2020学年新教材高中数学第五章三角函数诱导公式五六学案新人教A版必修第一册

第2课时诱导公式五、六

区课前自主预习■________________________

学习目标

1.借助单位圆及三角函数定义理解公式五、六的推导过程.

2.运用公式五、六进行有关计算与证明.

3.掌握六组诱导公式并能灵活运用.

1.在△/回中，角3与角等的三角函数值满足哪些等量关系？

［答案］

・AB+c

・'2=~2~~2~9

AB+C\B+C

sin-=sinl^—2尸cos2,

AB±C\.B+C

cos-=cos|j^-2J=sin2

2.判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

⑴诱导公式五、六中的角。可以是任意角.()

(2)sin(90°+<7)=—cosa.()

<3Ji>

(3)sinl-a尸cosa.()

⑷若a+£=90°,贝1Jsin。=cos£.()

［答案］⑴V(2)X(3)X(4)V

区课堂互动探究■…_____________________________________

题型一利用诱导公式化简求值

【典例1］⑴已知cos仔+a)=—|,且。是第二象限角，则sin］a一答)的结果

sin(2兀+<7)cos(兀—^)cosl——a

⑵化简：----------------------------

cos(兀—q)sin(3兀一a)sin(一

［思路导引］利用诱导公式先化简再求值.

［解析］(1),・飞05e+&)=­sina=­・

3

Asina=-,且a是第二象限角

5

cosCL=—qi—sir?Q=

0

,r3吟<3H

而sinla---l=—sinl—a

=—(—cos。)=cosa=

5

sina•(—cosa)•sina•cos|

(2)原式=

—cosa•sina•[—sin(兀—a)]sin[j^-+Q

sina•(—sin□)

[答案](DB(2)tan。

名师提醒A

用诱导公式进行化简时的注意点

(1)化简后项数尽可能的少.

(2)函数的种类尽可能的少.

(3)分母不含三角函数的符号.

⑷能求值的一定要求值.

⑸含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等.

针对训练

3

知

1已e

XCOS-5-

［解析］sin(8+万)=cose=—

［答案］一三

5

2.化简:cos)；~•sinfa—|^cosfy+

sin(n—<7)〈2,12)

—

［解］原co式sf(兀—―-°sin［「—匕，兀―。J'I(—sina)

—cosa.

—:----•(—cosa)(—sina)=—cos2a.

sinQ

题型二利用诱导公式证明三角恒等式

(3兀)

tan(2兀—a)cosl-alcos(6n—a}

［典例2］求证：7—3吟(一再=—tana.

sin^+—Jcos^+—J

［思路导引］应先利用诱导公式化简较复杂的左边的式子，使其等于右边.

(3兀、

tan(2JI—a)cosl--alcos(6几一a)

［证明］左边=---------7—占~/2-----

_tan(—a)(—sina)cosQ

—cosQsinQ

—tanasinQcosa

tana=右边,

cosQsinQ

所以原等式成立.

名师提醒A

三角式恒等证明的原则

对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可

以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公

式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.

［针对训练］

3n

sin^+cos92sl\°cos

3.求证:

sin。—cos°l-2sin2（Ji+

-2sin|（—sin。）一1

［证明］右边=------

1—2sin2。

2sE卜+（＞则

sin—1

1—2sin29

—2sin^夕Jsin

1—2sin2。

—2cossin9-1

cos2+sin29—2sin28

（sin®+cosOpsin®+cos9

sin28-cos28sin9—cos9'

所以原等式成立.

题型三诱导公式的综合应用

【典例3］（1）已知cosj^—a）=5，求cos•兀+口）•sin^--的值.

4

⑵已知cos,且Q为第三象限角.求f（Q）=

5

tan（兀—a）•sin（兀一口）•2的值.

cos（兀+。）

［思路导引］⑴［石+"

(JI、兀

仁一.可利用以上互余、互补关系求解；(2)利用诱导公式化简求值.

［解］(1)cos管兀+q)・sin(2y--a\

JI\/JI

a.Siny+

11

X1

--3-3-

9,

4

⑵因为cos°=一匚，且°为第三象限角,

「aI/、—tana•sina•cosasina

所以Aq)=----------------------=tanasina=-----•sinQ

—cosacosa

3

59

X

420,

5

|名师提醒A

（i）整体代换，寻找角之间的关系：对于一些给值（式）求值问题，要注意已知角与未知

角的关系，即发现它们之间是否满足互余或互补，若满足，则可以进行整体代换，用诱导公

式求解.

J[J[

①常见的互余关系有：-^―a与7■+口；方+0与77+0与丁—a等.

363b44

…JI2JI3

②常见的互补关系有：了+。与勺口一。；。与IR—。等.

（2）对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式

化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.

JI

（3）对于兀土。和万土a这两组诱导公式，切记运用前一组公式不变名，而运用后一

组公式必须变名.

[针对训练]

4.已知cos（75°+。）=；,则sin（a—15°）+cos（105°一。）的值是（）

12

3-3-

12

----

c.3D.3

［解析］sin(a—15°)+cos(105°—a)=sin［(75°+a)—90°］+cos［180°—

2

(75°+a)］=—cos(75°+。)一cos(75°+。)=—2cos(75°+。)=一鼻.故选D.

o

［答案］D

5.已知广(。)=

(।3兀

sin(兀-Q)cos(2Ji—a)cosl-a~r~^~

coslalsin(—兀一q)

⑴化简f(a);

31

⑵若。为第三象限角，且cos（。一求代。）的值;

⑶若。=一迎白，求H。）的值.

O

/、/、sin。cosq(—sin

［解］⑴『(a)=sina［-sit+a)I

cosa(—sin□)

cosa

sina

1

1n4---

a=M'si5

又：a为第三象限角,

5兀5Ji

—cos-6X2n+—=-cos—

it1

-cosy=--

课堂归纳小结

兀

1.诱导公式五、六反映的是角万土。与a的三角函数值之间的关系.可借用口诀”函

数名改变，符号看象限”来记忆.

JI

2.诱导公式一〜六可归纳为八5±4的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象

限”

⑴“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的.

JI

(2)“奇”、“偶”是对诱导公式士a中的整数次来讲的.

JI兀

(3)“象限”指人万土。中，将。看成锐角时，k--+a所在的象限，根据“一全

正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号.

曲随堂巩固验收■_________________________

1.sinl65°等于()

A.-sinl5°B.cosl5°

C.sin75°D.cos75°

［解析］Vsinl65°=sin(90°+75°)=cos75°.・••选D.

［答案］D

弓兀

2.已知sinal=~,那么cos。=()

21

A.-5-民-5-

12

a

5-D.5-

a)=sin(2五十万+j=sin^~+j=cosa=£.

［解析］

［答案］C

那么sin(5+/)=(

3.如果COS(K+A)—)

11

Bc

A.-2-2-V23

［解析］Yeos(兀+A)=—cosA=-.\cosA=­f

JI1

..sin=COS/=5,故选B.

［答案］B

4.已知sinia则cos七一的值为(

)

不

1

c

3-

［解析］

.<

sinf-+9）——cos（兀——夕）

5.已知tan8:2,求一"---T-------------的值.

sin（万——夕）——sin（兀——夕）

sin[—+]—cos（Ji—J）

[解]—%——T-------------

sinf-~一夕J—sin（兀——9）

cos9一（—cos。）_____2cos9_________2_______2_

cos。一sin8cos9—sin。1—tan91—2

课后作业（四十二）

复习巩固

一、选择题

1.下列各式中，不正确的是（）

A.sin（180°—a）=sina

（180°+吟

B.cosl2I—si口万

<3n）

C.cosl-l=—sina

D.tan（—a）=—tana

［解析］由诱导公式知A、D正确.

cos（l11—〃）=cos（兀+——口）

=—cos^y—sina,故C正确.

<180°+4、乙。"

cosl2l=cosl90+-I

a

=—sin—,故B不正确.

［答案］B

2.若sin（2+夕｝0,且cos（万一夕）>0,贝1J。是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

［解析］由于sinf—+9)=cos。＜0,cosf-■一〃=sin”0,所以角夕的终边落在

第二象限，故选B.

［答案］B

3.若sin(3兀+。)=一a则cos|

等于()

11

R

一--

A.c22

V32

117,

所

所以

--以cosJI4

因为sin(3it+ff)=—sintf=222-

3

JI

cos2=—cosJ=­sina=—

A

4.已知cos31°=m,则sin239°tanl49°的值是()

\~mI----o

AA.----B.A/l—777

mY

1~mI----o

C.—D.—,\/1-m

mY

［解析］sin239°tanl49°=sin(180°+59°)•tan(180°—31°)=—sin59°(—

tan31°)

=-sin(90°—31°),(—tan31°)

=­cos31°,(—tan31°)=sin31°

=yj1—COS231°=yj\—m.

［答案］B

sin(2兀一〃)•cosf-+2ajcos(兀一a)

5

-------;「仆—产()

tan(a—3兀)sinl-+aIsinl----2aI

A.—cosQB.cosQ

C.sinaD.—sina

sin(—a)•cosf-+2a)•(—cosa)

［解析］原式二--------------1

.o

tana•cosa•sin~31—

sinQcosa•cos(9+2a)

=-----------=------石-----Y；=-cosQ.故选A.

tanQcosQ—cosl—+2aI

［答案］A

二、填空题

sin400°sin(-230°)

6.化简•的结果为_________

cos850°tan(-50°)

sin400°sin(-230°)

［解析］cos8500tan(—50°)=

sin(3600+40。)［—sin(1800+50。)］sin40°sin50°

cos(720°+90°+40°)(-tan50°)sin40°tan50°

sin50°

—cos50°.

sin50°

cos50

［答案］cos50°

1

知

已cos--

7.(73atan(兀一a)=

sin(a—~jcos|3n

［解析］可+°|tan(TI—a)

2

—COSasina(—tana)=sin？。=1—cosa

JI17m

8.若sin.同=于则cosa+冠

3

7nJIJI

［解析］cosl=cos万十适+a

2

JI_1

-sin~3,

［答案］-1

三、解答题

COS（JI一。）

9.求证:

-j-

cosesin

cos(2JI——夕)2

2

cos(兀+9)sin(5+3sin小

-sm

［证明］左边=—而-------------------》—7V—7

COSc/(—COSc/-1)-COS"cos，十COS0

_____］］______l—cose+l+cos9

1+cos9l—cos9(1+cos9)(1—cos。)

2__2____

l-cos29sin28,

・•・原式成立.

10.已知sin。是方程5f—7x—6=0的根，且a是第三象限角，求

(3吟(3兀)

sm(一"―Rcos|^-―

---T-----T---------N-,tanO-q)的值.

［解］原式=

,tan2a

sinacosQ

2

•tanQ

smacosQ

一cosQsina

•tan2a=—tan2a.

sinacosa

33

方程5/—7x―6=°的两根为xi=—匚,为=2,又0是第三象限角’sin°=一于cos°

4

-5-故原式=—tan"=一五.

综合运用

11.计算sin"。+sin22°+sin23°4--Fsin289°=()

89

A.89B.90C.yD.45

［解析］Vsin2l°+sin289°=sin2l°+cos2l°=1,sin22°+sin288°=sin22°+

COS22°=1,•••

sin2l°+sin22°+sin23°++sin289°=sin2l°+sin22°+sin23°+•••+

189

sin244°+sin245°+cos244°+cos243°-\----Fcos230+cos220+cos2l°=44+~=—.

［答案］C

12.在△/阿中，y/3sin(^■—2)=3sin(兀一/),且cosA=—y［3cos(~S),贝！JC=

|\/^cos/=3sin/①