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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数在复平面内对应的点为则()A. B. C. D.2.已知复数满足,(为虚数单位),则()A. B. C. D.33.是的()条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要4.如图,长方体中,,,点T在棱上,若平面.则()A.1 B. C.2 D.5.函数的图象为C,以下结论中正确的是()①图象C关于直线对称;②图象C关于点对称;③由y=2sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.A.① B.①② C.②③ D.①②③6.已知等比数列的前项和为,若,且公比为2,则与的关系正确的是()A. B.C. D.7.在复平面内,复数对应的点的坐标为()A. B. C. D.8.函数的对称轴不可能为()A. B. C. D.9.设,点,,,,设对一切都有不等式成立,则正整数的最小值为()A. B. C. D.10.已知复数,则()A. B. C. D.211.如图,四边形为平行四边形,为中点,为的三等分点(靠近)若,则的值为()A. B. C. D.12.已知集合,则等于()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数则______.14.设全集,集合,,则集合______.15.若一个正四面体的棱长为1,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为_________.16.已知函数的图象在处的切线斜率为,则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数(1)求f(x)的单调递增区间;(2)△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若且A为锐角,a=3,sinC=2sinB,求△ABC的面积.18.(12分)的内角,,的对边分别是,,,已知.(1)求角;(2)若,,求的面积.19.(12分)已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(,0),(,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=2,动点C的轨迹为曲线G.(1)求曲线G的方程;(2)设直线l与曲线G交于M,N两点,点D在曲线G上,是坐标原点,判断四边形OMDN的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.20.(12分)已知数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.21.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)若点在曲线上,点在曲线上,求的最小值及此时点的坐标.22.(10分)已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,,线段的中点为.(Ⅰ)证明:直线的斜率与的斜率的乘积为定值;(Ⅱ)若过点,延长线段与交于点,四边形能否为平行四边形?若能,求此时的斜率,若不能,说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
求得复数,结合复数除法运算,求得的值.【详解】易知,则.故选:B【点睛】本小题主要考查复数及其坐标的对应,考查复数的除法运算,属于基础题.2.A【解析】,故,故选A.3.B【解析】
利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系,即可得出。【详解】设对应的集合是,由解得且对应的集合是,所以,故是的必要不充分条件,故选B。【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判断方法——集合关系法。设,如果,则是的充分条件;如果B则是的充分不必要条件;如果,则是的必要条件;如果,则是的必要不充分条件。4.D【解析】
根据线面垂直的性质,可知;结合即可证明,进而求得.由线段关系及平面向量数量积定义即可求得.【详解】长方体中,,点T在棱上,若平面.则,则,所以,则,所以,故选:D.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质应用,平面向量数量积的运算,属于基础题.5.B【解析】
根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识,判断出正确的结论.【详解】因为,又,所以①正确.,所以②正确.将的图象向右平移个单位长度,得,所以③错误.所以①②正确,③错误.故选:B【点睛】本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心,考查三角函数图象变换,属于基础题.6.C【解析】
在等比数列中,由即可表示之间的关系.【详解】由题可知,等比数列中,且公比为2,故故选:C【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用,属于基础题.7.C【解析】
利用复数的运算法则、几何意义即可得出.【详解】解:复数i(2+i)=2i﹣1对应的点的坐标为(﹣1,2),故选:C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.8.D【解析】
由条件利用余弦函数的图象的对称性,得出结论.【详解】对于函数,令,解得,当时,函数的对称轴为,,.故选:D.【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性,属于基础题.9.A【解析】
先求得,再求得左边的范围,只需,利用单调性解得t的范围.【详解】由题意知sin,∴,∴,随n的增大而增大,∴,∴,即,又f(t)=在t上单增,f(2)=-1<0,f(3)=2>0,∴正整数的最小值为3.【点睛】本题考查了数列的通项及求和问题,考查了数列的单调性及不等式的解法,考查了转化思想,属于中档题.10.C【解析】
根据复数模的性质即可求解.【详解】,,故选:C【点睛】本题主要考查了复数模的性质,属于容易题.11.D【解析】
使用不同方法用表示出,结合平面向量的基本定理列出方程解出.【详解】解:,又解得,所以故选:D【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及其意义,属于基础题.12.C【解析】
先化简集合A,再与集合B求交集.【详解】因为,,所以.故选:C【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
先由解析式求得(2),再求(2).【详解】(2),,所以(2),故答案为:【点睛】本题考查对数、指数的运算性质,分段函数求值关键是“对号入座”,属于容易题.14.【解析】
分别解得集合A与集合B的补集,再由集合交集的运算法则计算求得答案.【详解】由题可知,集合A中集合B的补集,则故答案为:【点睛】本题考查集合的交集与补集运算,属于基础题.15.【解析】
将四面体补成一个正方体,通过正方体的对角线与球的半径的关系,得到球的半径,利用球的表面积公式,即可求解.【详解】如图所示,将正四面体补形成一个正方体,则正四面体的外接球与正方体的外接球表示同一个球,因为正四面体的棱长为1,所以正方体的棱长为,设球的半径为,因为球的直径是正方体的对角线,即,解得,所以球的表面积为.【点睛】本题主要考查了有关求得组合体的结构特征,以及球的表面积的计算,其中巧妙构造正方体,利用正方体的外接球的直径等于正方体的对角线长,得到球的半径是解答的关键,着重考查了空间想象能力,以及运算与求解能力,属于基础题.16.【解析】
先对函数f(x)求导,再根据图象在(0,f(0))处切线的斜率为﹣4,得f′(0)=﹣4,由此可求a的值.【详解】由函数得,∵函数f(x)的图象在(0,f(0))处切线的斜率为﹣4,,.故答案为4【点睛】本题考查了根据曲线上在某点切线方程的斜率求参数的问题,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)【解析】
(1)利用降次公式、辅助角公式化简解析式,根据三角函数单调区间的求法,求得的单调递增区间.(2)先由求得,利用正弦定理得到,结合余弦定理列方程,求得,由此求得三角形的面积.【详解】(1)函数,,由,得.所以的单调递增区间为.(2)因为且为锐角,所以.由及正弦定理可得,又,由余弦定理可得,解得,.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换,考查三角函数单调区间的求法,考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形的面积公式,属于中档题.18.(1)(2)【解析】
(1)利用余弦定理可求,从而得到的值.(2)利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得,得到值后利用面积公式可求.【详解】(1)由,得.所以由余弦定理,得.又因为,所以.(2)由,得.由正弦定理,得,因为,所以.又因,所以.所以的面积.【点睛】在解三角形中,如果题设条件是关于边的二次形式,我们可以利用余弦定理化简该条件,如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式,那么我们可以利用正弦定理化简该条件,如果题设条件是边和角的混合关系式,那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.19.(1).(2)四边形OMDN的面积是定值,其定值为.【解析】
(1)根据三角形内切圆的性质证得,由此判断出点的轨迹为椭圆,并由此求得曲线的方程.(2)将直线的斜率分成不存在或存在两种情况,求出平行四边形的面积,两种情况下四边形的面积都为,由此证得四边形的面积为定值.【详解】(1)因为圆E为△ABC的内切圆,所以|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|=2|CP|+|AR|+|BR|=2|CP|+|AB|=4>|AB|所以点C的轨迹为以点A和点B为焦点的椭圆(点不在轴上),所以c,a=2,b,所以曲线G的方程为,(2)因为,故四边形为平行四边形.当直线l的斜率不存在时,则四边形为为菱形,故直线MN的方程为x=﹣1或x=1,此时可求得四边形OMDN的面积为.当直线l的斜率存在时,设直线l方程是y=kx+m,代入到,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,∴x1+x2,x1x2,△=8(4k2+2﹣m2)>0,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m,|MN|点O到直线MN的距离d,由,得xD,yD,∵点D在曲线C上,所以将D点坐标代入椭圆方程得1+2k2=2m2,由题意四边形OMDN为平行四边形,∴OMDN的面积为S,由1+2k2=2m2得S,故四边形OMDN的面积是定值,其定值为.【点睛】本小题主要考查用定义法求轨迹方程,考查椭圆中四边形面积的计算,考查椭圆中的定值问题,考查运算求解能力,属于中档题.20.(1);(2)【解析】
(1)根据递推公式,用配凑法构造等比数列,求其通项公式,进而求出的通项公式;(2)求出数列的通项公式,利用错位相减法求数列的前项和.【详解】解:(1),,是首项为,公比为的等比数列.所以,.(2).【点睛】本题考查了由数列的递推公式求通项公式,错位相减法求数列的前n项和的问题,属于中档题.21.(1);(2)最小值为,此时【解析】
(1)消去曲线参数方程的参数,求得曲线的普通方程.利用极坐标和直角坐标相互转化公式,求得曲线的直角坐标方程.(2)设出的坐标,结合点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法,求得的最小值及此时点的坐标.【详解】(1)消去得,曲线的普通方程是:;把,代入得,曲线的直角坐标方程是(2)设,的最小值就是点到直线的最小距离.设在时,,是最小值,此时,所以,所求最小值为,此时【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程,考查极坐标方程转化为直角坐标方程,考查利用圆锥曲线的参数求最值,属于中档题.22.(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)能,或.【解析】试题分析:(1)设直线,直线方程与椭圆方程联立,根据韦达定理求根与系数的关系,并表示直线的斜率,再表示;(2)第一步由(Ⅰ)得的方程为.设点的横坐标为,直线与椭圆方程联立求点的坐标,第二步再整理点的坐标,如果能构成平行四边形,只需,如果有值,并且满足,的条件就说明存在,否则不存在.试题解析:解:(1)设直线,,,.∴由得,∴,.∴直线的斜率,即.即直线的斜率与的斜率的乘积为定值.(2)四边形能为平行四边形.∵直线过点,∴不过原点且与有两个交点的充要条件是,由(Ⅰ)得的方程为.设点的横坐标为.∴由得,即将点的坐标代入直线的方程得,因此.四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平
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