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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知等比数列满足,,则()A. B. C. D.2.已知函数,,且在上是单调函数,则下列说法正确的是()A. B.C.函数在上单调递减 D.函数的图像关于点对称3.已知是等差数列的前项和,,,则()A.85 B. C.35 D.4.已知,为两条不同直线,,,为三个不同平面,下列命题:①若,,则;②若,,则;③若,,则;④若,,则.其中正确命题序号为()A.②③ B.②③④ C.①④ D.①②③5.已知函数,的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,则的一条对称轴是()A. B. C. D.6.已知集合,若,则实数的取值范围为()A. B. C. D.7.如图,在中,,是上一点,若,则实数的值为()A. B. C. D.8.已知平面和直线a,b,则下列命题正确的是()A.若∥,b∥,则∥ B.若,,则∥C.若∥,,则 D.若,b∥,则9.已知,函数在区间内没有最值,给出下列四个结论:①在上单调递增;②③在上没有零点;④在上只有一个零点.其中所有正确结论的编号是()A.②④ B.①③ C.②③ D.①②④10.已知随机变量满足,,.若,则()A., B.,C., D.,11.函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,要得到函数的图象,只需将的图象()A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位12.若直线经过抛物线的焦点,则()A. B. C.2 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.过抛物线C:()的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A,B两点,过线段的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M,若,则l的斜率为______.14.若一组样本数据7,9,,8,10的平均数为9,则该组样本数据的方差为______.15.角的顶点在坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则的值是.16.直线(,)过圆:的圆心,则的最小值是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在以为顶点的五面体中,底面为菱形,,,,二面角为直二面角.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)求二面角的余弦值.18.(12分)已知函数与的图象关于直线对称.(为自然对数的底数)(1)若的图象在点处的切线经过点,求的值;(2)若不等式恒成立,求正整数的最小值.19.(12分)如图,在四棱锥中,底面为菱形,为正三角形,平面平面分别是的中点.(1)证明:平面(2)若,求二面角的余弦值.20.(12分)将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体,为的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值.21.(12分)眼保健操是一种眼睛的保健体操,主要是通过按摩眼部穴位,调整眼及头部的血液循环,调节肌肉,改善眼的疲劳,达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果,在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查,并得到如图的频率分布直方图.(1)若直方图中后三组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以上的人数;(2)为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系,对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查,得到下表中数据,根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系?(3)在(2)中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人,进一步调查他们良好的护眼习惯,在这8人中任取2人,记坚持做眼保健操的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.附:0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.87922.(10分)某社区服务中心计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶5元,售价每瓶7元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:摄氏度℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为600瓶;如果最高气温位于区间,需求量为500瓶;如果最高气温低于20,需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温天数414362763以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为(单位:瓶)时,的数学期望的取值范围?
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,选B.2.B【解析】
根据函数,在上是单调函数,确定,然后一一验证,A.若,则,由,得,但.B.由,,确定,再求解验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算是否为0.【详解】因为函数,在上是单调函数,所以,即,所以,若,则,又因为,即,解得,而,故A错误.由,不妨令,得由,得或当时,,不合题意.当时,,此时所以,故B正确.因为,函数,在上是单调递增,故C错误.,故D错误.故选:B【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用,还考查了运算求解的能力,属于较难的题.3.B【解析】
将已知条件转化为的形式,求得,由此求得.【详解】设公差为,则,所以,,,.故选:B【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算,考查等差数列前项和的计算,属于基础题.4.C【解析】
根据直线与平面,平面与平面的位置关系进行判断即可.【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得,若,,则,故①正确;若,,平面可能相交,故②错误;若,,则可能平行,故③错误;由线面垂直的性质可得,④正确;故选:C【点睛】本题主要考查了判断直线与平面,平面与平面的位置关系,属于中档题.5.D【解析】
由题,得,由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,可得最小正周期,从而求得,得到函数的解析式,又因为当时,,由此即可得到本题答案.【详解】由题,得,因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,所以函数的最小正周期,则,所以,当时,,所以是函数的一条对称轴,故选:D【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形,以及考查三角函数的周期性和对称性.6.A【解析】
解一元二次不等式化简集合的表示,求解函数的定义域化简集合的表示,根据可以得到集合、之间的关系,结合数轴进行求解即可.【详解】,.因为,所以有,因此有.故选:A【点睛】本题考查了已知集合运算的结果求参数取值范围问题,考查了解一元二次不等式,考查了函数的定义域,考查了数学运算能力.7.C【解析】
由题意,可根据向量运算法则得到(1﹣m),从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程,求出t的值.【详解】由题意及图,,又,,所以,∴(1﹣m),又t,所以,解得m,t,故选C.【点睛】本题考查平面向量基本定理,根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键,本题属于基础题.8.C【解析】
根据线面的位置关系,结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可.【详解】A:当时,也可以满足∥,b∥,故本命题不正确;B:当时,也可以满足,,故本命题不正确;C:根据平行线的性质可知:当∥,,时,能得到,故本命题是正确的;D:当时,也可以满足,b∥,故本命题不正确.故选:C【点睛】本题考查了线面的位置关系,考查了平行线的性质,考查了推理论证能力.9.A【解析】
先根据函数在区间内没有最值求出或.再根据已知求出,判断函数的单调性和零点情况得解.【详解】因为函数在区间内没有最值.所以,或解得或.又,所以.令.可得.且在上单调递减.当时,,且,所以在上只有一个零点.所以正确结论的编号②④故选:A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,考查函数的零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.B【解析】
根据二项分布的性质可得:,再根据和二次函数的性质求解.【详解】因为随机变量满足,,.所以服从二项分布,由二项分布的性质可得:,因为,所以,由二次函数的性质可得:,在上单调递减,所以.故选:B【点睛】本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用,还考查了理解辨析的能力,属于中档题.11.A【解析】依题意有的周期为.而,故应左移.12.B【解析】
计算抛物线的交点为,代入计算得到答案.【详解】可化为,焦点坐标为,故.故选:.【点睛】本题考查了抛物线的焦点,属于简单题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
分别过A,B,N作抛物线的准线的垂线,垂足分别为,,,根据抛物线定义和求得,从而求得直线l的倾斜角.【详解】分别过A,B,N作抛物线的准线的垂线,垂足分别为,,,由抛物线的定义知,,,因为,所以,所以,即直线的倾斜角为,又直线与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角,所以直线l的倾斜角为,.故答案为:【点睛】此题考查抛物线的定义,根据已知条件做出辅助线利用抛物线定义和几何关系即可求解,属于较易题目.14.1【解析】
根据题意,由平均数公式可得,解得的值,进而由方差公式计算,可得答案.【详解】根据题意,数据7,9,,8,10的平均数为9,则,解得:,则其方差.故答案为:1.【点睛】本题考平均数、方差的计算,考查运算求解能力,求解时注意求出的值,属于基础题.15.【解析】试题分析:由三角函数定义知,又由诱导公式知,所以答案应填:.考点:1、三角函数定义;2、诱导公式.16.;【解析】
求出圆心坐标,代入直线方程得的关系,再由基本不等式求得题中最小值.【详解】圆:的标准方程为,圆心为,由题意,即,∴,当且仅当,即时等号成立,故答案为:.【点睛】本题考查用基本不等式求最值,考查圆的标准方程,解题方法是配方法求圆心坐标,“1”的代换法求最小值,目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)连接交于点,取中点,连结,证明平面得到答案.(Ⅱ)分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系,平面的法向量为,平面的法向量为,计算夹角得到答案.【详解】(Ⅰ)连接交于点,取中点,连结因为为菱形,所以.因为,所以.因为二面角为直二面角,所以平面平面,且平面平面,所以平面所以因为所以是平行四边形,所以.所以,所以,所以平面,又平面,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知两两垂直,分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系.设设平面的法向量为,由,取.平面的法向量为.所以二面角余弦值为.【点睛】本题考查了线线垂直,二面角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18.(1)e;(2)2.【解析】
(1)根据反函数的性质,得出,再利用导数的几何意义,求出曲线在点处的切线为,构造函数,利用导数求出单调性,即可得出的值;(2)设,求导,求出的单调性,从而得出最大值为,结合恒成立的性质,得出正整数的最小值.【详解】(1)根据题意,与的图象关于直线对称,所以函数的图象与互为反函数,则,,设点,,又,当时,,曲线在点处的切线为,即,代入点,得,即,构造函数,当时,,当时,,且,当时,单调递增,而,故存在唯一的实数根.(2)由于不等式恒成立,可设,所以,令,得.所以当时,;当时,,因此函数在是增函数,在是减函数.故函数的最大值为.令,因为,,又因为在是减函数.所以当时,.所以正整数的最小值为2.【点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数解决恒成立问题,涉及到单调性、构造函数法等,考查函数思想和计算能力.19.(1)详见解析;(2).【解析】
(1)连接,由菱形的性质以及中位线,得,由平面平面,且交线,得平面,故而,最后由线面垂直的判定得结论.(2)以为原点建平面直角坐标系,求出平面平与平面的法向量,,最后求得二面角的余弦值为.【详解】解:(1)连结∵,且是的中点,∴∵平面平面,平面平面,∴平面.∵平面,∴又为菱形,且为棱的中点,∴∴.又∵,平面∴平面.(2)由题意有,∵四边形为菱形,且∴分别以,,所在直线为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,设,则设平面的法向量为由,得,令,得取平面的法向量为∴二面角为锐二面角,∴二面角的余弦值为【点睛】处理线面垂直问题时,需要学生对线面垂直的判定定理特别熟悉,运用几何语言表示出来方才过关,一定要在已知平面中找两条相交直线与平面外的直线垂直,才可以证得线面垂直,其次考查了学生运用空间向量处理空间中的二面角问题,培养了学生的计算能力和空间想象力.20.(1)见解析;(2).【解析】
(1)取的中点,连接、,连接,证明出四边形为平行四边形,可得出,然后利用线面平行的判定定理可证得结论;(2)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得二面角的余弦值,进而可求得其正弦值.【详解】(1)取中点,连接、、,且,四边形为平行四边形,且,、分别为、中点,且,则四边形为平行四边形,且,且,且,所以,四边形为平行四边形,且,四边形为平行四边形,,平面,平面,平面;(2)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则、、、,,,,设平面的法向量为,由,得,取,则,,,设平面的法向量为,由,得,取,则,,,,,因此,二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明,同时也考查了利用空间向量法求解二面角,考查推理能力与计算能力,属于中等题.21.(1)(2)能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系(3)详见解析【解析】
(1)由题意可计算后三组的频数的总数,由其成等差数列可得后三组频数,可得视力在5.0以上的频率,可得全年级视力在5.0以上的的人数;(2)由题中数据计
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