新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）4 指数、对数、幂值的比较大小（原卷版）

素养拓展04指数、对数、幂值比较大小（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、常规思路1.①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；注：除了指对幂函数，其他函数（比如三角函数，对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。2.底数、指数、真数、三角函数名都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助“媒介数”进行大小关系的判定.3.通过做差与0的比较来判断两数的大小；通过做商与1的比较来判断两数的大小。二、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用x=ln⁡e2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(ℎ(x))的大小,最后利用函数f(x)的单调性,转化为比较自变量g(x)与ℎ(x)的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。常见指数、对数的同构函数有:(1)y=xex与y=xln⁡x;(2)y=e(3)y=x+ex与y=ln⁡x+x;(4)y=e3.作差法、作商法是构造函数的一种最常用的方法.解题的关键是作差(或作商)后将得到式子中相同部分看作变量x,由常值换元法构造函数,利用函数的单调性比较大小.比较两个代数式的大小时,若在适当变形的基础上,能够发现这两个代数式均涉及某个特殊的“数字”,则可将该数字利用变量“x”加以表示,从而可考虑通过作差(或作商)方式,灵活构造函数,并利用函数的单调性,巧妙比较大小.三、放缩法1.ln⁡x⩽x−1(x>0)；ln⁡x⩾1−2.3.sin⁡x<x<tan⁡x二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】设，，，则a，b，c的大小关系为（

）．A． B． C． D．【典例2】已知，，，则（

）A． B．C． D．【典例3】已知，，，则（

）A． B． C． D．【题型训练1-刷真题】一、单选题1．设，则（

）A． B． C． D．2．设，，．则（

）A． B． C． D．3．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（

）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b4．若，则（

）A． B． C． D．【题型训练2-刷模拟】1.常规思路一、单选题1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．2．已知实数，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．3．已知，，，则（

）A． B．C． D．4．已知，则（

）A． B．C． D．5．已知，，则（

）A． B．C． D．6．设，则a，b，c的大小顺序为（

）A． B． C． D．2.构造函数一、单选题1．设，，（），则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．2．已知，则（

）A． B．C． D．3．设，，，则（

）A． B． C． D．4．设，，，则a、b、c的大小关系为（

）A． B． C． D．5．，，，则（

）A． B．C． D．7．已知，则（

）A． B．C． D．8．设，，，则下列正确的是（

）A． B． C． D．9．已知，，，则（

）A． B．C． D．10．设，，，则（

）A． B． C． D．11．设．则a，b，c大小关系是（

）A． B． C． D．12．已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．13．设，，，则（

）A． B． C． D．14．）设，，，则（

）A． B．C． D．3.放缩法1．若2aA.a>2bB.a<2bC.A.a>b>cB.