初中几何公理、定理

初中几何公理、定理

一、线与角

1、两点之间，线段最短

2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线

3、对顶角相等：同角的余角（或补角）相等：等角的余角（或补角）相等

4、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直

5、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（简称“垂线段最短”）

6、平行线的判定：①同位角相等，两直线平行②内错角相等，两直线平行③同旁内角互补，两直线平行④平行于同•

直线的两直线平行⑤垂直于同一直线的两直线平行

7、平行线的性质：

①经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行

②如果两条直线都和第条直线平行，那么这两条直线也平行

③两直线平行，同位角相等④两直线平行，内错角相等⑤两直线平行，同旁内角互补

⑥平行线间的距岗处处相等

9、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上

10、垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等

垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

二、三角形、多边形

11、三角形中的有关公理、定理：

（1）T角形外角的性质：①三角形的•个外角等于与它不相邻的两个内角的和

②三角形的外角和等于360s

(2)三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°

(3)三角形的任何两边的和大于第二.边、两边的差小于第三边

(4)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

12、多边形中的有关公理、定理：

(1)多边形的内角和定理：〃边形的内角和等于(〃-2)X1800

(2)多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°

(3)欧拉公式：顶点数+面数一棱数=2

13、等腰三角形中的有关公理、定理：

(1)等腰三角形的两个底角相等.(简写成“等边对等角”)

(2)等腰三角形的顶为平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”

(3)如果•个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简写成“等角对等边”)

(4)等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°

(5)等边三角形判定:①三边都相等的三角形叫做等边三角形;②有•个角等于60°的等腰三角形是等边三角形;③三个角

都相等的三角形是等边三角形

14、直角：角形的有关公理、定理：

(1)直角三角形的两个锐角互余

(2)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

(3)勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形

(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的半

(5)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半

三、特殊四边形

15、平行四边形的性质：①平行四边形的对边平行且相等②平行四边形的对角相等

③平行四边形的对角线互相平分.

16、平行四边形的判定：

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形②•组对边平行且相等的四边形是平行四边形

③两组对边分别相等的四边形是平行四边形④对角线互相平分的四边形是平行四边形

17、矩形的性质：①矩形的四个角都是直角②矩形的对角线相等且互相平分

18、矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形②有三个角是直角的四边形是矩形

③对角线相等的平行四边形是矩形

19、菱形的性质：①菱形的四条边都相等

②菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角

20、菱形的判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形②四条边相等的四边形是菱形

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形

21、正力.形的性质：①正方形的四个角都是直角②正方形的四条边都相等

③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

22、正方形的判定:

①有一组邻边相等的矩形是正方形②两条对角线垂直的矩形是正方形

③有•个角是直角的菱形是正方形④两条对角线相等的菱形是正方形

23、梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边膨是梯形

24、等腰梯形的判定：①同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形

②两条对角线相等的梯形是等腰梯形

25、等腰梯形的性质：①等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等

②等腰梯形的两条对角线相等

26、梯形的中位线平行于梯形的两底边，并且等于两底和的一半

四、图形的全等

27、全等多边形的对应边、对应角分别相等

28、全等三角形的判定:

①如果两个-：角形的-：条边分别对应相等，那么这两个加形全等（SSS）

②如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等（SAS）

③如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等（ASA）

④有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等（AAS）

⑤如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等（HL）

29、轴对称：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂

直平分线；（2）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段（或延长线）相交，交点•定在对称轴上；（3）如果两

个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

30、平移：（1）平移不改变图形的形状和大小（即平移前后的两个图形全等）；（2）对应线段平行且相等（或在同•直线上），

对应角相等；（3）经过平移,两个对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等.

31、旋转：（1）旋转不改变图形的形状和大小（即旋转前后的两个图形全等）（2）任意一对对应点。旋转中心的连线所成的角

彼此相等（都是旋转角）（3）经过旋转，对应点到旋转中心的距离相等

32、中心对称：（1）关于中心对称的两个图形是全等形：（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心且被对

称中心平分；（3）如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对

称

五、图形的相似

33、（1）相似多边形的性质：

①相似多边形的对应边成比例②相似多边形的对应角相等

③相似多边形周长的比等于相似比④相似多边形的面积比等于相似比的平方

（2）相似:•角形性质：

①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；②相似三角形对应高的比，对应中线的比，都等于相似比；③相似三角形

周长的比等于相似比：④相似一:角形的面积比等于相似比的平方

34、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对■应线段成比例

35、相似三角形的判定：

①平行于三角形边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似

②如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似

③如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似

④如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似

⑤如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

36、射影定理：在直角一:角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每•条直角边是这条直角边在斜边

上的射影和斜边的比例中项。

六、圆

37、圆有关的概念：

(1)平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径.

(2)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

(3)圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角.

(4)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧,大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧.

(5)弦：连接网上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.

38、圆的有关的性质:

(1)圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对

应的其余各组量分别相等；

(2)垂径定理及其推论：当一条直线满足①过圆心：②垂直于弦；③平分弦：④平分优弧；⑤平分劣弧.中的两个条件时，

就能推出其余三个结论.(简称“知二推三”)

(3)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数;

(4)圆心角与圆周角的关系:同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角的一邛

(5)圆内接四边形性质：圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

(6)圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，反过来，90°的圆周角所对的弦是直径；

(7)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

(8)切线的性质定理：圆的切线垂直了过切点的半径；

(9)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段相等，它与圆心的连线平分两切线的夹角：

(10)相交弦定理：圆内两条相交弦被交点分成的两条线段的长的积相等.

(11)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

(12)割线定理：从圆外•点引圆的两条割线，这•点到每条割线与圆的交点的两条线段的长的积相等.

39、三角形的内心和外心

(1)确定圆的条件：不在同一直线上的一个点确定个圆.

(2)三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分

线的交点，叫做三角形的外心.

(3)三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三

角形的内心

40、点与圆的位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内.设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则①点在圆外Od>r.②点

在圆上Od=r.③点在圆内Od<r.

41、直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相高.设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,

则①直线与圆相交=d〈r,②直线与圆相切0d=r,③直线与圆相离Od>r

42、圆与圆的位置关系3设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R和r,则

①两圆外离<=>d>R+r：②两圆外切=d=R+r；③两圆相交=R-rVdVR+r(R>r)

④两圆内切=d=R—r(R>r)⑤两圆内含OdVR—r(R>r)

43、圆有关的计算：

(1)弧长计算公式：/=—(R为圆的半径，n是弧所对的圆心角的度数)

180

⑵扇形面积：s恸形=嘿^或S坦形=；/R(R为半径，n是扇形所对的圆心角的度数)

(3)圆锥：S硒『S用形=gx底面周长x母线=xrR,并且27t尸鬻(如右图).代

口*⑵底》遢讴上为J1触线切脸E®碌g/：h\

中考数学常用公式及性质

1、整式乘法与因式分解：①(a+与(。一/>)=/一从：②(侬⑼2=/±2砂+〃；

2、耗的运算性质

①/^d=/工②d=F\③(/)"=/"'：®tah)n=anb\®(-)w=—；

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@an=—,特别：(”"=(/"；⑦J=l("0)。

3、二次根式

(D(而)2=a(ar);^"=I。I：(§)\/ab=y/ax；④〃川)。

4、一元二次方程：对于方程：/+加+。=0：

①求根公式是*=-b土加-4ac,其中△=好-4比叫做根的判别式。

2a

当△>()时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根:

当△<()时，方程没有实数根.注意：当^却时，方程有实数根。

②若方程有两个实数根为和知则的+法-2,为6=£.

5、二次函数y=a/+bx+c(凡伍c是常数，。工0)

顶点是(-2,如土)，对称轴是直线x=-2。

2a4a2a

(Da决定开口方向及开口大小

(2为和a共同决定抛物线对称轴的位置：①b=0时，对称轴为y轴：②2>0(即a、

a

8同号)时，对称轴在)，轴左侧；③自<0(即a、8异号)时，对称轴在y轴右侧。

a

(3)c的大小决定抛物线与y轴交点的位置：①c=0,抛物线经过原点；②c>0,与y轴

交于正半轴；③。<0,与y轴交于负半轴.

22

6、方差…2=霜「7)+(x2-7)2+..…+(xa-7)

7、频率二姐，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1,

总数

8、锐角三角函数：

Q)sin4---斜迹—，NA的余弦：cosA----菊迹—,NA的止切：tan/A—'

②特殊角的♦角函数值:

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