2020年9月河北省普通高中学业水平合格性考试数学试题（解析）

2020年9月河北省普通高中学业水平合格性考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由并集定义直接得到结果.【详解】由并集定义可得：.故选：C.2．直线的斜率是（）．A． B．2 C． D．【答案】A【分析】将直线化成斜截式即可求解.【详解】解：，即，故直线的斜率为.故选：A.3．在等差数列中，，，则（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用求得公差，由等差数列通项公式可求得结果.【详解】设等差数列的公差为，则，.故选：A.4．若角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，且终边经过点，则（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据任意角的三角函数的定义，由题中条件，可直接得出结果.【详解】因为角终边经过点，所以.故选：B.5．已知向量，，则（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量线性运算的坐标表示，由题中条件，可直接得出结果.【详解】因为向量，，则.故选：B.6．函数的最小正周期是（）．A． B． C．2 D．1【答案】C【分析】利用最小正周期的公式直接计算即可.【详解】函数的最小正周期是.故选：C.7．在等比数列中，，，则该数列的公比（）．A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根据题中条件，由等比数列的通项公式，即可求出结果.【详解】因为在等比数列中，，，则该数列的公比.故选：D.8．若两个单位向量互相垂直，则（）．A． B． C．2 D．【答案】B【分析】先依题意确定，再利用展开计算即可.【详解】两个单位向量互相垂直，故，则.故选：B.9．下列函数中，在上是增函数的是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断各选项中的函数在区间上的单调性，由此可得出合适的选项.【详解】对于A选项，函数在上是减函数；对于B选项，函数在上是增函数；对于C选项，函数在上是减函数；对于D选项，函数在上不单调.故选：B.10．如图，在正方体中，是的中点，则异面直线是所成角的余弦值等于（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出两异面直线的方向向量，利用向量夹角公式，即可求出结果.【详解】以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，由题意，可得，，，，所以，，因此，所以异面直线是所成角的余弦值等于.故选：C.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.11．已知，，，则（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】将与特殊值进行比较，即可求出的大小.【详解】解：，，，即.故选：D.12．经过坐标原点，且圆心坐标为的圆的一般方程是（）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，求出圆的半径，即可得圆的标准方程，变形可得其一般方程．【详解】根据题意，圆的圆心为，且过原点，且其半径，则其标准方程为，变形可得其一般方程是，故选：C．13．已知函数，则（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的解析式求得，再求即为所求.【详解】解：,,故选：D.14．函数的图象大致是（）．A． B．C． D．【答案】A【分析】利用和时的符号，可排除错误选项得到结果.【详解】，排除BD；当时，，，排除C.故选：A.15．某班从包括名男生和名女生的名候选人中随机选人加入校学生会，则名女生均被选中的概率是（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】列举出所有可能的情况，根据古典概型概率公式计算可得结果.【详解】记名男生为，名女生为，挑选人加入校学生会有，，，，，，共种情况；其中名女生均被选中的情况仅有，名女生均被选中的概率.故选：A.16．若实数，满足，则的最大值是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题中条件，利用基本不等式，可直接求出结果.【详解】因为实数，满足，为使取得最大值，必有，同号，因为，当且仅当，即或时，等号成立，所以，因此的最大值为.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.17．假期中某校50名骨干教师参加社区志愿者活动的次数如图所示，则这50名骨干教师参加社区志愿者活动的人均次数是（）．A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】根据题中条件，确定这50名骨干教师参加社区志愿者活动的总次数，进而可求出平均值.【详解】由题意可得，这50名骨干教师参加社区志愿者活动的总次数为，因此这50名骨干教师参加社区志愿者活动的人均次数是.故选：C.18．已知直线，和平面，则下列命题中正确的是（）．A．如果，，那么B．如果，，那么C．如果，，那么D．如果，，那么【答案】D【分析】根据空间中线线、线面位置关系，逐项判定，即可得出结果.【详解】若，，根据线面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线相互平行，可得A错；若，，则存在，使得，因此，所以，故B错；D正确；若，，则与可能平行、相交或异面，故C错；故选：D.19．如图所示，，分别是的边，上的点，且，，则向量（）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平面向量基本定理，由平面向量的线性运算，利用题中条件直接计算，即可得出结果.【详解】因为，，所以.故选：C.20．（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】化简、拼凑，利用二倍角公式的逆应用计算即可.【详解】.故选：D.21．如果某正方体的八个顶点都在同一个半径为1的球面上，那么该正方体的体积是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正方体外接球的直径等于体对角线的长，由题中条件，求出正方体的棱长，进而可求出正方体的体积.【详解】因为正方体的八个顶点都在同一个半径为1的球面上，所以该球是正方体的外接球，记该正方体为，其外接球为球，又因为正方体外接球的直径等于体对角线的长，设该正方体的棱长为，则体对角线的长为，解得，所以该正方体的体积为.故选：B.22．的内角，，的对边分别为，，，若，，则（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正弦定理，由题中条件，可直接得出结果.【详解】因为在中，，，由正弦定理可得：，即，所以.故选：A.23．若圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则圆锥的体积与球的体积之比是（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】设球的半径为，根据题中条件，由圆锥和球的体积公式，分别求出体积，即可得出结果.【详解】设球的半径为，则该球的体积为；又圆锥的底面半径和高都等于球的半径，所以该圆锥的体积为，因此圆锥的体积与球的体积之比是.故选：D.24．函数的零点是（）．A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】先化简函数，再求的根即得结果.【详解】依题意，令得，，解得，.故选：A.25．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根据的解析式，可得在上单调递增，进而判断出在上单调递增，并求出，，再根据函数的单调性即可求解不等式.【详解】解：时，，在上单调递增，又是定义在上的奇函数，在上单调递增，易知，，由，解得：，由在上单调递增，解得：，的解集是.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查的核心是利用函数的单调性解不等式，解题的关键是利用函数的奇偶性判断出函数的单调性,26．如图，直四棱柱的底面是正方形，且，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（）．A．平面截此四棱柱所得截面是菱形，且截面面积为B．平面截此四棱柱所得裁面是矩形，且截面面积为C．直线与平面所成角的正弦值是D．直线与平面所成角的余弦值是【答案】D【分析】作出截面并求出截面面积即可判断A、B；利用空间向量法求线面角可判断C、D.【详解】连接、，则，，即四点共面，且,所以平面截此四棱柱所得截面是菱形，连接，则，故A、B不正确；以为坐标原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，,设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以，设直线与平面所成角为，，所以，则直线与平面所成角的余弦值是.故选：D27．关于函数，，有以下四个结论：①是偶函数②在是增函数，在是减函数③有且仅有1个零点④的最小值是，最大值是3其中正确结论的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先化简函数得，再利用奇偶性定义和换元法研究复合函数单调性、零点及最值对选项逐一判断即可.【详解】函数，，故是偶函数，①正确；令在是增函数，在是减函数，在上递增，根据复合函数单调性可知在是增函数，在是减函数，②正确；，，则时，最小值为-1，时，最大值为3，④正确；令得或（舍去），即，则，有无数个零点，故③错误.所以有3个正确结论.故选：C.【点睛】本题的解题关键是借助换元法进行转化，将三角函数问题转化成二次函数的单调性、零点及最值问题.28．为了解全年级1180名学生的数学成绩分布情况，在一次数学调研测试后，某教师随机抽取了80份试卷并对试卷得分(满分：150分)进行了整理，得到如下频率分布表：分数段频数248102015866频率若规定及格分数是90分，则全年级此次数学测试及格率的估计值是（）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根据频率分布表，直接求出分数大于等于90分对应的频率，即可得出结果.【详解】由频率分布表可得，分数大于等于90分对应的频率为，则全年级此次数学测试及格率的估计值是.故选：D.29．为了解全年级1180名学生的数学成绩分布情况，在一次数学调研测试后，某教师随机抽取了80份试卷并对试卷得分(满分：150分)进行了整理，得到如下频率分布表：分数段频数248102016866频率此次数学测试全年级学生得分的中位数的估计值是（）.A．108 B． C．109 D．【答案】A【分析】根据频率分布表，由中位数的概念，可直接得出结果.【详解】中位数两边的频率之和相等，都等于，因为，又对应的频率为，所以此次数学测试全年级学生得分的中位数的估计值是.故选：A.30．为了解全年级1180名学生的数学成绩分布情况，在一次数学调研测试后，某教师随机抽取了80份试卷并对试卷得分(满分：150分)进行了整理，得到如下频率分布表：分数段频数248102015866频率若同一组数据用该区间的中点值作代表，则此次数学测试全年级平均分的估计值是（）.A．110 B． C．105 D．【答案】B【分析】根据频率分布表，由每组的中点值乘以该组的频率再求和，即可得出结果.【详解】由题意可得，此次数学测试全年级平均分的估计值是.故选：B.二、解答题31．已知函数，．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）用表示，中的较大值，当时，求函数的最小值．【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）最小值为0．【分析】（Ⅰ）先化不等式为，分别讨论，，三种情况，即可得出结果；（II）根据题中条件，得到，根据二次函数以及分段函数性质，即可求出最值.【详解】（Ⅰ）由，得，即．当时，解不等