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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.总体由编号01,,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08 B.07 C.02 D.012.设函数的定义域为,命题:,的否定是()A., B.,C., D.,3.函数,,的部分图象如图所示,则函数表达式为()A. B.C. D.4.复数的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.若集合,,则下列结论正确的是()A. B. C. D.6.命题“”的否定是()A. B.C. D.7.若双曲线的焦距为,则的一个焦点到一条渐近线的距离为()A. B. C. D.8.已知数列的首项,且,其中,,,下列叙述正确的是()A.若是等差数列,则一定有 B.若是等比数列,则一定有C.若不是等差数列,则一定有 D.若不是等比数列,则一定有9.在棱长均相等的正三棱柱中,为的中点,在上,且,则下述结论:①;②;③平面平面:④异面直线与所成角为其中正确命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.410.已知角的终边经过点,则的值是A.1或 B.或 C.1或 D.或11.函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.12.若,满足约束条件,则的最大值是()A. B. C.13 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.展开式中的系数为_________.14.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是,则小球落入袋中的概率为__________.15.已知三棱锥中,,,,且二面角的大小为,则三棱锥外接球的表面积为__________.16.现有一块边长为a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知.(1)若是上的增函数,求的取值范围;(2)若函数有两个极值点,判断函数零点的个数.18.(12分)已知函数,.(1)求函数的极值;(2)当时,求证:.19.(12分)如图,在四棱锥中,平面,底面是矩形,,,分别是,的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)设,求三棱锥的体积.20.(12分)已知函数f(x)=ex-x2-kx(其中e为自然对数的底,k为常数)有一个极大值点和一个极小值点.(1)求实数k的取值范围;(2)证明:f(x)的极大值不小于1.21.(12分)已知函数的最大值为2.(Ⅰ)求函数在上的单调递减区间;(Ⅱ)中,,角所对的边分别是,且,求的面积.22.(10分)如图,为坐标原点,点为抛物线的焦点,且抛物线上点处的切线与圆相切于点(1)当直线的方程为时,求抛物线的方程;(2)当正数变化时,记分别为的面积,求的最小值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为:08,02,14,07,01,所以第5个个体是01,选D.考点:此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法,考查学习能力和运用能力.2.D【解析】
根据命题的否定的定义,全称命题的否定是特称命题求解.【详解】因为:,是全称命题,所以其否定是特称命题,即,.故选:D【点睛】本题主要考查命题的否定,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.3.A【解析】
根据图像的最值求出,由周期求出,可得,再代入特殊点求出,化简即得所求.【详解】由图像知,,,解得,因为函数过点,所以,,即,解得,因为,所以,.故选:A【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式,三角函数诱导公式,属于基础题.4.C【解析】所对应的点为(-1,-2)位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念,属于简单题.5.D【解析】
由题意,分析即得解【详解】由题意,故,故选:D【点睛】本题考查了元素和集合,集合和集合之间的关系,考查了学生概念理解,数学运算能力,属于基础题.6.D【解析】
根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可.【详解】全称命题的否定是特称命题,所以命题“,”的否定是:,.故选D.【点睛】本题考查全称命题的否定,难度容易.7.B【解析】
根据焦距即可求得参数,再根据点到直线的距离公式即可求得结果.【详解】因为双曲线的焦距为,故可得,解得,不妨取;又焦点,其中一条渐近线为,由点到直线的距离公式即可求的.故选:B.【点睛】本题考查由双曲线的焦距求方程,以及双曲线的几何性质,属综合基础题.8.C【解析】
根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.【详解】A:当时,,显然符合是等差数列,但是此时不成立,故本说法不正确;B:当时,,显然符合是等比数列,但是此时不成立,故本说法不正确;C:当时,因此有常数,因此是等差数列,因此当不是等差数列时,一定有,故本说法正确;D:当时,若时,显然数列是等比数列,故本说法不正确.故选:C【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义,考查了推理论证能力,属于基础题.9.B【解析】
设出棱长,通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行,推出①的正误;判断是的中点推出②正的误;利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误;建立空间直角坐标系求出异面直线与所成角判断④的正误.【详解】解:不妨设棱长为:2,对于①连结,则,即与不垂直,又,①不正确;对于②,连结,,在中,,而,是的中点,所以,②正确;对于③由②可知,在中,,连结,易知,而在中,,,即,又,面,平面平面,③正确;以为坐标原点,平面上过点垂直于的直线为轴,所在的直线为轴,所在的直线为轴,建立如图所示的直角坐标系;,,,,,;,;异面直线与所成角为,,故.④不正确.故选:.【点睛】本题考查命题的真假的判断,棱锥的结构特征,直线与平面垂直,直线与直线的位置关系的应用,考查空间想象能力以及逻辑推理能力.10.B【解析】
根据三角函数的定义求得后可得结论.【详解】由题意得点与原点间的距离.①当时,,∴,∴.②当时,,∴,∴.综上可得的值是或.故选B.【点睛】利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,该点到原点的距离r,然后再根据三角函数的定义求解即可.11.D【解析】分析:先研究函数的奇偶性,再研究函数在上的符号,即可判断选择.详解:令,因为,所以为奇函数,排除选项A,B;因为时,,所以排除选项C,选D.点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复.12.C【解析】
由已知画出可行域,利用目标函数的几何意义求最大值.【详解】解:表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方,画出不等式组表示的可行域,如图,由解得即点到坐标原点的距离最大,即.故选:.【点睛】本题考查线性规划问题,考查数形结合的数学思想以及运算求解能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
变换,根据二项式定理计算得到答案.【详解】的展开式的通项为:,,取和,计算得到系数为:.故答案为:.【点睛】本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力和应用能力.14.【解析】记小球落入袋中的概率,则,又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落,小球将落入袋,所以有,则.故本题应填.15.【解析】
设的中心为T,AB的中点为N,AC中点为M,分别过M,T做平面ABC,平面PAB的垂线,则垂线的交点为球心O,将的长度求出或用球半径表示,再利用余弦定理即可建立方程解得半径.【详解】设的中心为T,AB的中点为N,AC中点为M,分别过M,T做平面ABC,平面PAB的垂线,则垂线的交点为球心O,如图所示因为,,所以,,,又二面角的大小为,则,,所以,设外接球半径为R,则,,在中,由余弦定理,得,即,解得,故三棱锥外接球的表面积.故答案为:.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积问题,解决此类问题一定要数形结合,建立关于球的半径的方程,本题计算量较大,是一道难题.16.【解析】
由题意容积,求导研究单调性,分析即得解.【详解】由题意:容积,,则,由得或(舍去),令则为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点,此时.故答案为:【点睛】本题考查了导数在实际问题中的应用,考查了学生数学建模,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)三个零点【解析】
(1)由题意知恒成立,构造函数,对函数求导,求得函数最值,进而得到结果;(2)当时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点,再证,.【详解】(1)由得,由题意知恒成立,即,设,,时,递减,时,,递增;故,即,故的取值范围是.(2)当时,单调,无极值;当时,,一方面,,且在递减,所以在区间有一个零点.另一方面,,设,则,从而在递增,则,即,又在递增,所以在区间有一个零点.因此,当时在和各有一个零点,将这两个零点记为,,当时,即;当时,即;当时,即:从而在递增,在递减,在递增;于是是函数的极大值点,是函数的极小值点.下面证明:,由得,即,由得,令,则,①当时,递减,则,而,故;②当时,递减,则,而,故;一方面,因为,又,且在递增,所以在上有一个零点,即在上有一个零点.另一方面,根据得,则有:,又,且在递增,故在上有一个零点,故在上有一个零点.又,故有三个零点.【点睛】本题考查函数的零点,导数的综合应用.在研究函数零点时,有一种方法是把函数的零点转化为方程的解,再把方程的解转化为函数图象的交点,特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题,这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值,从而得出函数的变化趋势,得出结论.18.(1)的极小值为,无极大值.(2)见解析.【解析】
(1)对求导,确定函数单调性,得到函数极值.(2)构造函数,证明恒成立,得到,,得证.【详解】(1)由题意知,,令,得,令,得.则在上单调递减,在上单调递增,所以的极小值为,无极大值.(2)当时,要证,即证.令,则,令,得,令,得,则在上单调递减,在上单调递增,所以当时,,所以,即.因为时,,所以当时,,所以当时,不等式成立.【点睛】本题考查了函数的单调性,极值,不等式的证明,构造函数是解题的关键.19.(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)取中点,连,,根据平行四边形,可得,进而证得平面平面,利用面面垂直的性质,得平面,又由,即可得到平面.(Ⅱ)根据三棱锥的体积公式,利用等积法,即可求解.【详解】(Ⅰ)取中点,连,,由,可得,可得是平行四边形,则,又平面,∴平面平面,∵平面,平面,∴平面平面,∵,是中点,则,而平面平面,而,∴平面.(Ⅱ)根据三棱锥的体积公式,得.【点睛】本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明,以及利用“等体积法”求解三棱锥的体积,其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理,以及合理利用“等体积法”求解是解答的关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题.20.(1);(2)见解析【解析】
(1)求出,记,问题转化为方程有两个不同解,求导,研究极值即可得结果;(2)由(1)知,在区间上存在极大值点,且,则可求出极大值,记,求导,求单调性,求出极值即可.【详解】(1),由,记,,由,且时,,单调递减,,时,,单调递增,,由题意,方程有两个不同解,所以;(2)解法一:由(1)知,在区间上存在极大值点,且,所以的极大值为,记,则,因为,所以,所以时,,单调递减,时,,单调递增,所以,即函数的极大值不小于1.解法二:由(1)知,在区间上存在极大值点,且,所以的极大值为,因为,,所以.即函数的极大值不小于1.【点睛】本题考查导数研究函数的单调性,极值,考查学
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