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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若为虚数单位,则复数,则在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知复数满足:,则的共轭复数为()A. B. C. D.3.在复平面内,复数(为虚数单位)对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.中国的国旗和国徽上都有五角星,正五角星与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的正五角星中,以、、、、为顶点的多边形为正五边形,且,则()A. B. C. D.5.在三棱锥中,,且分别是棱,的中点,下面四个结论:①;②平面;③三棱锥的体积的最大值为;④与一定不垂直.其中所有正确命题的序号是()A.①②③ B.②③④ C.①④ D.①②④6.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,点在抛物线上且满足,若取得最大值时,点恰好在以为焦点的椭圆上,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.7.已知是双曲线的左右焦点,过的直线与双曲线的两支分别交于两点(A在右支,B在左支)若为等边三角形,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.8.若复数,,其中是虚数单位,则的最大值为()A. B. C. D.9.射线测厚技术原理公式为,其中分别为射线穿过被测物前后的强度,是自然对数的底数,为被测物厚度,为被测物的密度,是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241()低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8,钢的密度为7.6,则这种射线的吸收系数为()(注:半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度,,结果精确到0.001)A.0.110 B.0.112 C. D.10.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为A. B.C. D.11.已知非零向量、,若且,则向量在向量方向上的投影为()A. B. C. D.12.已知的内角、、的对边分别为、、,且,,为边上的中线,若,则的面积为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数的定义域是__________.14.已知向量,,若满足,且方向相同,则__________.15.在中,已知,,是边的垂直平分线上的一点,则__________.16.实数,满足约束条件,则的最大值为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)若曲线、交于、两点,是曲线上的动点,求面积的最大值.18.(12分)已知椭圆的左,右焦点分别为,直线与椭圆相交于两点;当直线经过椭圆的下顶点和右焦点时,的周长为,且与椭圆的另一个交点的横坐标为(1)求椭圆的方程;(2)点为内一点,为坐标原点,满足,若点恰好在圆上,求实数的取值范围.19.(12分)已知函数,.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)求函数的极小值;(3)求函数的零点个数.20.(12分)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,.求C;若,求,的面积21.(12分)如图,底面是等腰梯形,,点为的中点,以为边作正方形,且平面平面.(1)证明:平面平面.(2)求二面角的正弦值.22.(10分)已知,均为正项数列,其前项和分别为,,且,,,当,时,,.(1)求数列,的通项公式;(2)设,求数列的前项和.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
首先根据特殊角的三角函数值将复数化为,求出,再利用复数的几何意义即可求解.【详解】,,则在复平面内对应的点的坐标为,位于第二象限.故选:B【点睛】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的概念、特殊角的三角函数值,属于基础题.2.B【解析】
转化,为,利用复数的除法化简,即得解【详解】复数满足:所以故选:B【点睛】本题考查了复数的除法和复数的基本概念,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于基础题.3.C【解析】
化简复数为、的形式,可以确定对应的点位于的象限.【详解】解:复数故复数对应的坐标为位于第三象限故选:.【点睛】本题考查复数代数形式的运算,复数和复平面内点的对应关系,属于基础题.4.A【解析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义,便可解决问题.【详解】解:.故选:A【点睛】本题以正五角星为载体,考查平面向量的概念及运算法则等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.5.D【解析】
①通过证明平面,证得;②通过证明,证得平面;③求得三棱锥体积的最大值,由此判断③的正确性;④利用反证法证得与一定不垂直.【详解】设的中点为,连接,则,,又,所以平面,所以,故①正确;因为,所以平面,故②正确;当平面与平面垂直时,最大,最大值为,故③错误;若与垂直,又因为,所以平面,所以,又,所以平面,所以,因为,所以显然与不可能垂直,故④正确.故选:D【点睛】本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.6.B【解析】
设,利用两点间的距离公式求出的表达式,结合基本不等式的性质求出的最大值时的点坐标,结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.【详解】设,因为是抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,所以,则,当时,,当时,,当且仅当时取等号,此时,,点在以为焦点的椭圆上,,由椭圆的定义得,所以椭圆的离心率,故选B.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率,属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:①直接求出,从而求出;②构造的齐次式,求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.7.D【解析】
根据双曲线的定义可得的边长为,然后在中应用余弦定理得的等式,从而求得离心率.【详解】由题意,,又,∴,∴,在中,即,∴.故选:D.【点睛】本题考查求双曲线的离心率,解题关键是应用双曲线的定义把到两焦点距离用表示,然后用余弦定理建立关系式.8.C【解析】
由复数的几何意义可得表示复数,对应的两点间的距离,由两点间距离公式即可求解.【详解】由复数的几何意义可得,复数对应的点为,复数对应的点为,所以,其中,故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义,由复数的几何意义,将转化为两复数所对应点的距离求值即可,属于基础题型.9.C【解析】
根据题意知,,代入公式,求出即可.【详解】由题意可得,因为,所以,即.所以这种射线的吸收系数为.故选:C【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程;属于中档题.10.D【解析】分析:根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列,利用等比数列的相关性质可解.详解:因为每一个单音与前一个单音频率比为,所以,又,则故选D.点睛:此题考查等比数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种:(1)定义法,若()或(),数列是等比数列;(2)等比中项公式法,若数列中,且(),则数列是等比数列.11.D【解析】
设非零向量与的夹角为,在等式两边平方,求出的值,进而可求得向量在向量方向上的投影为,即可得解.【详解】,由得,整理得,,解得,因此,向量在向量方向上的投影为.故选:D.【点睛】本题考查向量投影的计算,同时也考查利用向量的模计算向量的夹角,考查计算能力,属于基础题.12.B【解析】
延长到,使,连接,则四边形为平行四边形,根据余弦定理可求出,进而可得的面积.【详解】解:延长到,使,连接,则四边形为平行四边形,则,,,在中,则,得,.故选:B.【点睛】本题考查余弦定理的应用,考查三角形面积公式的应用,其中根据中线作出平行四边形是关键,是中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】由,得,所以,所以原函数定义域为,故答案为.14.【解析】
由向量平行坐标表示计算.注意验证两向量方向是否相同.【详解】∵,∴,解得或,时,满足题意,时,,方向相反,不合题意,舍去.∴.故答案为:1.【点睛】本题考查向量平行的坐标运算,解题时要注意验证方向相同这个条件,否则会出错.15.【解析】
作出图形,设点为线段的中点,可得出且,进而可计算出的值.【详解】设点为线段的中点,则,,,.故答案为:.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算,涉及平面向量数量积运算律的应用,解答的关键就是选择合适的基底表示向量,考查计算能力,属于中等题.16.10【解析】
画出可行域,根据目标函数截距可求.【详解】解:作出可行域如下:由得,平移直线,当经过点时,截距最小,最大解得的最大值为10故答案为:10【点睛】考查可行域的画法及目标函数最大值的求法,基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),;(2).【解析】
(1)在曲线的参数方程中消去参数,可得出曲线的普通方程,将曲线的极坐标方程变形为,进而可得出曲线的直角坐标方程;(2)求出点到直线的最大距离,以及直线截圆所得弦长,利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.【详解】(1)由曲线的参数方程得,.所以,曲线的普通方程为,将曲线的极坐标方程变形为,所以,曲线的直角坐标方程为;(2)曲线是圆心为,半径为为圆,圆心到直线的距离为,所以,点到直线的最大距离为,,因此,的面积为最大值为.【点睛】本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的相互转换,同时也考查了直线截圆所形成的三角形面积最值的计算,考查计算能力,属于中等题.18.(1);(2)或【解析】
(1)由椭圆的定义可知,焦点三角形的周长为,从而求出.写出直线的方程,与椭圆方程联立,根据交点横坐标为,求出和,从而写出椭圆的方程;(2)设出P、Q两点坐标,由可知点为的重心,根据重心坐标公式可将点用P、Q两点坐标来表示.由点在圆O上,知点M的坐标满足圆O的方程,得式.为直线l与椭圆的两个交点,用韦达定理表示,将其代入方程,再利用求得的范围,最终求出实数的取值范围.【详解】解:(1)由题意知.,直线的方程为∵直线与椭圆的另一个交点的横坐标为解得或(舍去),∴椭圆的方程为(2)设.∴点为的重心,∵点在圆上,由得,代入方程,得,即由得解得.或【点睛】本题考查了椭圆的焦点三角形的周长,标准方程的求解,直线与椭圆的位置关系,其中重心坐标公式、韦达定理的应用是关键.考查了学生的运算能力,属于较难的题.19.(1);(2)极小值;(3)函数的零点个数为.【解析】
(1)求出和的值,利用点斜式可得出所求切线的方程;(2)利用导数分析函数的单调性,进而可得出该函数的极小值;(3)由当时,以及,结合函数在区间上的单调性可得出函数的零点个数.【详解】(1)因为,所以.所以,.所以曲线在点处的切线为;(2)因为,令,得或.列表如下:0极大值极小值所以,函数的单调递增区间为和,单调递减区间为,所以,当时,函数有极小值;(3)当时,,且.由(2)可知,函数在上单调递增,所以函数的零点个数为.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、极值以及利用导数研究函数的零点问题,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.20.(1).(2).【解析】
由已知利用正弦定理,同角三角函数基本关系式可求,结合范围,可求,由已知利用二倍角的余弦函数公式可得,结合范围,可求A,根据三角形的内角和定理即可解得C的值.由及正弦定理可得b的值,根据两角和的正弦函数公式可求sinC的值,进而根据三角形的面积公式即可求解.【详解】由已知可得,又由正弦定理,可得,即,,,,即,又,,或舍去,可得,.,,,由正弦定理,可得,,.【点睛】本题主要考查了正弦定理,同角三角函数基本关系式,二倍角的余弦函数公式,三角形的内角和定理,两角和的正弦函数公式,三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.21.(1)见解析;(2)【解析】
(1)先证明四边形是菱形,进而可知,然后可得到平面,即可证明平面平面;(2)记AC,BE的交点为O,再取FG的中点P.以O为坐标原点,以射线OB,OC,OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系,分别求出平面ABF和DBF的法向量,然后由,可求出二面角的
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