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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知随机变量服从正态分布,,()A. B. C. D.2.如图是函数在区间上的图象,为了得到这个函数的图象,只需将的图象上的所有的点()A.向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变B.向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变C.向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变D.向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变3.已知函数,给出下列四个结论:①函数的值域是;②函数为奇函数;③函数在区间单调递减;④若对任意,都有成立,则的最小值为;其中正确结论的个数是()A. B. C. D.4.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),若取3,当该量器口密闭时其表面积为42.2(平方寸),则图中x的值为()A.3 B.3.4 C.3.8 D.45.新闻出版业不断推进供给侧结构性改革,深入推动优化升级和融合发展,持续提高优质出口产品供给,实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况,则下列说法错误的是()A.2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B.2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C.2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D.2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一6.若,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.双曲线x2a2A.y=±2x B.y=±3x8.我国古代有着辉煌的数学研究成果,其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》,有丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为()A. B. C. D.9.已知复数z满足(i为虚数单位),则z的虚部为()A. B. C.1 D.10.已知等差数列的公差为,前项和为,,,为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为,若对任意的恒成立,则实数().A.6 B.5 C.4 D.311.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(,)C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重比为58.79kg12.已知函数,若时,恒成立,则实数的值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.给出以下式子:①tan25°+tan35°tan25°tan35°;②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°);③其中,结果为的式子的序号是_____.14.直线(,)过圆:的圆心,则的最小值是______.15.在的二项展开式中,x的系数为________.(用数值作答)16.已知不等式的解集不是空集,则实数的取值范围是;若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是___三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数.).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,曲线与直线其中的一个交点为,且点极径.极角(1)求曲线的极坐标方程与点的极坐标;(2)已知直线的直角坐标方程为,直线与曲线相交于点(异于原点),求的面积.18.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)把的参数方程化为极坐标方程:(2)求与交点的极坐标.19.(12分)已知函数.(1)若,证明:当时,;(2)若在只有一个零点,求的值.20.(12分)已知椭圆:的离心率为,左、右顶点分别为、,过左焦点的直线交椭圆于、两点(异于、两点),当直线垂直于轴时,四边形的面积为1.(1)求椭圆的方程;(2)设直线、的交点为;试问的横坐标是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.21.(12分)某商场为改进服务质量,随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查.调查后,就顾客“购物体验”的满意度统计如下:满意不满意男4040女8040(1)是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关?(2)为答谢顾客,该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动.据统计,在此期间顾客购买该商品的支付情况如下:支付方式现金支付购物卡支付APP支付频率10%30%60%优惠方式按9折支付按8折支付其中有1/3的顾客按4折支付,1/2的顾客按6折支付,1/6的顾客按8折支付将上述频率作为相应事件发生的概率,记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为,求的分布列和数学期望.附表及公式:.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822.(10分)某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行了一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记5分,“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如下:等级不合格合格得分频数624(1)由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数;(2)其他条件不变,在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈,每次抽取1人,求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下,第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率;(3)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人,记所选4人的量化总分为,求的数学期望.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
利用正态分布密度曲线的对称性可得出,进而可得出结果.【详解】,所以,.故选:B.【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率,属于基础题.2.A【解析】
由函数的最大值求出,根据周期求出,由五点画法中的点坐标求出,进而求出的解析式,与对比结合坐标变换关系,即可求出结论.【详解】由图可知,,又,,又,,,为了得到这个函数的图象,只需将的图象上的所有向左平移个长度单位,得到的图象,再将的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)即可.故选:A【点睛】本题考查函数的图象求解析式,考查函数图象间的变换关系,属于中档题.3.C【解析】
化的解析式为可判断①,求出的解析式可判断②,由得,结合正弦函数得图象即可判断③,由得可判断④.【详解】由题意,,所以,故①正确;为偶函数,故②错误;当时,,单调递减,故③正确;若对任意,都有成立,则为最小值点,为最大值点,则的最小值为,故④正确.故选:C.【点睛】本题考查三角函数的综合运用,涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容,是一道较为综合的问题.4.D【解析】
根据三视图即可求得几何体表面积,即可解得未知数.【详解】由图可知,该几何体是由一个长宽高分别为和一个底面半径为,高为的圆柱组合而成.该几何体的表面积为,解得,故选:D.【点睛】本题考查由三视图还原几何体,以及圆柱和长方体表面积的求解,属综合基础题.5.C【解析】
通过图表所给数据,逐个选项验证.【详解】根据图示数据可知选项A正确;对于选项B:,正确;对于选项C:,故C不正确;对于选项D:,正确.选C.【点睛】本题主要考查柱状图是识别和数据分析,题目较为简单.6.A【解析】
本题根据基本不等式,结合选项,判断得出充分性成立,利用“特殊值法”,通过特取的值,推出矛盾,确定必要性不成立.题目有一定难度,注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时,,则当时,有,解得,充分性成立;当时,满足,但此时,必要性不成立,综上所述,“”是“”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有,一是基本不等式掌握不熟,导致判断失误;二是不能灵活的应用“赋值法”,通过特取的值,从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.7.A【解析】分析:根据离心率得a,c关系,进而得a,b关系,再根据双曲线方程求渐近线方程,得结果.详解:∵e=因为渐近线方程为y=±bax点睛:已知双曲线方程x2a28.D【解析】
利用列举法,从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,基本事件有10种情况,所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况,由古典概型概率公式可得结果.【详解】《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》,这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.记这5部专著分别为,其中产生于汉、魏、晋、南北朝时期.从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,基本事件有共10种情况,所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有,共9种情况,所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为.故选D.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用,属于基础题,利用古典概型概率公式求概率时,找准基本事件个数是解题的关键,基本亊件的探求方法有(1)枚举法:适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的;(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时,一定要按顺序逐个写出:先,….,再,…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.9.D【解析】
根据复数z满足,利用复数的除法求得,再根据复数的概念求解.【详解】因为复数z满足,所以,所以z的虚部为.故选:D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.10.C【解析】
若对任意的恒成立,则为的最大值,所以由已知,只需求出取得最大值时的n即可.【详解】由已知,,又三角形有一个内角为,所以,,解得或(舍),故,当时,取得最大值,所以.故选:C.【点睛】本题考查等差数列前n项和的最值问题,考查学生的计算能力,是一道基础题.11.D【解析】根据y与x的线性回归方程为y=0.85x﹣85.71,则=0.85>0,y与x具有正的线性相关关系,A正确;回归直线过样本点的中心(),B正确;该大学某女生身高增加1cm,预测其体重约增加0.85kg,C正确;该大学某女生身高为170cm,预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg,D错误.故选D.12.D【解析】
通过分析函数与的图象,得到两函数必须有相同的零点,解方程组即得解.【详解】如图所示,函数与的图象,因为时,恒成立,于是两函数必须有相同的零点,所以,解得.故选:D【点睛】本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题,考查不等式的恒成立问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.①②③【解析】
由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解.【详解】①∵tan60°=tan(25°+35°),tan25°+tan35°tan25°tan35°;tan25°tan35°,,②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)=2(sin35°cos25°+cos35°sin25°),=2sin60°;③tan(45°+15°)=tan60°;故答案为:①②③【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用,属于中档试题.14.;【解析】
求出圆心坐标,代入直线方程得的关系,再由基本不等式求得题中最小值.【详解】圆:的标准方程为,圆心为,由题意,即,∴,当且仅当,即时等号成立,故答案为:.【点睛】本题考查用基本不等式求最值,考查圆的标准方程,解题方法是配方法求圆心坐标,“1”的代换法求最小值,目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”.15.-40【解析】
由题意,可先由公式得出二项展开式的通项,再令10-3r=1,得r=3即可得出x项的系数【详解】的二项展开式的通项公式为,r=0,1,2,3,4,5,令,所以的二项展开式中x项的系数为.故答案为:-40.【点睛】本题考查二项式定理的应用,解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式,属于基础题.16.【解析】
利用绝对值的几何意义,确定出的最小值,然后根据题意即可得到的取值范围化简不等式,求出的最大值,然后求出结果【详解】的最小值为,则要使不等式的解集不是空集,则有化简不等式有,即而当时满足题意,解得或所以答案为【点睛】本题主要考查的是函数恒成立的问题和绝对值不等式,要注意到绝对值的几何意义,数形结合来解答本题,注意去绝对值时的分类讨论化简三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)极坐标方程为,点的极坐标为(2)【解析】
(1)利用极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化公式即可;(2)只需算出A、B两点的极坐标,利用计算即可.【详解】(1)曲线C:(为参数,),将代入,解得,即曲线的极坐标方程为,点的极坐标为.(2)由(1),得点的极坐标为,由直线过原点且倾斜角为,知点的极坐标为,.【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面积,考查学生的运算能力,是一道基础题.18.(1)(2)与交点的极坐标为,和【解析】
(1)先把曲线化成直角坐标方程,再化简成极坐标方程;(2)联立曲线和曲线的方程解得即可.【详解】(1)曲线的直角坐标方程为:,即.的参数方程化为极坐标方程为;(2)联立可得:,与交点的极坐标为,和.【点睛】本题考查了参数方程,直角坐标方程,极坐标方程的互化,也考查了极坐标方程的联立,属于基础题.19.(1)见解析;(2)【解析】
分析:(1)先构造函数,再求导函数,根据导函数不大于零得函数单调递减,最后根据单调性证得不等式;(2)研究零点,等价研究的零点,先求导数:,这里产生两个讨论点,一个是a与零,一个是x与2,当时,,没有零点;当时,先减后增,从而确定只有一个零点的必要条件,再利用零点存在定理确定条件的充分性,即得a的值.详解:(1)当时,等价于.设函数,则.当时,,所以在单调递减.而,故当时,,即.(2)设函数.在只有一个零点当且仅当在只有一个零点.(i)当时,,没有零点;(ii)当时,.当时,;当时,.所以在单调递减,在单调递增.故是在的最小值.①若,即,在没有零点;②若,即,在只有一个零点;③若,即,由于,所以在有一个零点,由(1)知,当时,,所以.故在有一个零点,因此在有两个零点.综上,在只有一个零点时,.点睛:利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.20.(1)(2)是为定值,的横坐标为定值【解析】
(1)根据“直线垂直于轴时,四边形的面积为1”列方程,由此求得,结合椭圆离心率以及,求得,由此求得椭圆方程.(2)设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,化简后写出根与系数关系.求得直线的方程,并求得两直线交点的横坐标,结合根与系数关系进行化简,求得的横坐标为定值.【详解】(1)依题意可知,解得,即;而,即,结合解得,,因此椭圆方程为(2)由题意得,左焦点,设直线的方程为:,,.由消去并整理得,∴,.直线的方程为:,直线的方程为:.联系方程,解得,又因为.所以.所以的横坐标为定值.【点睛】本小题主要考查根据椭圆离心率求椭圆方程,考查直线和椭圆的位置关系,考查直线和直线交点坐标的求法,考查运算求解能力,属于中档题.
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