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函数的概念※知识梳理1.函数的概念:设A,B是非空的_____,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的________数x,在集合B中都有________的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中x叫做______,x的取值范围A叫做函数y=f(x)的______;与x的值相对应的y值叫做_____,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数y=f(x)的______,则值域是集合B的____.2.常见函数的定义域和值域数函数关系式图象定义域值域反比例函数y=eq\f(k,x)(k≠0)一次函数y=kx+b(k≠0)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)3.相等函数:一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,其中值域是由______和________决定的.如果两个函数的定义域相同,并且________完全一致,我们就称这两个函数相等.(1)只要两个函数的定义域相同,对应法则相同,其值域就________.故判断两个函数是否相等时,一看定义域,二看对应法则.如y=1与y=eq\f(x,x)不是相等函数,因为____________.y=3t+4与y=3x+4是相等函数.(2)求函数的定义域,一般是转化为解不等式或不等式组的问题,注意定义域是一个集合,其结果必须用集合或区间来表示.4.区间与无穷大:(1)区间的几何表示定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a,b]{x|a<x<b}开区间(a,b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a,b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a,b]这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.(2)实数集R的区间表示:实数集R可以用区间表示为____________,“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.(3)无穷大的几何表示定义符号数轴表示{x|x≥a}[a,+∞){x|x>a}(a,+∞){x|x≤b}(-∞,b]{x|x<b}(-∞,b)※典例分析【题型一】函数的基本概念【例1】1.如图所示,能够作为函数y=f(x)的图象的有________.[答案]①⑤解:根据函数的定义,一个函数图象与垂直于x轴的直线最多有一个交点,这是通过图象判断其是否构成函数的基本方法.2.下列对应或关系式中是A到B的函数的是()A.A∈R,B∈R,x2+y2=1B.A={(x,y)|x,y∈R},对任意的(x,y)∈A,(x,y)→x+y.C.A=R,B=R,f:x→y=eq\f(1,x-2)D.A={1,2,3,4},B={0,1},对应关系如图:答案:D3.下列各对函数中,是相等函数的序号是________.①f(x)=x+1与g(x)=x+x0②f(x)=与g(x)=|2x+1|③f(n)=2n+1(n∈Z)与g(n)=2n-1(n∈Z)④f(x)=3x+2与g(t)=3t+2⑤y=x-1与y=eq\f(x2-1,x+1)[答案]②④4.已知一个函数的解析式为2,它的值域为{1,4},这样的函数有个.[答案]9[解析]列举法:定义域可能是{1,2},{-1,2},{1,-2},{-1,-2},{1,-2,2},{-1,-2,2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,1,-2,2}.【课堂练习1】1.下列对应是否为A到B的函数:=1\*GB3①A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|;②A=Z,B=Z,f:x→y=x2;③A=Z,B=Z,f:x→y=eq\r(x);④A=[-1,1],B={0},f:x→y=0.答:(1)①③不是②④是2.以下给出的同组函数中,是否表示同一函数?为什么?(1)f1:y=eq\f(x,x);f2:y=1.(2)f1:y=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1,x≤1,,2,1<x<2,,3,x≥2.))f2:xx≤11<x<2x≥2y123(3)f1:y=2x;f2:如图所示.【解】(1)不同函数.f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0},f2(x)的定义域为R.(2)同一函数,x与y的对应关系完全相同且定义域相同,它们是同一函数的不同表示方式.(3)同一函数.理由同(2).【题型二】求函数定义域【例2】1.求下列函数的定义域:①y=eq\r(4-x);②y=eq\f(1,|x|-x);③y=eq\r(5-x)+eq\r(x-1)-eq\f(1,x2-9).[解析](1)①4-x≥0,即x≤4,故函数的定义域为{x|x≤4}.②分母|x|-x≠0,即|x|≠x,所以x<0.故函数的定义域为{x|x<0}.③解不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5-x≥0,,x-1≥0,,x2-9≠0,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤5,,x≥1,,x≠±3.))故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}.【课堂练习2】1.将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的解析式,并写出此函数的定义域.解:设矩形一边长为x,则另一边长为eq\f(1,2)(a-2x),所以y=x·eq\f(1,2)(a-2x)=-x2+eq\f(1,2)ax,定义域为(0,eq\f(a,2)).2.(2016年高考江苏卷)函数y=的定义域是.【答案】3.若函数的定义域为R,则实数m的取值范围是.4.已知函数的定义域为R,则实数的取值范围是.【题型三】复合函数的定义域【例3】1.已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为()A.(-1,1)B.C.(-1,0)D.解析:由题意知-1<2x+1<0,则-1<x<-eq\f(1,2).答案:B2.已知f(x2-1)的定义域为[0,3],则函数y=f(x)的定义域为__________.解析:∵0≤x≤3,∴0≤x2≤9,∴-1≤x2-1≤8,∴函数y=f(x)的定义域是[-1,8].【课堂练习3】1.已知函数f(2x+1)的定义域为(0,1),则f(x)的定义域是______________.[解析]因为f(2x+1)的定义域为(0,1),即其中的函数自变量x的取值范围是0<x<1,令t=2x+1,所以1<t<3,所以f(t)的定义域为{t|1<t<3},所以函数f(x)的定义域为{x|1<x<3}.2.已知函数f(x)的定义域是[0,1],求g(x)=f(2x)+f(x+eq\f(2,3))的定义域;解:解不等式组,∴g(x)的定义域是[0,].【题型四】求函数的解析式【例4】1.已知f(x)=,求f(2x+1);解析:f(2x+1)=.2.f(eq\r(x)+1)=x+2eq\r(x).求f(x)的解析式;解:方法一:设u=eq\r(x)+1,则eq\r(x)=u-1(u≥1),∴f(u)=(u-1)2+2(u-1)=u2-1(u≥1),即f(x)=x2-1(x≥1).方法二:∵x+2eq\r(x)=(eq\r(x)+1)2-1,由于x≥0,所以eq\r(x)+1≥1.∴f(x)=x2-1(x≥1)3.y=f(x)是一次函数,且f(f(x))=9x+8,求f(x)的解析式;解:由条件可设f(x)=ax+b(a≠0),∵f[f(x)]=9x+8,∴有a(ax+b)+b=9x+8.比较系数可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=3,,b=2;))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=-3,,b=-4.))故f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4,4.f(x)=2f(eq\f(1,x))·eq\r(x)-1,求f(x)的解析式;解:在f(x)=2f(eq\f(1,x))eq\r(x)-1中,用eq\f(1,x)代替x,得f(eq\f(1,x))=2f(x)eq\f(1,\r(x))-1,将f(eq\f(1,x))=-1代入f(x)=2f(eq\f(1,x))eq\r(x)-1中,可求得f(x)=eq\f(2,3)eq\r(x)+eq\f(1,3).(x>0)5.f(0)=1,并且对任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的解析式.解:令x=0,y=-x,则f(x)=f(0)+x(0+x+1)=1+课堂小结:函数解析式的求法:(1)凑配法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式;(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法;(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;(4)方程思想:已知关于f(x)与f(eq\f(1,x))或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).(5)赋值法:赋x,y特殊值,适用于解抽象函数。【课堂练习4】1.已知=x2+eq\f(1,x2),求f(x)的解析式;解:由于=x2+eq\f(1,x2)=-2,所以f(x)=x2-2,x≥2或x≤-2,故f(x)的解析式是f(x)=x2-2,x≥2或x≤-2.2.如果f()=,求f(x)的解析式.解:令eq\f(2,x)+1=t,由于x0,所以t1且x=eq\f(2,t-1),所以f(t)=eq\f(2,t-1),即f(x)=eq\f(2,x-1)(x1).3.若f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)的解析式为________.解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),又f(0)=c=3.所以f(x)=ax2+bx+3,所以f(x+2)-f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+3-(ax2+bx+3)=4ax+4a+2b=4x+2.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a=4,,4a+2b=2,))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=1,,b=-1,))所以所求函数的解析式为f(x)=x2-x+3.4.已知函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=eq\f(1,x),求f(x)的解析式.解:∵2f(x)-f(-x)=eq\f(1,x),①将x用-x代替得2f(-x)-f(x)=-eq\f(1,x),②由①②消去f(-x)得f(x)=eq\f(1,3x).※家庭作业1.A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},下列图形中能表示以A为定义域,B为值域的函数的是()[答案]B[解析]A、C、D的值域都不是[1,2],故选B.2.给出下列从A到B的对应:①A=N,B={0,1},对应关系是:A中的元素除以2所得的余数②A={0,1,2},B={4,1,0},对应关系是f:x→y=x2③A={0,1,2},B={0,1,eq\f(1,2)},对应关系是f:x→y=eq\f(1,x)其中表示从集合A到集合B的函数有()个.A.1 B.2C.3 D.0[答案]B[解析]由于③中,0这个元素在B中无对应元素,故不是函数,因此选B.3.集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数是()A.f︰x→y=eq\f(1,2)x B.f︰x→y=eq\f(1,3)xC.f︰x→y=eq\f(2,3)x D.f︰x→y=eq\r(x)[答案]C[解析]对于选项C,当x=4时,y=eq\f(8,3)>2不合题意.故选C.4.f(x)=eq\r(1+x)+eq\f(x,1-x)的定义域是()A.[-1,+∞) B.(-∞,-1]C.R D.[-1,1)∪(1,+∞)[答案]D[解析]eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1+x≥0,1-x≠0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥-1,,x≠1,))故定义域为[-1,1)∪(1,+∞),选D.5.若函数y=f(x)的定义域是[1,2015],则函数g(x)=eq\f(f(x+1),x-1)的定义域是()A.[0,2014] B.[0,1)∪(1,2014]C.(1,2015] D.[-1,1)∪(1,2014]解析要使函数f(x+1)有意义,则有1≤x+1≤2015,解得0≤x≤2014,故函数f(x+1)的定义域为[0,2014].所以使函数g(x)有意义的条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2014,,x-1≠0,))解得0≤x<1或1<x≤2014.故函数g(x)的定义域为[0,1)∪(1,2014],故选B.6.若二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则g(x)的解析式为()A.g(x)=2x2-3x B.g(x)=3x2-2xC.g(x)=3x2+2x D.g(x)=-3x2-2x解析:选B.用待定系数法,设g(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a+b+c=1,a-b+c=5,,c=0))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=3,b=-2,,c=0))∴g(x)=3x2-2x.7.下列函数中,不满足:f(2x)=2f(x)的是()A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x[答案]C[解析]f(x)=kx与f(x)=k|x|均满足:f(2x)=2f(x)得:A,B,D满足条件.8.若函数f(x)=eq\r(2x2+2ax-a-1)的定义域为R,则a的取值范围为__________.解析:因为函数f(x)的定义域为R,所以2x2+2ax-a-1≥0对x∈R恒成立,即2x2+2ax-a≥20,x2+2ax-a≥0恒成立,因此有Δ=(2a)2+4a≤0,解得-1≤a≤0.答案:[-1,0]9.已知函数f(3-2x)的定义域为[-1,2],则f(x)的定义域为.解:用换元思想,令3-2x=t,f(t)的定义域即为f(x)的定义域,∵t=3-2x(x∈[-1,2]),∴-1≤t≤5,故f(x)的定义域为[-1,5].10.已知f(2x+1)=3x-4,f(a)=4,则a=________.[解析]令2x+1=a,则x=eq\f(a-1,2),则f(2x+1)=3x-4可化为f(a)=eq\f(3(a-1),2)-4,因为f(a)=4,所以eq\f(3(a-1),2)-4=4,解得a=eq\f(19,3).[答案]eq\f(19,3)11.已知f(x)满足2f(x)+f=3x,则f(x)=________.解:∵2f(x)+feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))=3x,①把①中的x换成eq\f(1,x),得2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))+f(x)=eq\f(3,x).②①×2-②得3f(x)=6x-eq\f(3,x),∴f(x)=2x-eq\f(1,x)(x≠0).12.下列各组函数中,表示同一函数的是.(填序号)①,;②,;③,;④,.答案:③13.求下列函数的定义域,并用区间表示:(1)y=-eq
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