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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积等于()cm3A. B. C. D.2.下图是民航部门统计的某年春运期间,六个城市售出的往返机票的平均价格(单位元),以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图,以下叙述不正确的是()A.深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高B.天津的往返机票平均价格变化最大C.上海和广州的往返机票平均价格基本相当D.相比于上一年同期,其中四个城市的往返机票平均价格在增加3.已知集合,集合,那么等于()A. B. C. D.4.如图所示,已知双曲线的右焦点为,双曲线的右支上一点,它关于原点的对称点为,满足,且,则双曲线的离心率是().A. B. C. D.5.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:,,,,则按照以上规律,若具有“穿墙术”,则()A.48 B.63 C.99 D.1206.已知数列的首项,且,其中,,,下列叙述正确的是()A.若是等差数列,则一定有 B.若是等比数列,则一定有C.若不是等差数列,则一定有 D.若不是等比数列,则一定有7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.8.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;②甲同学的平均分比乙同学的平均分高;③甲同学的平均分比乙同学的平均分低;④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是()A.③④ B.①② C.②④ D.①③④9.设复数满足,则()A. B. C. D.10.设,,是非零向量.若,则()A. B. C. D.11.已知函数,其中,若恒成立,则函数的单调递增区间为()A. B.C. D.12.等差数列中,已知,且,则数列的前项和中最小的是()A.或 B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.圆心在曲线上的圆中,存在与直线相切且面积为的圆,则当取最大值时,该圆的标准方程为______.14.不等式的解集为________15.验证码就是将一串随机产生的数字或符号,生成一幅图片,图片里加上一些干扰象素(防止),由用户肉眼识别其中的验证码信息,输入表单提交网站验证,验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录,以提升网络安全.在抗疫期间,某居民小区电子出入证的登录验证码由0,1,2,…,9中的五个数字随机组成.将中间数字最大,然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”(例如:如14532,12543),已知某人收到了一个“钟型验证码”,则该验证码的中间数字是7的概率为__________.16.电影《厉害了,我的国》于2018年3月正式登陆全国院线,网友纷纷表示,看完电影热血沸腾“我为我的国家骄傲,我为我是中国人骄傲!”《厉害了,我的国》正在召唤我们每一个人,不忘初心,用奋斗书写无悔人生,小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了,我的国》,并把标识为的四张电影票放在编号分别为1,2,3,4的四个不同的盒子里,让四位好朋友进行猜测:甲说:第1个盒子里放的是,第3个盒子里放的是乙说:第2个盒子里放的是,第3个盒子里放的是丙说:第4个盒子里放的是,第2个盒子里放的是丁说:第4个盒子里放的是,第3个盒子里放的是小明说:“四位朋友你们都只说对了一半”可以预测,第4个盒子里放的电影票为_________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数存在一个极大值点和一个极小值点.(1)求实数a的取值范围;(2)若函数的极大值点和极小值点分别为和,且,求实数a的取值范围.(e是自然对数的底数)18.(12分)已知,,.(1)求的最小值;(2)若对任意,都有,求实数的取值范围.19.(12分)在开展学习强国的活动中,某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组,其中党员学习组有4名男教师、1名女教师,非党员学习组有2名男教师、2名女教师,高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛.(1)求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数;(2)记X为选出的4名选手中女教师的人数,求X的概率分布和数学期望.20.(12分)(江苏省徐州市高三第一次质量检测数学试题)在平面直角坐标系中,已知平行于轴的动直线交抛物线:于点,点为的焦点.圆心不在轴上的圆与直线,,轴都相切,设的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)若直线与曲线相切于点,过且垂直于的直线为,直线,分别与轴相交于点,.当线段的长度最小时,求的值.21.(12分)平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为,点.(1)求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交于点,曲线与曲线交于点,求的面积.22.(10分)己知,函数.(1)若,解不等式;(2)若函数,且存在使得成立,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】解:根据几何体的三视图知,该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体,结合图中数据,计算它的体积为:V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×1+•π•12×1=(6+1.5π)cm1.故答案为6+1.5π.点睛:根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体,结合图中数据计算它的体积即可.2.D【解析】
根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析,由此得出叙述不正确的选项.【详解】对于A选项,根据折线图可知深圳的变化幅度最小,根据条形图可知北京的平均价格最高,所以A选项叙述正确.对于B选项,根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大,所以B选项叙述正确.对于C选项,根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当,所以C选项叙述正确.对于D选项,根据折线图可知相比于上一年同期,除了深圳外,另外五个城市的往返机票平均价格在增加,故D选项叙述错误.故选:D【点睛】本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析,属于基础题.3.A【解析】
求出集合,然后进行并集的运算即可.【详解】∵,,∴.故选:A.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法,考查集合并集的概念和运算,属于基础题.4.C【解析】
易得,,又,平方计算即可得到答案.【详解】设双曲线C的左焦点为E,易得为平行四边形,所以,又,故,,,所以,即,故离心率为.故选:C.【点睛】本题考查求双曲线离心率的问题,关键是建立的方程或不等关系,是一道中档题.5.C【解析】
观察规律得根号内分母为分子的平方减1,从而求出n.【详解】解:观察各式发现规律,根号内分母为分子的平方减1所以故选:C.【点睛】本题考查了归纳推理,发现总结各式规律是关键,属于基础题.6.C【解析】
根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.【详解】A:当时,,显然符合是等差数列,但是此时不成立,故本说法不正确;B:当时,,显然符合是等比数列,但是此时不成立,故本说法不正确;C:当时,因此有常数,因此是等差数列,因此当不是等差数列时,一定有,故本说法正确;D:当时,若时,显然数列是等比数列,故本说法不正确.故选:C【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义,考查了推理论证能力,属于基础题.7.D【解析】
结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.【详解】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积,下半部分的正三棱柱的体积,故该几何体的体积.故选:D.【点睛】本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.8.A【解析】
由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为,乙同学成绩的中位数为,故①错误;,,则,故②错误,③正确;显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,故选:A【点睛】本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.9.D【解析】
根据复数运算,即可容易求得结果.【详解】.故选:D.【点睛】本题考查复数的四则运算,属基础题.10.D【解析】试题分析:由题意得:若,则;若,则由可知,,故也成立,故选D.考点:平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是:①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易);②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难);③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.11.A【解析】
,从而可得,,再解不等式即可.【详解】由已知,,所以,,由,解得,.故选:A.【点睛】本题考查求正弦型函数的单调区间,涉及到恒成立问题,考查学生转化与化归的思想,是一道中档题.12.C【解析】
设公差为,则由题意可得,解得,可得.令
,可得
当时,,当时,,由此可得数列前项和中最小的.【详解】解:等差数列中,已知,且,设公差为,
则,解得
,.
令
,可得,故当时,,当时,,
故数列前项和中最小的是.故选:C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质,等差数列的通项公式的应用,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由题意可得圆的面积求出圆的半径,由圆心在曲线上,设圆的圆心坐标,到直线的距离等于半径,再由均值不等式可得的最大值时圆心的坐标,进而求出圆的标准方程.【详解】设圆的半径为,由题意可得,所以,由题意设圆心,由题意可得,由直线与圆相切可得,所以,而,,所以,即,解得,所以的最大值为2,当且仅当时取等号,可得,所以圆心坐标为:,半径为,所以圆的标准方程为:.故答案为:.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系及均值不等式的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意验正等号成立的条件.14.【解析】
通过平方,将无理不等式化为有理不等式求解即可。【详解】由得,解得,所以解集是。【点睛】本题主要考查无理不等式的解法。15.【解析】
首先判断出中间号码的所有可能取值,由此求得基本事件的总数以及中间数字是的事件数,根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.【详解】根据“钟型验证码”中间数字最大,然后向两边对称递减,所以中间的数字可能是.当中间是时,其它个数字可以是,选其中两个排在左边(排法唯一),另外两个排在右边(排法唯一),所以方法数有种.当中间是时,其它个数字可以是,选其中两个排在左边(排法唯一),另外两个排在右边(排法唯一),所以方法数有种.当中间是时,其它个数字可以是,选其中两个排在左边(排法唯一),另外两个排在右边(排法唯一),所以方法数有种.当中间是时,其它个数字可以是,选其中两个排在左边(排法唯一),另外两个排在右边(排法唯一),所以方法数有种.当中间是时,其它个数字可以是,选其中两个排在左边(排法唯一),另外两个排在右边(排法唯一),所以方法数有种.当中间是时,其它个数字可以是,选其中两个排在左边(排法唯一),另外两个排在右边(排法唯一),所以方法数有种.所以该验证码的中间数字是7的概率为.故答案为:【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算,考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用,考查运算求解能力,属于中档题.16.A或D【解析】
分别假设每一个人一半是对的,然后分别进行验证即可.【详解】解:假设甲说:第1个盒子里面放的是是对的,则乙说:第3个盒子里面放的是是对的,丙说:第2个盒子里面放的是是对的,丁说:第4个盒子里面放的是是对的,由此可知第4个盒子里面放的是;假设甲说:第3个盒子里面放的是是对的,则丙说:第4个盒子里面放的是是对的,乙说:第2个盒子里面放的是是对的,丁说:第3个盒子里面放的是是对的,由此可知第4个盒子里面放的是.故第4个盒子里面放的电影票为或.故答案为:或【点睛】本题考查简单的合情推理,考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2).【解析】
(1)首先对函数求导,根据函数存在一个极大值点和一个极小值点求出a的取值范围;(2)首先求出的值,再根据求出实数a的取值范围.【详解】(1)函数的定义域为是,,若有两个极值点,则方程一定有两个不等的正根,设为和,且,所以解得,此时,当时,,当时,,当时,,故是极大值点,是极小值点,故实数a的取值范围是;(2)由(1)知,,,则,,,由,得,即,令,考虑到,所以可化为,而,所以在上为增函数,由,得,故实数a的取值范围是.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值点和单调性,利用函数单调性证明不等式,属于难题.18.(1)2;(2).【解析】
(1)化简得,所以,展开后利用基本不等式求最小值即可;(2)由(1),原不等式可转化为,讨论去绝对值即可求得的取值范围.【详解】(1)∵,,∴,∴.∴.当且仅当且即时,.(2)由(1)知,,对任意,都有,∴,即.①当时,有,解得;②当,时,有,解得;③当时,有,解得;综上,,∴实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查基本不等式的运用和求解含绝对值的不等式,考查学生的分类思想和计算能力,属于中档题.19.(1)28种;(2)分布见解析,.【解析】
(1)分这名女教师分别来自党员学习组与非党员学习组,可得恰好有一名女教师的选派方法数;(2)X的可能取值为,再求出X的每个取值的概率,可得X的概率分布和数学期望.【详解】解:(1)选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为种.(2)X的可能取值为0,1,2,3.,,,.故X的概率分布为:X0123P所以.【点睛】本题主要考查组合数与组合公式及离散型随机变量的期望和方差,相对不难,注意运算的准确性.20.(1).(2)见解析.【解析】试题分析:(1)设根据题意得到,化简得到轨迹方程;(2)设,,,,构造函数研究函数的单调性,得到函数的最值.
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