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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数,则的虚部为()A. B. C. D.12.已知实数满足则的最大值为()A.2 B. C.1 D.03.已知双曲线:(,)的右焦点与圆:的圆心重合,且圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为,则双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.34.已知是虚数单位,若,则()A. B.2 C. D.105.从抛物线上一点(点在轴上方)引抛物线准线的垂线,垂足为,且,设抛物线的焦点为,则直线的斜率为()A. B. C. D.6.已知双曲线C:()的左、右焦点分别为,过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若,则双曲线C的渐近线方程为()A. B. C. D.7.定义在上的奇函数满足,若,,则()A. B.0 C.1 D.28.函数的一个单调递增区间是()A. B. C. D.9.在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.函数的对称轴不可能为()A. B. C. D.11.设,是空间两条不同的直线,,是空间两个不同的平面,给出下列四个命题:①若,,,则;②若,,,则;③若,,,则;④若,,,,则.其中正确的是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④12.函数与在上最多有n个交点,交点分别为(,……,n),则()A.7 B.8 C.9 D.10二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若函数为奇函数,则_______.14.展开式中的系数为_________.(用数字做答)15.对定义在上的函数,如果同时满足以下两个条件:(1)对任意的总有;(2)当,,时,总有成立.则称函数称为G函数.若是定义在上G函数,则实数a的取值范围为________.16.图(1)是第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽图案,它是由一串直角三角形演化而成的(如图(2)),其中,则的值是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)椭圆:的左、右焦点分别是,,离心率为,左、右顶点分别为,.过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.(1)求椭圆的标准方程;(2)经过点的直线与椭圆相交于不同的两点、(不与点、重合),直线与直线相交于点,求证:、、三点共线.18.(12分)在中,角的对边分别为,若.(1)求角的大小;(2)若,为外一点,,求四边形面积的最大值.19.(12分)已知.(1)求的单调区间;(2)当时,求证:对于,恒成立;(3)若存在,使得当时,恒有成立,试求的取值范围.20.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到曲线,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)写出的极坐标方程与直线的直角坐标方程;(2)曲线上是否存在不同的两点,(以上两点坐标均为极坐标,,),使点、到的距离都为3?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.21.(12分)如图,在平面四边形中,,,.(1)求;(2)求四边形面积的最大值.22.(10分)已知函数,为的导数,函数在处取得最小值.(1)求证:;(2)若时,恒成立,求的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
先将,化简转化为,再得到下结论.【详解】已知复数,所以,所以的虚部为-1.故选:C【点睛】本题主要考查复数的概念及运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.2.B【解析】
作出可行域,平移目标直线即可求解.【详解】解:作出可行域:由得,由图形知,经过点时,其截距最大,此时最大得,当时,故选:B【点睛】考查线性规划,是基础题.3.A【解析】
由已知,圆心M到渐近线的距离为,可得,又,解方程即可.【详解】由已知,,渐近线方程为,因为圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为,所以圆心M到渐近线的距离为,故,所以离心率为.故选:A.【点睛】本题考查双曲线离心率的问题,涉及到直线与圆的位置关系,考查学生的运算能力,是一道容易题.4.C【解析】
根据复数模的性质计算即可.【详解】因为,所以,,故选:C【点睛】本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质,属于容易题.5.A【解析】
根据抛物线的性质求出点坐标和焦点坐标,进而求出点的坐标,代入斜率公式即可求解.【详解】设点的坐标为,由题意知,焦点,准线方程,所以,解得,把点代入抛物线方程可得,,因为,所以,所以点坐标为,代入斜率公式可得,.故选:A【点睛】本题考查抛物线的性质,考查运算求解能力;属于基础题.6.D【解析】
设,利用余弦定理,结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】设,由双曲线的定义可知:因此再由双曲线的定义可知:,在三角形中,由余弦定理可知:,因此双曲线的渐近线方程为:.故选:D【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用,考查了余弦定理的应用,考查了双曲线的渐近线方程,考查了数学运算能力.7.C【解析】
首先判断出是周期为的周期函数,由此求得所求表达式的值.【详解】由已知为奇函数,得,而,所以,所以,即的周期为.由于,,,所以,,,.所以,又,所以.故选:C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性,属于基础题.8.D【解析】
利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简表达式,再根据三角函数单调区间的求法,求得的单调区间,由此确定正确选项.【详解】因为,由单调递增,则(),解得(),当时,D选项正确.C选项是递减区间,A,B选项中有部分增区间部分减区间.故选:D【点睛】本小题考查三角函数的恒等变换,三角函数的图象与性质等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,数形结合思想,应用意识.9.B【解析】
化简复数为的形式,然后判断复数的对应点所在象限,即可求得答案.【详解】对应的点的坐标为在第二象限故选:B.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题.10.D【解析】
由条件利用余弦函数的图象的对称性,得出结论.【详解】对于函数,令,解得,当时,函数的对称轴为,,.故选:D.【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性,属于基础题.11.C【解析】
根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.【详解】解:①:、也可能相交或异面,故①错②:因为,,所以或,因为,所以,故②对③:或,故③错④:如图因为,,在内过点作直线的垂线,则直线,又因为,设经过和相交的平面与交于直线,则又,所以因为,,所以,所以,故④对.故选:C【点睛】考查线面平行或垂直的判断,基础题.12.C【解析】
根据直线过定点,采用数形结合,可得最多交点个数,然后利用对称性,可得结果.【详解】由题可知:直线过定点且在是关于对称如图通过图像可知:直线与最多有9个交点同时点左、右边各四个交点关于对称所以故选:C【点睛】本题考查函数对称性的应用,数形结合,难点在于正确画出图像,同时掌握基础函数的性质,属难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.-2【解析】
由是定义在上的奇函数,可知对任意的,都成立,代入函数式可求得的值.【详解】由题意,的定义域为,,是奇函数,则,即对任意的,都成立,故,整理得,解得.故答案为:.【点睛】本题考查奇函数性质的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题.14.210【解析】
转化,只有中含有,即得解.【详解】只有中含有,其中的系数为故答案为:210【点睛】本题考查了二项式系数的求解,考查了学生概念理解,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.15.【解析】
由不等式恒成立问题采用分离变量最值法:对任意的恒成立,解得,又在,恒成立,即,所以,从而可得.【详解】因为是定义在上G函数,所以对任意的总有,则对任意的恒成立,解得,当时,又因为,,时,总有成立,即恒成立,即恒成立,又此时的最小值为,即恒成立,又因为解得.故答案为:【点睛】本题是一道函数新定义题目,考查了不等式恒成立求参数的取值范围,考查了学生分析理解能力,属于中档题.16.【解析】
先求出向量和夹角的余弦值,再由公式即得.【详解】如图,过点作的平行线交于点,那么向量和夹角为,,,,,且是直角三角形,,同理得,,.故答案为:【点睛】本题主要考查平面向量数量积,解题关键是找到向量和的夹角.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)见解析【解析】
(1)根据已知可得,结合离心率和关系,即可求出椭圆的标准方程;(2)斜率不为零,设的方程为,与椭圆方程联立,消去,得到纵坐标关系,求出方程,令求出坐标,要证、、三点共线,只需证,将分子用纵坐标表示,即可证明结论.【详解】(1)由于,将代入椭圆方程,得,由题意知,即.又,所以,.所以椭圆的方程为.(2)解法一:依题意直线斜率不为0,设的方程为,联立方程,消去得,由题意,得恒成立,设,,所以,直线的方程为.令,得.又因为,,则直线,的斜率分别为,,所以.上式中的分子,.所以,,三点共线.解法二:当直线的斜率不存在时,由题意,得的方程为,代入椭圆的方程,得,,直线的方程为.则,,,所以,即,,三点共线.当直线的斜率存在时,设的方程为,,,联立方程消去,得.由题意,得恒成立,故,.直线的方程为.令,得.又因为,,则直线,的斜率分别为,,所以.上式中的分子所以.所以,,三点共线.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系,要熟练掌握根与系数关系,设而不求方法解决相交弦问题,考查计算求解能力,属于中档题.18.(1)(2)【解析】
(1)根据正弦定理化简等式可得,即;(2)根据题意,利用余弦定理可得,再表示出,表示出四边形,进而可得最值.【详解】(1),由正弦定理得:在中,,则,即,,即.(2)在中,又,则为等边三角形,又,-当时,四边形的面积取最大值,最大值为.【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式的应用,属于基础题.19.(1)单调减区间为,单调增区间为;(2)详见解析;(3).【解析】
试题分析:(1)对函数求导后,利用导数和单调性的关系,可求得函数的单调区间.(2)构造函数,利用导数求得函数在上递减,且,则,故原不等式成立.(3)同(2)构造函数,对分成三类,讨论函数的单调性、极值和最值,由此求得的取值范围.试题解析:(1),当时,.解得.当时,解得.所以单调减区间为,单调增区间为.(2)设,当时,由题意,当时,恒成立.,∴当时,恒成立,单调递减.又,∴当时,恒成立,即.∴对于,恒成立.(3)因为.由(2)知,当时,恒成立,即对于,,不存在满足条件的;当时,对于,,此时.∴,即恒成立,不存在满足条件的;当时,令,可知与符号相同,当时,,,单调递减.∴当时,,即恒成立.综上,的取值范围为.点睛:本题主要考查导数和单调区间,导数与不等式的证明,导数与恒成立问题的求解方法.第一问求函数的单调区间,这是导数问题的基本题型,也是基本功,先求定义域,然后求导,要注意通分和因式分解.二、三两问一个是恒成立问题,一个是存在性问题,要注意取值是最大值还是最小值.20.(1),(2)存在,【解析】
(1)先求得曲线的普通方程,利用伸缩变换的知识求得曲线的直角坐标方程,再转化为极坐标方程.根据极坐标和直角坐标转化公式,求得直线的直角坐标方程.(2)求得曲线的圆心和半径,计算出圆心到直线的距离,结合图像判断出存在符合题意,并求得的值.【详解】(1)曲线的普通方程为,纵坐标伸长到原来的2倍,得到曲线的直角坐标方程为,其极坐标方程为,直线的直角坐标方程为.(2)曲线是以为圆心,为半径的圆,圆心到直线的距离.∴由图像可知,存在这样的点,,则,且点到直线的距离,∴,∴.【点睛】本小题主要考查坐标变换,考查直线和圆的位置关系,考查极坐标方程和直角坐标方程相互转化,考查参数方程化为普通方程,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.21.(1);(2)【解析】
(1)根据同角三角函数式可求得,结合正弦和角公式求得,即可求得,进而由三角函数(2)设根据余弦定理及基本不等式,可求得的最大值,结合三角形面积公式可求得的最大值,即可求得四边形面积的最大值.【详解】(1),则由同角三角函数关系式可得,则,则,所以.(2)设在中由余弦定理可得,代入可得,由基本不等式可知,即,当且仅当时取等号,由三角形面积公式可得,所以四边形面积的最大值为.【点睛】本题考查了正弦和角公式化简三角函数式的应用,余弦定理及不等式式求最值的综合应用,属于中档题.22.(1)见解析;(2).【解析】
(1)对求导,令,求导研究单调性,分析可得存在使得,即,即得证;(2)分,两种情况讨论,当时,转化利用均值不等式即得证;当,有两个不同的零点,,分析可得的最小值为,分,讨论即得解.【详解】(1)由题意,令,则,知为的增函数,因为,,所以,存在使得,即.所以,当时,为减函数,当时,为增函数,故当时,取得最
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