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偏微分方程2010-2011第二学期理科班李亚纯第一章绪论偏微分方程（PartialDifferentialEquations）指在物理学、力学、工程技术以及其它自然科学、技术科学、管理科学、甚至社会科学等的研究中归纳出来的某些含有未知函数及其偏导数的方程悠久的历史广泛的应用数学的发展悠久的历史：出名的弦振动方程1727:JohnBernoulli,离散质量情形

d’Alembert(研究弦振动方程的先驱)1746：《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》特殊的偏微分方程最早出现在1734年Euler的著作中，并于1743年出现在d’Alembert的《论动力学》中。广泛的应用：传统学科流体力学：Navier-Stokes方程组(粘性流体)Euler方程组(无粘流体)弹性力学：Saint-Venant方程组电动力学：Maxwell方程组(电磁场)量子力学：Schrödinger方程Dirac方程(微观粒子)广义相对论：Einstein方程(引力场)规范场：Yang-Mills方程磁流体力学、反映流体力学、热弹性力学……交叉学科生物数学：生物种群动力学传染病动力学

DNA分子动力学金融数学：随机微分方程经济学社会科学……数学的发展：偏微分方程推动数学其它分支的发展：函数论变分法级数展开常微分方程代数微分几何……参考书Courant-Hilbert:

MethodofMathematicalPhysicsFritzJohn:

PartialDifferentialEquationsWalterStrauss:

PartialDifferentialEquations,AnIntroductionLawrenceC.Evans:

PartialDifferentialEquations李大潜，秦铁虎：

物理学与偏微分方程§1偏微分方程的基本概念与研究内容§2典型方程的数学模型§3二阶线性偏微分方程介绍1.什么是偏微分方程？物理量(如位移、温度等)----时间、空间位置

---------------物理量的变化规律(偏微分方程)§1偏微分方程的基本概念与研究内容普通形式：自变量未知函数普通形式：例子：可验证:均满足弦振动方程满足热传导方程均为解可验证:2.有关基本概念阶数(Order)：未知函数偏导数的最高阶数；维数(Dimension)：空间变量的个数；（对发展型方程：维数=自变量个数－1；对非发展型方程：维数=自变量个数）解(Solution)：（求解区域）在内足够光滑，且到处满足偏微分方程（*）称为偏微分方程（*）的典型解：自由项：方程中与未知函数无关的项齐次方程(Homogeneous)：不含非零自由项非齐次方程(Nonhomogeneous)：含有非零自由项线性(Linear)方程：否则称为非线性(Nonlinear)方程半线性(Semi-Linear)：主部(含最高阶导数的部分)线性拟线性(Quasi-Linear)：最高阶导数本身是线性的完全非线性(FullyNonlinear)：最高阶导数是非线性的线性(Linear)：多重指标（Multi-index）例子：二阶线性齐次一阶线性非齐次一阶半线性非齐次一阶拟线性齐次一阶完全非线性非齐次二阶线性齐次四阶线性齐次二阶半线性齐次三阶半线性齐次二阶拟线性齐次3.研究内容：普通规律+定解条件(初始条件、边界条件)定解问题定解问题的适定性：存在性（Existence）唯一性（Uniqueness）稳定性（Stability）+附加条件方程§2典型方程的数学模型§2.1波动方程的定解问题§2.2热传导方程的定解问题§2.3调和方程的定解问题§2.4一阶方程（组）的例子§2.5其它方程的例子§2.1

波动方程的定解问题波动方程是描述振动与波的传输现象的一种发展方程弦的横振动（弦振动方程）杆的纵振动一维非线性弹性振动电报方程膜的横振动声波方程电磁波方程1.弦振动方程的导出考虑一根张紧的均匀柔软的细弦，受垂直于弦的外力作用，在平衡位置附近作微小的横振动平衡位置：弦静止时的位置，普通设为X轴；均匀：弦的线密度(单位长度的质量)ρ为常数；柔软：张紧的弦在离开平衡位置时，其上的每一点均不抗拒弯曲，从而弦的张力方向沿着其切线方向；弦的形变伸长与张力满足Hooke定理横振动：振动发生在同一平面内，且弦上各点的位移与平衡位置垂直；外力：外力密度(单位长度受到的外力)为F

；微小：振幅相对于弦长很小微元分析法：在物体中任取一种微小的立方体(微元)，在其上建立对应的物理量的平衡关系式，再令微元的直径趋向于零受力状况：水平方向：垂直方向：（强迫弦振动方程）没有外力作用时：有外力作用时：（自由弦振动方程）2.定解条件的导出A.初始条件B.边界条件A.初始条件例1

在d处将弦拉升至h后静止,然后放手让其自由振动0例2

弦静止于平衡位置，经敲击后开始振动例1例2

弦的端点自由滑动：即弦的端点不受垂直方向力的作用，也即张力在垂直方向的分量为零B.边界条件例3

弦的端点固定在弹性支承上注：两端点能够取不同类型的边界条件边界条件普通可分为三类：第一类边界条件(Dirichlet)：第二类边界条件(Neumann)：第三类边界条件(Robin)：3.其它模型的例子杆上点在时刻的纵向位移均匀杆的纵振动一维非线性弹性振动对弹性弦的横振动或弹性杆的纵振动，若作用力与形变不满足Hooke定律时，即有非线性函数电阻，线间电漏，电容，电感，电流密度电报方程张紧的柔软均匀膜在垂直于平衡位置平面方向的微小横振动膜在点时刻离开平衡位置的横向位移面密度张力膜的横振动（Laplace算子）声波方程气体的振动是微小的：略去高阶无穷小量设空气处在平衡状态时的密度和压强为抱负气体动力学方程组声学方程组设空气是无旋的：即,存在标量函数使声速速度,速度势电磁波方程真空中电磁场的Maxwell方程组电场强度,磁感应强度,介电常数,磁导率自由电磁波：电荷密度,电流密度,光速4.波动方程的普通形式及其定解问题模型:中的惯性力+通过作用在上的力=0(ContactForce)弹性体:小形变()D’Alembert算子定解问题：初值问题(Cauchy问题)2.混合初边值问题边界条件分三类：热传导方程

热传导方程描述物体内的热传导现象，即由于温度分布不均匀而引发的热量从温度高的地方向温度低的地方流动的现象.扩散方程

扩散方程描述物体内的扩散现象，即由于浓度分布不均匀而引发的物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移的现象.§2.2热传导方程的定解问题1.热传导方程的导出Fourier实验定律热流方向当物体内部无热源时，当物体内部有热源时，考虑均匀薄板(上下底绝热)：二维热传导方程；均匀细杆(侧面绝热，同一截面上温度相似)：一维热传导方程普通地,扩散方程的导出Fick实验定律扩散流强度，即单位时间内通过单位面积的粒子数（或质量）浓度，即单位体积中的粒子数（或质量）扩散系数粒子数（或质量）守恒：特例：扩散源强度与浓度成正比，特例：放射性衰变现象：均匀：扩散源强度半衰期2.定解条件的导出A.初始条件B.边界条件A.初始条件B.边界条件3.定解问题A.初值问题(Cauchy问题)B.混合初边值问题复分析：解析函数平衡态问题：膜、浓度、温度等位势理论：引力场，静电场流体力学：无旋定常流随机场：布朗运动§2.3调和方程的定解问题1.方程的导出解析函数平衡态问题弹性膜平衡态：外力不随时间变化稳定浓度分布：扩散源不随时间变化稳定温度分布：热源不随时间变化（Poisson方程）无源：（Laplace方程/调和方程）位势理论（引力场、静电场）引力场万有引力定律：引力位势上持续分布（密度）的质量产生的引力场的位势在外：在内：（满足一定的正则性条件）静电场Coulomb定律：Gauss定理：无旋：电势无源：不可压缩流体的无旋定常运动质量守恒方程不可压缩：无旋流体：密度速度速度势定常：均与时间无关无源：布朗运动假设：质点运动到边界上即终止以为起点运动,终止在上的概率2.定解问题：边值问题边界条件：,有界,第一类(Dirichlet):第二类(Neumann):第三类(Robin):的单位外法线方向.A.内问题A.内问题B.外问题B.外问题与外问题类似C.无界区域的边值问题D.等值面边值问题人口模型追赶问题交通流模型流体力学方程组与声学方程组电动力学Maxwell方程组§2.4一阶方程（组）的例子1.人口模型人口在时刻按年纪的分布密度,即时刻年纪在的人口数=时刻的人口总数=不考虑死亡因素:考虑死亡因素:死亡率,即年纪在中的人口在时段中的死亡数为定解条件初始条件初始人口分布密度边界条件出生的婴儿数出生率,即年纪在中的人口在时段中出生的婴儿数为,因此时段中出生的婴儿总数==年纪在中的人数2.追赶问题多个不同身高的人在始终线(设为轴)上迈进假设人的数目较多,从而能够采用持续模型时刻处的人的身高全部人以同一常速度沿轴正方向运动:在任意直线上,取常数值(对应于同一人),即速度:每个人的运动规律同样有速度与身高有关:如(Burger’s方程)一阶拟线性方程更普通地：3.交通流模型高速公路上行使的交通车辆的流动问题轴正方向表达车辆迈进的方向时刻车辆按方向分布的密度(单位长度的车辆数目)车辆通过点的流通率(单位时间流过的车辆数目)即,时刻在中的车辆数=中在内增加的车辆数=车辆数守恒:即,在时段中通过点的车辆数目=中通过点的车辆数-通过点的车辆数构造方程,如(Greenshield模型)(守恒律方程)4.流体力学方程组与声学方程组：密度：内能：压强：速度一维：可压流体Euler方程组（无粘性、热传导）一阶拟线性方程组声学方程组：气体的微小振动在等熵方程组中无视速度、速度梯度、密度梯度的高阶项声速速度势一阶线性方程组不可压粘性流体的Navier-Stokes方程组粘性流体力学方程组不可压：二阶拟线性方程组5.电动力学Maxwell方程组真空中的Maxwell方程组各向同性媒质中的Maxwell方程组电荷守恒律方程§2.5其它方程的例子§3二阶线性偏微分方程介绍§3.1两个自变量情形的分类与化简§3.2进一步化简§3.3具体分类§3.4多个自变量情形的分类§3.5特性理论3.1两个自变量情形的分类与化简例如：化简---各类方程的原则型目的:通过自变量变换,使方程的形式简化,有时甚至能够求出其通解自变量变换可逆:最少在某个在不引发误解的状况下仍然用,而不用方程类型不变:注意:或或反之亦然。（称（**）为特性方程，其积分曲线为特性线）下面以常系数情形为例特性线为直线：特性线为直线：这样能够得到双曲型方程的第一原则型：若再令则有这样能够得到双曲型方程的第二原则型：例1特性线为直线：这样能够得到抛物型方程的原则型：例2引入实变量：这样能够得到椭圆型方程的原则型：例3例1特性线还能够求出通解：例2特性线例3几个变系数的例子例4特性线例5特性线例6例7上半平面椭圆下半平面双曲横轴上抛物3.2进一步化简三类原则型：双曲抛物椭圆（1）（1*）（2）（3）目的：引入未知函数变换来消去一阶项（以常系数情形为例）以（1）为例双曲型和椭圆型方程可进一步化简为原则型：双曲椭圆3.3具体分类（考察整个求解区域）1.双曲型：2.抛物型：3.椭圆型：4.混合型：5.退化双曲型：6.退化椭圆型：3.4多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类Recall:两个自变量的情形特性值多个自变量的情形几个类型（不包含全部）：1.双曲型：2.抛物型：3.椭圆型：4.超双曲型：5.超抛物型：注：对矩阵或二次型而言：双曲：抛物