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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线的焦距是虚轴长的2倍,则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.2.设为等差数列的前项和,若,则A. B.C. D.3.自2019年12月以来,在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例,研究表明,该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速,采取了有效的防控阻击措施,把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记,有3个不同的住户属在鄂返乡住户,负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生,现要求这4名医生都要分配出去,且每个住户家里都要有医生去检查登记,则不同的分配方案共有()A.12种 B.24种 C.36种 D.72种4.若函数函数只有1个零点,则的取值范围是()A. B. C. D.5.已知,则“直线与直线垂直”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根,则实数的取值范围为()A. B. C. D.7.已知函数,则的最小值为()A. B. C. D.8.若满足约束条件则的最大值为()A.10 B.8 C.5 D.39.已知函数,,若对任意的,存在实数满足,使得,则的最大值是()A.3 B.2 C.4 D.510.某校为提高新入聘教师的教学水平,实行“老带新”的师徒结对指导形式,要求每位老教师都有徒弟,每位新教师都有一位老教师指导,现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师,则不同的师徒结对方式共有()种.A.360 B.240 C.150 D.12011.已知,则的大小关系为()A. B. C. D.12.若函数()的图象过点,则()A.函数的值域是 B.点是的一个对称中心C.函数的最小正周期是 D.直线是的一条对称轴二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如果函数(,且,)在区间上单调递减,那么的最大值为__________.14.已知数列的前项和公式为,则数列的通项公式为___.15.若函数满足:①是偶函数;②的图象关于点对称.则同时满足①②的,的一组值可以分别是__________.16.如图,养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线、围成一个三角形养殖区.为了便于管理,在线段之间有一观察站点,到直线,的距离分别为8百米、1百米,则观察点到点、距离之和的最小值为______________百米.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)的内角,,的对边分别为,,,其面积记为,满足.(1)求;(2)若,求的值.18.(12分)等差数列的前项和为,已知,.(Ⅰ)求数列的通项公式及前项和为;(Ⅱ)设为数列的前项的和,求证:.19.(12分)已知函数,其中.(1)函数在处的切线与直线垂直,求实数的值;(2)若函数在定义域上有两个极值点,且.①求实数的取值范围;②求证:.20.(12分)选修4-5:不等式选讲已知函数.(1)设,求不等式的解集;(2)已知,且的最小值等于,求实数的值.21.(12分)如图在四边形中,,,为中点,.(1)求;(2)若,求面积的最大值.22.(10分)每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度.现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶.若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”.(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率;(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍,可得出,结合,得出,即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】解:由双曲线可知,焦点在轴上,则双曲线的渐近线方程为:,由于焦距是虚轴长的2倍,可得:,∴,即:,,所以双曲线的渐近线方程为:.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,以及双曲线的渐近线方程.2.C【解析】
根据等差数列的性质可得,即,所以,故选C.3.C【解析】
先将4名医生分成3组,其中1组有2人,共有种选法,然后将这3组医生分配到3个不同的住户中去,有种方法,由分步原理可知共有种.【详解】不同分配方法总数为种.故选:C【点睛】此题考查的是排列组合知识,解此类题时一般先组合再排列,属于基础题.4.C【解析】
转化有1个零点为与的图象有1个交点,求导研究临界状态相切时的斜率,数形结合即得解.【详解】有1个零点等价于与的图象有1个交点.记,则过原点作的切线,设切点为,则切线方程为,又切线过原点,即,将,代入解得.所以切线斜率为,所以或.故选:C【点睛】本题考查了导数在函数零点问题中的应用,考查了学生数形结合,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.5.B【解析】
由两直线垂直求得则或,再根据充要条件的判定方法,即可求解.【详解】由题意,“直线与直线垂直”则,解得或,所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件,故选B.【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系,及必要不充分条件的判定,其中解答中利用两直线的位置关系求得的值,同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题.6.B【解析】
令,则,由图象分析可知在上有两个不同的根,再利用一元二次方程根的分布即可解决.【详解】令,则,如图与顶多只有3个不同交点,要使关于的方程有六个不相等的实数根,则有两个不同的根,设由根的分布可知,,解得.故选:B.【点睛】本题考查复合方程根的个数问题,涉及到一元二次方程根的分布,考查学生转化与化归和数形结合的思想,是一道中档题.7.C【解析】
利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数,即可容易求得最小值.【详解】由于,故其最小值为:.故选:C.【点睛】本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数,以及求三角函数的最值,属综合基础题.8.D【解析】
画出可行域,将化为,通过平移即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值.【详解】解:由约束条件作出可行域如图,化目标函数为直线方程的斜截式,.由图可知当直线过时,直线在轴上的截距最大,有最大值为3.故选:D.【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为的形式,在可行域内通过平移找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.9.A【解析】
根据条件将问题转化为,对于恒成立,然后构造函数,然后求出的范围,进一步得到的最大值.【详解】,,对任意的,存在实数满足,使得,易得,即恒成立,,对于恒成立,设,则,令,在恒成立,,故存在,使得,即,当时,,单调递减;当时,,单调递增.,将代入得:,,且,故选:A【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,零点存在定理和不等式恒成立问题,考查了转化思想,属于难题.10.C【解析】
可分成两类,一类是3个新教师与一个老教师结对,其他一新一老结对,第二类两个老教师各带两个新教师,一个老教师带一个新教师,分别计算后相加即可.【详解】分成两类,一类是3个新教师与同一个老教师结对,有种结对结对方式,第二类两个老教师各带两个新教师,有.∴共有结对方式60+90=150种.故选:C.【点睛】本题考查排列组合的综合应用.解题关键确定怎样完成新老教师结对这个事情,是先分类还是先分步,确定方法后再计数.本题中有一个平均分组问题.计数时容易出错.两组中每组中人数都是2,因此方法数为.11.A【解析】
根据指数函数的单调性,可得,再利用对数函数的单调性,将与对比,即可求出结论.【详解】由题知,,则.故选:A.【点睛】本题考查利用函数性质比较大小,注意与特殊数的对比,属于基础题..12.A【解析】
根据函数的图像过点,求出,可得,再利用余弦函数的图像与性质,得出结论.【详解】由函数()的图象过点,可得,即,,,故,对于A,由,则,故A正确;对于B,当时,,故B错误;对于C,,故C错误;对于D,当时,,故D错误;故选:A【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质,需熟记性质与公式,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.18【解析】
根据函数单调性的性质,分一次函数和一元二次函数的对称性和单调区间的关系建立不等式,利用基本不等式求解即可.【详解】解:①当时,,在区间上单调递减,则,即,则.②当时,,函数开口向上,对称轴为,因为在区间上单调递减,则,因为,则,整理得,又因为,则.所以即,所以当且仅当时等号成立.综上所述,的最大值为18.故答案为:18【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的单调性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”.14.【解析】
由题意,根据数列的通项与前n项和之间的关系,即可求得数列的通项公式.【详解】由题意,可知当时,;当时,.又因为不满足,所以.【点睛】本题主要考查了利用数列的通项与前n项和之间的关系求解数列的通项公式,其中解答中熟记数列的通项与前n项和之间的关系,合理准确推导是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.15.,【解析】
根据是偶函数和的图象关于点对称,即可求出满足条件的和.【详解】由是偶函数及,可取,则,由的图象关于点对称,得,,即,,可取.故,的一组值可以分别是,.故答案为:,.【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的性质,属于基础题.16.【解析】
建系,将直线用方程表示出来,再用参数表示出线段的长度,最后利用导数来求函数最小值.【详解】以为原点,所在直线分别作为轴,建立平面直角坐标系,则.设直线,即,则,所以,所以,,则,则,当时,,则单调递减,当时,,则单调递增,所以当时,最短,此时.故答案为:【点睛】本题考查导数的实际应用,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)【解析】
(1)根据三角形面积公式及平面向量数量积定义代入公式,即可求得,进而求得的值;(2)根据正弦定理将边化为角,结合(1)中的值,即可将表达式化为的三角函数式;结合正弦和角公式与辅助角公式化简,即可求得和,进而由正弦定理确定,代入整式即可求解.【详解】(1)因为,所以由三角形面积公式及平面向量数量积运算可得,所以.因为,所以.(2)因为,所以由正弦定理代入化简可得,由(1),代入可得,展开化简可得,根据辅助角公式化简可得.因为,所以,所以,所以为等腰三角形,且,所以.【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用,三角形面积公式的应用,平面向量数量积的运算,正弦和角公式及辅助角公式的简单应用,属于基础题.18.(Ⅰ),(Ⅱ)见解析【解析】
(Ⅰ)根据等差数列公式直接计算得到答案.(Ⅱ),根据裂项求和法计算得到得到证明.【详解】(Ⅰ)等差数列的公差为,由,得,,即,,解得,.∴,.(Ⅱ),∴,∴,即.【点睛】本题考查了等差数列的基本量的计算,裂项求和,意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.19.(1);(2)①;②详见解析.【解析】
(1)由函数在处的切线与直线垂直,即可得,对其求导并表示,代入上述方程即可解得答案;(2)①已知要求等价于在上有两个根,且,即在上有两个不相等的根,由二次函数的图象与性质构建不等式组,解得答案,最后分析此时单调性推及极值说明即可;②由①可知,是方程的两个不等的实根,由韦达定理可表达根与系数的关系,进而用含的式子表示,令,对求导分析单调性,即可知道存在常数使在上单调递减,在上单调递增,进而求最值证明不等式成立.【详解】解:(1)依题意,,,故,所以,据题意可知,,解得.所以实数的值为.(2)①因为函数在定义域上有两个极值点,且,所以在上有两个根,且,即在上有两个不相等的根.所以解得.当时,若或,,,函数在和上单调递增;若,,,函数在上单调递减,故函数在上有两个极值点,且.所以,实数的取值范围是.②由①可知,是方程的两个不等的实根,所以其中.故,令,其中.故,令,,在上单调递增.由于,,所以存在常数,使得,即,,且当时,,在上单调递减;当时,,在上单调递增,所以当时,,又,,所以,即,故得证.【点睛】本题考查导数的几何意义、两直线的位置关系、由极值点个数求参数范围问题,还考查了利用导数证明不等式成立,属于难题.20.(1)(2)【解析】
(1)把f(x)去绝对值写成分段函数的形式,分类讨
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