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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若复数满足,则()A. B. C. D.2.若为虚数单位,则复数在复平面上对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知为正项等比数列,是它的前项和,若,且与的等差中项为,则的值是()A.29 B.30 C.31 D.324.已知双曲线:的左、右两个焦点分别为,,若存在点满足,则该双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.55.已知集合,则()A. B. C. D.6.如图所示,三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一个内角为,若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计,取),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为()A.20 B.27 C.54 D.647.已知条件,条件直线与直线平行,则是的()A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象()A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度9.执行如图所示的程序框图,若输入,,则输出的()A.4 B.5 C.6 D.710.记集合和集合表示的平面区域分别是和,若在区域内任取一点,则该点落在区域的概率为()A. B. C. D.11.如图,圆的半径为,,是圆上的定点,,是圆上的动点,点关于直线的对称点为,角的始边为射线,终边为射线,将表示为的函数,则在上的图像大致为()A. B. C. D.12.已知,则下列关系正确的是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习,抛一枚硬币两次,若两次都是正面朝上,就在家学习,否则出去看电影,则该同学在家学习的概率为____________.14.已知为等比数列,是它的前项和.若,且与的等差中项为,则__________.15.某市公租房源位于、、三个小区,每位申请人只能申请其中一个小区的房子,申请其中任意一个小区的房子是等可能的,则该市的任意位申请人中,恰好有人申请小区房源的概率是______.(用数字作答)16.已知函数的图象在点处的切线方程是,则的值等于__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆过点且椭圆的左、右焦点与短轴的端点构成的四边形的面积为.(1)求椭圆C的标准方程:(2)设A是椭圆的左顶点,过右焦点F的直线,与椭圆交于P,Q,直线AP,AQ与直线交于M,N,线段MN的中点为E.①求证:;②记,,的面积分别为、、,求证:为定值.18.(12分)设函数.(Ⅰ)讨论函数的单调性;(Ⅱ)若函数有两个极值点,求证:.19.(12分)已知函数.(1)若曲线在处的切线为,试求实数,的值;(2)当时,若有两个极值点,,且,,若不等式恒成立,试求实数m的取值范围.20.(12分)已知数列满足,,其前n项和为.(1)通过计算,,,猜想并证明数列的通项公式;(2)设数列满足,,,若数列是单调递减数列,求常数t的取值范围.21.(12分)已知.(1)当时,求不等式的解集;(2)若,,证明:.22.(10分)如图,在四棱锥中,平面,四边形为正方形,点为线段上的点,过三点的平面与交于点.将①,②,③中的两个补充到已知条件中,解答下列问题:(1)求平面将四棱锥分成两部分的体积比;(2)求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
化简得到,,再计算复数模得到答案.【详解】,故,故,.故选:.【点睛】本题考查了复数的化简,共轭复数,复数模,意在考查学生的计算能力.2.D【解析】
根据复数的运算,化简得到,再结合复数的表示,即可求解,得到答案.【详解】由题意,根据复数的运算,可得,所对应的点为位于第四象限.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的运算,以及复数的几何意义,其中解答中熟记复数的运算法则,准确化简复数为代数形式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.3.B【解析】
设正项等比数列的公比为q,运用等比数列的通项公式和等差数列的性质,求出公比,再由等比数列的求和公式,计算即可得到所求.【详解】设正项等比数列的公比为q,则a4=16q3,a7=16q6,a4与a7的等差中项为,即有a4+a7=,即16q3+16q6,=,解得q=(负值舍去),则有S5===1.故选C.【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用,同时考查等差数列的性质,考查运算能力,属于中档题.4.B【解析】
利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求.【详解】.选B.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率,离心率求解时,一般是把已知条件,转化为a,b,c的关系式.5.B【解析】
计算,再计算交集得到答案【详解】,表示偶数,故.故选:.【点睛】本题考查了集合的交集,意在考查学生的计算能力.6.B【解析】
设大正方体的边长为,从而求得小正方体的边长为,设落在小正方形内的米粒数大约为,利用概率模拟列方程即可求解。【详解】设大正方体的边长为,则小正方体的边长为,设落在小正方形内的米粒数大约为,则,解得:故选:B【点睛】本题主要考查了概率模拟的应用,考查计算能力,属于基础题。7.C【解析】
先根据直线与直线平行确定的值,进而即可确定结果.【详解】因为直线与直线平行,所以,解得或;即或;所以由能推出;不能推出;即是的充分不必要条件.故选C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定,熟记概念即可,属于基础题型.8.A【解析】
由的最小正周期是,得,即,因此它的图象向左平移个单位可得到的图象.故选A.考点:函数的图象与性质.【名师点睛】三角函数图象变换方法:9.C【解析】
根据程序框图程序运算即可得.【详解】依程序运算可得:,故选:C【点睛】本题主要考查了程序框图的计算,解题的关键是理解程序框图运行的过程.10.C【解析】
据题意可知,是与面积有关的几何概率,要求落在区域内的概率,只要求、所表示区域的面积,然后代入概率公式,计算即可得答案.【详解】根据题意可得集合所表示的区域即为如图所表示:的圆及内部的平面区域,面积为,集合,,表示的平面区域即为图中的,,根据几何概率的计算公式可得,故选:C.【点睛】本题主要考查了几何概率的计算,本题是与面积有关的几何概率模型.解决本题的关键是要准确求出两区域的面积.11.B【解析】
根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域,即可排除错误选项,得到函数图象,即可求解.【详解】由题意,当时,P与A重合,则与B重合,所以,故排除C,D选项;当时,,由图象可知选B.故选:B【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质,正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.12.A【解析】
首先判断和1的大小关系,再由换底公式和对数函数的单调性判断的大小即可.【详解】因为,,,所以,综上可得.故选:A【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
采用列举法计算古典概型的概率.【详解】抛掷一枚硬币两次共有4种情况,即(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),在家学习只有1种情况,即(正,正),故该同学在家学习的概率为.故答案为:【点睛】本题考查古典概型的概率计算,考查学生的基本计算能力,是一道基础题.14.【解析】
设等比数列的公比为,根据题意求出和的值,进而可求得和的值,利用等比数列求和公式可求得的值.【详解】由等比数列的性质可得,,由于与的等差中项为,则,则,,,,,因此,.故答案为:.【点睛】本题考查等比数列求和,解答的关键就是等比数列的公比,考查计算能力,属于基础题.15.【解析】
基本事件总数,恰好有2人申请小区房源包含的基本事件个数,由此能求出该市的任意5位申请人中,恰好有2人申请小区房源的概率.【详解】解:某市公租房源位于、、三个小区,每位申请人只能申请其中一个小区的房子,申请其中任意一个小区的房子是等可能的,该市的任意5位申请人中,基本事件总数,该市的任意5位申请人中,恰好有2人申请小区房源包含的基本事件个数:,该市的任意5位申请人中,恰好有2人申请小区房源的概率是.故答案为:.【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.16.【解析】
利用导数的几何意义即可解决.【详解】由已知,,,故.故答案为:.【点睛】本题考查导数的几何意义,要注意在某点的切线与过某点的切线的区别,本题属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)①证明见解析;②证明见解析【解析】
(1)解方程即可;(2)①设直线,,,将点的坐标用表示,证明即可;②分别用表示,,的面积即可.【详解】(1)解之得:的标准方程为:(2)①,,设直线代入椭圆方程:设,,,直线,直线,,,,,.②,所以.【点睛】本题考查了直接法求椭圆的标准方程、直线与椭圆位置关系中的定值问题,在处理此类问题一般要涉及根与系数的关系,本题思路简单,但计算量比较大,是一道有一定难度的题.18.(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析【解析】
(Ⅰ)求导得到,讨论,,三种情况得到单调区间.(Ⅱ)设,要证,即证,,设,根据函数单调性得到证明.【详解】(Ⅰ),令,,(1)当,即时,,,在上单调递增;(2)当,即时,设的两根为(),,①若,,时,,所以在和上单调递增,时,,所以在上单调递减,②若,,时,,所以在上单调递减,时,,所以在上单调递增.综上,当时,在上单调递增;当时,在和上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递减,在上单调递增.(Ⅱ)不妨设,要证,即证,即证,由(Ⅰ)可知,,,可得,,所以有,令,,所以在单调递增,所以,因为,所以,所以.【点睛】本题考查了函数单调性,证明不等式,意在考查学生的分类讨论能力和计算能力.19.(1);(2).【解析】
(1)根据题意,求得的值,根据切点在切线上以及斜率等于,构造方程组求得的值;(2)函数有两个极值点,等价于方程的两个正根,,不等式恒成立,等价于恒成立,,令,求出导数,判断单调性,即可得到的范围,即的范围.【详解】(1)由题可知,,,联立可得.(2)当时,,,有两个极值点,,且,,是方程的两个正根,,,不等式恒成立,即恒成立,,由,,得,,令,,在上是减函数,,故.【点睛】该题考查的是有关导数的问题,涉及到的知识点有导数的几何意义,函数的极值点的个数,构造新函数,应用导数研究函数的值域得到参数的取值范围,属于较难题目.20.(1),证明见解析;(2)【解析】
(1)首先利用赋值法求出的值,进一步利用定义求出数列的通项公式;(2)首先利用叠乘法求出数列的通项公式,进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数的范围.【详解】(1)数列满足,,其前项和为.所以,,则,,,所以猜想得:.证明:由于,所以,则:(常数),所以数列是首项为1,公差为的等差数列.所以,整理得.(2)数列满足,,所以,则,所以.则,所以,所以,整理得,由于,所以,即.【点睛】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,叠乘法的应用,函数的单调性在数列中的应用,基本不等式的应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于中档题型.21.(1)(2)见证明【解析】
(1)利用零点分段法讨论去掉绝对值求解;(2)利用绝对值不等式的性质进行证明.【详解】(1)解:当时,不等式可化为.当时,,,所以;当时,,.所以不等式的解集是.(2)证明:由,,得,,,又,所以,即.【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式问题的求解,含有绝对值不等式的解法一般是使用零点分段讨论法.22.(1);(2).【解析】
若补充②③根据已知可得平面,从而有,结合,可得平面,故有,而,得到,②③成立与①②相同,①③成立,可得,所以任意补充两个条件,结果都一样,以①②作为条件分析;(1)设,可得,进而求出梯形的面积,可求出,即可求出结论;(2),以为坐标原点,建立空间坐标系,求出坐标,由(1)得为平面的法向量,根据空间向量的线面角公式即可求解.【详解】第一种情况:若
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