2020-2021学年高中数学新教材第一册教案：1.1集合的概念教学设计

【新教材】1。1集合的概念教学设计

教材分析

由于空间时间维度的不同，同一个事物会有不同的解存，如:

在平面内，所有到定点的距寓等于定长的点组成一个圆；而在

空间中,所有到定点的距窝等于定长的点组成一个球面。因此明

确研究对象、确定研究范围是研究教学问题的基础。为了简洁、

准确地表达教学对象及研究范围，我们需要使用集合的语言和

工具。作为高中教学的第一节，本节主要通过实例研究研究集

合的含义，表示方法及表示方法，比较简单。

教学目标与核心素养

课程目标

1.了解集合的含义;理解元素与集合的“属于''与"不属于”关氢

熟记常用教集专用符号,

2.深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其

解决有关问题,

3.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。感受集合语

言的意义和作用。

教学学科素养

1.教学抽象:集合概念的理解，描述法表示集合的方法；

2o逐聘推理:集合的互异性的辨析与应用；

3-教学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为

列举法时的运算；

4o数据分析：元素在集合中对应的参数满足的条件；

5o教学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归

类。

教学重难点

重点:集合的基本概念，集合中元素的三个特性，元素与集合的关

系,集合的表示方法,

难点：元素与集合的关系，选择适当的方法表示具体问题中的

集合.

课前准备

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程

-、预习课本，引入新课

阅读课本2-5页，思考并完成以下问题

lo集合和元素的含义是什么？各用什么字母表示？

2.集合有什么特性？

3.元素和集合之间有哪两种关系？有什么符号表示？

4o常见的教集有哪些？用什么字母表示？

5o集合有哪两种表示方法？它们如何定义？

6o它们各自有什么特点？

7.它们使用什么符号表示？

要求：学生独立完成，以小组为单核，组内可商量，最终选出代

表回答问题。

二、知铢归纳、槁理

1、元素与集合的概念

(1J元素：一般地，杷研究对象统称为元素.元素常用小写的

拉丁字母a,b,c,…表示.

(2)集合:把一些元素组成的逐生叫做集合(简称为差)、集合

通常用大写的拉丁字母A,氏C,...表示.

(3)集合相等：只要构成两个集合的支库是〜样的，就称这两个

集合是相等的.

C4J元素的特性:确定性、无序性、互异性、

2,元素与集合的关系

记

语言描述读法

法

a是集合A中的元。属于集合

属于aeA

素A

不属〃不是集合A中的。不属于集

a^A

于元素合A

3、常用的教集及其记法

常用自然正整整教有理

实教集

的教教集教集集教集

集

记法NN*ZQR

4、列举法

杷集合的元素一一列举出来出来,并用花括号“[}''标起来表示

集合的方法叫做列举法,

5、描述法

（1J定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.

（2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的二«

号及取值（变化）范围,再画一条竖线，在竖线后写出这个集合

中元素所具有的共同特征.

三、典例分析、萃一反三

题型一集合的含义

例1考查下列每组对象，能构成一个集合的是（）

①某校高一年级成绩优秀的学生；

②直角金林豕中横、纵坐标相等的点、;

③不小于3的自然教；

④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者,

A、③④B、②③④C.②③D、②④

【答案】B

解题技巧：（判断一组对象能否组成集合的标准）

判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定

性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合;否则，不能组成

集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性,

跟踪训练一

L给出下列说法：

①中国的所有直辖市可以构成一个集合；

②高一（1）班较屏的同学可以构成一个集合；

③正偶数的全体可以构成一个集合；

④大于2013且小于2018的所有整数不能构成集合、

其中正确的有、（填序号）

【答嚎】①③

题型二元素与集合的关东

例2口）下列关京中，正确的有（）

①错误！WR；②错误!CQ;③一3|€N；④|一错误!|€Q。

A,1个B、2个C、3个D、4个

（2）集合A中的元素x满足错误!CN,x€N,则集合A中的元素为

【答案】ruC(2)0,1,2

斛题技巧:判断元素与集合关系的两种方法

(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出,只要判断该元素在

已知集合中是否出现即可。

(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是

否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合

中的元素具有什么特征.

跟踪训练二

2、已知集合A中有四个元素0,1,2,3,集合3中有三个元素0,1,

2,且元素a《B,则。的值为()

A.0B.1C、2D,3

【答曝】D

【解析】•/6Z€A,a$B,「.由元素与集合之间的关系知，。=3.

3、用迨当的符号填空：

已知A=[x\x=3k+2fkSZ],B-{x\x-6m-1,m€Z},则有：

17A;-5A.

【答案】€任

【解析】令3左+2=17得，k=5EZo所以17WA。

令3女+2=-5得，k=—错误!£Zo所以一5《Ao

题型三集合中元素的特性及应用

例3已知集合A含有两个元素〃和矫，若1CA,如实教〃的

值为、

【答案】-1

【解析】若1WA,则Q=1或层=1,即。=±1。

当。=1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，.•."1；

当〃二-1时，集合A含有两个元素1,-1,符合元素的互异性.「.

a=-1.

变式L［变条件］本例若将条件"1WA”改为"2€A',其他条件不

支，求实数。的值.

【答嚎】。=2,或a=错误!，或a=-错误！

【解析】若2€A,则Q=2或。2=2,即a=2,或〃=错误!，或〃=

一错误!.

变灰2、［变条件J本例若去掉条件“1WA',其他条件不变，则实

教。的取值范围是什么？

【答案】存0且

【解析】若A中有两个元素〃和屋，则由存〃2解得存（）且存］。

变式3,£变条件1已知集合A含有两个元素1和层，若、CA”,

求实数。的值.

【答案】〃二0

【解析】由可知，

当a=1时，此时。2=[,与集合元素的互异性矛盾，所以

当。=届时，。=0或1(舍去人综上可知,。二0。

解题技巧：(根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3

个步骤)

/求解据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值

I

/检验々■隰据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验.

I

/z作答/叶写出所有符合题意的字母的取值一

题型四用列举法表示集合

例4用列率法表示下列集合.

门)不大于10的非负偶数组成的集合；

(2)方程/二x的所有实数斛组成的集合；

(3)直线y=2x+l与y轴的支点所组成的集合.

【答案】见解析

【解析】(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于

或等于0的意思，所以不大于1。的非负偶数集是｛0,2,4,6,8,

10工

(2J方程二X的解是x=0或x=l或x=-1,所以方程的解组

成的集合为f0,l,一11、

(3)将x=0代人)=21+1,得y=l,即交疝是(0,1),

故两直线的支点组成的集合是｛(0,1)｝.

解题技巧(用列举法表示集合的三个步骤)

lo求出集合的元素；

2o杷元素----列率出来，且相同元素只能列举一次；

3o用花括号括起来。

跟踪训练四

4、若集合A=｛C,2),(3,4)，则集合A中元素的个数是()

A、1B、2C,3D、4

【答案】B

【解析】集合A=VI,2),(3,4)｝中有两个元素(1,2)和(3,4)、

5、用列举法表示下列给定的集合：

(1)大于1且小于6的整数组成的集合A

(2)方程/-9=0的实教根组成的集合3方。

(3)一次函数y=x+3与＞=一2x+6的图象的支点组成的集合

D.

【答嗓】见解析

【解析】(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5,所以A

=厂2,3,4,5工

(2)方程/一9二。的实数根为一3,3,所以B二厂一3,3｝、

(3J由错误!得错误！

所以一次函数y=x+3与y=-2i+6的支点为(1,4J,所以D

=1(1,4)工

题型五用描述法表示集合

例5用描述法表示下列集合：

(1J故3除余1的正整数的集合；

(2J坐标平面内第一象限的点的集合；

(3J大于4的所有偶数、

【答案】见斛折

【解析】(1)根据被除数=商*除教+余数，可如此集合表示为

{x\x=3n+1,n€N1、

(2)第一象F艮内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为

{(x,y)|x>0,y>0}、

(3)偶数可表示为2m〃WZ,又因为大于4,故栏3,从而用描述

法表示此集合为广工|x=2H,〃€Z且底3工

解题技巧(描述法表示集合的2个步骤)

跟踪训练五

6、用符号"L或"铲填空:

2

(1JA=[x\x-x=0}f贝11A,-1A；

(2)(1,2)Rx,y)|y=x+l工

【答案】(1)WCC2)€

【解析】(1)易知A={0,1},故1€A,-1£A；

(2J将x=l,y=2代人y=x+l,等式成立、

7、用适当的方法表示下列集合：

(1J已知集合P={x|x=2几,05〃32且〃€N}；

(2)抛物线)二12-21与工轴的公共点的集合；

(3)直线y=x上去掉原点的点的集合,

【答嚎】见解析

【解析】(U列率法：P={0,2,4工

(2)描述法:错误！。

或列举法：{(0,0),(2,0)工

(3)描述法：{(x,y)\y=x,片0}.

题型六集合表示法的综合应用

例6(1)若集合A={x€R|〃N+2x+1=0,〃WR}中只有一

个元素，则〃=()

A,1B、2C,0D、0或1

(2)设错误！€错误!，贝」集合错误！中所有元素之积为.

【答案】(1)D(2)错误！

【解析】（1）当。=0时，原方程变为2x+l=0,此时x=-错误!,

符合题意；

当今0时，方程ax2+2x+1=0为一元二次方程，

/=4-4〃=0,即〃=1,原方程的解为工二-1,符合题意、

故当。=0或〃=1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个

元素、

（2）因为错误！€错误!，所以错误!2一错误!4一错误！=0,解得：。=一错误!，

当〃二一错误!时，方程炉一错误!x+错误！=0的吏］别式/=错误！2-4X

错误！=错误！〉0,

所以集合错误!的所有元素的积为方程的两极之积等于错误!.

解题技巧：（集合表示法中元素与集合的关余）

lo若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合

属性是关键；

2o若已知集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是关键；

跟踪训练六

8、已知集合A={x|/-QX+匕=。},若A二12,3，求〃力的值.

【答嚎】见斛折

【解析】由A={2,3}知，方程x1—ax+b=0的两极为2,3,由根

与余教的关豕得，错误!因此。=5/=6.

9、设集合3=错误!。试判断元素1,2与集合3的关豕；用列举

法表示集合Bo

【答案】见解析

【解析】（D当x=l时,错误！=2WN.

当x=2时，错误！=错误!《N.所以1W3,2cB.

（2J二•错误！WN,x€N,「.2+x只能取2,3,6.

「.X只能取0,1,4/.B=f0,1,4Jo

题型七集合含义的拓展

例7用描述法表示抛物线y=/+1上的点构成的集合、

【答案】见解析

【解析】抛物线y=/+1上的