcsin．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设f(χ)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)＝0，0＜f′(χ)＜1，χ∈(0，1)．证明：[∫01f(χ)dχ]2＞∫01f3(χ)dχ．标准答案：令F(χ)＝[∫0χf(t)dt]2－∫0χf3(t)dt，易知F(0)＝0，且F(z)在[0，1]可导，则F′(χ)＝2f(χ)∫0χf(t)dt－f3(χ)＝f(χ)[2∫0χf(t)dt－f2(χ)]．记g(χ)＝2∫0χf(t)dt－f2(χ)，则g(χ)在(0，1)可导，即g′(χ)＝2f(χ)－2f(χ)f′(χ)＝2f(χ)[1－f′(χ)]，由于0＜f′(χ)＜1，χ∈(0，1)，则f(χ)在[0，1]内递增．则当0＜χ≤1时，f(χ)＞f(0)＝0，于是g′(χ)＞0，χ∈(0，1)，则g(χ)在[0，1]递增，即当0＜χ≤1时，g(χ)＞g(0)＝0，所以，当0＜χ≤1时，F′(χ)＝f(χ)g(χ)＞0，即F(χ)在0≤χ≤1时递增，故当0＜χ≤1时，F(χ)＞F(0)＝0，特别地，有F(1)＞0，即[∫01f(χ)dχ]2－∫01f3(χ)dχ＞0，所以[∫01f(χ)dχ]2＞∫01f3(χ)dχ．知识点解析：暂无解析18、设μ＝二阶连续可导，又因为＝2，且＝1．当χ＞0时，求f(χ)．标准答案：由＝2，f二阶连续可导，知f(1)＝f(χ)＝0，由对称性知即f(