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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设等比数列的前项和为,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.若,则函数在区间内单调递增的概率是()A.B.C.D.3.已知函数,,若对任意的,存在实数满足,使得,则的最大值是()A.3 B.2 C.4 D.54.已知三棱锥且平面,其外接球体积为()A. B. C. D.5.已知直线:()与抛物线:交于(坐标原点),两点,直线:与抛物线交于,两点.若,则实数的值为()A. B. C. D.6.框图与程序是解决数学问题的重要手段,实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后,可以制作框图,编写程序,得到解决,例如,为了计算一组数据的方差,设计了如图所示的程序框图,其中输入,,,,,,,则图中空白框中应填入()A., B. C., D.,7.已知函数(,是常数,其中且)的大致图象如图所示,下列关于,的表述正确的是()A., B.,C., D.,8.已知,复数,,且为实数,则()A. B. C.3 D.-39.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:,,已知函数(),则函数的值域为()A. B. C. D.10.甲乙丙丁四人中,甲说:我年纪最大,乙说:我年纪最大,丙说:乙年纪最大,丁说:我不是年纪最大的,若这四人中只有一个人说的是真话,则年纪最大的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁11.已知,且,则在方向上的投影为()A. B. C. D.12.某高中高三(1)班为了冲刺高考,营造良好的学习氛围,向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上,小王,小董,小李各写了一幅书法作品,分别是:“入班即静”,“天道酬勤”,“细节决定成败”,为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的,班主任对三人进行了问话,得到回复如下:小王说:“入班即静”是我写的;小董说:“天道酬勤”不是小王写的,就是我写的;小李说:“细节决定成败”不是我写的.若三人的说法有且仅有一人是正确的,则“入班即静”的书写者是()A.小王或小李 B.小王 C.小董 D.小李二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数的单调增区间为__________.14.函数的定义域为,其图象如图所示.函数是定义域为的奇函数,满足,且当时,.给出下列三个结论:①;②函数在内有且仅有个零点;③不等式的解集为.其中,正确结论的序号是________.15.已知,满足约束条件则的最大值为__________.16.验证码就是将一串随机产生的数字或符号,生成一幅图片,图片里加上一些干扰象素(防止),由用户肉眼识别其中的验证码信息,输入表单提交网站验证,验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录,以提升网络安全.在抗疫期间,某居民小区电子出入证的登录验证码由0,1,2,…,9中的五个数字随机组成.将中间数字最大,然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”(例如:如14532,12543),已知某人收到了一个“钟型验证码”,则该验证码的中间数字是7的概率为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)当时,不等式恒成立,求的最小值;(2)设数列,其前项和为,证明:.18.(12分)对于给定的正整数k,若各项均不为0的数列满足:对任意正整数总成立,则称数列是“数列”.(1)证明:等比数列是“数列”;(2)若数列既是“数列”又是“数列”,证明:数列是等比数列.19.(12分)已知函数(1)若,求证:(2)若,恒有,求实数的取值范围.20.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆的方程为.(1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程;(2)若点坐标为,圆与直线交于两点,求的值.21.(12分)的内角、、所对的边长分别为、、,已知.(1)求的值;(2)若,点是线段的中点,,求的面积.22.(10分)为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,当不处罚时,有80人会闯红灯,处罚时,得到如表数据:处罚金额(单位:元)5101520会闯红灯的人数50402010若用表中数据所得频率代替概率.(1)当罚金定为10元时,行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少?(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类:类市民在罚金不超过10元时就会改正行为;类是其他市民.现对类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷,则前两位均为类市民的概率是多少?
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
根据等比数列的前项和公式,判断出正确选项.【详解】由于数列是等比数列,所以,由于,所以,故“”是“”的充分必要条件.故选:C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断,考查等比数列前项和公式,属于基础题.2.B【解析】函数在区间内单调递增,,在恒成立,在恒成立,,函数在区间内单调递增的概率是,故选B.3.A【解析】
根据条件将问题转化为,对于恒成立,然后构造函数,然后求出的范围,进一步得到的最大值.【详解】,,对任意的,存在实数满足,使得,易得,即恒成立,,对于恒成立,设,则,令,在恒成立,,故存在,使得,即,当时,,单调递减;当时,,单调递增.,将代入得:,,且,故选:A【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,零点存在定理和不等式恒成立问题,考查了转化思想,属于难题.4.A【解析】
由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解.【详解】由题,因为,所以,设,则由,可得,解得,可将三棱锥还原成如图所示的长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以,所以外接球的体积.故选:A【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.5.D【解析】
设,,联立直线与抛物线方程,消去、列出韦达定理,再由直线与抛物线的交点求出点坐标,最后根据,得到方程,即可求出参数的值;【详解】解:设,,由,得,∵,解得或,∴,.又由,得,∴或,∴,∵,∴,又∵,∴代入解得.故选:D【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用,弦长公式的应用,属于中档题.6.A【解析】
依题意问题是,然后按直到型验证即可.【详解】根据题意为了计算7个数的方差,即输出的,观察程序框图可知,应填入,,故选:A.【点睛】本题考查算法与程序框图,考查推理论证能力以及转化与化归思想,属于基础题.7.D【解析】
根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.【详解】从题设中提供的图像可以看出,故得,故选:D.【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征,本题属于基础题.8.B【解析】
把和代入再由复数代数形式的乘法运算化简,利用虚部为0求得m值.【详解】因为为实数,所以,解得.【点睛】本题考查复数的概念,考查运算求解能力.9.B【解析】
利用换元法化简解析式为二次函数的形式,根据二次函数的性质求得的取值范围,由此求得的值域.【详解】因为(),所以,令(),则(),函数的对称轴方程为,所以,,所以,所以的值域为.故选:B【点睛】本小题考查函数的定义域与值域等基础知识,考查学生分析问题,解决问题的能力,运算求解能力,转化与化归思想,换元思想,分类讨论和应用意识.10.C【解析】
分别假设甲乙丙丁说的是真话,结合其他人的说法,看是否只有一个说的是真话,即可求得年纪最大者,即可求得答案.【详解】①假设甲说的是真话,则年纪最大的是甲,那么乙说谎,丙也说谎,而丁说的是真话,而已知只有一个人说的是真话,故甲说的不是真话,年纪最大的不是甲;②假设乙说的是真话,则年纪最大的是乙,那么甲说谎,丙说真话,丁也说真话,而已知只有一个人说的是真话,故乙说谎,年纪最大的也不是乙;③假设丙说的是真话,则年纪最大的是乙,所以乙说真话,甲说谎,丁说的是真话,而已知只有一个人说的是真话,故丙在说谎,年纪最大的也不是乙;④假设丁说的是真话,则年纪最大的不是丁,而已知只有一个人说的是真话,那么甲也说谎,说明甲也不是年纪最大的,同时乙也说谎,说明乙也不是年纪最大的,年纪最大的只有一人,所以只有丙才是年纪最大的,故假设成立,年纪最大的是丙.综上所述,年纪最大的是丙故选:C.【点睛】本题考查合情推理,解题时可从一种情形出发,推理出矛盾的结论,说明这种情形不会发生,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.11.C【解析】
由向量垂直的向量表示求出,再由投影的定义计算.【详解】由可得,因为,所以.故在方向上的投影为.故选:C.【点睛】本题考查向量的数量积与投影.掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键.12.D【解析】
根据题意,分别假设一个正确,推理出与假设不矛盾,即可得出结论.【详解】解:由题意知,若只有小王的说法正确,则小王对应“入班即静”,而否定小董说法后得出:小王对应“天道酬勤”,则矛盾;若只有小董的说法正确,则小董对应“天道酬勤”,否定小李的说法后得出:小李对应“细节决定成败”,所以剩下小王对应“入班即静”,但与小王的错误的说法矛盾;若小李的说法正确,则“细节决定成败”不是小李的,则否定小董的说法得出:小王对应“天道酬勤”,所以得出“细节决定成败”是小董的,剩下“入班即静”是小李的,符合题意.所以“入班即静”的书写者是:小李.故选:D.【点睛】本题考查推理证明的实际应用.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
先求出导数,再在定义域上考虑导数的符号为正时对应的的集合,从而可得函数的单调增区间.【详解】函数的定义域为.,令,则,故函数的单调增区间为:.故答案为:.【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用,注意先考虑函数的定义域,再考虑导数在定义域上的符号,本题属于基础题.14.①③【解析】
利用奇函数和,得出函数的周期为,由图可直接判断①;利用赋值法求得,结合,进而可判断函数在内的零点个数,可判断②的正误;采用换元法,结合图象即可得解,可判断③的正误.综合可得出结论.【详解】因为函数是奇函数,所以,又,所以,即,所以,函数的周期为.对于①,由于函数是上的奇函数,所以,,故①正确;对于②,,令,可得,得,所以,函数在区间上的零点为和.因为函数的周期为,所以函数在内有个零点,分别是、、、、,故②错误;对于③,令,则需求的解集,由图象可知,,所以,故③正确.故答案为:①③.【点睛】本题考查函数的图象与性质,涉及奇偶性、周期性和零点等知识点,考查学生分析问题的能力和数形结合能力,属于中等题.15.1【解析】
先画出约束条件的可行域,根据平移法判断出最优点,代入目标函数的解析式,易可得到目标函数的最大值.【详解】解:由约束条件得如图所示的三角形区域,由于,则,要求的最大值,则求的截距的最小值,显然当平行直线过点时,取得最大值为:.故答案为:1.【点睛】本题考查线性规划求最值问题,我们常用几何法求最值.16.【解析】
首先判断出中间号码的所有可能取值,由此求得基本事件的总数以及中间数字是的事件数,根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.【详解】根据“钟型验证码”中间数字最大,然后向两边对称递减,所以中间的数字可能是.当中间是时,其它个数字可以是,选其中两个排在左边(排法唯一),另外两个排在右边(排法唯一),所以方法数有种.当中间是时,其它个数字可以是,选其中两个排在左边(排法唯一),另外两个排在右边(排法唯一),所以方法数有种.当中间是时,其它个数字可以是,选其中两个排在左边(排法唯一),另外两个排在右边(排法唯一),所以方法数有种.当中间是时,其它个数字可以是,选其中两个排在左边(排法唯一),另外两个排在右边(排法唯一),所以方法数有种.当中间是时,其它个数字可以是,选其中两个排在左边(排法唯一),另外两个排在右边(排法唯一),所以方法数有种.当中间是时,其它个数字可以是,选其中两个排在左边(排法唯一),另外两个排在右边(排法唯一),所以方法数有种.所以该验证码的中间数字是7的概率为.故答案为:【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算,考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用,考查运算求解能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)证明见解析.【解析】
(1),分,,三种情况推理即可;(2)由(1)可得,即,利用累加法即可得到证明.【详解】(1)由,得.当时,方程的,因此在区间上恒为负数.所以时,,函数在区间上单调递减.又,所以函数在区间上恒成立;当时,方程有两个不等实根,且满足,所以函数的导函数在区间上大于零,函数在区间上单增,又,所以函数在区间上恒大于零,不满足题意;当时,在区间上,函数在区间上恒为正数,所以在区间上恒为正数,不满足题意;综上可知:若时,不等式恒成立,的最小值为.(2)由第(1)知:若时,.若,则,即成立.将换成,得成立,即,以此类推,得,,上述各式相加,得,又,所以.【点睛】本题考查利用导数研究函数恒成立问题、证明数列不等式问题,考查学生的逻辑推理能力以及数学计算能力,是一道难题.18.(1)证明见详解;(2)证明见详解【解析】
(1)由是等比数列,由等比数列的性质可得:即可证明.(2)既是“数列”又是“数列”,可得,,则对于任意都成立,则成等比数列,设公比为,验证得答案.【详解】(1)证明:由是等比数列,由等比数列的性质可得:等比数列是“数列”.(2)证明:既是“数列”又是“数列”,可得,()(),()可得:对于任意都成立,即成等比数列,即成等比数列,成等比数列,成等比数列,设,()数列是“数列”时,由()可得:时,由()可得:,可得,同理可证成等比数列,数列是等比数列【点睛】本题是一道数列的新定义题目,考查了等比数列的性质、通项公式等基本知识,考查代数推理、转化与化归以及综合运用数学知识探究与解决问题的能力,属于难题.19.(1)见解析;(2)(﹣∞,0]【解析】
(1)利用导数求x<0时,f(x)的极大值为,即证(2)等价于k≤,x>0,令g(x)=,x>0,再求函数g(x)的最小值得解.【详解】(1)∵函数f(x)=x2e3x,∴f′(x)=2xe3x+3x2e3x=x(3x+2)e3x.由f′(x)>0,得x<﹣或x>0;由f′(x)<0,得,∴f(x)在(﹣∞,﹣)内递增,在(﹣,0)内递减,在(0,+∞)内递增,∴f(x)的极大值为,∴当x<0时,f(x)≤(2)∵x2e3x≥(k+3)x+2lnx+1,∴k≤,x>0,令g(x)=,x>0,则g′(x),令h(x)=x2(1+3x)e3x+2lnx﹣1,则h(x)在(0,+∞)上单调递增,且x→0+时,h(x)→﹣∞,h(1)=4e3﹣1>0,∴存在x0∈(0,1),使得h(x0)=0,∴当x∈(0,x0)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(x0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,∴g(x)在(0,+∞)上的最小值是g(x0)=,∵h(x0)=+2lnx0﹣1=0,所以,令,令所以=1,,∴g(x0)∴实数k的取值范围是(﹣∞,0].【点睛】本题主要考查利用证明不等式,考查利用导数求最值和解答不等式的恒成立问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.(1)(2)【解析】试题分析:(1)由加减消元得直线的普通方程,由得圆的直角坐标方程;(2)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+
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