人教a版高中数学必修1《函数的概念》知识梳理及典例分析

函数的概念※知识梳理1.函数的概念：设A，B是非空的_____，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的________数x，在集合B中都有________的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中x叫做______，x的取值范围A叫做函数y＝f(x)的______；与x的值相对应的y值叫做_____，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数y＝f(x)的______，则值域是集合B的____．2．常见函数的定义域和值域数函数关系式图象定义域值域反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)一次函数y＝kx＋b(k≠0)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)3．相等函数：一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，其中值域是由______和________决定的．如果两个函数的定义域相同，并且________完全一致，我们就称这两个函数相等．(1)只要两个函数的定义域相同，对应法则相同，其值域就________．故判断两个函数是否相等时，一看定义域，二看对应法则．如y＝1与y＝eq\f(x,x)不是相等函数，因为____________．y＝3t＋4与y＝3x＋4是相等函数．(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．4．区间与无穷大：（1）区间的几何表示定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．（2）实数集R的区间表示：实数集R可以用区间表示为____________，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．（3）无穷大的几何表示定义符号数轴表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|x>a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x<b}(－∞，b)※典例分析【题型一】函数的基本概念【例1】1.如图所示，能够作为函数y＝f(x)的图象的有________．[答案]①⑤解：根据函数的定义，一个函数图象与垂直于x轴的直线最多有一个交点，这是通过图象判断其是否构成函数的基本方法.2.下列对应或关系式中是A到B的函数的是()A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1B．A={(x，y)|x，y∈R}，对任意的(x，y)∈A，(x,y)→x+y.C．A＝R，B＝R，f：x→y＝eq\f(1,x－2)D．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：答案：D3.下列各对函数中，是相等函数的序号是________.①f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋x0②f(x)＝与g(x)＝|2x＋1|③f(n)＝2n＋1(n∈Z)与g(n)＝2n－1(n∈Z)④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2⑤y＝x－1与y＝eq\f(x2－1,x＋1)[答案]②④4.已知一个函数的解析式为2，它的值域为{1，4}，这样的函数有个.[答案]9[解析]列举法:定义域可能是{1,2},{-1,2},{1,-2},{-1,-2},{1,-2,2},{-1,-2,2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,1,-2,2}.【课堂练习1】1.下列对应是否为A到B的函数：=1\*GB3①A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；②A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq\r(x)；④A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.答：(1)①③不是②④是2.以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f1：y＝eq\f(x,x)；f2：y＝1.(2)f1：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2.))f2：xx≤11<x<2x≥2y123(3)f1：y＝2x；f2：如图所示．【解】(1)不同函数．f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0}，f2(x)的定义域为R.(2)同一函数，x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式．(3)同一函数．理由同(2)．【题型二】求函数定义域【例2】1.求下列函数的定义域：①y＝eq\r(4－x)；②y＝eq\f(1,|x|－x)；③y＝eq\r(5－x)＋eq\r(x－1)－eq\f(1,x2－9).[解析](1)①4－x≥0，即x≤4，故函数的定义域为{x|x≤4}．②分母|x|－x≠0，即|x|≠x，所以x＜0.故函数的定义域为{x|x＜0}．③解不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x≥0，,x－1≥0，,x2－9≠0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤5，,x≥1，,x≠±3.))故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．【课堂练习2】1.将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．解：设矩形一边长为x，则另一边长为eq\f(1,2)(a－2x)，所以y＝x·eq\f(1,2)(a－2x)＝－x2＋eq\f(1,2)ax，定义域为(0，eq\f(a,2))．2.（2016年高考江苏卷）函数y=的定义域是.【答案】3.若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是.4.已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是.【题型三】复合函数的定义域【例3】1.已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为()A.(－1,1)B.C.(－1,0)D.解析：由题意知－1<2x＋1<0，则－1<x<－eq\f(1,2).答案：B2.已知f(x2－1)的定义域为[0，3]，则函数y＝f(x)的定义域为__________．解析：∵0≤x≤3，∴0≤x2≤9，∴－1≤x2－1≤8，∴函数y＝f(x)的定义域是[－1，8]．【课堂练习3】1.已知函数f(2x＋1)的定义域为(0，1)，则f(x)的定义域是______________．[解析]因为f(2x＋1)的定义域为(0，1)，即其中的函数自变量x的取值范围是0<x<1，令t＝2x＋1，所以1<t<3，所以f(t)的定义域为{t|1<t<3}，所以函数f(x)的定义域为{x|1<x<3}．2.已知函数f(x)的定义域是[0,1]，求g(x)=f(2x)＋f(x＋eq\f(2,3))的定义域；解：解不等式组，∴g(x)的定义域是[0,].【题型四】求函数的解析式【例4】1.已知f(x)＝，求f(2x＋1)；解析：f(2x＋1)＝.2.f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x).求f(x)的解析式；解：方法一：设u＝eq\r(x)＋1，则eq\r(x)＝u－1(u≥1)，∴f(u)＝(u－1)2＋2(u－1)＝u2－1(u≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二：∵x＋2eq\r(x)＝(eq\r(x)＋1)2－1，由于x≥0，所以eq\r(x)＋1≥1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)3.y＝f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋8，求f(x)的解析式；解：由条件可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵f[f(x)]＝9x＋8，∴有a(ax＋b)＋b＝9x＋8.比较系数可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝2；))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－4.))故f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4，4.f(x)＝2f(eq\f(1,x))·eq\r(x)－1，求f(x)的解析式；解：在f(x)＝2f(eq\f(1,x))eq\r(x)－1中，用eq\f(1,x)代替x，得f(eq\f(1,x))＝2f(x)eq\f(1,\r(x))－1，将f(eq\f(1,x))＝－1代入f(x)＝2f(eq\f(1,x))eq\r(x)－1中，可求得f(x)＝eq\f(2,3)eq\r(x)＋eq\f(1,3).(x>0)5.f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式.解：令x=0,y=-x,则f(x)=f(0)+x(0+x+1)=1+课堂小结：函数解析式的求法：(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)方程思想：已知关于f(x)与f(eq\f(1,x))或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．（5）赋值法：赋x,y特殊值，适用于解抽象函数。【课堂练习4】1.已知＝x2＋eq\f(1,x2)，求f(x)的解析式；解：由于＝x2＋eq\f(1,x2)＝－2，所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.2.如果f()＝，求f(x)的解析式.解：令eq\f(2,x)＋1＝t，由于x0，所以t1且x＝eq\f(2,t－1)，所以f(t)＝eq\f(2,t－1)，即f(x)＝eq\f(2,x－1)(x1)．3.若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3.所以f(x)＝ax2＋bx＋3，所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＝4，,4a＋2b＝2，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，))所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋3.4.已知函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝eq\f(1,x)，求f(x)的解析式．解：∵2f(x)－f(－x)＝eq\f(1,x)，①将x用－x代替得2f(－x)－f(x)＝－eq\f(1,x)，②由①②消去f(－x)得f(x)＝eq\f(1,3x).※家庭作业1．A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是()[答案]B[解析]A、C、D的值域都不是[1,2]，故选B.2．给出下列从A到B的对应：①A＝N，B＝{0,1}，对应关系是：A中的元素除以2所得的余数②A＝{0,1,2}，B＝{4,1,0}，对应关系是f：x→y＝x2③A＝{0,1,2}，B＝{0,1，eq\f(1,2)}，对应关系是f：x→y＝eq\f(1,x)其中表示从集合A到集合B的函数有()个.A．1 B．2C．3 D．0[答案]B[解析]由于③中，0这个元素在B中无对应元素，故不是函数，因此选B.3．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是()A．f︰x→y＝eq\f(1,2)x B．f︰x→y＝eq\f(1,3)xC．f︰x→y＝eq\f(2,3)x D．f︰x→y＝eq\r(x)[答案]C[解析]对于选项C，当x＝4时，y＝eq\f(8,3)＞2不合题意．故选C.4.f(x)＝eq\r(1＋x)＋eq\f(x,1－x)的定义域是()A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]C．R D．[－1,1)∪(1，＋∞)[答案]D[解析]eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x≥0,1－x≠0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－1，,x≠1，))故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选D.5.若函数y＝f(x)的定义域是[1，2015]，则函数g(x)＝eq\f(f（x＋1）,x－1)的定义域是()A．[0，2014] B．[0，1)∪(1，2014]C．(1，2015] D．[－1，1)∪(1，2014]解析要使函数f(x＋1)有意义，则有1≤x＋1≤2015，解得0≤x≤2014，故函数f(x＋1)的定义域为[0，2014]．所以使函数g(x)有意义的条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2014，,x－1≠0，))解得0≤x＜1或1＜x≤2014.故函数g(x)的定义域为[0，1)∪(1，2014]，故选B.6．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为()A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2xC．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x解析：选B.用待定系数法，设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1,a－b＋c＝5，,c＝0))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3,b＝－2，,c＝0))∴g(x)＝3x2－2x.7．下列函数中，不满足：f(2x)＝2f(x)的是()A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x[答案]C[解析]f(x)＝kx与f(x)＝k|x|均满足：f(2x)＝2f(x)得：A，B，D满足条件．8.若函数f(x)＝eq\r(2x2＋2ax－a－1)的定义域为R，则a的取值范围为__________．解析：因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.答案：[－1,0]9.已知函数f(3－2x)的定义域为[－1,2]，则f(x)的定义域为．解：用换元思想，令3－2x＝t，f(t)的定义域即为f(x)的定义域，∵t＝3－2x(x∈[－1,2])，∴－1≤t≤5，故f(x)的定义域为[－1,5]．10．已知f(2x＋1)＝3x－4，f(a)＝4，则a＝________．[解析]令2x＋1＝a，则x＝eq\f(a－1,2)，则f(2x＋1)＝3x－4可化为f(a)＝eq\f(3（a－1）,2)－4，因为f(a)＝4，所以eq\f(3（a－1）,2)－4＝4，解得a＝eq\f(19,3).[答案]eq\f(19,3)11.已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________．解：∵2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，①把①中的x换成eq\f(1,x)，得2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq\f(3,x).②①×2－②得3f(x)＝6x－eq\f(3,x)，∴f(x)＝2x－eq\f(1,x)(x≠0)．12.下列各组函数中,表示同一函数的是.(填序号)①，；②，；③，；④，.答案：③13．求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)y＝－eq